बीजगणितीय पूर्णांक: Difference between revisions

Revision as of 19:11, 14 February 2023

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, बीजगणितीय पूर्णांक जटिल संख्या है जो पूर्णांक # बीजगणितीय गुणों पर अभिन्न तत्व है। अर्थात्, बीजगणितीय पूर्णांक कुछ मोनिक बहुपद (बहुपद जिसका प्रमुख गुणांक 1 है) के बहुपद का जटिल मूल है, जिसके गुणांक पूर्णांक हैं। सभी बीजगणितीय पूर्णांकों का समुच्चय $A$ जोड़, घटाव और गुणा के तहत बंद है और इसलिए जटिल संख्याओं का क्रमविनिमेय वलय है।

किसी संख्या फ़ील्ड के पूर्णांकों का वलय $K$ , द्वारा चिह्नित $O K$ , का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है $K$ और $A$ : इसे क्षेत्र (गणित) के अधिकतम आदेश (रिंग थ्योरी) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है $K$ . प्रत्येक बीजगणितीय पूर्णांक किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय से संबंधित होता है। संख्या $α$ बीजगणितीय पूर्णांक है अगर और केवल अगर अंगूठी $\mathbb {Z} [\alpha ]$ एबेलियन समूह के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है, जिसे कहना है, एक के रूप में $\mathbb {Z}$ -मॉड्यूल (गणित)।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित बीजगणितीय पूर्णांक की समतुल्य परिभाषाएँ हैं। होने देना $K$ संख्या क्षेत्र हो (यानी, का एक परिमित विस्तार $\mathbb {Q}$ , परिमेय संख्याओं का क्षेत्र), दूसरे शब्दों में, $K=\mathbb {Q} (\theta )$ कुछ बीजगणितीय संख्या के लिए $\theta \in \mathbb {C}$ आदिम तत्व प्रमेय द्वारा।

$α \in K$ बीजगणितीय पूर्णांक है यदि मोनिक बहुपद मौजूद है $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ ऐसा है कि $f (α) = 0$ .
$α \in K$ बीजगणितीय पूर्णांक है यदि न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का मोनिक बहुपद $α$ ऊपर $\mathbb {Q}$ में है $\mathbb {Z} [x]$ .
$α \in K$ बीजगणितीय पूर्णांक है यदि $\mathbb {Z} [\alpha ]$ निश्चित रूप से उत्पन्न होता है $\mathbb {Z}$ -मापांक।
$α \in K$ बीजगणितीय पूर्णांक है यदि कोई गैर-शून्य अंतिम रूप से उत्पन्न होता है $\mathbb {Z}$ submodule $M\subset \mathbb {C}$ ऐसा है कि $αM \subseteq M$ .

बीजगणितीय पूर्णांक रिंग एक्सटेंशन के अभिन्न तत्वों का विशेष मामला है। विशेष रूप से, बीजगणितीय पूर्णांक परिमित विस्तार का अभिन्न तत्व है $K/\mathbb {Q}$ .

