बीजगणितीय समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 10:03, 15 February 2023

गणित में, बीजगणितीय समूह बीजगणितीय विविधता है जो समूह (गणित) संरचना के साथ संपन्न होती है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल होती है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति और समूह सिद्धांत दोनों के अंतर्गत आता है।

ज्यामितीय परिवर्तनों के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, सामान्य रैखिक समूह, प्रक्षेपी समूह, यूक्लिडियन समूह, आदि। कई आव्यूह समूह भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे दीर्घवृत्तीय वक्र और जैकबियन विविधता।

बीजगणितीय समूहों का एक महत्वपूर्ण वर्ग एफ़िन बीजगणितीय समूहों द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।^[1] एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से, क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता $\mathrm {G}$ ओवर $k$ है जो, एक साथ एक विशिष्ट तत्व $e\in \mathrm {G} (k)$ (तटस्थ तत्व), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति) $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \to \mathrm {G}$ (गुणन संक्रिया) और $\mathrm {G} \to \mathrm {G}$ ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।^[2]

उदाहरण

योजक समूह: एफ़िन लाइन $\mathbb {A} ^{1}$ समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका $k$ -बिंदु k के योगात्मक समूह के समूह के रूप में समरूपी होते हैं), और आमतौर पर $\mathrm {G} _{a}$ द्वारा निरूपित किया जाता है .
गुणक समूह: $\mathrm {G} _{m}$ को एफिन तल $\mathbb {A} ^{2}$ में समीकर $xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ और $(x,y)\mapsto (x^{-1},y^{-1})$ $\mathrm {G} _{m}$ पर नियमित हैं, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को (तटस्थ तत्व के साथ $(1,1)$ ) संतुष्ट करते हैं। बीजगणितीय समूह $\mathrm {G} _{m}$ को गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके $k$ -बिंदु क्षेत्र $k$ के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं (समरूपता $x\mapsto (x,x^{-1})$ द्वारा दिया जाता है; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का उपसमुच्चय $\mathbb {A} ^{1}$ में बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है)।
विशेष रैखिक समूह $\mathrm {SL} _{n}$ बीजगणितीय समूह है: यह बीजगणितीय समीकरण $\det(g)=1$ द्वारा एफ़िन स्पेस $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ में दिया जाता है (n-द्वारा-n मेट्रिसेस के स्थान के साथ पहचाना जाता है), मेट्रिसेस का गुणन नियमित है और सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में व्युत्क्रम के लिए सूत्र दर्शाता है कि व्युत्क्रम नियमित है और साथ ही निर्धारक 1 के साथ मैट्रिसेस पर भी है।
उलटा मेट्रिसेस का सामान्य रैखिक समूह $\mathrm {GL} _{n}$ क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह है। इसे $\mathbb {A} ^{n^{2}+1}$ में उप-विविधता के रूप में उसी तरह समझा जा सकता है जैसे पिछले उदाहरण में गुणक समूह।^[3]
प्रक्षेपी तल $\mathbb {P} ^{2}$ में व्‍युत्‍क्रमणीय घन वक्र ज्यामितीय रूप से परिभाषित समूह नियम के साथ संपन्न किया जा सकता है जो इसे बीजगणितीय समूह बनाता है (दीर्घवृत्तीय वक्र देखें)।

बीजगणितीय समूह का लाई बीजगणित

लाई समूह की तरह लाई बीजगणित, क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह के लिए $k$ के ऊपर एक लाई बीजगणित से जुड़ा है। सदिश स्थान के रूप में लाई बीजगणित पहचान तत्व पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए समरूपी है। व्युत्पत्तियों के स्थान के रूप में इसकी व्याख्या से लाई कोष्ठक का निर्माण किया जा सकता है।^[6]

वैकल्पिक परिभाषाएं

क्षेत्र $k$ पर बीजगणितीय समूह की अधिक परिष्कृत परिभाषा यह है कि यह $k$ से अधिक समूह योजना का है (समूह योजनाओं को आमतौर पर क्रमविनिमेय रिंगों पर परिभाषित किया जा सकता है)।

फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि k से अधिक बीजगणितीय समूह $k$ से अधिक बीजगणितीय विविधताओं की श्रेणी में एक समूह वस्तु है श्रेणी (गणित) में समूह वस्तु है।

एफ़िन बीजगणितीय समूह

एक बीजगणितीय समूह को एफ़ाइन कहा जाता है यदि इसकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एक एफ़िन विविधता है। योगात्मक, गुणात्मक समूहों और सामान्य और विशेष रैखिक समूहों के ऊपर के उदाहरणों में संबंध हैं। अपनी समन्वय अंगूठी पर एक एफ़िन बीजगणितीय समूह की क्रिया का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक एफ़िन बीजगणितीय समूह एक रैखिक (या मैट्रिक्स समूह) है, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

उदाहरण के लिए योजक समूह को एम्बेड किया जा सकता है $\mathrm {GL} _{2}$ रूपवाद द्वारा $x\mapsto \left({\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$ .

