गणितीय अनुकूलन: Difference between revisions

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a का ग्राफ z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4 द्वारा दिया गया है। (x, y, z) = (0, 0, 4) पर वैश्विक अधिकतम एक नीले बिंदु द्वारा इंगित किया गया है।

नेल्डर-मीड की सिमियोनेस्कु फलन पर न्यूनतम खोज। संकेतन शीर्ष को उनके मानों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, जिसमें 1 सबसे कम (fx सर्वोत्तम) मान होता है।

गणितीय अनुकूलन (वैकल्पिक रूप से वर्तनी अनुकूलन ) या गणितीय कार्यरचना उपलब्ध विकल्पों के कुछ समुच्चय से कुछ मानदंड के संबंध में,^[1] सर्वोत्तम तत्व का चयन है। इसे साधारणतया दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया जाता है: असतत अनुकूलन और निरंतर अनुकूलन। कंप्यूटर विज्ञान और इंजीनियरिंग से लेकर संचालन अनुसंधान और अर्थशास्त्र तक सभी मात्रात्मक विषयों में प्रकार की अनुकूलन समस्याएं उत्पन्न होती हैं,^[2] और समाधान विधियों का विकास गणित में सदियों से रुचि रखता रहा है।^[3]

सामान्य दृष्टिकोण में, अनुकूलन समस्या में एक अनुमत समुच्चय के भीतर से निवेश मानों को व्यवस्थित रूप से चुनकर वास्तविक फलन को अधिकतम या कम से कम करना और फलन के मान की गणना करना सम्मिलित है। अन्य योगों के लिए अनुकूलन सिद्धांत और तकनीकों का सामान्यीकरण अनुप्रयुक्त गणित के एक बड़े क्षेत्र का गठन करता है। साधारणतया, अनुकूलन में परिभाषित डोमेन (या निवेश) में से दिए गए कुछ उद्देश्य फलन के "सर्वोत्तम उपलब्ध" मानों को खोजना सम्मिलित है, जिसमें विभिन्न प्रकार के उद्देश्य फलन और विभिन्न प्रकार के डोमेन सम्मिलित हैं।

अनुकूलन समस्याएं

अनुकूलन समस्याओं को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि चर निरंतर हैं या असतत:

असतत चर के साथ अनुकूलन समस्या असतत अनुकूलन के रूप में जानी जाती है, जिसमें पूर्णांक, क्रमचय या ग्राफ जैसी वस्तु को एक गणनीय समुच्चय से पाया जाना चाहिए।
निरंतर चर के साथ एक समस्या को निरंतर अनुकूलन के रूप में जाना जाता है, जिसमें निरंतर कार्य से इष्टतम मूल्य मिलना चाहिए। वे विवश समस्याओं और बहुविध समस्याओं को भी सम्मिलित कर सकते हैं।

अनुकूलन समस्या को निम्नलिखित तरीके से दर्शाया जा सकता है:

दिया गया: फलन

f : A \to ℝ

समुच्चय

A

से वास्तविक संख्या तक

मांग: तत्व

x 0 \in A

ऐसा है कि

f (x 0) \leq f (x)

सभी

x \in A

(कम से कम) के लिए या

f (x 0) \geq f (x)

सभी

x \in A

(अधिकतमकरण) के लिए।

इस तरह के सूत्रीकरण को अनुकूलन समस्या या गणितीय कार्यरचना समस्या कहा जाता है (एक शब्द सीधे कंप्यूटर कार्यरचना से संबंधित नहीं है, लेकिन अभी भी रैखिक कार्यरचना में उदाहरण के लिए उपयोग में है - इतिहास नीचे देखें)। कई वास्तविक दुनिया और सैद्धांतिक समस्याओं को इस सामान्य ढांचे में प्रतिरूपित जा सकता है।

चूंकि निम्नलिखित मान्य है

$f\left(\mathbf {x} _{0}\right)\geq f\left(\mathbf {x} \right)\Leftrightarrow {\tilde {f}}\left(\mathbf {x} _{0}\right)\leq {\tilde {f}}\left(\mathbf {x} \right)$

यह केवल न्यूनीकरण की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, केवल अधिकतमकरण की समस्याओं पर विचार करने का विपरीत परिप्रेक्ष्य भी मान्य होगा।

भौतिकी के क्षेत्रों में इस तकनीक का उपयोग करके तैयार की गई समस्याएं तकनीक को ऊर्जा न्यूनतमकरण के रूप में संदर्भित कर सकती हैं, जो फलन $f$ के मूल्य की बात करते हुए सिस्टम की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। यंत्र अधिगम में, मूल्य फलन का उपयोग करके आँकड़ा निदर्श की गुणवत्ता का लगातार मूल्यांकन करना सदैव आवश्यक होता है, जहां एक न्यूनतम का अर्थ है कि एक इष्टतम (सबसे कम) त्रुटि के साथ व्यवहार्यतः इष्टतम मापदंडों का समुच्चय है।

आमतौर पर, $A$ यूक्लिडियन स्पेस $ℝ n$ का सबसमुच्चय है, जो अक्सर बाधाओं, समानता या असमानताओं के समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट होता है जिसे $A$ के सदस्यों को संतुष्ट करना होता है। फलन $f$ के डोमेन $A$ को खोज स्थान या विकल्प समुच्चय कहा जाता है, जबकि $A$ के तत्व उम्मीदवार समाधान या व्यवहार्य समाधान कहा जाता है।

फलन $f$ को, विभिन्न रूप से, उद्देश्य फलन, हानि फलन या लागत फलन (न्यूनीकरण)^[4], उपयोगिता फलन या आरोग्य फलन (अधिकतमकरण), या, कुछ क्षेत्रों में, ऊर्जा फलन या ऊर्जा क्रियात्मक कहा जाता है। व्यवहार्य समाधान जो उद्देश्य फलन को कम करता है (या अधिकतम करता है, यदि वह लक्ष्य है) को इष्टतम समाधान कहा जाता है।

गणित में, पारंपरिक अनुकूलन समस्याएं आमतौर पर न्यूनतमकरण के संदर्भ में बताई जाती हैं।

स्थानीय न्यूनतम $x *$ तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए कुछ $δ > 0$ मौजूद ऐसा है कि $\forall \mathbf {x} \in A\;{\text{where}}\;\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\ast }\right\Vert \leq \delta ,\,$

व्यंजक $f (x *) \leq f (x)$ धारण करता है;

यानी, $x *$ के आस-पास के किसी क्षेत्र पर सभी फलन मान उस तत्व के मान से अधिक या उसके बराबर हैं। स्थानीय मैक्सिमा को समान रूप से परिभाषित किया गया है।

जबकि स्थानीय न्यूनतम कम से कम किसी भी आस -पास के तत्वों जितना अच्छा है, वैश्विक न्यूनतम कम से कम उतना ही अच्छा है जितना हर व्यवहार्य तत्व। साधारणतया, जब तक कि एक न्यूनीकरण समस्या में उद्देश्य फलन उत्तल नहीं है, तब तक कई स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं। उत्तल समस्या में, अगर कोई स्थानीय न्यूनतम है जो आंतरिक है (व्यवहार्य तत्वों के समुच्चय के किनारे पर नहीं), तो यह वैश्विक न्यूनतम भी है, लेकिन एक गैर-उत्तल समस्या में एक से अधिक स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं, जिनमें से सभी को वैश्विक न्यूनतम की आवश्यकता नहीं है।

गैर-उत्तल समस्याओं को हल करने के लिए प्रस्तावित कलन विधि की एक बड़ी संख्या - व्यावसायिक रूप से उपलब्ध समाधानकर्ता के बहुमत सहित - स्थानीय रूप से इष्टतम समाधानों और विश्व स्तर पर इष्टतम समाधानों के बीच अंतर करने में सक्षम नहीं हैं, और पूर्व को मूल समस्या के वास्तविक समाधान के रूप में मानेंगे। ग्लोबल अनुकूलन अनुप्रयुक्त गणित और संख्यात्मक विश्लेषणस की शाखा है जो कि नियतात्मक कलन विधि के विकास से संबंधित है जो गैर-उत्तल समस्या के वास्तविक इष्टतम समाधान के लिए परिमित समय में अभिसरण की गारंटी देने में सक्षम हैं।

संकेतन

अनुकूलन समस्याओं को अक्सर विशेष संकेतन के साथ व्यक्त किया जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

फलन का न्यूनतम और अधिकतम मूल्य

निम्नलिखित संकेतन पर विचार करें:

$\min _{x\in \mathbb {R} }\;\left(x^{2}+1\right)$

यह उद्देश्य फलन $x 2 + 1$ के न्यूनतम मान को दर्शाता है, जब वास्तविक संख्याओं $ℝ$ के समुच्चय में से $x$ का चयन करते है। इस मामले में न्यूनतम मूल्य 1 है, जो $x = 0$ पर घटित होता है।

इसी तरह, संकेतन

$\max _{x\in \mathbb {R} }\;2x$

उद्देश्य फलन $2 x$ का अधिकतम मान माँगता है, जहाँ पे $x$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस मामले में, ऐसा कोई अधिकतम नहीं है क्योंकि उद्देश्य फलन असीमित है, इसलिए इसका उत्तर "अनंत" या "अपरिभाषित" है।

इष्टतम निवेश तर्क

निम्नलिखित संकेतन पर विचार करें:

${\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,$

या समकक्ष रूप से

${\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].$

यह अंतराल $(-\infty,-1]$ में तर्क $x$ के मान (या मूल्यों) का प्रतिनिधित्व करता है, उद्देश्य फलन $x 2 + 1$ को कम (या कम से कम) करता है (उस फलन का वास्तविक न्यूनतम मूल्य वह नहीं है जो समस्या में पूछा जाता है)। इस मामले में, जवाब $x = -1$ है, क्योंकि $x = 0$ अव्यवहार्य है, अर्थात, यह व्यवहार्य समुच्चय से संबंधित नहीं है।

इसी तरह,

${\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,$

या समकक्ष रूप से

${\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos y,\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,$

${x, y}$ जोड़ी (या जोड़े) का प्रतिनिधित्व करता है जो उद्देश्य फलन $x cos y$ के मान को उस अतिरिक्त बाधा के साथ अधिकतम करता है, जो $x$ अंतराल $[-5,5]$ में स्थित है (फिर से, अभिव्यक्ति का वास्तविक अधिकतम मूल्य मायने नहीं रखता)। इस मामले में, समाधान {5, 2kπ} और {5, 2kπ} के रूप के जोड़े हैं, जहां $k$ सभी पूर्णांक पर है।

ऑपरेटर्स $arg min$ और $arg max$ को कभी -कभी $argmin$ और $argmax$ भी लिखा जाता है, और यह न्यूनतम और अधिकतम के तर्क के लिए माने जाते हैं।

इतिहास

फर्मेट और लैग्रेंज ने ऑप्टिमा की पहचान के लिए कलन-आधारित सूत्र पाए, जबकि न्यूट और गॉस ने इष्टतम की ओर बढ़ने के लिए पुनरावृत्त तरीकों का प्रस्ताव दिया।

कुछ अनुकूलन मामलों के लिए रैखिक कार्यरचना शब्द जॉर्ज बी. डेंटज़िग के कारण था, हालांकि अधिकांश सिद्धांत 1939 में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा पेश किए गए थे। (इस संदर्भ में कार्यरचना कंप्यूटर कार्यरचना को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन राज्य अमेरिका की सेना प्रस्तावित प्रशिक्षण और रसद कार्यक्रम का उल्लेख करने के लिए संदर्भित करता है, जो उस समय डैंटज़िग द्वारा अध्ययन की गई समस्याएं थीं।) डैंटज़िग ने 1947 में प्रसमुच्चय कलन विधि प्रकाशित किया, और जॉन वॉन न्यूमैन ने उसी वर्ष द्वैत का सिद्धांत विकसित किया।^{[citation needed]}