उदाहरण

एकमात्र बीजगणितीय पूर्णांक जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पाए जाते हैं, पूर्णांक हैं। दूसरे शब्दों में, का प्रतिच्छेदन $\mathbb {Q}$ और $A$ बिल्कुल सही है $\mathbb {Z}$ . तर्कसंगत संख्या $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a/b$ बीजगणितीय पूर्णांक नहीं है जब तक $b$ भाजक $a$ . ध्यान दें कि बहुपद का प्रमुख गुणांक $bx - a$ पूर्णांक है $b$ . अन्य विशेष मामले के रूप में, वर्गमूल ${\sqrt {n}}$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक का $n$ बीजगणितीय पूर्णांक है, लेकिन अपरिमेय संख्या है जब तक $n$ वर्ग संख्या है।
अगर $d$ वर्ग-मुक्त पूर्णांक है तो फील्ड एक्सटेंशन $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ परिमेय संख्याओं का द्विघात क्षेत्र विस्तार है। बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय $O K$ रोकना ${\sqrt {d}}$ चूंकि यह मोनिक बहुपद की जड़ है $x 2 - d$ . इसके अलावा, अगर $d \equiv 1 mod 4$ , फिर तत्व ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ बीजगणितीय पूर्णांक भी है। यह बहुपद को संतुष्ट करता है $x 2 - x + 1 / 4 (1 - d)$ जहां निरंतर शब्द $1 / 4 (1 - d)$ पूर्णांक है। पूर्णांकों का पूरा वलय किसके द्वारा उत्पन्न होता है ${\sqrt {d}}$ या ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ क्रमश। अधिक के लिए द्विघात पूर्णांक देखें।
क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$ , $α = 3 \sqrt m$ , निम्नलिखित अभिन्न आधार है, लेखन $m = hk 2$ दो वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त सह अभाज्य पूर्णांकों के लिए $h$ और $k$ :^[1] ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
अगर $ζ n$ एकता का आदिम मूल है $n$ एकता की जड़, फिर साइक्लोटोमिक क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ ठीक है $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ .
अगर $α$ तब बीजगणितीय पूर्णांक है $β = n \sqrt α$ एक और बीजगणितीय पूर्णांक है। के लिए बहुपद $β$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $x n$ के लिए बहुपद में $α$ .

गैर-उदाहरण

अगर $P (x)$ आदिम बहुपद (रिंग थ्योरी) है जिसमें पूर्णांक गुणांक हैं लेकिन मोनिक नहीं है, और $P$ अलघुकरणीय बहुपद से अधिक है $\mathbb {Q}$ , फिर की कोई जड़ नहीं $P$ बीजगणितीय पूर्णांक हैं (लेकिन बीजगणितीय संख्याएँ हैं)। यहाँ आदिम का उपयोग इस अर्थ में किया जाता है कि गुणांक का उच्चतम सामान्य कारक $P$ 1 है; यह गुणांकों को जोड़ीदार अपेक्षाकृत प्रमुख होने की आवश्यकता से कमजोर है।

तथ्य

दो बीजगणितीय पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल बीजगणितीय पूर्णांक होता है। सामान्य तौर पर उनका भागफल नहीं होता है। शामिल मोनिक बहुपद आम तौर पर मूल बीजगणितीय पूर्णांकों की तुलना में बहुपद के उच्च स्तर का होता है, और परिणामी और गुणनखण्ड लेकर पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ और $z = xy$ , फिर हटाना $x$ और $y$ से $z - xy = 0$ और बहुपद संतुष्ट हैं $x$ और $y$ परिणामी का उपयोग करके देता है $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , जो अलघुकरणीय है, और उत्पाद द्वारा संतुष्ट मोनिक समीकरण है। (यह देखने के लिए कि $xy$ की जड़ है $x$ - का परिणाम $z - xy$ और $x 2 - x - 1$ , कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि परिणामी इसके दो इनपुट बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) में समाहित है।)
जड़, जोड़ और गुणन वाले पूर्णांकों से निर्मित कोई भी संख्या इसलिए बीजगणितीय पूर्णांक है; लेकिन सभी बीजगणितीय पूर्णांक इतने रचनात्मक नहीं होते हैं: भोले अर्थ में, अलघुकरणीय पंचकों की अधिकांश जड़ें नहीं होती हैं। यह एबेल-रफ़िनी प्रमेय है।
मोनिक बहुपद की प्रत्येक जड़ जिसका गुणांक बीजगणितीय पूर्णांक है, स्वयं बीजगणितीय पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय पूर्णांक वलय बनाते हैं जो इसके किसी भी विस्तार में अभिन्न रूप से बंद डोमेन है।
बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय बेज़ाउट डोमेन है, जो प्रमुख आदर्श प्रमेय के परिणामस्वरूप है।
यदि बीजगणितीय पूर्णांक से जुड़े मोनिक बहुपद में निरंतर शब्द 1 या -1 है, तो उस बीजगणितीय पूर्णांक का गुणात्मक व्युत्क्रम भी बीजगणितीय पूर्णांक है, और इकाई (रिंग थ्योरी) है, जो कि इकाइयों के समूह का तत्व है। बीजगणितीय पूर्णांकों की अंगूठी।
प्रत्येक बीजगणितीय संख्या को बीजगणितीय पूर्णांक के अनुपात के रूप में गैर-शून्य बीजगणितीय पूर्णांक के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में, भाजक को सदैव धनात्मक पूर्णांक के रूप में चुना जा सकता है। विशेष रूप से, अगर $x$ बीजगणितीय संख्या है जो बहुपद की जड़ है $p (x)$ पूर्णांक गुणांक और अग्रणी पद के साथ $a n x n$ के लिए $a n > 0$ तब $a n x / a n$ वादा अनुपात है। विशेष रूप से, $y = a n x$ बीजगणितीय पूर्णांक है क्योंकि यह का मूल है $a n - 1 n p (y / a n)$ , जो मोनिक बहुपद है $y$ पूर्णांक गुणांक के साथ।

