स्थिर बिंदु

This article is about stationary points of a real-valued differentiable function of one real variable. For the broader term, see Critical point (mathematics).

Not to be confused with a fixed point where x = f(x).

स्थिर बिंदु लाल वृत्त हैं। इस ग्राफ में, वे सभी आपेक्षिक उच्चिष्ठ या सापेक्ष निम्निष्ठ हैं। नीले वर्ग विभक्ति बिंदु हैं।

गणित में, विशेष रूप से कलन में, एक चर के एक अलग-अलग कार्य का एक स्थिर बिंदु फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु होता है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य होता है।अनौपचारिक रूप से, यह एक ऐसा बिंदु है जहां फ़ंक्शन बढ़ना या घटना बंद हो जाता है (इसलिए नाम)।

कई वास्तविक चरों के अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए, एक स्थिर बिंदु ग्राफ की सतह (गणित) पर एक बिंदु होता है जहां इसके सभी आंशिक डेरिवेटिव शून्य होते हैं (समतुल्य रूप से, ग्रेडियेंट शून्य होता है)।

स्थिर बिंदुओं को एक चर के फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखना आसान होता है: वे ग्राफ़ पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है (अर्थात, भुज के समानांतर (ज्यामिति)।x-एक्सिस)। दो चर के एक समारोह के लिए, वे ग्राफ पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां स्पर्शरेखा विमान के समानांतर होती है xy विमान।

टर्निंग पॉइंट्स

टर्निंग पॉइंट वह बिंदु होता है जिस पर डेरिवेटिव परिवर्तन का चिन्ह होता है। एक मोड़ बिंदु या तो सापेक्ष अधिकतम या सापेक्ष न्यूनतम (स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम के रूप में भी जाना जाता है) हो सकता है। यदि फलन अवकलनीय है, तो एक मोड़ बिंदु एक स्थिर बिंदु है; हालाँकि सभी स्थिर बिंदु टर्निंग पॉइंट नहीं होते हैं। यदि फ़ंक्शन दो बार अलग-अलग होता है, तो स्थिर बिंदु जो मोड़ बिंदु नहीं हैं, वे क्षैतिज विभक्ति बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, समारोह $x\mapsto x^{3}$ पर एक स्थिर बिंदु है x = 0, जो एक विभक्ति बिंदु भी है, लेकिन एक महत्वपूर्ण मोड़ नहीं है।

वर्गीकरण

एक ग्राफ जिसमें स्थानीय एक्स्ट्रेमा और वैश्विक एक्स्ट्रेमा को लेबल किया गया है।

See also: maxima and minima

एक के पृथक स्थिर बिंदु $C^{1}$ वास्तविक मूल्यवान समारोह $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ पहले व्युत्पन्न परीक्षण द्वारा चार प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:

• एक स्थानीय न्यूनतम (न्यूनतम मोड़ बिंदु या सापेक्ष न्यूनतम) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है;
• एक स्थानीय अधिकतम (अधिकतम मोड़ बिंदु या सापेक्ष अधिकतम) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है;

सैडल बिंदु (स्थिर बिंदु जो न तो स्थानीय उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम हैं: वे विभक्ति बिंदु हैं। बायां विभक्ति का एक बढ़ता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न लाल बिंदु के दोनों किनारों पर धनात्मक है); दायां विभक्ति का एक गिरता हुआ बिंदु है (व्युत्पन्न है लाल बिंदु के दोनों ओर ऋणात्मक)।

* एक बढ़ता हुआ मोड़ बिंदु (या मोड़) वह है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्थिर बिंदु के दोनों किनारों पर सकारात्मक होता है; ऐसा बिंदु अवतल कार्य में परिवर्तन को चिह्नित करता है;

• नति परिवर्तन (या नति परिवर्तन) का एक गिरता हुआ बिंदु वह होता है जहां स्थिर बिंदु के दोनों ओर फलन का अवकलज ऋणात्मक होता है; ऐसा बिंदु समतलता में परिवर्तन का प्रतीक है।