गणितीय अनुकूलन में अन्य उल्लेखनीय शोधकर्ताओं में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

मेजर सबफील्ड्स

उत्तल कार्यरचना उस मामले का अध्ययन करती है जब उद्देश्य फ़ंक्शन उत्तल (न्यूनतमकरण) या अवतल (अधिकतमकरण) होता है और बाधा समुच्चय उत्तल होता है। इसे गैर-रेखीय कार्यरचना के एक विशेष मामले के रूप में या रैखिक या उत्तल द्विघात कार्यरचना के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
- रैखिक कार्यरचना (एलपी), उत्तल कार्यरचना का एक प्रकार, उस मामले का अध्ययन करता है जिसमें उद्देश्य फलन f रैखिक होता है और बाधाएं केवल रैखिक समानताओं और असमानताओं का उपयोग करके निर्दिष्ट की जाती हैं। इस तरह के बाधा समुच्चय को बहुतल या बहुतलीय कहा जाता है यदि यह बाध्य है।
- द्वितीय-क्रम कोन कार्यरचना (SOCP) एक उत्तल कार्यक्रम है, और इसमें कुछ प्रकार के द्विघात कार्यक्रम सम्मिलित हैं।
- अर्द्धनिश्चित कार्यरचना (एसडीपी) उत्तल अनुकूलन का उपक्षेत्र है जहां अंतर्निहित चर अर्द्धनिश्चित आव्यूह हैं। यह रैखिक और उत्तल द्विघात कार्यरचना का सामान्यीकरण है।
- शांकव कार्यरचना उत्तल कार्यरचना का सामान्य रूप है। एल.पी, एस.ओ.सी.पी और एस.डी.पी सभी को उचित प्रकार के शंकु के साथ शंकु कार्यक्रमों के रूप में देखा जा सकता है।
- ज्यामितीय कार्यरचना एक ऐसी तकनीक है जिसके द्वारा वस्तुनिष्ठ और असमानता बाधाओं को बहुपदीय के रूप में व्यक्त किया जाता है और समानता बाधाओं को एकपदी के रूप में उत्तल कार्यक्रम में परिवर्तित किया जा सकता है।
पूर्णांक कार्यरचना रैखिक कार्यक्रमों का अध्ययन करती है जिसमें पूर्णांक मान लेने के लिए कुछ या सभी चर विवश होते हैं। यह उत्तल नहीं है, और सामान्य रूप से नियमित रैखिक कार्यरचना की तुलना में बहुत अधिक कठिन है।
द्विघात कार्यरचना उद्देश्य फलन को द्विघात शब्दों की अनुमति देता है, जबकि व्यवहार्य समुच्चय को रैखिक समानताओं और असमानताओं के साथ निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। द्विघात शब्द के विशिष्ट रूपों के लिए, यह एक प्रकार का उत्तल कार्यरचना है।
आंशिक कार्यरचना दो अरैखिक फलन के अनुपात का अनुकूलन का अध्ययन करती है। अवतल भिन्नात्मक कार्यक्रमों के विशेष वर्ग को उत्तल अनुकूलन समस्या में बदला जा सकता है।
गैर-रैखिक कार्यरचना सामान्य मामले का अध्ययन करती है जिसमें उद्देश्य फलन या बाधाओं या दोनों में गैर-रैखिक भाग होते हैं। यह उत्तल कार्यक्रम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। सामान्य तौर पर, क्या कार्यक्रम उत्तल है, इसे हल करने की कठिनाई को प्रभावित करता है।
स्टोकेस्टिक कार्यरचना उस मामले का अध्ययन करता है जिसमें कुछ बाधाएं या मापदंडों यादृच्छिक चर पर निर्भर करते हैं।
स्वस्थ अनुकूलन ,प्रसंभाव्य कार्यरचना की तरह, अनुकूलन समस्या को अंतर्निहित डेटा में अनिश्चितता को पकड़ने का प्रयास है। स्वस्थ अनुकूलन का उद्देश्य उन समाधानों को खोजना है जो अनिश्चितता समुच्चय द्वारा परिभाषित अनिश्चितताओं के सभी संभावित प्रत्यक्षीकरण के तहत मान्य हैं।
कॉम्बिनेटरियल अनुकूलन उन समस्याओं से संबंधित है जहां व्यवहार्य समाधानों का समुच्चय असतत है या असतत में बदला जा सकता है।
स्टोकेस्टिक अनुकूलन का उपयोग यादृच्छिक (शोर) फलन माप या खोज प्रक्रिया में यादृच्छिक निवेश के साथ किया जाता है।
अनंत-आयामी अनुकूलन उस मामले का अध्ययन करता है जब व्यवहार्य समाधानों का समुच्चय अनंत - आयाम स्थान का उपसमुच्चय होता है, जैसे कि फलन का की जगह।
ह्यूरिस्टिक्स और मेटाह्यूरिस्टिक्स समस्या के अनुकूलित होने के बारे में कुछ या कोई धारणा नहीं बनाते हैं। आमतौर पर, ह्यूरिस्टिक्स इस बात ीग ारंटी नहीं देते हैं कि किसी भी इष्टतम समाधान की आवश्यकता है। दूसरी ओर, कई जटिल अनुकूलन समस्याओं के लिए अनुमानित समाधान खोजने के लिए ह्यूरिस्टिक्स का उपयोग किया जाता है।
बाधा संतुष्टि उस मामले का अध्ययन करती है जिसमें उद्देश्य कार्य f स्थिर है (इसका उपयोगआर्टिफिशियल इंटेलिजेंस में किया जाता है, विशेष रूप से स्वचालित तर्क में)।
- बाधा कार्यरचना एक कार्यरचना प्रतिमान है जिसमें चर के बीच संबंध बाधाओं के रूप में बताए गए हैं।
असंतुष्ट कार्यरचना का उपयोग वहांक िया जाता है जहां कम से कम एक बाधा को संतुष्ट किया जाना चाहिए लेकिन सभी को नहीं। यह नियोजन में विशेष रूप से उपयोगी है।
स्पेस मैपिंग इंजीनियरिंग प्रणाली के मॉडलिंग और अनुकूलन के लिए अवधारणा है जो उच्च-निष्ठा (ठीक) मॉडल सटीकता के लिए उपयुक्त शारीरिक रूप से सार्थक मोटे या सरोगेट मॉडल का शोषण करता है।

कई उप-क्षेत्रों में, तकनीकों को मुख्य रूप से गतिशील संदर्भों में अनुकूलन के लिए डिज़ाइन किया गया है (अर्थात, समय के साथ निर्णय लेना):

विविधताओं की गणना किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के सर्वोत्तम तरीके को खोजने से संबंधित है, जैसे कि एक ऐसी सतह का पता लगाना जिसकी सीमा एक विशिष्ट वक्र है, लेकिन कम से कम व्यवहार्य क्षेत्र के साथ।
इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत विविधताओं की गणना का सामान्यीकरण है जो नियंत्रण नीतियों का परिचय देता है।
डायनेमिक कार्यरचना प्रसंभाव्य अनुकूलन समस्या को प्रसंभाव्य, यादृच्छिकता और अज्ञात मॉडल मापदंडों के साथ समस्या को हल करने का दृष्टिकोण है। यह उस मामले का अध्ययन करता है जिसमें अनुकूलन रणनीति समस्या को छोटे उपप्रकारों में विभाजित करने पर आधारित है। इन उपसमस्याओं के बीच संबंध का वर्णन करने वाले समीकरण को बेलमैन समीकरण कहा जाता है।
गणितीय कार्यरचना के साथ संतुलन की कमी वह है जहां बाधाओं में विविधतापूर्ण असमानताएं या पूरक सम्मिलित हैं।

बहु-उद्देश्य अनुकूलन

अनुकूलन समस्या में एक से अधिक उद्देश्य जोड़ना जटिलता जोड़ता है। उदाहरण के लिए, संरचनात्मक डिजाइन का अनुकूलन करने के लिए, एक ऐसे डिजाइन की आवश्यकता होगी जो हल्का और कठोर दोनों हो। जब दो उद्देश्य संघर्ष करते हैं, तो एक समझौताकारी तालमेल बनाया जाना चाहिए। एक सबसे हल्का डिज़ाइन, एक कठोर डिजाइन, और एक अनंत संख्या में डिज़ाइन हो सकते हैं जो वजन और कठोरता के कुछ समझौते हैं। समझौताकारी तालमेल डिजाइनों का समुच्चय जो दूसरे की कीमत पर मानदंड में सुधार करता है, पेरेटो समुच्चय के रूप में जाना जाता है। सबसे अच्छे डिजाइनों की कठोरता के खिलाफ वजन वाले वक्र को पेरेटो सीमांत के रूप में जाना जाता है।

डिज़ाइन को पेरेटो इष्टतम (समकक्ष, पेरेटो कुशल या पेरेटो समुच्चय में) होने के लिए आंका जाता है यदि यह किसी अन्य डिज़ाइन का प्रभुत्व नहीं है: यदि यह कुछ मामलों में किसी अन्य डिज़ाइन से खराब है और किसी भी मामले में बेहतर नहीं है, तब यह हावी है और पारेटो इष्टतम नहीं है।

"पसंदीदा समाधान" निर्धारित करने के लिए "परेटो इष्टतम" समाधानों में से चुनाव निर्णय निर्माता को सौंपा गया है। दूसरे शब्दों में, समस्या को बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के रूप में परिभाषित करना संकेत देता है कि कुछ जानकारी गायब है: वांछनीय उद्देश्य दिए गए हैं लेकिन उनके संयोजन एक दूसरे के सापेक्ष दर नहीं किए गए हैं। कुछ मामलों में, निर्णय निर्माता के साथ संवादात्मक सत्रों द्वारा लापता जानकारी प्राप्त की जा सकती है।

बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं को आगे वेक्टर अनुकूलन समस्याओं में सामान्यीकृत किया गया है जहां (आंशिक) आदेश अब पारेटो आदेश द्वारा नहीं दिया जाता है।

बहुविधि या वैश्विक अनुकूलन

अनुकूलन की समस्याएं अक्सर बहुविधि होती हैं; यानी, उनके पास कई अच्छे समाधान हैं। वे सभी विश्व स्तर पर अच्छे (समान लागत कार्य मूल्य) हो सकते हैं या विश्व स्तर पर अच्छे और स्थानीय रूप से अच्छे समाधानों का मिश्रण हो सकता है। बहुविधि अनुकूलन का लक्ष्य सभी (या कम से कम कुछ) एकाधिक समाधान प्राप्त करना है।

शास्त्रीय अनुकूलन तकनीक उनके पुनरावृत्त दृष्टिकोण के कारण संतोषजनक ढंग से प्रदर्शन नहीं करती है, जब वे कई समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, क्योंकि यह गारंटी नहीं है कि कलन विधि के कई रनों में विभिन्न शुरुआती बिंदुओं के साथ भी अलग -अलग समाधान प्राप्त किए जाएंगे।

वैश्विक अनुकूलन समस्याओं के लिए सामान्य दृष्टिकोण, जहां कई स्थानीय एक्सट्रैमा मौजूद हो सकते हैं, उनमें विकासमूलक कलन विधि, बायेसियन अनुकूलन और उद्दीप्त अनीलन सम्मिलित हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुओं और एक्सट्रीमा का वर्गीकरण