यह भी देखें

अभिन्न तत्व
गाऊसी पूर्णांक
आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
एकता की जड़
डिरिक्लेट की इकाई प्रमेय
मौलिक इकाई (संख्या सिद्धांत)

संदर्भ

↑ Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ch. 2, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

Stein, W. Algebraic Number Theory: A Computational Approach (PDF).

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ch. 2, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1.

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 {{about|the ring of complex numbers integral over <math>\mathbb{Z}</math>|the general notion of algebraic integer|Integrality}}
 {{Distinguish|algebraic element|algebraic number}}
-{{use mdy dates|date=September 2021}}
+[[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] में, बीजगणितीय पूर्णांक [[जटिल संख्या]] है जो पूर्णांक # बीजगणितीय गुणों पर [[अभिन्न तत्व]] है। अर्थात्,  बीजगणितीय पूर्णांक कुछ मोनिक [[बहुपद]] (बहुपद जिसका प्रमुख गुणांक 1 है) के बहुपद का जटिल मूल है, जिसके गुणांक पूर्णांक हैं। सभी बीजगणितीय पूर्णांकों का समुच्चय {{mvar|A}} जोड़, घटाव और गुणा के तहत बंद है और इसलिए जटिल संख्याओं का क्रमविनिमेय वलय है।
-{{Use American English|date=January 2019}}
-[[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] में, एक बीजगणितीय पूर्णांक एक [[जटिल संख्या]] है जो पूर्णांक # बीजगणितीय गुणों पर [[अभिन्न तत्व]] है। अर्थात्, एक बीजगणितीय पूर्णांक कुछ मोनिक [[बहुपद]] (एक बहुपद जिसका प्रमुख गुणांक 1 है) के बहुपद का एक जटिल मूल है, जिसके गुणांक पूर्णांक हैं। सभी बीजगणितीय पूर्णांकों का समुच्चय {{mvar|A}} जोड़, घटाव और गुणा के तहत बंद है और इसलिए जटिल संख्याओं का एक क्रमविनिमेय वलय है।
-किसी संख्या फ़ील्ड के पूर्णांकों का वलय {{mvar|K}}, द्वारा चिह्नित {{math|{{mathcal|O}}<sub>''K''</sub>}}, का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है {{mvar|K}} और {{mvar|A}}: इसे [[क्षेत्र (गणित)]] के अधिकतम आदेश (रिंग थ्योरी) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है {{mvar|K}}. प्रत्येक बीजगणितीय पूर्णांक किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय से संबंधित होता है। एक संख्या {{mvar|α}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है [[अगर और केवल अगर]] अंगूठी <math>\mathbb{Z}[\alpha]</math> [[एबेलियन समूह]] के रूप में [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह]] है, जिसे कहना है, एक के रूप में <math>\mathbb{Z}</math>-[[मॉड्यूल (गणित)]]।
+किसी संख्या फ़ील्ड के पूर्णांकों का वलय {{mvar|K}}, द्वारा चिह्नित {{math|{{mathcal|O}}<sub>''K''</sub>}}, का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है {{mvar|K}} और {{mvar|A}}: इसे [[क्षेत्र (गणित)]] के अधिकतम आदेश (रिंग थ्योरी) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है {{mvar|K}}. प्रत्येक बीजगणितीय पूर्णांक किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय से संबंधित होता है। संख्या {{mvar|α}}  बीजगणितीय पूर्णांक है [[अगर और केवल अगर]] अंगूठी <math>\mathbb{Z}[\alpha]</math> [[एबेलियन समूह]] के रूप में [[अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह]] है, जिसे कहना है, एक के रूप में <math>\mathbb{Z}</math>-[[मॉड्यूल (गणित)]]।
