द्वितीय अवकलज: Difference between revisions

Revision as of 11:20, 8 February 2023

द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।

कलन में, किसी फलन $f$ का द्वितीय अवकलज, या द्वितीय कोटि का अवकलज, $f$ के अवकलज का अवकलज होता है। मोटे तौर पर, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का तात्कालिक त्वरण है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का वेग बदल रहा है। लीबनिज संकेतन में:

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},

जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ समय के संबंध में स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, द्वितीय अवकलज ग्राफ़ की वक्रता या समतलता से मेल खाता है। एक सकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।

द्वितीय अवकलज घात नियम

पहले अवकलज के लिए घात नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो द्वितीय अवकलज शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.

संकेतन

किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज $f(x)$ सामान्यतया निरूपित किया जाता है $f''(x)$ .^[1]^[2] वह है:

f''=\left(f'\right)'

अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, एक स्वतंत्र चर $x$ के संबंध में एक आश्रित चर $y$ का द्वितीय अवकलज लिखा जाता है

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से लिया गया है:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).

वैकल्पिक संकेतन

जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ । हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह भागफल नियम को पहले अवकलज पर लागू करने से प्राप्त होता है।^[3] ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:

y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}

इस सूत्र में, $du$ लागू अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है $u$ , अर्थात।, $d(u)$ , $d^{2}u$ अंतर ऑपरेटर को दो बार लागू करने का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, $d(d(u))$ , और $du^{2}$ लागू किए गए अंतर ऑपरेटर के वर्ग को संदर्भित करता है $u$ , अर्थात।, $(d(u))^{2}$ .

जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), द्वितीय अवकलज की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए श्रृंखला नियम से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।^[4]

उदाहरण

समारोह दिया

f(x)=x^{3},

का अवकलज $f$ कार्य है

f^{\prime }(x)=3x^{2}.

का द्वितीय अवकलज $f$ का अवकलज है $f^{\prime }$ , अर्थात्

f^{\prime \prime }(x)=6x.

ग्राफ से संबंध

f(x)=\sin(2x)

का

-\pi /4

से

5\pi /4

तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0,

\pi

/2, और

\pi

) पर लाल है।

अवतलता

फ़ंक्शन $f$ के द्वितीय अवकलज का उपयोग $f$ के ग्राफ की अवतलता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।^[2] एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।

नतिपरिवर्तन बिंदु

यदि किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि द्वितीय अवकलज निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां द्वितीय अवकलज शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण

द्वितीय अवकलज और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक स्थिर बिंदु (यानी, एक बिंदु जहां $f'(x)=0$ ) स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम है। विशेष रूप से,

अगर $f^{\prime \prime }(x)<0$ , तब $f$ पर स्थानीय अधिकतम है $x$ .
अगर $f^{\prime \prime }(x)>0$ , तब $f$ स्थानीय न्यूनतम है $x$ .
अगर $f^{\prime \prime }(x)=0$ , द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है $x$ , एक संभावित विभक्ति बिंदु।

द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।

सीमा

द्वितीय अवकलज के लिए एकल सीमा (गणित) लिखना संभव है:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.

सीमा को द्वितीय सममित अवकलज कहा जाता है।^[5]^[6] ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज नहीं होता है।

दाईं ओर की अभिव्यक्ति को अंतर भागफलों के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.

इस सीमा को अनुक्रमों (गणित) के द्वितीय अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन $f$ का द्वितीय अवकलज है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण चिह्न फलन है $\operatorname {sgn}(x)$ , जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए द्वितीय अवकलज है $x=0$ मौजूद नहीं है। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है $x=0$

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}

द्विघात सन्निकटन

जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन $f$ के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित है। यह द्विघात फलन है जिसका पहला और द्वितीय अवकलज वही है जो दिए गए बिंदु पर $f$ का है। बिंदु $x = a$ के आस-पास किसी फ़ंक्शन $f$ के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र है

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.

यह द्विघात सन्निकटन $x = a$ पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय क्रम का टेलर बहुपद है।

द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर

सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए द्वितीय अवकलज के eigenvalues और eigenvectors के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना $x\in [0,L]$ और सजातीय डिरिचलेट सीमा की स्थिति (यानी, $v(0)=v(L)=0$ ), eigenvalues हैं $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ और संबंधित eigenvectors (जिसे eigenfunctions भी कहा जाता है) हैं $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ . यहाँ, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$ अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।

उच्च आयामों का सामान्यीकरण

हेसियन

द्वितीय अवकलज द्वितीय आंशिक अवकलज की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। एक फ़ंक्शन f: R³ → R के लिए, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

और मिश्रित आंशिक

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.

यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक सममित मैट्रिक्स में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के eigenvalues द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। (द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण भी देखें।)

लाप्लासियन

द्वितीय अवकलज का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है $\nabla ^{2}$ (या $\Delta$ ) द्वारा परिभाषित

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

किसी फ़ंक्शन का लाप्लासियन ग्रेडियेंट के विचलन और हेस्सियन मैट्रिक्स के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

यह भी देखें

चपलता, तात्क्षणिक चरण का द्वितीय अवकलज
परिमित अंतर, इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
द्वितीय अवकलज की समरूपता

संदर्भ

↑ "Content - The second derivative". amsi.org.au. Retrieved 2020-09-16.
↑ ^2.0 ^2.1 "Second Derivatives". Math24 (in English). Retrieved 2020-09-16.
↑ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh (2019). "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials". Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553.
↑ "Reviews". Mathematics Magazine. 92 (5): 396–397. December 20, 2019. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628. S2CID 218542586.
↑ A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

अग्रिम पठन

प्रिंट

Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

ऑनलाइन किताबें

Crowell, Benjamin (2003), Calculus
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
Strang, Gilbert (1991), Calculus
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
Wikibooks, Calculus

बाहरी संबंध

Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

[1] "Content - The second derivative". amsi.org.au. Retrieved 2020-09-16.

[:1-2] 2.0 ^2.1 "Second Derivatives". Math24 (in English). Retrieved 2020-09-16.

[3] Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh (2019). "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials". Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553.

[4] "Reviews". Mathematics Magazine. 92 (5): 396–397. December 20, 2019. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628. S2CID 218542586.