पहले दो विकल्पों को सामूहिक रूप से मैक्सिमा और मिनिमा के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार एक बिंदु जो वैश्विक (या पूर्ण) अधिकतम या वैश्विक (या पूर्ण) न्यूनतम है, वैश्विक (या पूर्ण) चरम कहा जाता है। अंतिम दो विकल्प-स्थिर बिंदु जो स्थानीय चरम पर नहीं हैं- सैडल पॉइंट के रूप में जाने जाते हैं।

फर्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) द्वारा | फर्मेट के प्रमेय, वैश्विक एक्स्ट्रेमा होना चाहिए (एक के लिए $C^{1}$ समारोह) सीमा पर या स्थिर बिंदुओं पर।

वक्र रेखाचित्र

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

अलग-अलग कार्यों के वक्र रेखाचित्र में स्थिर बिंदुओं की स्थिति और प्रकृति का निर्धारण। समीकरण f'(x) = 0 को हल करना सभी स्थिर बिंदुओं के x-निर्देशांक लौटाता है; y-निर्देशांक तुच्छ रूप से उन x-निर्देशांकों पर फ़ंक्शन मान हैं। एक्स पर एक स्थिर बिंदु की विशिष्ट प्रकृति कुछ मामलों में दूसरे व्युत्पन्न एफ (एक्स) की जांच करके निर्धारित की जा सकती है:

• यदि f(x) < 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक अधिकतम चरम।
• यदि f(x) > 0, x पर स्थिर बिंदु अवतल है; एक न्यूनतम चरम।
• यदि f(x) = 0, स्थिर बिंदु की प्रकृति को अन्य तरीकों से निर्धारित किया जाना चाहिए, अक्सर उस बिंदु के चारों ओर एक संकेत परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए।

एक स्थिर बिंदु की प्रकृति का निर्धारण करने का एक अधिक सरल तरीका स्थिर बिंदुओं के बीच फ़ंक्शन मानों की जांच करना है (यदि फ़ंक्शन परिभाषित है और उनके बीच निरंतर है)।

मोड़ बिंदु का एक सरल उदाहरण फलन f(x) = x है^{3</उप>। बिंदु x = 0 के बारे में उत्तलता का स्पष्ट परिवर्तन है, और हम इसे कलन के माध्यम से सिद्ध कर सकते हैं। एफ का दूसरा व्युत्पन्न हर जगह-निरंतर 6x है, और x = 0, f = 0 पर, और इस बिंदु के बारे में संकेत बदलता है। अतः x = 0 एक विभक्ति बिंदु है।}

अधिक आम तौर पर, वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ उन अंक एक्स₀ जहां हर दिशा में व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या समकक्ष, ग्रेडिएंट शून्य है।

उदाहरण

फलन f(x) = x के लिए⁴ हमारे पास f'(0) = 0 और f(0) = 0 है। भले ही f(0) = 0, यह बिंदु विभक्ति का बिंदु नहीं है। इसका कारण यह है कि f'(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।

फलन f(x) = sin(x) के लिए हमारे पास f'(0) ≠ 0 और f(0) = 0 है। लेकिन यह एक स्थिर बिंदु नहीं है बल्कि यह विभक्ति का बिंदु है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिन्ह नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।

फलन f(x) = x के लिए³ हमारे पास f'(0) = 0 और f(0) = 0 है। यह एक स्थिर बिंदु और मोड़ का बिंदु दोनों है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवतल नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल में बदलता है और f'(x) का चिह्न नहीं बदलता है; यह सकारात्मक रहता है।

यह भी देखें

• अनुकूलन (गणित)
• फर्मेट का प्रमेय (स्थिर बिंदु) | फर्मेट का प्रमेय
• व्युत्पन्न परीक्षण
• निश्चित बिंदु (गणित)
• लादने की सीमा

बाहरी संबंध

• Inflection Points of Fourth Degree Polynomials — a surprising appearance of the golden ratio at cut-the-knot