 == परिभाषाएँ ==
-निम्नलिखित एक बीजगणितीय पूर्णांक की समतुल्य परिभाषाएँ हैं। होने देना {{mvar|K}} एक संख्या क्षेत्र हो (यानी, का एक [[परिमित विस्तार]] <math>\mathbb{Q}</math>, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र), दूसरे शब्दों में, <math>K = \Q(\theta)</math> कुछ [[बीजगणितीय संख्या]] के लिए <math>\theta \in \Complex</math> [[आदिम तत्व प्रमेय]] द्वारा।
+निम्नलिखित बीजगणितीय पूर्णांक की समतुल्य परिभाषाएँ हैं। होने देना {{mvar|K}} संख्या क्षेत्र हो (यानी, का एक [[परिमित विस्तार]] <math>\mathbb{Q}</math>, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र), दूसरे शब्दों में, <math>K = \Q(\theta)</math> कुछ [[बीजगणितीय संख्या]] के लिए <math>\theta \in \Complex</math> [[आदिम तत्व प्रमेय]] द्वारा।
-* {{math|''α'' ∈ ''K''}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है यदि एक मोनिक बहुपद मौजूद है <math>f(x) \in \Z[x]</math> ऐसा है कि {{math|1=''f''(''α'') = 0}}.
+* {{math|''α'' ∈ ''K''}} बीजगणितीय पूर्णांक है यदि मोनिक बहुपद मौजूद है <math>f(x) \in \Z[x]</math> ऐसा है कि {{math|1=''f''(''α'') = 0}}.
-* {{math|''α'' ∈ ''K''}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है यदि [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] का मोनिक बहुपद {{mvar|α}} ऊपर <math>\mathbb{Q}</math> में है <math>\Z[x]</math>.
+* {{math|''α'' ∈ ''K''}} बीजगणितीय पूर्णांक है यदि [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] का मोनिक बहुपद {{mvar|α}} ऊपर <math>\mathbb{Q}</math> में है <math>\Z[x]</math>.
-* {{math|''α'' ∈ ''K''}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है यदि <math>\Z[\alpha]</math> एक निश्चित रूप से उत्पन्न होता है <math>\Z</math>-मापांक।
+* {{math|''α'' ∈ ''K''}} बीजगणितीय पूर्णांक है यदि <math>\Z[\alpha]</math> निश्चित रूप से उत्पन्न होता है <math>\Z</math>-मापांक।
-* {{math|''α'' ∈ ''K''}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है यदि कोई गैर-शून्य अंतिम रूप से उत्पन्न होता है <math>\Z</math>[[submodule]] <math>M \subset \Complex</math> ऐसा है कि {{math|''αM'' ⊆ ''M''}}.
+* {{math|''α'' ∈ ''K''}} बीजगणितीय पूर्णांक है यदि कोई गैर-शून्य अंतिम रूप से उत्पन्न होता है <math>\Z</math>[[submodule]] <math>M \subset \Complex</math> ऐसा है कि {{math|''αM'' ⊆ ''M''}}.
-बीजगणितीय पूर्णांक रिंग एक्सटेंशन के अभिन्न तत्वों का एक विशेष मामला है। विशेष रूप से, एक बीजगणितीय पूर्णांक परिमित विस्तार का एक अभिन्न तत्व है <math>K / \mathbb{Q}</math>.
+बीजगणितीय पूर्णांक रिंग एक्सटेंशन के अभिन्न तत्वों का विशेष मामला है। विशेष रूप से, बीजगणितीय पूर्णांक परिमित विस्तार का अभिन्न तत्व है <math>K / \mathbb{Q}</math>.
 == उदाहरण ==