ऐसे समूहों के कई उदाहरण हैं जो पहले दिए गए से परे हैं:

ऑर्थोगोनल और सिम्प्लेक्टिक समूह एफ़ाइन बीजगणितीय समूह हैं।
एकाकी समूह।
बीजगणितीय टोरस।
कुछ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद,^[7] उदाहरण के लिए जेट समूह, या कुछ हल करने योग्य समूह जैसे उलटा त्रिकोणीय मैट्रिक्स।

रैखिक बीजगणितीय समूहों को एक निश्चित सीमा तक वर्गीकृत किया जा सकता है। लेवी के प्रमेय में कहा गया है कि ऐसा प्रत्येक (अनिवार्य रूप से) एक अपचायक समूह के साथ एक एकशक्तिहीन समूह (इसके एकशक्तिहीन मूलक) का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है। बदले में रिडक्टिव समूह एक अर्ध-सरल समूह के साथ (फिर से अनिवार्य रूप से) उनके केंद्र (एक बीजगणितीय टोरस) के एक उत्पाद के रूप में विघटित हो जाते हैं। उत्तरार्द्ध को बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में उनके सेमीसिंपल लाई बीजगणित # वर्गीकरण के माध्यम से वर्गीकृत किया गया है।^[8] मनमानी क्षेत्रों पर वर्गीकरण अधिक शामिल है लेकिन अभी भी अच्छी तरह से समझा जाता है।^[9] यदि कुछ मामलों में बहुत स्पष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए वास्तविक या पी-जगह क्षेत्रों पर, और इस प्रकार स्थानीय-वैश्विक सिद्धांतों के माध्यम से संख्या क्षेत्रों पर।

एबेलियन विविधताें

एबेलियन विविधताें प्रक्षेपी बीजगणितीय समूहों से जुड़ी हैं, उदाहरण के लिए अण्डाकार वक्र। वे सदैव क्रमविनिमेय होते हैं। वे बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में विभिन्न स्थितियों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए वक्र की जैकोबियन विविधता के रूप में।

सामान्य बीजगणितीय समूहों के लिए संरचना प्रमेय

सभी बीजगणितीय समूह रेखीय समूह या एबेलियन विविधताें नहीं हैं, उदाहरण के लिए अंकगणितीय ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से होने वाली कुछ समूह योजनाएं न तो हैं।^[10] शेवेलली की संरचना प्रमेय का दावा है कि प्रत्येक जुड़ा बीजगणितीय समूह एक रेखीय बीजगणितीय समूह द्वारा एक एबेलियन विविधता का विस्तार है। अधिक सटीक रूप से, यदि K एक पूर्ण क्षेत्र है, और G K के ऊपर एक जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह है, तो G में एक अद्वितीय सामान्य बंद उपसमूह H मौजूद है, जैसे कि H एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह है और G/H एक एबेलियन विविधता है।

जुड़ाव

बीजगणितीय विविधता के रूप में $\mathrm {G}$ जरिस्की सांस्थिति वहन करता है। यह सामान्य रूप से सांस्थितिक समूह नहीं है, अर्थात इस सांस्थिति के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की सांस्थिति कारकों पर ज़ारिस्की सांस्थिति का उत्पाद नहीं है^[11]).