[Zygmund2002-5] A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

[6] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mathematical operation}}
-{{Use American English|date = April 2019}}
-{{Calculus |Differential}}
+{{Calculus |अवकल}}
-[[File:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|200px|द्विघात फलन का दूसरा अवकलज नियत फलन होता है।]]कलन में, किसी फलन का दूसरा अवकलज, या दूसरा क्रम अवकलज (गणित) {{math|''f''}} के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. मोटे तौर पर, दूसरा व्युत्पन्न यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न वस्तु का [[तात्कालिक त्वरण]] है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का [[वेग]] बदल रहा है। [[लीबनिज संकेतन]] में:
+[[File:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|190x190px|द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।]]कलन में, किसी फलन {{math|''f''}} का '''द्वितीय अवकलज''', या '''द्वितीय कोटि का अवकलज''', {{math|''f''}} के अवकलज का अवकलज होता है। मोटे तौर पर, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का [[तात्कालिक त्वरण]] है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का [[वेग]] बदल रहा है। [[लीबनिज संकेतन]] में:
 :<math>\mathbf{a} =  \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>
-जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> समय के संबंध में स्थिति (x) का दूसरा व्युत्पन्न है।
+जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> समय के संबंध में स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।
-किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, दूसरा व्युत्पन्न ग्राफ़ के [[वक्रता]] या उत्तल फ़ंक्शन से मेल खाता है। एक सकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।
+किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, द्वितीय अवकलज ग्राफ़ की [[वक्रता]] या समतलता से मेल खाता है। एक सकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक द्वितीय अवकलज के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।
-== दूसरा व्युत्पन्न [[शक्ति नियम]] ==
+== द्वितीय अवकलज घात नियम ==
-पहले व्युत्पन्न के लिए शक्ति नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:
+पहले अवकलज के लिए [[शक्ति नियम|घात नियम]], यदि दो बार लागू किया जाता है, तो द्वितीय अवकलज शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:
 : <math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.</math>
+== संकेतन ==
+{{Details|अवकलन के लिए संकेतन}}
+किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज <math>f(x)</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>f''(x)</math>.<ref>{{Cite web|title=Content - The second derivative|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|access-date=2020-09-16|website=amsi.org.au}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Second Derivatives|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|access-date=2020-09-16|website=Math24|language=en-US}}</ref> वह है:
-== नोटेशन ==
-{{Details|Notation for differentiation}}
-किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न <math>f(x)</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>f''(x)</math>.<ref>{{Cite web|title=Content - The second derivative|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|access-date=2020-09-16|website=amsi.org.au}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Second Derivatives|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|access-date=2020-09-16|website=Math24|language=en-US}}</ref> वह है:
 :<math>f'' = \left(f'\right)'</math>
-डेरिवेटिव के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, आश्रित चर का दूसरा डेरिवेटिव {{math|''y''}} एक स्वतंत्र चर के संबंध में {{math|''x''}} लिखा है
+अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, एक स्वतंत्र चर {{math|''x''}} के संबंध में एक आश्रित चर {{math|''y''}} का द्वितीय अवकलज लिखा जाता है
 :<math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>
 यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से लिया गया है:
 :<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
 == वैकल्पिक संकेतन ==
-जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, दूसरे डेरिवेटिव के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है <math display="inline">\frac{d^2y}{dx^2}</math>. हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह [[भागफल नियम]] को पहले व्युत्पन्न पर लागू करने से प्राप्त होता है।<ref>{{cite journal |last1=Bartlett |first1=Jonathan |last2=Khurshudyan |first2=Asatur Zh |date=2019 |title=Extending the Algebraic Manipulability of Differentials |arxiv=1801.09553 |journal=Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis |volume=26 |issue=3 |pages=217–230}}</ref> ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:
+जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है<math display="inline">\frac{d^2y}{dx^2}</math>। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह [[भागफल नियम]] को पहले अवकलज पर लागू करने से प्राप्त होता है।<ref>{{cite journal |last1=Bartlett |first1=Jonathan |last2=Khurshudyan |first2=Asatur Zh |date=2019 |title=Extending the Algebraic Manipulability of Differentials |arxiv=1801.09553 |journal=Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis |volume=26 |issue=3 |pages=217–230}}</ref> ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:
 :<math>y''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}</math>
 इस सूत्र में, <math>du</math> लागू अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है <math>u</math>, अर्थात।, <math>d(u)</math>, <math>d^2u</math> अंतर ऑपरेटर को दो बार लागू करने का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, <math>d(d(u))</math>, और <math>du^2</math> लागू किए गए अंतर ऑपरेटर के वर्ग को संदर्भित करता है <math>u</math>, अर्थात।, <math>(d(u))^2</math>.
-जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), दूसरे व्युत्पन्न की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरे व्युत्पन्न के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ दूसरे व्युत्पन्न के लिए [[श्रृंखला नियम]] से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।<ref>{{cite journal |date=December 20, 2019 |title=Reviews |url=https://maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2019.1673628 |journal=Mathematics Magazine |volume=92 |issue=5 |pages=396–397 |doi=10.1080/0025570X.2019.1673628|s2cid=218542586 }}</ref>
+जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), द्वितीय अवकलज की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए [[श्रृंखला नियम]] से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।<ref>{{cite journal |date=December 20, 2019 |title=Reviews |url=https://maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2019.1673628 |journal=Mathematics Magazine |volume=92 |issue=5 |pages=396–397 |doi=10.1080/0025570X.2019.1673628|s2cid=218542586 }}</ref>
 == उदाहरण ==
 समारोह दिया
 :<math>f(x) = x^3,</math>
-का व्युत्पन्न {{math|''f''}} कार्य है
+का अवकलज {{math|''f''}} कार्य है
 :<math>f^{\prime}(x) = 3x^2.</math>
-का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''f''}} का व्युत्पन्न है <math>f^{\prime}</math>, अर्थात्
+का द्वितीय अवकलज {{math|''f''}} का अवकलज है <math>f^{\prime}</math>, अर्थात्
 :<math>f^{\prime\prime}(x) = 6x.</math>
 == ग्राफ से संबंध ==
-[[File:Animated illustration of inflection point.gif|500px|thumb|का एक प्लॉट <math>f(x) = \sin(2x)</math> से <math>-\pi/4</math> को <math>5\pi/4</math>. स्पर्श रेखा नीली होती है जहाँ वक्र अवतल होता है, हरा जहाँ वक्र अवतल होता है, और विभक्ति बिंदुओं पर लाल होता है (0, <math>\pi</math>/2, और <math>\pi</math>).]]
+[[File:Animated illustration of inflection point.gif|523x523px|thumb|<math>f(x) = \sin(2x)</math> का <math>-\pi/4</math> से <math>5\pi/4</math> तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0, <math>\pi</math>/2, और <math>\pi</math>) पर लाल है।]]
 === अवतलता ===
-किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''f''}} के ग्राफ की अवतलता ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जा सकता है {{math|''f''}}.<ref name=":1" />  एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।
+फ़ंक्शन {{math|''f''}} के द्वितीय अवकलज का उपयोग {{math|''f''}} के ग्राफ की अवतलता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":1" /> एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।
+=== नतिपरिवर्तन बिंदु ===
+{{main|नतिपरिवर्तन बिंदु}}
-=== मोड़ बिंदु ===
+यदि किसी फ़ंक्शन का द्वितीय अवकलज चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि द्वितीय अवकलज निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां द्वितीय अवकलज शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।
-{{main|Inflection point}}
-यदि किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि दूसरा व्युत्पन्न निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।
-=== दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण ===
+=== द्वितीय अवकलज परीक्षण ===
-{{main|Second derivative test}}
+{{main|द्वितीय अवकलज परीक्षण}}
-दूसरे व्युत्पन्न और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक [[स्थिर बिंदु]] (यानी, एक बिंदु जहां <math>f'(x)=0</math>) [[स्थानीय अधिकतम]] या [[स्थानीय न्यूनतम]] है। विशेष रूप से,
+द्वितीय अवकलज और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक [[स्थिर बिंदु]] (यानी, एक बिंदु जहां <math>f'(x)=0</math>) [[स्थानीय अधिकतम]] या [[स्थानीय न्यूनतम]] है। विशेष रूप से,
 * अगर <math>f^{\prime\prime}(x) < 0</math>, तब <math>f</math> पर स्थानीय अधिकतम है <math>x</math>.
 * अगर <math>f^{\prime\prime}(x) > 0</math>, तब <math>f</math> स्थानीय न्यूनतम है <math>x</math>.
-* अगर <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है <math>x</math>, एक संभावित विभक्ति बिंदु।
+* अगर <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है <math>x</math>, एक संभावित विभक्ति बिंदु।
-दूसरा व्युत्पन्न इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।
+द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।
 == सीमा ==
-दूसरे व्युत्पन्न के लिए एकल [[सीमा (गणित)]] लिखना संभव है:
+द्वितीय अवकलज के लिए एकल [[सीमा (गणित)]] लिखना संभव है:
 :<math>f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>
-सीमा को [[दूसरा सममित व्युत्पन्न]] कहा जाता है।<ref name="Zygmund2002">{{cite book|author=A. Zygmund|title=Trigonometric Series|title-link= Trigonometric Series |year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89053-3|pages=22–23}}</ref><ref>{{cite book
+सीमा को [[दूसरा सममित व्युत्पन्न|द्वितीय सममित अवकलज]] कहा जाता है।<ref name="Zygmund2002">{{cite book|author=A. Zygmund|title=Trigonometric Series|title-link= Trigonometric Series |year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89053-3|pages=22–23}}</ref><ref>{{cite book
   | first= Brian S.
   | last= Thomson
@@ Line 73: / Line 71: @@
   | isbn= 0-8247-9230-0
   | page = 1
-}}</ref> ध्यान दें कि दूसरा सममित व्युत्पन्न तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) दूसरा व्युत्पन्न नहीं होता है।
+}}</ref> ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज नहीं होता है।
-दाईं ओर की अभिव्यक्ति को [[अंतर भागफल]]ों के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:
+दाईं ओर की अभिव्यक्ति को [[अंतर भागफल|अंतर भागफलों]] के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:
 :<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>
-इस सीमा को [[अनुक्रम (गणित)]] के दूसरे अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।
+इस सीमा को [[अनुक्रम (गणित)|अनुक्रमों (गणित)]] के द्वितीय अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।
-हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि function <math>f</math> दूसरा व्युत्पन्न है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण [[साइन समारोह]] है <math>\sgn(x)</math>, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन<math>f</math> का द्वितीय अवकलज है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण [[साइन समारोह|चिह्न फलन]] है <math>\sgn(x)</math>, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 :<math>\sgn(x) = \begin{cases}