व्यवहार्यता समस्या

संतोषजनक समस्या, जिसे व्यवहार्यता समस्या भी कहा जाता है, वस्तुनिष्ठ मूल्य की परवाह किए बिना किसी भी व्यवहार्य समाधान को खोजने की समस्या है। इसे गणितीय अनुकूलन के विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां प्रत्येक समाधान के लिए उद्देश्य मान समान होता है, और इस प्रकार कोई भी समाधान इष्टतम होता है।

कई अनुकूलन कलन विधि को व्यवहार्य बिंदु से शुरू करने की आवश्यकता है। इस तरह के एक बिंदु को प्राप्त करने का एक तरीका यह है कि एक निष्क्रिय चर का उपयोग करके व्यवहार्यता परिस्थिति को स्थिर किया जाए; पर्याप्त निष्क्रिय के साथ, कोई भी प्रारंभिक बिंदु संभव है। फिर, उस निष्क्रिय चर को तब तक कम करें जब तक निष्क्रिय शून्य या नकारात्मक न हो।

अस्तित्व

कार्ल वेयरस्ट्रास के चरम मूल्य प्रमेय में कहा गया है कि संक्षिप्त समुच्चय पर एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलन इसके अधिकतम और न्यूनतम मूल्य को प्राप्त करता है। साधारणतया, संक्षिप्त समुच्चय पर एक न्यून अर्ध-निरंतर फलन इसके न्यूनतम को प्राप्त करता है; संक्षिप्त समुच्चय पर एक ऊपरी अर्ध-निरंतर फलन अपने अधिकतम बिंदु या दृश्य को प्राप्त करता है।

इष्टतमता के लिए आवश्यक शर्तें

फर्मेट के प्रमेयों में से एक में कहा गया है कि अप्रतिबंधित समस्याओं का ऑप्टिमा स्थिर बिंदुओं पर पाया जाता है, जहां पहला व्युत्पन्न या उद्देश्य फलन का अनुप्रवण शून्य है (पहले व्युत्पन्न परीक्षण देखें)। साधारणतया, वे क्रांतिक बिंदु पर पाए जा सकते हैं, जहां वस्तुनिष्ठ फलन का पहला व्युत्पन्न या ढाल शून्य है या अपरिभाषित है, या पसंद समुच्चय की सीमा पर है। एक समीकरण (या समीकरणों का समुच्चय) जो बताता है कि पहला व्युत्पन्न एक आंतरिक इष्टतम पर शून्य के बराबर है, इसे 'प्रथम-क्रम की स्थिति' या 'प्रथम-क्रम की स्थितियों' का एक समुच्चय कहा जाता है।

समानता-विवश समस्याओं के ऑप्टिमा को लैग्रेंज गुणक विधि द्वारा पाया जा सकता है। समानता और/या असमानता की बाधाओं के साथ समस्याओं का ऑप्टिमा 'करुश -कुहन -टकर शर्तों ' का उपयोग करके पाया जा सकता है।

इष्टतमता के लिए पर्याप्त शर्तें

जबकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण उन बिंदुओं की पहचान करता है जो एक्सट्रैमा हो सकते हैं, यह परीक्षण एक ऐसे बिंदु को अलग नहीं करता है जो एक से न्यूनतम है जो अधिकतम या एक है जो न तो है।जब उद्देश्य फलनदो बार अलग -अलग होता है, तो इन मामलों को अप्रतिबंधित समस्याओं में दूसरे व्युत्पन्न या दूसरे डेरिवेटिव ( हेसियन मैट्रिक्स कहा जाता है) के मैट्रिक्स की जांच करके प्रतिष्ठित किया जा सकता है, या ऑब्जेक्टिव फलनके दूसरे डेरिवेटिव और कहा जाता है। की सीमा को विवश समस्याओं में हेसियन की सीमा की।अन्य स्थिर बिंदुओं से मैक्सिमा, या मिनिमा को अलग करने वाली स्थितियों को 'दूसरे क्रम की स्थिति' कहा जाता है (देखें ' दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण ')।यदि कोई उम्मीदवार समाधान पहले-क्रम की स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो दूसरे क्रम की स्थितियों की संतुष्टि के साथ-साथ कम से कम स्थानीय इष्टतमता को स्थापित करने के लिए पर्याप्त है।

ऑप्टिमा की संवेदनशीलता और निरंतरता

एनवलप प्रमेय बताता है कि अंतर्निहित मापदण्ड में परिवर्तन होने पर इष्टतम समाधान का मूल्य कैसे बदलता है। इस परिवर्तन की गणना करने की प्रक्रिया को तुलनात्मक स्थैतिकी कहा जाता है।

क्लाउड बर्ज (1963) का अधिकतम प्रमेय अंतर्निहित फलन के समारोह के रूप में एक इष्टतम समाधान की निरंतरता का वर्णन करता है।

अनुकूलन की गणना

दो बार-अलग-अलग कार्यों के साथ अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, कुछ महत्वपूर्ण पॉइंट्स उन बिंदुओं को खोजकर पाया जा सकता है जहां उद्देश्य फलन के अनुप्रवण शून्य है (यानी, स्थिर अंक)। साधारणतया, शून्य उप अनुप्रवण यह प्रमाणित करता है कि उत्तल फलन और अन्य स्थानीय न्यूनतम से लिप्सचिट्ज़ फलन के साथ न्यूनीकरण की समस्याओं के लिए स्थानीय न्यूनतम पाया गया है।

इसके अलावा, महत्वपूर्ण बिंदुओं को हेसियन आव्यूह की निश्चितता का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है: यदि हेसियन एक महत्वपूर्ण बिंदु पर सकारात्मक निश्चित है, तो बिंदु स्थानीय न्यूनतम है; यदि हेस्सियन आव्यूह नकारात्मक निश्चित है, तो बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है; अंत में, यदि अनिश्चित कालीन है, तो बिंदु किसी प्रकार का पिचिण्डिका बिंदु है।

विवश समस्याओं को अक्सर लाग्रेंज गुणक की मदद से अप्रतिबंधित समस्याओं में बदल दिया जा सकता है। लाग्रेंज विश्राम भी कठिन विवश समस्याओं के अनुमानित समाधान प्रदान कर सकता है।

जब उद्देश्य फलन उत्तल फलन हो, तो कोई भी स्थानीय न्यूनतम भी वैश्विक न्यूनतम होगा। उत्तल कार्यों को कम करने के लिए कुशल संख्यात्मक तकनीकें मौजूद हैं, जैसे आंतरिक-बिंदु विधियाँ।

वैश्विक अभिसरण

साधारणतया, यदि उद्देश्य फलन एक द्विघात फलन नहीं है, तो कई अनुकूलन विधियां अन्य विधियों का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए करती हैं कि पुनरावृत्तियों के कुछ अनुक्रम इष्टतम समाधान में परिवर्तित हो जाते हैं। अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए पहली और अभी भी लोकप्रिय विधि लाइन खोज पर निर्भर करती है, जो आयाम के साथ फलन को अनुकूलित करती है। अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए एक दूसरा और तेजी से लोकप्रिय तरीका ट्रस्ट क्षेत्रों का उपयोग करता है। दोनों लाइन खोजों और ट्रस्ट क्षेत्रों का उपयोग गैर-विभेद्य अनुकूलन के आधुनिक तरीकों में किया जाता है। आमतौर पर, वैश्विक अनुकूलक उन्नत स्थानीय अनुकूलक (जैसे BFGS ) की तुलना में बहुत धीमा होता है, इसलिए अक्सर स्थानीय अनुकूलक को अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं से शुरू करके एक योग्य वैश्विक अनुकूलक बनाया जा सकता है।

कम्प्यूटेशनल अनुकूलन तकनीक

समस्याओं को हल करने के लिए, शोधकर्ता कलन विधि का उपयोग कर सकते हैं जो चरणों की एक परिमित संख्या में समाप्त हो जाते हैं, या पुनरावृत्त विधि जो एक समाधान में अभिसरण करते हैं (समस्याओं के कुछ निर्दिष्ट वर्ग पर), या ह्यूरिस्टिक्स जो कुछ समस्याओं के अनुमानित समाधान प्रदान कर सकते हैं (हालांकि उनके पुनरावृत्तियों को अभिसरण की आवश्यकता नहीं है)।

अनुकूलन कलन विधि

जॉर्ज डैंटज़िग का प्रसमुच्चय कलन विधि, रैखिक कार्यरचना के लिए डिज़ाइन किया गया।
प्रसमुच्चय कलन विधि के विस्तारण, द्विघात कार्यरचना और रैखिक-फ्रैक्टल कार्यरचना के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
प्रसमुच्चय कलन विधि के प्रकारांतर जो विशेष रूप से संजाल अनुकूलन के लिए अनुकूल हैं।
संयोजी कलन विधि
क्वांटम अनुकूलन कलन विधि

पुनरावृत्त तरीके

गैर-रैखिक कार्यरचना की समस्याओं का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले पुनरावृत्त विधियाँ इस बात के अनुसार भिन्न होते हैं कि क्या वे हेसियन, प्रवणता या केवल फलन मानों का मूल्यांकन करते हैं। हेसियन और ग्रेडियेंट का मूल्यांकन करते समय अभिसरण की दर में सुधार होता है, जिसके लिए ये मात्रा मौजूद होती है और पर्याप्त रूप से भिन्न होती है, ऐसे मूल्यांकन प्रत्येक पुनरावृत्ति की संगणनात्मक जटिलता (या संगणनात्मक लागत) में वृद्धि करते हैं। कुछ मामलों में, संगणनात्मक जटिलता अत्यधिक अधिक हो सकती है।

अनुकूलन के लिए प्रमुख मानदंड केवल आवश्यक फलन मूल्यांकन की संख्या है क्योंकि यह अक्सर पहले से ही एक बड़ा संगणनात्मक प्रयास होता है, आमतौर पर अनुकूलन के भीतर ही बहुत अधिक प्रयास होता है, जिसे मुख्य रूप से N चर पर संचालित करना पड़ता है। डेरिवेटिव ऐसे अनुकूलन के लिए विस्तृत जानकारी प्रदान करते हैं, लेकिन गणना करने के लिए और भी कठिन होता है, उदाहरण के लिए अनुप्रवण का अनुमान लगाने से कम से कम N+1 फलन मूल्यांकन होता है। द्वितीय डेरिवेटिव (हेसियन आव्यूह में एकत्रित) के अनुमानों के लिए, फलन मूल्यांकन की संख्या N² के क्रम में है। न्यूटन की विधि के लिए 2-ऑर्डर डेरिवेटिव्स की आवश्यकता होती है, इसलिए प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, फलन आवाहन की संख्या N² के क्रम में होती है, लेकिन एक सरल शुद्ध अनुप्रवण अनुकूलन के लिए यह केवल N होती है। हालाँकि, अनुप्रवण अनुकूलन को न्यूटन के कलन विधि की तुलना में आमतौर पर अधिक पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। कौन सा फलन आवाहन की संख्या के संबंध में सबसे अच्छा है, समस्या पर ही निर्भर करता है।