-* एकमात्र बीजगणितीय पूर्णांक जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पाए जाते हैं, पूर्णांक हैं। दूसरे शब्दों में, का प्रतिच्छेदन <math>\mathbb{Q}</math> और {{mvar|A}} बिल्कुल सही है <math>\mathbb{Z}</math>. तर्कसंगत संख्या {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} एक बीजगणितीय पूर्णांक नहीं है जब तक {{mvar|b}} [[भाजक]] {{mvar|a}}. ध्यान दें कि बहुपद का प्रमुख गुणांक {{math|''bx'' − ''a''}} पूर्णांक है {{mvar|b}}. एक अन्य विशेष मामले के रूप में, [[वर्गमूल]] <math>\sqrt{n}</math> एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक का {{mvar|n}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है, लेकिन [[अपरिमेय संख्या]] है जब तक {{mvar|n}} [[वर्ग संख्या]] है।
+* एकमात्र बीजगणितीय पूर्णांक जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पाए जाते हैं, पूर्णांक हैं। दूसरे शब्दों में, का प्रतिच्छेदन <math>\mathbb{Q}</math> और {{mvar|A}} बिल्कुल सही है <math>\mathbb{Z}</math>. तर्कसंगत संख्या {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} बीजगणितीय पूर्णांक नहीं है जब तक {{mvar|b}} [[भाजक]] {{mvar|a}}. ध्यान दें कि बहुपद का प्रमुख गुणांक {{math|''bx'' − ''a''}} पूर्णांक है {{mvar|b}}. अन्य विशेष मामले के रूप में, [[वर्गमूल]] <math>\sqrt{n}</math> गैर-नकारात्मक पूर्णांक का {{mvar|n}} बीजगणितीय पूर्णांक है, लेकिन [[अपरिमेय संख्या]] है जब तक {{mvar|n}} [[वर्ग संख्या]] है।
-*अगर {{mvar|d}} एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक है तो [[फील्ड एक्सटेंशन]] <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}\,)</math> परिमेय संख्याओं का [[द्विघात क्षेत्र विस्तार]] है। बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय {{math|{{mathcal|O}}<sub>''K''</sub>}} रोकना <math>\sqrt{d}</math> चूंकि यह मोनिक बहुपद की जड़ है {{math|''x''<sup>2</sup> − ''d''}}. इसके अलावा, अगर {{math|''d'' ≡ 1 [[modular arithmetic|mod]] 4}}, फिर तत्व <math display=inline>\frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,)</math> एक बीजगणितीय पूर्णांक भी है। यह बहुपद को संतुष्ट करता है {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' + {{sfrac|1|4}}(1 − ''d'')}} जहां निरंतर शब्द {{math|{{sfrac|1|4}}(1 − ''d'')}} एक पूर्णांक है। पूर्णांकों का पूरा वलय किसके द्वारा उत्पन्न होता है <math>\sqrt{d}</math> या <math display=inline>\frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,)</math> क्रमश। अधिक के लिए [[द्विघात पूर्णांक]] देखें।
+*अगर {{mvar|d}} वर्ग-मुक्त पूर्णांक है तो [[फील्ड एक्सटेंशन]] <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}\,)</math> परिमेय संख्याओं का [[द्विघात क्षेत्र विस्तार]] है। बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय {{math|{{mathcal|O}}<sub>''K''</sub>}} रोकना <math>\sqrt{d}</math> चूंकि यह मोनिक बहुपद की जड़ है {{math|''x''<sup>2</sup> − ''d''}}. इसके अलावा, अगर {{math|''d'' ≡ 1 [[modular arithmetic|mod]] 4}}, फिर तत्व <math display=inline>\frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,)</math> बीजगणितीय पूर्णांक भी है। यह बहुपद को संतुष्ट करता है {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' + {{sfrac|1|4}}(1 − ''d'')}} जहां निरंतर शब्द {{math|{{sfrac|1|4}}(1 − ''d'')}} पूर्णांक है। पूर्णांकों का पूरा वलय किसके द्वारा उत्पन्न होता है <math>\sqrt{d}</math> या <math display=inline>\frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,)</math> क्रमश। अधिक के लिए [[द्विघात पूर्णांक]] देखें।