@@ Line 85: / Line 83: @@
 & \text{if } x = 0, \\
 & \text{if } x > 0. \end{cases}</math>
-साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए दूसरा व्युत्पन्न है <math>x=0</math> मौजूद नहीं होना। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है <math>x=0</math>:
+साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए द्वितीय अवकलज है<math>x=0</math> मौजूद नहीं है। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है<math>x=0</math>
 :<math>\begin{align}
@@ Line 92: / Line 90: @@
 \end{align}</math>
+== द्विघात सन्निकटन ==
-== [[द्विघात सन्निकटन]] ==
+जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन {{math|''f''}} के लिए सर्वोत्तम [[द्विघात सन्निकटन]] से संबंधित है। यह द्विघात फलन है जिसका पहला और द्वितीय अवकलज वही है जो दिए गए बिंदु पर {{math|''f''}} का है। बिंदु {{math|''x'' {{=}} ''a''}} के आस-पास किसी फ़ंक्शन {{math|''f''}} के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र है
-जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित होता है, उसी प्रकार दूसरा अवकलज किसी फलन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित होता है। {{math|''f''}}. यह द्विघात फलन है जिसका पहला और दूसरा अवकलज वही है जो का है {{math|''f''}} एक निश्चित बिंदु पर। किसी फ़ंक्शन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र {{math|''f''}} बिंदु के आसपास {{math|''x'' {{=}} ''a''}} है
 :<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.</math>
-यह द्विघात सन्निकटन पर केन्द्रित फलन के लिए दूसरे क्रम का [[टेलर बहुपद]] है {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''}}.
+यह द्विघात सन्निकटन {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''}} पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय क्रम का [[टेलर बहुपद]] है।
-== [[दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors]] ==
+== द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर ==
-सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना <math>x \in [0,L]</math> और सजातीय [[डिरिचलेट सीमा की स्थिति]] (यानी, <math> v(0)=v(L)=0</math>), [[eigenvalues]] हैं <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> और संबंधित [[eigenvectors]] (जिसे [[eigenfunctions]] भी कहा जाता है) हैं <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math>. यहाँ, <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>
+सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए [[दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors|द्वितीय अवकलज के eigenvalues और eigenvectors]] के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना <math>x \in [0,L]</math> और सजातीय [[डिरिचलेट सीमा की स्थिति]] (यानी, <math> v(0)=v(L)=0</math>), [[eigenvalues]] हैं <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> और संबंधित [[eigenvectors]] (जिसे [[eigenfunctions]] भी कहा जाता है) हैं <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math>. यहाँ, <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>
-अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, दूसरे डेरिवेटिव के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।
+अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, द्वितीय अवकलज के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।
 == उच्च आयामों का सामान्यीकरण ==
 === हेसियन ===
-{{main|Hessian matrix}}
+{{main|हेसियन आव्यूह}}
-दूसरा व्युत्पन्न दूसरे आंशिक डेरिवेटिव की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। किसी फलन f: 'R' के लिए<sup>3</sup> → R, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं
+द्वितीय अवकलज द्वितीय आंशिक अवकलज की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। एक फ़ंक्शन f: '''R<sup>3</sup>''' → '''R''' के लिए, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं
 :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
@@ Line 113: / Line 111: @@
 :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.</math>
-यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक [[सममित मैट्रिक्स]] में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के [[eigenvalue]]s दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। ([[दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण]] भी देखें।)
+यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक [[सममित मैट्रिक्स]] में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के [[eigenvalue]]s द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। ([[दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण|द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण]] भी देखें।)
 === लाप्लासियन ===
-{{main|Laplace operator}}
+{{main|लाप्लास संकारक}}
-दूसरे व्युत्पन्न का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है <math>\nabla^2</math> (या <math>\Delta</math>) द्वारा परिभाषित
+द्वितीय अवकलज का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है <math>\nabla^2</math> (या <math>\Delta</math>) द्वारा परिभाषित
 :<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>
 किसी फ़ंक्शन का लाप्लासियन [[ग्रेडियेंट]] के [[विचलन]] और हेस्सियन मैट्रिक्स के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के बराबर है।
 == यह भी देखें ==
-* [[चंचलता]], [[तात्कालिक चरण]] का दूसरा व्युत्पन्न
+* [[चंचलता|चपलता]], [[तात्कालिक चरण|तात्क्षणिक चरण]] का द्वितीय अवकलज
-* [[परिमित अंतर]], दूसरे व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है
+* [[परिमित अंतर]], इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
-* दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण
+* द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
-* [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]]
+* [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता|द्वितीय अवकलज की समरूपता]]
 == संदर्भ ==

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