बीजगणितीय समूह को आनुषंगिक कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता ज़रिस्की सांस्थिति के लिए आनुषंगिक है। बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।^[12]

ऐसे समूहों के उदाहरण जो आनुषंगिक नहीं हैं, गुणक समूह $\mathrm {G} _{m}$ में एकता की $n$ वें जड़ों के बीजगणितीय उपसमूह द्वारा दिए गए हैं (प्रत्येक बिंदु ज़रिस्की-बंद उपसमुच्चय है, इसलिए यह $n\geq 1$ के लिए जुड़ा नहीं है)। इस समूह को आम तौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $\mu _{n}$ । अन्य गैर-आनुषंगिक समूह सम आयाम में आयतीय समूह हैं (निर्धारक $\mu _{2}$ को विशेषण आकृतिवाद देता है)।

अधिक आम तौर पर प्रत्येक परिमित समूह बीजगणितीय समूह होता है (इसे परिमित के रूप में महसूस किया जा सकता है, इसलिए ज़रिस्की-बंद, केली के प्रमेय द्वारा कुछ $\mathrm {GL} _{n}$ का उपसमूह)। इसके अलावा यह आत्मीय और प्रक्षेपी दोनों है। इस प्रकार, विशेष रूप से वर्गीकरण उद्देश्यों के लिए, बयानों को संबंधित बीजगणितीय समूह तक सीमित करना स्वाभाविक है।

स्थानीय क्षेत्रों पर बीजगणितीय समूह और लाई समूह

यदि क्षेत्र $k$ स्थानीय क्षेत्र है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक क्षेत्र) और $\mathrm {G}$ $k$ -समूह है तो समूह $\mathrm {G} (k)$ विश्लेषणात्मक सांस्थितिक से संपन्न होता है जो किसी प्रक्षेपण स्थान $\mathbb {P} ^{n}(k)$ में किसी अंत:स्थापन से आता है। यह समूह सांस्थितिक है, और यह $\mathrm {G} (k)$ को सांस्थितिक समूह बनाता है। सांस्थितिक समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।

अगर $k=\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$ तो यह $\mathrm {G} (k)$ को लाई समूह बनाता है। इस प्रक्रिया के माध्यम से सभी लाई समूह को प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए SL₂(R) का सार्वभौमिक आवरण, या अनंत सामान्य असतत उपसमूह द्वारा हाइजेनबर्ग समूह का भागफल।^[13] वास्तविक या जटिल संख्याओं पर बीजगणितीय समूह में बंद उपसमूह हो सकते हैं (विश्लेषणात्मक सांस्थितिक में) जिनके पास बीजगणितीय उपसमूह के रूप में पहचान के समान जुड़े घटक नहीं होते हैं।

कॉक्सेटर समूह और बीजगणितीय समूह

बीजगणितीय समूहों और कॉक्सेटर समूहों के बीच कई समान परिणाम हैं - उदाहरण के लिए, सममित समूह के तत्वों की संख्या $n!$ है, और परिमित क्षेत्र में सामान्य रैखिक समूह के तत्वों की संख्या q-फैक्टोरियल $[n]_{q}!$ है; इस प्रकार सममित समूह ऐसे व्यवहार करता है जैसे कि यह एक तत्व के साथ क्षेत्र पर रैखिक समूह है। इसे एक तत्व के साथ क्षेत्र द्वारा औपचारिक रूप दिया गया है, जो कॉक्सेटर समूह को एक तत्व के साथ क्षेत्र पर सरल बीजगणितीय समूह मानता है।

यह भी देखें

वर्ण विविधता
बोरेल उपसमूह
वश में समूह
मॉर्ले रैंक
चेर्लिन-ज़िल्बर अनुमान
एडेलिक बीजगणितीय समूह
छद्म-अपचायक समूह

संदर्भ

↑ Borel 1991, p.54.
↑ Borel 1991, p. 46.
↑ Borel 1991, 1.6(2), p. 49.
↑ Borel 1991, Corollary 1.4, p. 47.
↑ Borel 1991, Theorem 6.8, p. 98.
↑ Borel 1991, 3.5, p. 65.
↑ Borel 1991, pp. 55-56.
↑ Borel 1991, 24.1.
↑ Borel 1991, 24.2.
↑ Conrad, Brian (2002). "A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups". J. Ramanujan Math. Soc. 17 (1): 1–18. Zbl 1007.14005.
↑ Borel 1991, p. 16.
↑ Borel 1991, p. 47.
↑ "Non-linear Lie group". MathOverflow. Retrieved May 13, 2022.

Chevalley, Claude, ed. (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques, 2 vols, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0106966, Reprinted as volume 3 of Chevalley's collected works., archived from the original on 2014-11-04, retrieved 2012-06-25
Borel, Armand (1991). Linear algebraic groups. 2nd enlarged ed. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. pp. x+288. Zbl 0726.20030.
Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90875-5
Milne, J. S., एफ़िन Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
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Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Paris: Hermann, OCLC 322901

आगे की पढाई

Algebraic groups and their Lie algebras by Daniel Miller

[FOOTNOTEBorel1991p.54-1] Borel 1991, p.54.