ऐसे तरीके जो हेसियन (या अनुमानित हेसियन) का मूल्यांकन करते हैं, (परिमित अंतर का उपयोग करते हुए):
- न्यूटन की विधि
- अनुक्रमिक द्विघात कार्यरचना : लघु-मध्यम पैमाने की विवश समस्याओं के लिए न्यूटन-आधारित विधि। कुछ संस्करण बड़े-आयामी समस्याओं को संभाल सकते हैं।
- आंतरिक बिंदु विधियाँ : यह विवश अनुकूलन के लिए विधियों का एक बड़ा वर्ग है, जिनमें से कुछ केवल (उप) अनुप्रवण जानकारी का उपयोग करते हैं और जिनमें से अन्य को हेसियन के मूल्यांकन की आवश्यकता होती है।
ऐसे तरीके जो अनुप्रवण का मूल्यांकन करते हैं, या किसी तरह से अनुमानित अनुप्रवण (या यहां तक कि उप-अनुप्रवण):
- समन्वय वंश विधियाँ: कलन विधि जो प्रत्येक पुनरावृत्ति में एकल समन्वय को अद्यतन करते हैं
- संयुग्म अनुप्रवण विधि: बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त विधि। (सिद्धांत रूप में, ये विधियाँ द्विघात उद्देश्य कार्यों के साथ चरणों की परिमित संख्या में समाप्त हो जाती हैं, लेकिन यह परिमित समाप्ति परिमित -पूर्व -प्रक्षेपण कंप्यूटरों पर व्यवहार में नहीं देखा जाता है।)
- अनुप्रवण उद्भव (वैकल्पिक रूप से, 'सबसे कठिन वंश' या 'सबसे खड़ी चढ़ाई'): ऐतिहासिक और सैद्धांतिक रुचि की एक (धीमा) विधि, जिसने भारी समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने के लिए रुचि को नवीनीकृत किया है।
- उप-अनुप्रवण विधि : सामान्यीकृत अनुप्रवण का उपयोग करके बड़े स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ कार्यों के लिए पुनरावृत्त विधि। बोरिस टी. पॉलीक के बाद, उप-अनुप्रवण-प्रक्षेपण विधियां संयुग्म-अनुप्रवण विधियों के समान हैं।
- वंश की बंडल विधि: स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ छोटे-मध्यम आकार की समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्ति विधि, विशेष रूप से उत्तल न्यूनतमकरण समस्याओं के लिए (संयुग्म ढाल विधियों के समान) है।
- दीर्घवृत्ताभ विधि : विशेष रूप से कुछ संयोजी इष्टतमीकरण समस्याओं की बहुपद समय जटिलता स्थापित करने में अर्ध-उत्तल उद्देश्य फलन और महान सैद्धांतिक रुचि के साथ छोटी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त विधि। इसमें अर्ध-न्यूटन विधियों के साथ समानताएं हैं।
- विशेष रूप से यातायात नेटवर्क के साथ रैखिक बाधाओं के साथ विशेष रूप से संरचित समस्याओं के अनुमानित न्यूनतमकरण के लिए सशर्त अनुप्रवण विधि (फ्रैंक -वुल्फ)। सामान्य अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, यह विधि अनुप्रवण विधि को कम कर देती है, जिसे अप्रचलित (लगभग सभी समस्याओं के लिए) माना जाता है।
- क्वासी-न्यूटन विधियाँ : मध्यम-बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त तरीके (जैसे n <1000)।
- प्रसंभाव्य अनुकूलन के लिए एक साथ क्षोभ प्रसंभाव्य सन्निकटन (एसपीएसए) विधि; यादृच्छिक (कुशल) अनुप्रवण सन्निकटन का उपयोग करता है।
वे तरीके जो केवल फलन मानों का मूल्यांकन करते हैं: यदि कोई समस्या लगातार अलग है, तो अनुप्रवण्स को परिमित अंतर का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है, जिस स्थिति में अनुप्रवण-आधारित विधि का उपयोग किया जा सकता है।
- प्रक्षेप विधियाँ
- पैटर्न खोज विधियाँ, जिनमें नेल्डर -मेड हेयुरिस्टिक (आद्यलक्षणी के साथ) की तुलना में बेहतर अभिसरण गुण हैं, जो नीचे सूचीबद्ध है।
- मिरर वंश

हेयुरिस्टिक (अनुमानी)

इसके अलावा (अंतिम रूप से समाप्त) कलन विधि और (अभिसरण) पुनरावृत्त विधि, हेयुरिस्टिक्स हैं। अनुमानी कोई भी कलन विधि है जो समाधान खोजने के लिए (गणितीय रूप से) गारंटीकृत नहीं है, लेकिन जो कुछ व्यावहारिक स्थितियों में फिर भी उपयोगी है। कुछ प्रसिद्ध अनुमानों की सूची:

मेमेटिक एल्गोरिथ्म
डिफरेंशियल इवोल्यूशन
विकासवादी एल्गोरिदम
गतिशील विश्राम
आनुवंशिक एल्गोरिदम
हिल चढ़ाई यादृच्छिक पुनरारंभ के साथ
नेल्डर -मेड सरलीशियस हेयुरिस्टिक : अनुमानित न्यूनतमकरण के लिए एक लोकप्रिय अनुमानी (बिना ग्रेडिएंट्स के कॉलिंग)
पार्टिकल झुंड अनुकूलन
सिम्युलेटेड एनीलिंग
स्टोकेस्टिक टनलिंग
तबू खोज

अनुप्रयोग

यांत्रिकी

कठोर शरीर की गतिशीलता में (विशेष रूप से स्पष्ट रूप से कठोर शरीर की गतिशीलता) समस्याओं के लिए अक्सर गणितीय कार्यरचना तकनीकों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आप कठोर शरीर की गतिशीलता को एक बाधा कई गुना पर साधारण अंतर समीकरण को हल करने के प्रयास के रूप में देख सकते हैं;^[5] बाधाएं विभिन्न अरैखिक ज्यामितीय बाधाएं हैं जैसे कि इ"न दो बिंदुओं को सदैव संयोग होना चाहिए", "यह सतह किसी अन्य में प्रवेश नहीं करनी चाहिए", या "यह बिंदु सदैव इस वक्र पर कहीं स्थित होना चाहिए"। साथ ही, संपर्क बलों की गणना करने की समस्या एक रैखिक पूरक समस्या को हल करके की जा सकती है, जिसे QP (द्विघात कार्यरचना) समस्या के रूप में भी देखा जा सकता है।

कई डिजाइन समस्याओं को अनुकूलन कार्यक्रमों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। इस अनुप्रयोग को डिज़ाइन अनुकूलन कहा जाता है। एक उपसमुच्चय इंजीनियरिंग अनुकूलन है, और इस क्षेत्र का एक और हाल ही में और बढ़ता सबसमुच्चय बहु-विषयक डिज़ाइन अनुकूलन है, जो कई समस्याओं में उपयोगी है, विशेष रूप से अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी इंजीनियरिंग समस्याओं पर लागू किया गया है।

यह दृष्टिकोण ब्रह्मांड विज्ञान और खगोल भौतिकी में लागू किया जा सकता है^[6]

अर्थशास्त्र और वित्त

अर्थशास्त्र एजेंट्स के अनुकूलन से निकटता से जुड़ा हुआ है कि एक प्रभावशाली परिभाषा वैकल्पिक उपयोगों के साथ "साध्य और दुर्लभ साधनों के बीच संबंध के रूप में मानव व्यवहार का अध्ययन" के रूप में विज्ञान के रूप में अर्थशास्त्र का वर्णन करती है।^[7] आधुनिक अनुकूलन सिद्धांत में पारंपरिक अनुकूलन सिद्धांत सम्मिलित है, लेकिन यह भी गेम थ्योरी और आर्थिक संतुलन के अध्ययन के साथ अधिव्यापन है। दजर्नल ऑफ़ इकोनॉमिक लिटरेचरकोड गणितीय कार्यरचना, अनुकूलन तकनीकों और संबंधित विषयों को JEL:C61-C63 के तहत वर्गीकृत करता है।

सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या और इसकी दोहरी समस्या, व्यय न्यूनतमकरण समस्या, आर्थिक अनुकूलन समस्याएं हैं। जहाँ तक वे लगातार व्यवहार करते हैं, उपभोक्ता को उनकी उपयोगिता को अधिकतम करने के लिए माना जाता है, जबकि फर्मों को आमतौर पर अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। इसके अलावा, एजेंटों को अक्सर जोखिम-प्रतिकूल होने के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, जिससे जोखिम से बचने को प्राथमिकता दी जाती है। एसेट की कीमतें भी अनुकूलन सिद्धांत का उपयोग करके तैयार की जाती हैं, हालांकि अंतर्निहित गणित स्थैतिक अनुकूलन के बजाय प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के अनुकूलन पर निर्भर करता है। अंतर्राष्ट्रीय व्यापार सिद्धांत भी राष्ट्रों के बीच व्यापार पैटर्न की व्याख्या करने के लिए अनुकूलन का उपयोग करता है। विभागों का अनुकूलन अर्थशास्त्र में बहुउद्देश्यीय अनुकूलन का एक उदाहरण है।

1970 के दशक के बाद से, अर्थशास्त्रियों ने नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग करके समय के साथ गतिशील निर्णयों को प्रतिरूपित किया है।^[8] उदाहरण के लिए, श्रम-बाजार व्यवहार का अध्ययन करने के लिए गतिशील खोज मॉडल का उपयोग किया जाता है।^[9] नियतात्मक और प्रसंभाव्य मॉडल के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है।^[10] मैक्रोइकॉनॉमिस्ट सक्रिय प्रसंभाव्य सामान्य संतुलन (डीएसजीई) मॉडल का निर्माण करते हैं जो श्रमिकों, उपभोक्ताओं, निवेशकों और सरकारों के अन्योन्याश्रित अनुकूलन निर्णयों के परिणाम के रूप में संपूर्ण अर्थव्यवस्था की गतिशीलता का वर्णन करते हैं।^[11]^[12]

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में अनुकूलन तकनीकों के कुछ सामान्य अनुप्रयोगों में सक्रिय फ़िल्टर डिजाइन, अतिचालक चुंबकीय ऊर्जा भंडारण प्रणालियों में अवांछित क्षेत्र में कमी, माइक्रोवेव संरचनाओं के अंतरिक्ष मानचित्रण डिजाइन,^[13] हैंडसमुच्चय एंटेना, ^[14] इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स-आधारित डिजाइन^[15] सम्मिलित हैं^[16]। 1993 में अंतरिक्ष मानचित्रण की खोज के बाद से माइक्रोवेव घटकों और एंटेना के विद्युत चुम्बकीय रूप से मान्य डिजाइन अनुकूलन ने उपयुक्त भौतिकी-आधारित या अनुभवजन्य सरोगेट मॉडल और अंतरिक्ष मानचित्रण पद्धतियों का व्यापक उपयोग किया है।^[17]^[18]

सिविल इंजीनियरिंग

सिविल इंजीनियरिंग में अनुकूलन का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है। निर्माण प्रबंधन और परिवहन इंजीनियरिंग सिविल इंजीनियरिंग की मुख्य शाखाओं में से हैं जो अनुकूलन पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं।अनुकूलन द्वारा हल की जाने वाली सबसे आम सिविल इंजीनियरिंग समस्याएं हैं^[19] resource leveling,^[20]^[21] water resource allocation, traffic management^[22] and schedule optimization.