 * क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय <math>F = \Q[\alpha]</math>, {{math|1=''α'' = {{radic|''m''|3}}}}, निम्नलिखित [[अभिन्न आधार]] है, लेखन {{math|1=''m'' = ''hk''<sup>2</sup>}} दो वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त [[सह अभाज्य]] पूर्णांकों के लिए {{mvar|h}} और {{mvar|k}}:<ref>{{cite book| last1=Marcus | first1=Daniel A. | title=Number Fields |edition=3rd | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90279-1 | year=1977 |at=ch. 2, p. 38 and ex. 41}}</ref> <math display="block">\begin{cases}
 , \alpha, \dfrac{\alpha^2 \pm k^2 \alpha + k^2}{3k} & m \equiv \pm 1 \bmod 9 \\
@@ Line 28: / Line 26: @@
 \end{cases}</math>
 * अगर {{mvar|ζ<sub>n</sub>}} एकता का आदिम मूल है {{mvar|n}}[[एकता की जड़]], फिर [[साइक्लोटोमिक क्षेत्र]] के पूर्णांकों का वलय <math>\Q(\zeta_n)</math> ठीक है <math>\Z[\zeta_n]</math>.
-* अगर {{mvar|α}} तब एक बीजगणितीय पूर्णांक है {{math|1=''β'' = {{radic|''α''|''n''}}}} एक और बीजगणितीय पूर्णांक है। के लिए एक बहुपद {{mvar|β}} प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है {{math|''x<sup>n</sup>''}} के लिए बहुपद में {{mvar|α}}.
+* अगर {{mvar|α}} तब बीजगणितीय पूर्णांक है {{math|1=''β'' = {{radic|''α''|''n''}}}} एक और बीजगणितीय पूर्णांक है। के लिए बहुपद {{mvar|β}} प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है {{math|''x<sup>n</sup>''}} के लिए बहुपद में {{mvar|α}}.
 == गैर-उदाहरण ==
-* अगर {{math|''P''(''x'')}} एक आदिम बहुपद (रिंग थ्योरी) है जिसमें पूर्णांक गुणांक हैं लेकिन मोनिक नहीं है, और {{mvar|P}} [[अलघुकरणीय बहुपद]] से अधिक है <math>\mathbb{Q}</math>, फिर की कोई जड़ नहीं {{mvar|P}} बीजगणितीय पूर्णांक हैं (लेकिन बीजगणितीय संख्याएँ हैं)। यहाँ आदिम का उपयोग इस अर्थ में किया जाता है कि गुणांक का उच्चतम सामान्य कारक {{mvar|P}} 1 है; यह गुणांकों को जोड़ीदार अपेक्षाकृत प्रमुख होने की आवश्यकता से कमजोर है।
+* अगर {{math|''P''(''x'')}} आदिम बहुपद (रिंग थ्योरी) है जिसमें पूर्णांक गुणांक हैं लेकिन मोनिक नहीं है, और {{mvar|P}} [[अलघुकरणीय बहुपद]] से अधिक है <math>\mathbb{Q}</math>, फिर की कोई जड़ नहीं {{mvar|P}} बीजगणितीय पूर्णांक हैं (लेकिन बीजगणितीय संख्याएँ हैं)। यहाँ आदिम का उपयोग इस अर्थ में किया जाता है कि गुणांक का उच्चतम सामान्य कारक {{mvar|P}} 1 है; यह गुणांकों को जोड़ीदार अपेक्षाकृत प्रमुख होने की आवश्यकता से कमजोर है।
 == तथ्य ==