[FOOTNOTEBorel1991p._46-2] Borel 1991, p. 46.

[FOOTNOTEBorel19911.6(2),_p._49-3] Borel 1991, 1.6(2), p. 49.

[FOOTNOTEBorel1991Corollary_1.4,_p._47-4] Borel 1991, Corollary 1.4, p. 47.

[FOOTNOTEBorel1991Theorem_6.8,_p._98-5] Borel 1991, Theorem 6.8, p. 98.

[FOOTNOTEBorel19913.5,_p._65-6] Borel 1991, 3.5, p. 65.

[FOOTNOTEBorel1991pp._55-56-7] Borel 1991, pp. 55-56.

[FOOTNOTEBorel199124.1-8] Borel 1991, 24.1.

[FOOTNOTEBorel199124.2-9] Borel 1991, 24.2.

[10] Conrad, Brian (2002). "A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups". J. Ramanujan Math. Soc. 17 (1): 1–18. Zbl 1007.14005.

[FOOTNOTEBorel1991p._16-11] Borel 1991, p. 16.

[FOOTNOTEBorel1991p._47-12] Borel 1991, p. 47.

[13] "Non-linear Lie group". MathOverflow. Retrieved May 13, 2022.

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 {{Short description|Algebraic variety with a group structure}}
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-[[गणित]] में, बीजगणितीय समूह [[समूह (गणित)]] संरचना के साथ संपन्न बीजगणितीय विविधता है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[समूह सिद्धांत]] दोनों के अंतर्गत आता है।
+[[गणित]] में, बीजगणितीय समूह बीजगणितीय विविधता है जो [[समूह (गणित)]] संरचना के साथ संपन्न होती है जो बीजगणितीय विविधता के रूप में इसकी संरचना के अनुकूल होती है। इस प्रकार बीजगणितीय समूहों का अध्ययन [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[समूह सिद्धांत]] दोनों के अंतर्गत आता है।
-[[ज्यामितीय परिवर्तन|ज्यामितीय परिवर्तनों]] के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, [[सामान्य रैखिक समूह]], [[प्रक्षेपी रैखिक समूह|प्रक्षेपी समूह]], [[यूक्लिडियन समूह]], आदि। कई [[मैट्रिक्स समूह|आव्यूह समूह]] भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे [[अण्डाकार वक्र|दीर्घवृत्तीय वक्र]] और [[जैकबियन किस्में|जैकबियन विविधताें]]।
+[[ज्यामितीय परिवर्तन|ज्यामितीय परिवर्तनों]] के कई समूह बीजगणितीय समूह हैं; उदाहरण के लिए, आयतीय समूह, [[सामान्य रैखिक समूह]], [[प्रक्षेपी रैखिक समूह|प्रक्षेपी समूह]], [[यूक्लिडियन समूह]], आदि। कई [[मैट्रिक्स समूह|आव्यूह समूह]] भी बीजगणितीय होते हैं। अन्य बीजगणितीय समूह स्वाभाविक रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में होते हैं, जैसे [[अण्डाकार वक्र|दीर्घवृत्तीय वक्र]] और [[जैकबियन किस्में|जैकबियन विविधता]]।
-बीजगणितीय समूहों का महत्वपूर्ण वर्ग [[affine बीजगणितीय समूह|एफ़िन बीजगणितीय समूहों]] द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p.54}} एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।
+बीजगणितीय समूहों का एक महत्वपूर्ण वर्ग [[affine बीजगणितीय समूह|एफ़िन बीजगणितीय समूहों]] द्वारा दिया जाता है, जिनकी अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता एफ़िन विविधता है; वे बिल्कुल सामान्य रैखिक समूह के बीजगणितीय उपसमूह हैं, और इसलिए उन्हें 'रैखिक बीजगणितीय समूह' भी कहा जाता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p.54}} एबेलियन विविधता द्वारा एक अन्य वर्ग का गठन किया जाता है, जो कि बीजगणितीय समूह होते हैं जिनकी अंतर्निहित विविधता अनुमानित विविधता है। शेवाली की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि उन दो परिवारों में समूहों से प्रत्येक बीजगणितीय समूह का निर्माण किया जा सकता है।
 == परिभाषाएँ ==
-औपचारिक रूप से, क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता है <math>\mathrm G</math> ओवर <math>k</math>, एक साथ एक विशिष्ट तत्व <math>e \in \mathrm G(k)</math> ([[तटस्थ तत्व]]), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति)  <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> (गुणन संक्रिया) और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ जो समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 46}}