संचालन अनुसंधान

एक अन्य क्षेत्र जो व्यापक रूप से अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करता है, वह संचालन अनुसंधान ^[23] है। संचालन अनुसंधान बेहतर निर्णय लेने में सहायता के लिए प्रसंभाव्य मॉडलिंग और अनुरूपण का भी उपयोग करता है। तेजी से, संचालन अनुसंधान घटनाओं के अनुकूल होने वाले गतिशील निर्णयों को मॉडल करने के लिए प्रसंभाव्य कार्यरचना का उपयोग करता है; इस तरह की समस्याओं को बड़े पैमाने पर अनुकूलन और प्रसंभाव्य अनुकूलन विधियों से हल किया जा सकता है।

नियंत्रण इंजीनियरिंग

बहुत आधुनिक नियंत्रक डिजाइन में गणितीय अनुकूलन का उपयोग किया जाता है। उच्च-स्तरीय नियंत्रक जैसे कि मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (एमपीसी) या रियल-टाइम (समयोचित) अनुकूलन (आरटीओ) गणितीय अनुकूलन को नियोजित करते हैं। ये कलन विधि ऑनलाइन चलते हैं और बार -बार निर्णय चर के लिए मूल्यों को निर्धारित करते हैं, जैसे कि प्रक्रिया संयंत्र में चोक ओपनिंग, पुनरावृत्ति द्वारा गणितीय अनुकूलन समस्या को हल करके बाधाओं और सिस्टम के एक मॉडल को नियंत्रित करने के लिए है।

भूभौतिकी

अनुकूलन तकनीकों का उपयोग नियमित रूप से भूभौतिकीय मापदण्ड अनुमान समस्याओं में किया जाता है। भूभौतिकीय मापों के समुच्चय को देखते हुए, उदाहरण के लिए भूकंपीय रिकॉर्डिंग, यह भौतिक गुण और पृथ्वी की ज्यामितीय आकार अंतर्निहित चट्टानों और तरल पदार्थों के लिए हल करना आम है। भूभौतिकी में अधिकांश समस्याएं नियतात्मक और प्रसंभाव्य दोनों तरीकों के साथ व्यापक रूप से उपयोग किए जा रहे हैं।

आणविक मॉडलिंग

गैर-रैखिक अनुकूलन विधियों का व्यापक रूप से संरूपण विश्लेषण में उपयोग किया जाता है।

कम्प्यूटेशनल सिस्टम बायोलॉजी

अनुकूलन तकनीकों का उपयोग संगणनात्मक प्रणाली जीव विज्ञान के कई पहलुओं में किया जाता है जैसे कि मॉडल निर्माण, इष्टतम प्रयोगात्मक डिजाइन, उपापचय इंजीनियरिंग और कृत्रिम जीव विज्ञान।^[24] रैखिक कार्यरचना किण्वन उत्पादों की अधिकतम संभावित पैदावार की गणना करने के लिए लागू किया गया है^[24] और कई माइक्रोएरे डेटासमुच्चय से जीन विनियामक प्रसार^[25] के साथ-साथ ही उच्च- साद्यांत डेटा से अनुलेखीय^[26] नियामक प्रसार का अनुमान लगाया गया है। अरैखिक कार्यरचना का उपयोग ऊर्जा उपापचय का विश्लेषण करने के लिए किया गया है^[27] और जैव रासायनिक मार्गों में उपापचय इंजीनियरिंग और मापदण्ड अनुमान के लिए लागू किया गया है^[28]

यह भी देखे

* ब्राचिस्टोक्रोन

Notes

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External links

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Varoquaux, Gaël. "Mathematical Optimization: Finding Minima of Functions".

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[1] ] Archived 2014-03-05 at the Wayback Machine, गणितीय प्रोग्रामिंग ग्लोसरी , कंप्यूटिंग सोसाइटी को सूचित करता है

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[19] Piryonesi, Sayed Madeh; Tavakolan, Mehdi (9 January 2017). "A mathematical programming model for solving cost-safety optimization (CSO) problems in the maintenance of structures". KSCE Journal of Civil Engineering. 21 (6): 2226–2234. doi:10.1007/s12205-017-0531-z. S2CID 113616284.

[20] Hegazy, Tarek (June 1999). "Optimization of Resource Allocation and Leveling Using Genetic Algorithms". Journal of Construction Engineering and Management. 125 (3): 167–175. doi:10.1061/(ASCE)0733-9364(1999)125:3(167).

[:0-21] Piryonesi, S. Madeh; Nasseri, Mehran; Ramezani, Abdollah (9 July 2018). "Piryonesi, S. M., Nasseri, M., & Ramezani, A. (2018). Resource leveling in construction projects with activity splitting and resource constraints: a simulated annealing optimization". Canadian Journal of Civil Engineering. 46: 81–86. doi:10.1139/cjce-2017-0670. hdl:1807/93364. S2CID 116480238.

[22] Herty, M.; Klar, A. (2003-01-01). "Modeling, Simulation, and Optimization of Traffic Flow Networks". SIAM Journal on Scientific Computing. 25 (3): 1066–1087. Bibcode:2003SJSC...25.1066H. doi:10.1137/S106482750241459X. ISSN 1064-8275.

[23] "New force on the political scene: the Seophonisten". Archived from the original on 18 December 2014. Retrieved 14 September 2013.

[Papoutsakis_1984-24] 24.0 ^24.1 Papoutsakis, Eleftherios Terry (February 1984). "Equations and calculations for fermentations of butyric acid bacteria". Biotechnology and Bioengineering. 26 (2): 174–187. doi:10.1002/bit.260260210. ISSN 0006-3592. PMID 18551704. S2CID 25023799.

[25] Wang, Rui-Sheng; Wang, Yong; Zhang, Xiang-Sun; Chen, Luonan (2007-09-22). "Inferring transcriptional regulatory networks from high-throughput data". Bioinformatics. 23 (22): 3056–3064. doi:10.1093/bioinformatics/btm465. ISSN 1460-2059. PMID 17890736.

[26] Wang, Yong; Joshi, Trupti; Zhang, Xiang-Sun; Xu, Dong; Chen, Luonan (2006-07-24). "Inferring gene regulatory networks from multiple microarray datasets". Bioinformatics (in English). 22 (19): 2413–2420. doi:10.1093/bioinformatics/btl396. ISSN 1460-2059. PMID 16864593.

[27] Vo, Thuy D.; Paul Lee, W.N.; Palsson, Bernhard O. (May 2007). "Systems analysis of energy metabolism elucidates the affected respiratory chain complex in Leigh's syndrome". Molecular Genetics and Metabolism. 91 (1): 15–22. doi:10.1016/j.ymgme.2007.01.012. ISSN 1096-7192. PMID 17336115.

[28] Mendes, P.; Kell, D. (1998). "Non-linear optimization of biochemical pathways: applications to metabolic engineering and parameter estimation". Bioinformatics. 14 (10): 869–883. doi:10.1093/bioinformatics/14.10.869. ISSN 1367-4803. PMID 9927716.

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v t e प्रणाली अभियांत्रिकी
उपक्षेत्रों	अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग जैविक प्रणाली इंजीनियरिंग विन्यास प्रबंधन अर्थ सिस्टम इंजीनियरिंग और प्रबंधन विद्युत अभियन्त्रण एंटरप्राइज सिस्टम इंजीनियरिंग प्रदर्शन इंजीनियरिंग स्थिरता अभियांत्रिकी सुरक्षा इंजीनियरिंग
प्रक्रियाओं	आवश्यकताएं इंजिनीयरिंग कार्यात्मक विनिर्देश प्रणाली एकीकरण सत्यापन और सत्यापन डिजाइन की समीक्षा
अवधारणाओं	व्यापार प्रक्रिया प्रणाली सिस्टम लाइफसाइकल वी-मॉडल सिस्टम डेवलपमेंट लाइफ साइकिल
औजार	निर्णय लेना फ़ंक्शन मॉडल लिंग IDEF अनुकूलन गुणवत्ता समारोह का विस्तार सिस्टम डायनेमिक्स सिस्टम मॉडलिंग भाषा सिस्टम विश्लेषण सिस्टम मॉडलिंग कार्य विश्लेषण संरचना
लोग	जेम्स एस। एल्बस Ruzena bajcsy बेंजामिन एस। ब्लैंचर्ड [वॉर्नर वॉन ब्रौन]]] कैथलीन कार्ली हेरोल्ड चास्टनट [वोल्ट फैब्रीकी]] बारबा ग्रोसज़ आर्थर डेविड हॉल III डेस्टेक हिचिन रॉबर्ट ई। माचोल राधिका नागपप्पल इमोन रामो जोसेफ फ्रांसिस शीया KAKKIA SYCARA मैनुएला एम। वेलोसो जॉन एन। वारफिल
संबंधित क्षेत्रों	नियंत्रण इंजीनियरिंग कंप्यूटर इंजीनियरिंग औद्योगिक इंजीनियरिंग गतिविधि अनुसंधान परियोजना प्रबंधन गुणवत्ता प्रबंधन जोखिम प्रबंधन सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग
श्रेणी