-* दो बीजगणितीय पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल एक बीजगणितीय पूर्णांक होता है। सामान्य तौर पर उनका भागफल नहीं होता है। शामिल मोनिक बहुपद आम तौर पर मूल बीजगणितीय पूर्णांकों की तुलना में बहुपद के उच्च स्तर का होता है, और [[परिणामी]] और गुणनखण्ड लेकर पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 = 0}}, {{math|1=''y''<sup>3</sup> − ''y'' − 1 = 0}} और {{math|''z'' {{=}} ''xy''}}, फिर हटाना {{mvar|x}} और {{mvar|y}} से {{math|1=''z'' − ''xy'' = 0}} और बहुपद संतुष्ट हैं {{mvar|x}} और {{mvar|y}} परिणामी का उपयोग करके देता है {{math|1=''z''<sup>6</sup> − 3''z''<sup>4</sup> − 4''z''<sup>3</sup> + ''z''<sup>2</sup> + ''z'' − 1 = 0}}, जो अलघुकरणीय है, और उत्पाद द्वारा संतुष्ट मोनिक समीकरण है। (यह देखने के लिए कि {{mvar|xy}} की जड़ है {{mvar|x}}- का परिणाम {{math|''z'' − ''xy''}} और {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1}}, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि परिणामी इसके दो इनपुट बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) में समाहित है।)
+* दो बीजगणितीय पूर्णांकों का योग, अंतर और गुणनफल बीजगणितीय पूर्णांक होता है। सामान्य तौर पर उनका भागफल नहीं होता है। शामिल मोनिक बहुपद आम तौर पर मूल बीजगणितीय पूर्णांकों की तुलना में बहुपद के उच्च स्तर का होता है, और [[परिणामी]] और गुणनखण्ड लेकर पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|1=''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 = 0}}, {{math|1=''y''<sup>3</sup> − ''y'' − 1 = 0}} और {{math|''z'' {{=}} ''xy''}}, फिर हटाना {{mvar|x}} और {{mvar|y}} से {{math|1=''z'' − ''xy'' = 0}} और बहुपद संतुष्ट हैं {{mvar|x}} और {{mvar|y}} परिणामी का उपयोग करके देता है {{math|1=''z''<sup>6</sup> − 3''z''<sup>4</sup> − 4''z''<sup>3</sup> + ''z''<sup>2</sup> + ''z'' − 1 = 0}}, जो अलघुकरणीय है, और उत्पाद द्वारा संतुष्ट मोनिक समीकरण है। (यह देखने के लिए कि {{mvar|xy}} की जड़ है {{mvar|x}}- का परिणाम {{math|''z'' − ''xy''}} और {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1}}, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि परिणामी इसके दो इनपुट बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) में समाहित है।)
-* जड़, जोड़ और गुणन वाले पूर्णांकों से निर्मित कोई भी संख्या इसलिए एक बीजगणितीय पूर्णांक है; लेकिन सभी बीजगणितीय पूर्णांक इतने रचनात्मक नहीं होते हैं: एक भोले अर्थ में, अलघुकरणीय पंचकों की अधिकांश जड़ें नहीं होती हैं। यह एबेल-रफ़िनी प्रमेय है। <!-- what is the meaning of "most" roots of irreducible quintics? By counting, there are as many non-solvable as solvable quintics. Are coefficients of the quintic taken "randomly" from the integers? There ain't no such "random" integer! //--><!--How about this: Consider irreducible quintics of degree n, with integer coefficients with absolute value <= a. Does the proportion of them that are solvable not approach 0 as n and a go to infinity, whether separately or together?-->
+* जड़, जोड़ और गुणन वाले पूर्णांकों से निर्मित कोई भी संख्या इसलिए बीजगणितीय पूर्णांक है; लेकिन सभी बीजगणितीय पूर्णांक इतने रचनात्मक नहीं होते हैं: भोले अर्थ में, अलघुकरणीय पंचकों की अधिकांश जड़ें नहीं होती हैं। यह एबेल-रफ़िनी प्रमेय है।