+औपचारिक रूप से, क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह एक बीजगणितीय विविधता <math>\mathrm G</math> ओवर <math>k</math> है जो, एक साथ एक विशिष्ट तत्व <math>e \in \mathrm G(k)</math> ([[तटस्थ तत्व]]), और नियमित मानचित्र (बीजीय ज्यामिति)  <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> (गुणन संक्रिया) और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> ( प्रतिलोमन ऑपरेशन) के साथ समूह के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 46}}
 === उदाहरण ===
 * योजक समूह: [[एफ़िन लाइन]] <math>\mathbb A^1</math> समूह संचालन के रूप में जोड़ और विपरीत के साथ संपन्न बीजगणितीय समूह है। इसे योज्य समूह कहा जाता है (क्योंकि इसका <math>k</math>-बिंदु k के योगात्मक समूह के समूह के रूप में समरूपी होते हैं), और आमतौर पर <math>\mathrm G_a</math> द्वारा निरूपित किया जाता है .
-* गुणक समूह: <math>\mathrm G_m</math> को एफिन तल <math>\mathbb A^2</math> में समीकर<math>xy = 1</math> द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य <math>((x, y), (x', y')) \mapsto (xx', yy')</math> और <math>(x, y) \mapsto (x^{-1}, y^{-1})</math> <math>\mathrm G_m</math> पर नियमित हैं, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को (तटस्थ तत्व के साथ <math>(1, 1)</math>) संतुष्ट करते हैं। बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G_m</math> गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके <math>k</math>-बिंदु क्षेत्र <math>k</math> के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं (समरूपता <math>x \mapsto (x, x^{-1})</math> द्वारा दिया जाता है; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का उपसमुच्चय <math>\mathbb A^1</math> में बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है)।
+* गुणक समूह: <math>\mathrm G_m</math> को एफिन तल <math>\mathbb A^2</math> में समीकर<math>xy = 1</math> द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता मान लीजिए। कार्य <math>((x, y), (x', y')) \mapsto (xx', yy')</math> और <math>(x, y) \mapsto (x^{-1}, y^{-1})</math> <math>\mathrm G_m</math> पर नियमित हैं, और वे समूह के स्वयंसिद्धों को (तटस्थ तत्व के साथ <math>(1, 1)</math>) संतुष्ट करते हैं। बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G_m</math> को गुणक समूह कहा जाता है, क्योंकि इसके <math>k</math>-बिंदु क्षेत्र <math>k</math> के गुणात्मक समूह के लिए समरूप हैं (समरूपता <math>x \mapsto (x, x^{-1})</math> द्वारा दिया जाता है; ध्यान दें कि व्युत्क्रमणीय तत्वों का उपसमुच्चय <math>\mathbb A^1</math> में बीजगणितीय उप-वर्ग को परिभाषित नहीं करता है)।
 * [[विशेष रैखिक समूह]] <math>\mathrm{SL}_n</math> बीजगणितीय समूह है: यह बीजगणितीय समीकरण <math>\det(g)=1</math> द्वारा एफ़िन स्पेस <math>\mathbb A^{n^2}</math> में दिया जाता है (n-द्वारा-n मेट्रिसेस के स्थान के साथ पहचाना जाता है), मेट्रिसेस का गुणन नियमित है और [[सहायक मैट्रिक्स]] के संदर्भ में व्युत्क्रम के लिए सूत्र दर्शाता है कि व्युत्क्रम नियमित है और साथ ही निर्धारक 1 के साथ मैट्रिसेस पर भी है।
 * उलटा मेट्रिसेस का सामान्य रैखिक समूह <math>\mathrm{GL}_n</math> क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह है। इसे <math>\mathbb A^{n^2+1}</math> में उप-विविधता के रूप में उसी तरह समझा जा सकता है जैसे पिछले उदाहरण में गुणक समूह।{{sfn|Borel|1991|loc=1.6(2), p. 49}}