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 [[File:Nelder-Mead Simionescu.gif|thumb|  नेल्डर-मीड की सिमियोनेस्कु फलन पर न्यूनतम खोज।  संकेतन शीर्ष को उनके मानों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है, जिसमें 1 सबसे कम ('''''fx''''' सर्वोत्तम) मान होता है। ]]
-'''गणितीय अनुकूलन ''' (वैकल्पिक रूप से वर्तनी '' अनुकूलन '') या ''' गणितीय कार्यरचना''' उपलब्ध विकल्पों के कुछ समुच्चय से  कुछ मानदंड के संबंध में,<ref>] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140305080324/http://glossary.computing.society.informs.org/index.php?page=nature.html |date=2014-03-05 }}, '' गणितीय प्रोग्रामिंग ग्लोसरी '', कंप्यूटिंग सोसाइटी को सूचित करता है</ref> सर्वोत्तम तत्व का चयन है। इसे आम तौर पर दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया जाता है: असतत अनुकूलन और निरंतर अनुकूलन। [[ कंप्यूटर विज्ञान |कंप्यूटर विज्ञान]] और इंजीनियरिंग से लेकर [[ संचालन अनुसंधान |संचालन अनुसंधान]] और [[ अर्थशास्त्र |अर्थशास्त्र]] तक सभी मात्रात्मक विषयों में प्रकार की अनुकूलन समस्याएं उत्पन्न होती हैं,<ref name="edo2021">{{Cite book|url=https://www.researchgate.net/publication/352413464|title=Engineering Design Optimization|last1=Martins|first1=Joaquim R. R. A.|last2=Ning|first2=Andrew|date=2021-10-01|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108833417|language=en}}</ref> और समाधान विधियों का विकास [[ गणित |गणित]] में सदियों से रुचि रखता रहा है।<ref>{{cite book |last1=Du |first1=D. Z. |last2=Pardalos |first2=P. M. |last3=Wu |first3=W. |year=2008 |chapter=History of Optimization |editor-link=Christodoulos Floudas |editor-last=Floudas |editor-first=C. |editor2-last=Pardalos |editor2-first=P. |title=Encyclopedia of Optimization |publisher=Springer |location=Boston |pages=1538–1542 }}</ref>
+'''गणितीय अनुकूलन ''' (वैकल्पिक रूप से वर्तनी '' अनुकूलन '') या ''' गणितीय कार्यरचना''' उपलब्ध विकल्पों के कुछ समुच्चय से  कुछ मानदंड के संबंध में,<ref>] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140305080324/http://glossary.computing.society.informs.org/index.php?page=nature.html |date=2014-03-05 }}, '' गणितीय प्रोग्रामिंग ग्लोसरी '', कंप्यूटिंग सोसाइटी को सूचित करता है</ref> सर्वोत्तम तत्व का चयन है। इसे साधारणतया दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया जाता है: असतत अनुकूलन और निरंतर अनुकूलन। [[ कंप्यूटर विज्ञान |कंप्यूटर विज्ञान]] और इंजीनियरिंग से लेकर [[ संचालन अनुसंधान |संचालन अनुसंधान]] और [[ अर्थशास्त्र |अर्थशास्त्र]] तक सभी मात्रात्मक विषयों में प्रकार की अनुकूलन समस्याएं उत्पन्न होती हैं,<ref name="edo2021">{{Cite book|url=https://www.researchgate.net/publication/352413464|title=Engineering Design Optimization|last1=Martins|first1=Joaquim R. R. A.|last2=Ning|first2=Andrew|date=2021-10-01|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1108833417|language=en}}</ref> और समाधान विधियों का विकास [[ गणित |गणित]] में सदियों से रुचि रखता रहा है।<ref>{{cite book |last1=Du |first1=D. Z. |last2=Pardalos |first2=P. M. |last3=Wu |first3=W. |year=2008 |chapter=History of Optimization |editor-link=Christodoulos Floudas |editor-last=Floudas |editor-first=C. |editor2-last=Pardalos |editor2-first=P. |title=Encyclopedia of Optimization |publisher=Springer |location=Boston |pages=1538–1542 }}</ref>
-सामान्य दृष्टिकोण में, [[ अनुकूलन समस्या |अनुकूलन समस्या]] में एक अनुमत समुच्चय के भीतर से [[ फ़ंक्शन होता है, जो एक फ़ंक्शन |निवेश]] मानों को व्यवस्थित रूप से चुनकर वास्तविक फलन को [[ मैक्सिमा और मिनिमा |अधिकतम या कम से कम]] करना और फलन के मान की गणना करना शामिल है। अन्य योगों के लिए अनुकूलन सिद्धांत और तकनीकों का सामान्यीकरण [[ लागू गणित |अनुप्रयुक्त गणित]] के एक बड़े क्षेत्र का गठन करता है। आम तौर पर, अनुकूलन में परिभाषित डोमेन (या [[ फ़ंक्शन होता है, जो एक फ़ंक्शन |निवेश]]) में से दिए गए कुछ उद्देश्य फलन के "सर्वोत्तम उपलब्ध" मानों को खोजना शामिल है, जिसमें विभिन्न प्रकार के उद्देश्य फलन और विभिन्न प्रकार के डोमेन शामिल हैं।
+सामान्य दृष्टिकोण में, [[ अनुकूलन समस्या |अनुकूलन समस्या]] में एक अनुमत समुच्चय के भीतर से [[ फ़ंक्शन होता है, जो एक फ़ंक्शन |निवेश]] मानों को व्यवस्थित रूप से चुनकर वास्तविक फलन को [[ मैक्सिमा और मिनिमा |अधिकतम या कम से कम]] करना और फलन के मान की गणना करना सम्मिलित है। अन्य योगों के लिए अनुकूलन सिद्धांत और तकनीकों का सामान्यीकरण [[ लागू गणित |अनुप्रयुक्त गणित]] के एक बड़े क्षेत्र का गठन करता है। साधारणतया, अनुकूलन में परिभाषित डोमेन (या [[ फ़ंक्शन होता है, जो एक फ़ंक्शन |निवेश]]) में से दिए गए कुछ उद्देश्य फलन के "सर्वोत्तम उपलब्ध" मानों को खोजना सम्मिलित है, जिसमें विभिन्न प्रकार के उद्देश्य फलन और विभिन्न प्रकार के डोमेन सम्मिलित हैं।
 == अनुकूलन समस्याएं ==
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 * असतत चर के साथ अनुकूलन समस्या असतत अनुकूलन के रूप में जानी जाती है, जिसमें पूर्णांक, क्रमचय या ग्राफ जैसी वस्तु को एक गणनीय समुच्चय से पाया जाना चाहिए।
-* निरंतर चर के साथ एक समस्या को निरंतर अनुकूलन के रूप में जाना जाता है, जिसमें निरंतर कार्य से इष्टतम मूल्य मिलना चाहिए। वे विवश समस्याओं और बहुविध समस्याओं को भी शामिल कर सकते हैं।
+* निरंतर चर के साथ एक समस्या को निरंतर अनुकूलन के रूप में जाना जाता है, जिसमें निरंतर कार्य से इष्टतम मूल्य मिलना चाहिए। वे विवश समस्याओं और बहुविध समस्याओं को भी सम्मिलित कर सकते हैं।
 अनुकूलन समस्या को निम्नलिखित तरीके से दर्शाया जा सकता है:
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 यह केवल न्यूनीकरण की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, केवल अधिकतमकरण की समस्याओं पर विचार करने का विपरीत परिप्रेक्ष्य भी मान्य होगा।
-[[ भौतिकी |भौतिकी]] के क्षेत्रों में इस तकनीक का उपयोग करके तैयार की गई समस्याएं तकनीक को ''[[ ऊर्जा |ऊर्जा]] न्यूनतमकरण '' के रूप में संदर्भित कर सकती हैं, जो फलन {{mvar|f}}  के मूल्य की बात करते हुए सिस्टम की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। [[ मशीन लर्निंग |यंत्र अधिगम]] में, [[ हानि फ़ंक्शन |मूल्य फलन]] का उपयोग करके आँकड़ा निदर्श की गुणवत्ता का लगातार मूल्यांकन करना हमेशा आवश्यक होता है, जहां एक न्यूनतम का अर्थ है कि एक इष्टतम (सबसे कम) त्रुटि के साथ संभवतः इष्टतम मापदंडों का समुच्चय है।
+[[ भौतिकी |भौतिकी]] के क्षेत्रों में इस तकनीक का उपयोग करके तैयार की गई समस्याएं तकनीक को ''[[ ऊर्जा |ऊर्जा]] न्यूनतमकरण '' के रूप में संदर्भित कर सकती हैं, जो फलन {{mvar|f}}  के मूल्य की बात करते हुए सिस्टम की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। [[ मशीन लर्निंग |यंत्र अधिगम]] में, [[ हानि फ़ंक्शन |मूल्य फलन]] का उपयोग करके आँकड़ा निदर्श की गुणवत्ता का लगातार मूल्यांकन करना सदैव आवश्यक होता है, जहां एक न्यूनतम का अर्थ है कि एक इष्टतम (सबसे कम) त्रुटि के साथ व्यवहार्यतः इष्टतम मापदंडों का समुच्चय है।
-आमतौर पर, {{mvar|A}} [[ यूक्लिडियन स्पेस |यूक्लिडियन स्पेस]] {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} का [[ सबसेट |सबसमुच्चय]] है, जो अक्सर ''[[ बाधा (गणित) |बाधाओं]]'', समानता या असमानताओं के समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट होता है जिसे {{mvar|A}} के सदस्यों को संतुष्ट करना होता है। फलन {{mvar|f}}  के [[ डोमेन |डोमेन]] {{mvar|A}} को ''खोज स्थान '' या '' विकल्प समुच्चय '' कहा जाता है, जबकि {{mvar|A}} के तत्व ''[[ उम्मीदवार समाधान |उम्मीदवार समाधान]]''या ''व्यवहार्य समाधान '' कहा जाता है।
+आमतौर पर, {{mvar|A}} [[ यूक्लिडियन स्पेस |यूक्लिडियन स्पेस]] {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} का [[ सबसेट |सबसमुच्चय]] है, जो अक्सर ''[[ बाधा (गणित) |बाधाओं]]'', समानता या असमानताओं के समुच्चय द्वारा निर्दिष्ट होता है जिसे {{mvar|A}} के सदस्यों को संतुष्ट करना होता है। फलन {{mvar|f}}  के [[ डोमेन |डोमेन]] {{mvar|A}} को ''खोज स्थान '' या '' विकल्प समुच्चय '' कहा जाता है, जबकि {{mvar|A}} के तत्व ''[[ उम्मीदवार समाधान |उम्मीदवार समाधान]]'' या ''व्यवहार्य समाधान '' कहा जाता है।
 फलन {{mvar|f}} को, विभिन्न रूप से, उद्देश्य फलन,''[[ हानि फ़ंक्शन | हानि फलन]]  ''या लागत फलन (न्यूनीकरण)<ref>डब्ल्यू। इरविन डिवर्ट (2008)।कॉस्ट फ़ंक्शंस, '' द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ़ इकोनॉमिक्स '', दूसरा संस्करण [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_c000390&edition=current& qual contents]</ref>, उपयोगिता फलन या आरोग्य फलन (अधिकतमकरण), या, कुछ क्षेत्रों में, ऊर्जा फलन या ऊर्जा ''[[ फंक्शनल (गणित) |क्रियात्मक]] '' कहा जाता है। व्यवहार्य समाधान जो उद्देश्य फलन को कम करता है (या अधिकतम करता है, यदि वह लक्ष्य है) को इष्टतम समाधान कहा जाता है।