-* एक मोनिक बहुपद की प्रत्येक जड़ जिसका गुणांक बीजगणितीय पूर्णांक है, स्वयं एक बीजगणितीय पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय पूर्णांक एक वलय बनाते हैं जो इसके किसी भी विस्तार में [[अभिन्न रूप से बंद डोमेन]] है।
+* मोनिक बहुपद की प्रत्येक जड़ जिसका गुणांक बीजगणितीय पूर्णांक है, स्वयं बीजगणितीय पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, बीजगणितीय पूर्णांक वलय बनाते हैं जो इसके किसी भी विस्तार में [[अभिन्न रूप से बंद डोमेन]] है।
-* बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय एक बेज़ाउट डोमेन है, जो [[प्रमुख आदर्श प्रमेय]] के परिणामस्वरूप है।
+* बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय बेज़ाउट डोमेन है, जो [[प्रमुख आदर्श प्रमेय]] के परिणामस्वरूप है।
-* यदि एक बीजगणितीय पूर्णांक से जुड़े मोनिक बहुपद में निरंतर शब्द 1 या -1 है, तो उस बीजगणितीय पूर्णांक का गुणात्मक व्युत्क्रम भी एक बीजगणितीय पूर्णांक है, और एक इकाई (रिंग थ्योरी) है, जो कि इकाइयों के समूह का एक तत्व है। बीजगणितीय पूर्णांकों की अंगूठी।
+* यदि बीजगणितीय पूर्णांक से जुड़े मोनिक बहुपद में निरंतर शब्द 1 या -1 है, तो उस बीजगणितीय पूर्णांक का गुणात्मक व्युत्क्रम भी बीजगणितीय पूर्णांक है, और इकाई (रिंग थ्योरी) है, जो कि इकाइयों के समूह का तत्व है। बीजगणितीय पूर्णांकों की अंगूठी।
-* प्रत्येक बीजगणितीय संख्या को एक बीजगणितीय पूर्णांक के अनुपात के रूप में एक गैर-शून्य बीजगणितीय पूर्णांक के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में, भाजक को सदैव एक धनात्मक पूर्णांक के रूप में चुना जा सकता है। विशेष रूप से, अगर {{math|''x''}} एक बीजगणितीय संख्या है जो बहुपद की जड़ है {{math|''p''(''x'')}} पूर्णांक गुणांक और अग्रणी पद के साथ {{math|''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}} के लिए {{math|''a''<sub>''n''</sub> > 0}} तब {{math|''a''<sub>''n''</sub>''x'' / ''a''<sub>''n''</sub>}} वादा अनुपात है। विशेष रूप से, {{math|1=''y'' = ''a''<sub>''n''</sub>''x''}} एक बीजगणितीय पूर्णांक है क्योंकि यह का मूल है {{math|''a''{{su|b=''n''|p=''n''&nbsp;−&thinsp;1}}&thinsp;''p''(''y''&hairsp;/''a''<sub>''n''</sub>)}}, जो एक मोनिक बहुपद है {{math|''y''}} पूर्णांक गुणांक के साथ।
+* प्रत्येक बीजगणितीय संख्या को बीजगणितीय पूर्णांक के अनुपात के रूप में गैर-शून्य बीजगणितीय पूर्णांक के रूप में लिखा जा सकता है। वास्तव में, भाजक को सदैव धनात्मक पूर्णांक के रूप में चुना जा सकता है। विशेष रूप से, अगर {{math|''x''}} बीजगणितीय संख्या है जो बहुपद की जड़ है {{math|''p''(''x'')}} पूर्णांक गुणांक और अग्रणी पद के साथ {{math|''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}} के लिए {{math|''a''<sub>''n''</sub> > 0}} तब {{math|''a''<sub>''n''</sub>''x'' / ''a''<sub>''n''</sub>}} वादा अनुपात है। विशेष रूप से, {{math|1=''y'' = ''a''<sub>''n''</sub>''x''}} बीजगणितीय पूर्णांक है क्योंकि यह का मूल है {{math|''a''{{su|b=''n''|p=''n''&nbsp;−&thinsp;1}}&thinsp;''p''(''y''&hairsp;/''a''<sub>''n''</sub>)}}, जो मोनिक बहुपद है {{math|''y''}} पूर्णांक गुणांक के साथ।
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