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 ===संबंधित परिभाषाएं===
-बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G</math> का बीजगणितीय उपसमूह <math>\mathrm G</math> का <math>\mathrm H</math> का बीजगणितीय विविधता (सबवैराइटी) है जो कि <math>\mathrm G</math> का एक उपसमूह भी है (अर्थात, <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> के मानचित्र समूह संरचना मानचित्र <math>\mathrm H \times \mathrm H</math> और <math>\mathrm H</math> को क्रमशः <math>\mathrm H</math> में परिभाषित करते हैं)।
+बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G</math> का बीजगणितीय उपसमूह <math>\mathrm H</math> of <math>\mathrm G</math> कि बीजगणितीय विविधता (सबवैराइटी) है जो कि <math>\mathrm G</math> का एक उपसमूह भी है (अर्थात, <math>\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G</math> और <math>\mathrm G \to \mathrm G</math> के मानचित्र समूह संरचना मानचित्र <math>\mathrm H \times \mathrm H</math> और <math>\mathrm H</math> को क्रमशः <math>\mathrm H</math> में परिभाषित करते हैं)।
-दो बीजगणितीय समूहों <math>\mathrm G, \mathrm G'</math> के बीच आकृतिवाद नियमित नक्शा <math>\mathrm G \to \mathrm G'</math> है जो एक समूह आकारिकी भी है। इसकी गुठली का बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G</math> है, इसकी छवि बीजगणितीय उपसमूह <math>\mathrm G'</math> है .{{sfn|Borel|1991|loc=Corollary 1.4, p. 47}}
+दो बीजगणितीय समूहों <math>\mathrm G, \mathrm G'</math> के बीच आकृतिवाद नियमित नक्शा <math>\mathrm G \to \mathrm G'</math> है जो समूह आकृतिवाद भी है। इसकी सार <math>\mathrm G</math> का बीजगणितीय उपसमूह समूह है, इसकी छवि <math>\mathrm G'</math>का बीजगणितीय उपसमूह है .{{sfn|Borel|1991|loc=Corollary 1.4, p. 47}}
-बीजगणितीय समूहों की श्रेणी में भागफल से निपटने के लिए अधिक उत्कृष्ट हैं। बीजगणितीय उपसमूह को सामान्य कहा जाता है यदि यह प्रत्येक [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म|आंतरिक स्वसमाकृतिकता]] (जो नियमित नक्शे हैं) के तहत स्थिर है। यदि <math>\mathrm H</math>, <math>\mathrm G</math> का सामान्य बीजगणितीय उपसमूह है तो वहाँ एक बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G/\mathrm H</math> और विशेषण रूपवाद <math>\pi : \mathrm G \to \mathrm G/\mathrm H</math> मौजूद है जिस से कि <math>\mathrm H</math>, <math>\pi</math> का सार है।{{sfn|Borel|1991|loc=Theorem 6.8, p. 98}} ध्यान दें कि यदि क्षेत्र <math>k</math> बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, <math>\mathrm G(k) \to \mathrm G(k)/\mathrm H(k)</math> समूहों का रूपवाद विशेषण नहीं हो सकता है (आक्षेपिकता के व्यतिक्रम को [[गैलोइस कोहोलॉजी]] द्वारा मापा जाता है)।
+बीजगणितीय समूहों की श्रेणी में भागफल से निपटने के लिए अधिक उत्कृष्ट हैं। बीजगणितीय उपसमूह को सामान्य कहा जाता है यदि यह प्रत्येक [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म|आंतरिक स्वसमाकृतिकता]] (जो नियमित नक्शे हैं) के तहत स्थिर है। यदि <math>\mathrm H</math>, <math>\mathrm G</math> का सामान्य बीजगणितीय उपसमूह है तो वहाँ एक बीजगणितीय समूह <math>\mathrm G/\mathrm H</math> और एक विशेषण रूपवाद <math>\pi : \mathrm G \to \mathrm G/\mathrm H</math> मौजूद है जिस से कि <math>\mathrm H</math>, <math>\pi</math> का सार है।{{sfn|Borel|1991|loc=Theorem 6.8, p. 98}} ध्यान दें कि यदि क्षेत्र <math>k</math> बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, <math>\mathrm G(k) \to \mathrm G(k)/\mathrm H(k)</math> समूहों का रूपवाद विशेषण नहीं हो सकता है (आक्षेपिकता के व्यतिक्रम को [[गैलोइस कोहोलॉजी]] द्वारा मापा जाता है)।