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 यानी, {{math|'''x'''*}} के आस-पास के किसी क्षेत्र पर सभी फलन मान उस तत्व के मान से अधिक या उसके बराबर हैं। स्थानीय मैक्सिमा को समान रूप से परिभाषित किया गया है।
-जबकि स्थानीय न्यूनतम कम से कम किसी भी आस -पास के तत्वों जितना अच्छा है, [[ वैश्विक न्यूनतम |वैश्विक न्यूनतम]] कम से कम उतना ही अच्छा है जितना हर संभव तत्व। आम तौर पर, जब तक कि एक न्यूनीकरण समस्या में उद्देश्य फलन [[ उत्तल फ़ंक्शन |उत्तल]] नहीं है, तब तक कई स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं। [[ उत्तल अनुकूलन |उत्तल समस्या]] में, अगर कोई स्थानीय न्यूनतम है जो आंतरिक है (व्यवहार्य तत्वों के समुच्चय के किनारे पर नहीं), तो यह वैश्विक न्यूनतम भी है, लेकिन एक गैर-उत्तल समस्या में एक से अधिक स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं, जिनमें से सभी को वैश्विक न्यूनतम की आवश्यकता नहीं है।
+जबकि स्थानीय न्यूनतम कम से कम किसी भी आस -पास के तत्वों जितना अच्छा है, [[ वैश्विक न्यूनतम |वैश्विक न्यूनतम]] कम से कम उतना ही अच्छा है जितना हर व्यवहार्य तत्व। साधारणतया, जब तक कि एक न्यूनीकरण समस्या में उद्देश्य फलन [[ उत्तल फ़ंक्शन |उत्तल]] नहीं है, तब तक कई स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं। [[ उत्तल अनुकूलन |उत्तल समस्या]] में, अगर कोई स्थानीय न्यूनतम है जो आंतरिक है (व्यवहार्य तत्वों के समुच्चय के किनारे पर नहीं), तो यह वैश्विक न्यूनतम भी है, लेकिन एक गैर-उत्तल समस्या में एक से अधिक स्थानीय न्यूनतम हो सकते हैं, जिनमें से सभी को वैश्विक न्यूनतम की आवश्यकता नहीं है।
 गैर-उत्तल समस्याओं को हल करने के लिए प्रस्तावित कलन विधि की एक बड़ी संख्या - व्यावसायिक रूप से उपलब्ध समाधानकर्ता के बहुमत सहित - स्थानीय रूप से इष्टतम समाधानों और विश्व स्तर पर इष्टतम समाधानों के बीच अंतर करने में सक्षम नहीं हैं, और पूर्व को मूल समस्या के वास्तविक समाधान के रूप में मानेंगे। [[ ग्लोबल ऑप्टिमाइज़ेशन |ग्लोबल अनुकूलन]] [[ एप्लाइड मैथमेटिक्स |अनुप्रयुक्त गणित]] और [[ न्यूमेरिकल एनालिसिस |संख्यात्मक विश्लेषणस]] की शाखा है जो कि नियतात्मक कलन विधि के विकास से संबंधित है जो गैर-उत्तल समस्या के वास्तविक इष्टतम समाधान के लिए परिमित समय में अभिसरण की गारंटी देने में सक्षम हैं।
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 <math>\underset{x}{\operatorname{arg\,min}} \; x^2 + 1, \; \text{subject to:} \; x\in(-\infty,-1].</math>
-यह [[ अंतराल (गणित) में |अंतराल]] {{math|(−∞,−1]}} में तर्क {{mvar|x}} के मान (या मूल्यों) का प्रतिनिधित्व करता है, उद्देश्य फलन {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} को कम (या कम से कम) करता है (उस फलन का वास्तविक न्यूनतम मूल्य वह नहीं है जो समस्या में पूछा जाता है)। इस मामले में, जवाब {{math|''x'' {{=}} −1}} है, क्योंकि {{math|''x'' {{=}} 0}} अव्यवहार्य है, अर्थात, यह [[ संभव सेट |संभव समुच्चय]] से संबंधित नहीं है।
+यह [[ अंतराल (गणित) में |अंतराल]] {{math|(−∞,−1]}} में तर्क {{mvar|x}} के मान (या मूल्यों) का प्रतिनिधित्व करता है, उद्देश्य फलन {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} को कम (या कम से कम) करता है (उस फलन का वास्तविक न्यूनतम मूल्य वह नहीं है जो समस्या में पूछा जाता है)। इस मामले में, जवाब {{math|''x'' {{=}} −1}} है, क्योंकि {{math|''x'' {{=}} 0}} अव्यवहार्य है, अर्थात, यह [[ संभव सेट |व्यवहार्य समुच्चय]] से संबंधित नहीं है।
 इसी तरह,
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 [[ पियरे डी फर्मेट |फर्मेट]] और [[ जोसेफ लुईस लैग्रेंज |लैग्रेंज]] ने ऑप्टिमा की पहचान के लिए कलन-आधारित सूत्र पाए, जबकि [[ इसहाक न्यूटन |न्यूट]] और [[ कार्ल फ्रेडरिक गाऊस |गॉस]] ने इष्टतम की ओर बढ़ने के लिए पुनरावृत्त तरीकों का प्रस्ताव दिया।
-कुछ अनुकूलन मामलों के लिए[[ रैखिक प्रोग्रामिंग | रैखिक कार्यरचना]] शब्द [[ जॉर्ज डेंटज़िग |जॉर्ज बी. डेंटज़िग के कारण था]], हालांकि अधिकांश सिद्धांत 1939 में [[ लियोनिद कांटोरोविच |लियोनिद कांटोरोविच]] द्वारा पेश किए गए थे। (इस संदर्भ में कार्यरचना कंप्यूटर कार्यरचना को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन राज्य अमेरिका की सेना प्रस्तावित प्रशिक्षण और [[ लॉजिस्टिक्स |रसद कार्यक्रम]] का उल्लेख करने के लिए संदर्भित करता है, जो उस समय डैंटज़िग द्वारा अध्ययन की गई समस्याएं थीं।) डैंटज़िग ने 1947 में [[ सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म |सिम्प्लेक्स कलन विधि]] प्रकाशित किया, और [[ जॉन वॉन न्यूमैन |जॉन वॉन न्यूमैन]] ने उसी वर्ष [[ रैखिक प्रोग्रामिंग#द्वंद्वात्मक का सिद्धांत विकसित किया।एक ही वर्ष में |द्वैत]] का सिद्धांत विकसित किया।{{citation needed|date=January 2020}}
+कुछ अनुकूलन मामलों के लिए[[ रैखिक प्रोग्रामिंग | रैखिक कार्यरचना]] शब्द [[ जॉर्ज डेंटज़िग |जॉर्ज बी. डेंटज़िग के कारण था]], हालांकि अधिकांश सिद्धांत 1939 में [[ लियोनिद कांटोरोविच |लियोनिद कांटोरोविच]] द्वारा पेश किए गए थे। (इस संदर्भ में कार्यरचना कंप्यूटर कार्यरचना को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन राज्य अमेरिका की सेना प्रस्तावित प्रशिक्षण और [[ लॉजिस्टिक्स |रसद कार्यक्रम]] का उल्लेख करने के लिए संदर्भित करता है, जो उस समय डैंटज़िग द्वारा अध्ययन की गई समस्याएं थीं।) डैंटज़िग ने 1947 में  [[ सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म |प्रसमुच्चय कलन विधि]] प्रकाशित किया, और [[ जॉन वॉन न्यूमैन |जॉन वॉन न्यूमैन]] ने उसी वर्ष [[ रैखिक प्रोग्रामिंग#द्वंद्वात्मक का सिद्धांत विकसित किया।एक ही वर्ष में |द्वैत]] का सिद्धांत विकसित किया।{{citation needed|date=January 2020}}
-गणितीय अनुकूलन में अन्य उल्लेखनीय शोधकर्ताओं में निम्नलिखित शामिल हैं:
+गणितीय अनुकूलन में अन्य उल्लेखनीय शोधकर्ताओं में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
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 *  [[ रिचर्ड बेलमैन ]]
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 *  [[ उत्तल प्रोग्रामिंग | उत्तल कार्यरचना]] उस मामले का अध्ययन करती है जब उद्देश्य फ़ंक्शन [[ उत्तल फ़ंक्शन |उत्तल]] (न्यूनतमकरण) या [[ अवतल फ़ंक्शन |अवतल]] (अधिकतमकरण) होता है और बाधा समुच्चय [[ उत्तल सेट |उत्तल]] होता है। इसे गैर-रेखीय कार्यरचना के एक विशेष मामले के रूप में या रैखिक या उत्तल द्विघात कार्यरचना के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
 **  [[ रैखिक प्रोग्रामिंग | रैखिक कार्यरचना]] (एलपी), उत्तल कार्यरचना का एक प्रकार, उस मामले का अध्ययन करता है जिसमें उद्देश्य फलन'' f '' रैखिक होता है और बाधाएं केवल रैखिक समानताओं और असमानताओं का उपयोग करके निर्दिष्ट की जाती हैं। इस तरह के बाधा समुच्चय को [[ पॉलीहेड्रॉन |बहुतल]] या [[ पॉलीटोप | बहुतलीय]]  कहा जाता है यदि यह [[ बाउंड सेट |बाध्य]] है।
-**  [[ सेकंड-ऑर्डर कोन प्रोग्रामिंग |द्वितीय-क्रम कोन कार्यरचना]]  (SOCP) एक उत्तल कार्यक्रम है, और इसमें कुछ प्रकार के द्विघात कार्यक्रम शामिल हैं।
+**  [[ सेकंड-ऑर्डर कोन प्रोग्रामिंग |द्वितीय-क्रम कोन कार्यरचना]]  (SOCP) एक उत्तल कार्यक्रम है, और इसमें कुछ प्रकार के द्विघात कार्यक्रम सम्मिलित हैं।
 **  [[ सेमाइडफिनाइट प्रोग्रामिंग |अर्द्धनिश्चित कार्यरचना]]  (एसडीपी) उत्तल अनुकूलन का उपक्षेत्र है जहां अंतर्निहित चर [[ सेमाइडफाइनेट |अर्द्धनिश्चित]][[ मैट्रिक्स (गणित) |आव्यूह]] हैं। यह रैखिक और उत्तल द्विघात कार्यरचना का सामान्यीकरण है।
 **  [[ CONIC प्रोग्रामिंग |शांकव कार्यरचना]] उत्तल कार्यरचना का सामान्य रूप है। एल.पी, एस.ओ.सी.पी और एस.डी.पी सभी को उचित प्रकार के शंकु के साथ शंकु कार्यक्रमों के रूप में देखा जा सकता है।
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 कई उप-क्षेत्रों में, तकनीकों को मुख्य रूप से गतिशील संदर्भों में अनुकूलन के लिए डिज़ाइन किया गया है (अर्थात, समय के साथ निर्णय लेना):
-*  [[ गणनाओं की गणना |विविधताओं की गणना]] किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के सर्वोत्तम तरीके को खोजने से संबंधित है, जैसे कि एक ऐसी सतह का पता लगाना जिसकी सीमा एक विशिष्ट वक्र है, लेकिन कम से कम संभव क्षेत्र के साथ।
+*  [[ गणनाओं की गणना |विविधताओं की गणना]] किसी लक्ष्य को प्राप्त करने के सर्वोत्तम तरीके को खोजने से संबंधित है, जैसे कि एक ऐसी सतह का पता लगाना जिसकी सीमा एक विशिष्ट वक्र है, लेकिन कम से कम व्यवहार्य क्षेत्र के साथ।
 *  [[ इष्टतम नियंत्रण ]]सिद्धांत विविधताओं की गणना का सामान्यीकरण है जो नियंत्रण नीतियों का परिचय देता है।
 *  [[ डायनेमिक प्रोग्रामिंग |डायनेमिक कार्यरचना]] [[ स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन |प्रसंभाव्य अनुकूलन]] समस्या को प्रसंभाव्य, यादृच्छिकता और अज्ञात मॉडल मापदंडों के साथ समस्या को हल करने का दृष्टिकोण है। यह उस मामले का अध्ययन करता है जिसमें अनुकूलन रणनीति समस्या को छोटे उपप्रकारों में विभाजित करने पर आधारित है। इन उपसमस्याओं के बीच संबंध का वर्णन करने वाले समीकरण को [[ बेलमैन समीकरण |बेलमैन समीकरण]] कहा जाता है।
-*  [[ गणितीय प्रोग्रामिंग के साथ संतुलन की कमी |गणितीय कार्यरचना के साथ संतुलन की कमी]] वह है जहां बाधाओं में [[ वैरिएशनल असमानताएं |विविधतापूर्ण असमानताएं]] या  [[ पूरक सिद्धांत |  पूरक ]]शामिल हैं।