 === बीजगणितीय समूह का लाई बीजगणित ===
-लाई समूह की तरह लाई बीजगणित पत्राचार, क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह के लिए <math>k</math> के ऊपर एक [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] से जुड़ा है। सदिश स्थान के रूप में लाई बीजगणित पहचान तत्व पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए समरूपी है। व्युत्पत्तियों के स्थान के रूप में इसकी व्याख्या से लाई कोष्ठक का निर्माण किया जा सकता है।{{sfn|Borel|1991|loc=3.5, p. 65}}
+लाई समूह की तरह लाई बीजगणित, क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह के लिए <math>k</math> के ऊपर एक [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] से जुड़ा है। सदिश स्थान के रूप में लाई बीजगणित पहचान तत्व पर स्पर्शरेखा स्थान के लिए समरूपी है। व्युत्पत्तियों के स्थान के रूप में इसकी व्याख्या से लाई कोष्ठक का निर्माण किया जा सकता है।{{sfn|Borel|1991|loc=3.5, p. 65}}
 === वैकल्पिक परिभाषाएं ===
-क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह की अधिक परिष्कृत परिभाषा यह है कि यह <math>k</math> से अधिक [[समूह योजना]] का है (समूह योजनाओं को आमतौर पर [[क्रमविनिमेय अंगूठी]]ों  पर परिभाषित किया जा सकता है)।
+क्षेत्र <math>k</math> पर बीजगणितीय समूह की अधिक परिष्कृत परिभाषा यह है कि यह <math>k</math> से अधिक [[समूह योजना]] का है (समूह योजनाओं को आमतौर पर [[क्रमविनिमेय अंगूठी|क्रमविनिमेय रिंगों]] पर परिभाषित किया जा सकता है)।
-फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि एक बीजगणितीय समूह खत्म हो गया है <math>k</math> बीजगणितीय विविधता की [[श्रेणी (गणित)]] में [[समूह वस्तु]] <math>k</math> है।
+फिर भी अवधारणा की एक और परिभाषा यह है कि k से अधिक बीजगणितीय समूह <math>k</math> से अधिक बीजगणितीय विविधताओं की श्रेणी में एक समूह वस्तु है [[श्रेणी (गणित)]] में [[समूह वस्तु]]  है।
 == एफ़िन बीजगणितीय समूह ==
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 == जुड़ाव ==
-बीजगणितीय विविधता के रूप में <math>\mathrm G</math> [[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] वहन करती है। यह सामान्य रूप से एक [[टोपोलॉजिकल समूह]] नहीं है, अर्थात इस सांस्थिति के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की सांस्थिति कारकों पर ज़ारिस्की सांस्थिति का उत्पाद नहीं है{{sfn|Borel|1991|loc=p. 16}}).
+बीजगणितीय विविधता के रूप में <math>\mathrm G</math> [[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] वहन करता है। यह सामान्य रूप से  [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] नहीं है, अर्थात इस सांस्थिति के लिए समूह संचालन निरंतर नहीं हो सकता है (क्योंकि उत्पाद पर ज़ारिस्की सांस्थिति कारकों पर ज़ारिस्की सांस्थिति का उत्पाद नहीं है{{sfn|Borel|1991|loc=p. 16}}).
-एक बीजगणितीय समूह को जुड़ा हुआ कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता ज़रिस्की सांस्थिति के लिए जुड़ा हुआ है। एक बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 47}}
+बीजगणितीय समूह को आनुषंगिक कहा जाता है यदि अंतर्निहित बीजगणितीय विविधता ज़रिस्की सांस्थिति के लिए आनुषंगिक है। बीजगणितीय समूह के लिए इसका मतलब है कि यह दो उचित बीजगणितीय उपसमुच्चयों का मिलन नहीं है।{{sfn|Borel|1991|loc=p. 47}}
-ऐसे समूहों के उदाहरण जो जुड़े नहीं हैं बीजगणितीय उपसमूह द्वारा दिए गए हैं <math>n</math>गुणक समूह में एकता की वें जड़ें <math>\mathrm G_m</math> (प्रत्येक बिंदु एक ज़रिस्की-बंद उपसमुच्चय है, इसलिए यह जुड़ा नहीं है <math>n \ge 1</math>). इस समूह को आम तौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mu_n</math>. एक अन्य गैर-जुड़े समूह सम आयाम में ओर्थोगोनल समूह हैं (निर्धारक एक विशेषण आकृतिवाद देता है <math>\mu_2</math>).
-अधिक आम तौर पर प्रत्येक परिमित समूह एक बीजगणितीय समूह होता है (इसे परिमित के रूप में महसूस किया जा सकता है, इसलिए ज़रिस्की-बंद, कुछ का उपसमूह <math>\mathrm{GL}_n</math> केली के प्रमेय द्वारा)। इसके अलावा यह आत्मीय और प्रक्षेपी दोनों है। इस प्रकार, विशेष रूप से वर्गीकरण उद्देश्यों के लिए, बयानों को संबंधित बीजगणितीय समूह तक सीमित करना स्वाभाविक है।
+ऐसे समूहों के उदाहरण जो आनुषंगिक नहीं हैं, गुणक समूह <math>\mathrm G_m</math> में एकता की <math>n</math>वें जड़ों के बीजगणितीय उपसमूह द्वारा दिए गए हैं (प्रत्येक बिंदु ज़रिस्की-बंद उपसमुच्चय है, इसलिए यह <math>n \ge 1</math> के लिए जुड़ा नहीं है)। इस समूह को आम तौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mu_n</math>। अन्य गैर-आनुषंगिक समूह सम आयाम में आयतीय समूह हैं (निर्धारक <math>\mu_2</math> को विशेषण आकृतिवाद देता है)।
+अधिक आम तौर पर प्रत्येक परिमित समूह बीजगणितीय समूह होता है (इसे परिमित के रूप में महसूस किया जा सकता है, इसलिए ज़रिस्की-बंद, केली के प्रमेय द्वारा कुछ <math>\mathrm{GL}_n</math> का उपसमूह)। इसके अलावा यह आत्मीय और प्रक्षेपी दोनों है। इस प्रकार, विशेष रूप से वर्गीकरण उद्देश्यों के लिए, बयानों को संबंधित बीजगणितीय समूह तक सीमित करना स्वाभाविक है।
 == स्थानीय क्षेत्रों पर बीजगणितीय समूह और लाई समूह ==
-यदि मैदान <math>k</math> [[स्थानीय क्षेत्र]] है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक क्षेत्र) और <math>\mathrm G</math> एक <math>k</math>-समूह है तो समूह <math>\mathrm G(k)</math> विश्लेषणात्मक सांस्थितिक से संपन्न होता है जो किसी प्रक्षेपण स्थान <math>\mathbb P^n(k)</math> में किसी अंत:स्थापन से आता है। यह समूह सांस्थितिक है, और यह <math>\mathrm G(k)</math> को सांस्थितिक  समूह बनाता है। टोपोलॉजिकल समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।
+यदि क्षेत्र <math>k</math> [[स्थानीय क्षेत्र]] है (उदाहरण के लिए वास्तविक या जटिल संख्याएं, या पी-एडिक क्षेत्र) और <math>\mathrm G</math>  <math>k</math>-समूह है तो समूह <math>\mathrm G(k)</math> विश्लेषणात्मक सांस्थितिक से संपन्न होता है जो किसी प्रक्षेपण स्थान <math>\mathbb P^n(k)</math> में किसी अंत:स्थापन से आता है। यह समूह सांस्थितिक है, और यह <math>\mathrm G(k)</math> को सांस्थितिक  समूह बनाता है।  सांस्थितिक समूहों के सामान्य सिद्धांत में ऐसे समूह महत्वपूर्ण उदाहरण हैं।
 अगर <math>k = \mathbb R</math> या <math>\mathbb C</math> तो यह <math>\mathrm G(k)</math> को [[झूठ समूह|लाई समूह]] बनाता है। इस प्रक्रिया के माध्यम से सभी लाई समूह को प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए SL<sub>2</sub>('''R''') का सार्वभौमिक आवरण, या अनंत सामान्य असतत उपसमूह द्वारा [[हाइजेनबर्ग समूह]] का भागफल।<ref>{{cite web | url=https://mathoverflow.net/questions/91789/non-linear-lie-group |title=Non-linear Lie group |website=MathOverflow  |access-date=May 13, 2022}}</ref> वास्तविक या जटिल संख्याओं पर बीजगणितीय समूह में बंद उपसमूह हो सकते हैं (विश्लेषणात्मक सांस्थितिक में) जिनके पास बीजगणितीय उपसमूह के रूप में पहचान के समान जुड़े घटक नहीं होते हैं।
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 == आगे की पढाई ==
 *[https://github.com/dkmiller/algebraic-groups/releases/download/refs%2Fheads%2Fmaster/algebraic-groups.pdf Algebraic groups and their Lie algebras] by Daniel Miller
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