+*  [[ गणितीय प्रोग्रामिंग के साथ संतुलन की कमी |गणितीय कार्यरचना के साथ संतुलन की कमी]] वह है जहां बाधाओं में [[ वैरिएशनल असमानताएं |विविधतापूर्ण असमानताएं]] या  [[ पूरक सिद्धांत |  पूरक ]]सम्मिलित हैं।
 === बहु-उद्देश्य अनुकूलन ===
-{{Main|Multi-objective optimization}}
+अनुकूलन समस्या में एक से अधिक उद्देश्य जोड़ना जटिलता जोड़ता है। उदाहरण के लिए, संरचनात्मक डिजाइन का अनुकूलन करने के लिए, एक ऐसे डिजाइन की आवश्यकता होगी जो हल्का और कठोर दोनों हो। जब दो उद्देश्य संघर्ष करते हैं, तो एक समझौताकारी तालमेल बनाया जाना चाहिए। एक सबसे हल्का डिज़ाइन, एक कठोर डिजाइन, और एक अनंत संख्या में डिज़ाइन हो सकते हैं जो वजन और कठोरता के कुछ समझौते हैं। समझौताकारी तालमेल डिजाइनों का समुच्चय जो दूसरे की कीमत पर मानदंड में सुधार करता है, [[ पेरेटो सेट |पेरेटो समुच्चय]] के रूप में जाना जाता है। सबसे अच्छे डिजाइनों की कठोरता के खिलाफ वजन वाले वक्र को [[ पेरेटो फ्रंटियर |पेरेटो सीमांत]] के रूप में जाना जाता है।
-एक अनुकूलन समस्या में एक से अधिक उद्देश्य जोड़ना जटिलता जोड़ता है। उदाहरण के लिए, एक संरचनात्मक डिजाइन का अनुकूलन करने के लिए, एक डिजाइन की इच्छा होगी जो प्रकाश और कठोर दोनों है। जब दो उद्देश्य संघर्ष करते हैं, तो एक व्यापार-बंद बनाया जाना चाहिए। एक सबसे हल्का डिज़ाइन, एक कठोर डिजाइन, और एक अनंत संख्या में डिज़ाइन हो सकते हैं जो वजन और कठोरता के कुछ समझौते हैं। ट्रेड-ऑफ डिजाइनों का समुच्चय जो एक मानदंड में सुधार करता है, दूसरे की कीमत पर  [[ पेरेटो सेट | पेरेटो समुच्चय]] के रूप में जाना जाता है। सबसे अच्छे डिजाइनों की कठोरता के खिलाफ वजन वाले वक्र ने  [[ पेरेटो फ्रंटियर ]] के रूप में जाना जाता है।
-एक डिज़ाइन को पेरेटो इष्टतम (समकक्ष, पेरेटो कुशल या पेरेटो समुच्चय में) होने के लिए आंका जाता है यदि यह किसी अन्य डिज़ाइन पर हावी नहीं है: यदि यह कुछ मामलों में किसी अन्य डिजाइन से भी बदतर है और किसी भी मामले में बेहतर नहीं है, तो यह हावी है। और पेरेटो इष्टतम नहीं है।
+डिज़ाइन को पेरेटो इष्टतम (समकक्ष, पेरेटो कुशल या पेरेटो समुच्चय में) होने के लिए आंका जाता है यदि यह  किसी अन्य डिज़ाइन का प्रभुत्व नहीं है: यदि यह कुछ मामलों में किसी अन्य डिज़ाइन से खराब है और किसी भी मामले में बेहतर नहीं है, तब यह हावी है और पारेटो इष्टतम नहीं है।
-पसंदीदा समाधान निर्धारित करने के लिए पेरेटो इष्टतम समाधानों के बीच की पसंद निर्णय निर्माता को सौंप दी गई है। दूसरे शब्दों में, समस्या को बहु-उद्देश्य अनुकूलन संकेतों के रूप में परिभाषित करना कि कुछ जानकारी गायब है: वांछनीय उद्देश्य दिए गए हैं, लेकिन उनमें से संयोजनों को एक दूसरे के सापेक्ष रेट नहीं किया गया है। कुछ मामलों में, लापता जानकारी निर्णय निर्माता के साथ इंटरैक्टिव सत्रों द्वारा प्राप्त की जा सकती है।
+"पसंदीदा समाधान" निर्धारित करने के लिए "परेटो इष्टतम" समाधानों में से चुनाव निर्णय निर्माता को सौंपा गया है। दूसरे शब्दों में, समस्या को बहुउद्देश्यीय अनुकूलन के रूप में परिभाषित करना संकेत देता है कि कुछ जानकारी गायब है: वांछनीय उद्देश्य दिए गए हैं लेकिन उनके संयोजन एक दूसरे के सापेक्ष दर नहीं किए गए हैं। कुछ मामलों में, निर्णय निर्माता के साथ संवादात्मक सत्रों द्वारा लापता जानकारी प्राप्त की जा सकती है।
-बहु-उद्देश्य अनुकूलन समस्याओं को  [[ वेक्टर अनुकूलन ]] समस्याओं में आगे सामान्यीकृत किया गया है जहां (आंशिक) ऑर्डरिंग अब पेरेटो ऑर्डरिंग द्वारा नहीं दिया गया है।
+बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्याओं को आगे [[ वेक्टर अनुकूलन |वेक्टर अनुकूलन]] समस्याओं में सामान्यीकृत किया गया है जहां (आंशिक) आदेश अब पारेटो आदेश द्वारा नहीं दिया जाता है।
-=== बहु-मोडल या वैश्विक अनुकूलन ===
+=== बहुविधि या वैश्विक अनुकूलन ===
-अनुकूलन की समस्याएं अक्सर बहु-मोडल होती हैं;यही है, उनके पास कई अच्छे समाधान हैं।वे सभी विश्व स्तर पर अच्छे (एक ही लागत फलनमूल्य) हो सकते हैं या विश्व स्तर पर अच्छे और स्थानीय रूप से अच्छे समाधानों का मिश्रण हो सकता है।सभी (या कम से कम कुछ) को प्राप्त करना एक बहु-मोडल ऑप्टिमाइज़र का लक्ष्य है।
+अनुकूलन की समस्याएं अक्सर बहुविधि होती हैं; यानी, उनके पास कई अच्छे समाधान हैं। वे सभी विश्व स्तर पर अच्छे (समान लागत कार्य मूल्य) हो सकते हैं या विश्व स्तर पर अच्छे और स्थानीय रूप से अच्छे समाधानों का मिश्रण हो सकता है। बहुविधि अनुकूलन का लक्ष्य सभी (या कम से कम कुछ) एकाधिक समाधान प्राप्त करना है।
-शास्त्रीय अनुकूलन तकनीक उनके पुनरावृत्त दृष्टिकोण के कारण संतोषजनक ढंग से प्रदर्शन नहीं करती है जब वे कई समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, क्योंकि यह गारंटी नहीं है कि एल्गोरिथ्म के कई रनों में विभिन्न शुरुआती बिंदुओं के साथ भी अलग -अलग समाधान प्राप्त किए जाएंगे।
+शास्त्रीय अनुकूलन तकनीक उनके पुनरावृत्त दृष्टिकोण के कारण संतोषजनक ढंग से प्रदर्शन नहीं करती है, जब वे कई समाधान प्राप्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, क्योंकि यह गारंटी नहीं है कि कलन विधि के कई रनों में विभिन्न शुरुआती बिंदुओं के साथ भी अलग -अलग समाधान प्राप्त किए जाएंगे।
- [[ ग्लोबल ऑप्टिमाइज़ेशन | ग्लोबल अनुकूलन]] समस्याओं के लिए सामान्य दृष्टिकोण, जहां कई स्थानीय एक्सट्रैमा मौजूद हो सकते हैं, उनमें  [[ विकासवादी एल्गोरिथ्म ]] एस,  [[ बायेसियन ऑप्टिमाइज़ेशन | बायेसियन अनुकूलन]] और  [[ सिम्युलेटेड एनीलिंग ]] शामिल हैं।
+[[ ग्लोबल ऑप्टिमाइज़ेशन |वैश्विक अनुकूलन]] समस्याओं के लिए सामान्य दृष्टिकोण, जहां कई स्थानीय एक्सट्रैमा मौजूद हो सकते हैं, उनमें [[ विकासवादी एल्गोरिथ्म |विकासमूलक कलन विधि]], [[ बायेसियन ऑप्टिमाइज़ेशन |बायेसियन अनुकूलन]] और [[ सिम्युलेटेड एनीलिंग |उद्दीप्त अनीलन]] सम्मिलित हैं।
-== महत्वपूर्ण बिंदुओं और extrama का वर्गीकरण ==
+== महत्वपूर्ण बिंदुओं और एक्सट्रीमा का वर्गीकरण ==
 === व्यवहार्यता समस्या ===
-''  [[ संतोषजनक समस्या ]] '', जिसे '' व्यवहार्यता समस्या 'भी कहा जाता है, केवल उद्देश्य मूल्य के संबंध में बिना किसी  [[ संभव समाधान ]] को खोजने की समस्या है।इसे गणितीय अनुकूलन के विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां उद्देश्य मूल्य प्रत्येक समाधान के लिए समान है, और इस प्रकार कोई भी समाधान इष्टतम है।
+[[ संतोषजनक समस्या |संतोषजनक समस्या]], जिसे व्यवहार्यता समस्या भी कहा जाता है, वस्तुनिष्ठ मूल्य की परवाह किए बिना किसी भी [[ संभव समाधान |व्यवहार्य समाधान]] को खोजने की समस्या है। इसे गणितीय अनुकूलन के विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां प्रत्येक समाधान के लिए उद्देश्य मान समान होता है, और इस प्रकार कोई भी समाधान इष्टतम होता है।
-कई अनुकूलन कलन विधि को एक संभव बिंदु से शुरू करने की आवश्यकता है।इस तरह के एक बिंदु को प्राप्त करने का एक तरीका  [[ विश्राम (सन्निकटन) |  को ]] को आराम करें  [[ स्लैक चर ]] का उपयोग करके व्यवहार्यता की स्थिति;पर्याप्त सुस्त के साथ, कोई भी प्रारंभिक बिंदु संभव है।फिर, उस स्लैक चर को कम से कम करें जब तक कि स्लैक शून्य या नकारात्मक न हो।
+कई अनुकूलन कलन विधि को व्यवहार्य बिंदु से शुरू करने की आवश्यकता है। इस तरह के एक बिंदु को प्राप्त करने का एक तरीका यह है कि एक [[ स्लैक चर |निष्क्रिय चर]] का उपयोग करके व्यवहार्यता परिस्थिति को स्थिर किया जाए; पर्याप्त निष्क्रिय के साथ, कोई भी प्रारंभिक बिंदु संभव है। फिर, उस निष्क्रिय चर को तब तक कम करें जब तक निष्क्रिय शून्य या नकारात्मक न हो।
 === अस्तित्व ===
- [[ कार्ल वेयरस्ट्रास ]] के  [[ एक्सट्रीम वैल्यू प्रमेय ]] में कहा गया है कि कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलनइसके अधिकतम और न्यूनतम मूल्य को प्राप्त करता है।अधिक आम तौर पर, एक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एक कम अर्ध-निरंतर कार्य इसके न्यूनतम को प्राप्त करता है;एक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एक ऊपरी अर्ध-निरंतर फलनअपने अधिकतम बिंदु या दृश्य को प्राप्त करता है।
+[[ कार्ल वेयरस्ट्रास |कार्ल वेयरस्ट्रास]] के [[ एक्सट्रीम वैल्यू प्रमेय |चरम मूल्य प्रमेय]] में कहा गया है कि संक्षिप्त समुच्चय पर एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फलन इसके अधिकतम और न्यूनतम मूल्य को प्राप्त करता है। साधारणतया, संक्षिप्त समुच्चय पर एक न्यून अर्ध-निरंतर फलन इसके न्यूनतम को प्राप्त करता है; संक्षिप्त समुच्चय पर एक ऊपरी अर्ध-निरंतर फलन अपने अधिकतम बिंदु या दृश्य को प्राप्त करता है।
 === इष्टतमता के लिए आवश्यक शर्तें ===
- [[ फर्मेट के प्रमेय (स्टेशनरी पॉइंट्स) |  फर्मेट के प्रमेयों में से एक ]] में कहा गया है कि अप्रतिबंधित समस्याओं का ऑप्टिमा  [[ स्टेशनरी प्वाइंट ]] एस पर पाया जाता है, जहां पहला व्युत्पन्न या उद्देश्य फलनका ढाल शून्य है ( [[ पहले व्युत्पन्न परीक्षण ]] देखें)।आम तौर पर, वे  [[ क्रिटिकल पॉइंट (गणित) |  क्रिटिकल पॉइंट ]] पर पाए जा सकते हैं, जहां ऑब्जेक्टिव फलनका पहला व्युत्पन्न या ढाल शून्य है या अपरिभाषित है, या पसंद समुच्चय की सीमा पर है।एक समीकरण (या समीकरणों का समुच्चय) यह बताते हुए कि एक आंतरिक इष्टतम में पहले व्युत्पन्न (एस) के बराबर (एस) शून्य को 'प्रथम-क्रम की स्थिति' या प्रथम-क्रम स्थितियों का एक समुच्चय कहा जाता है।
+[[ फर्मेट के प्रमेय (स्टेशनरी पॉइंट्स) |फर्मेट के प्रमेयों में से एक]] में कहा गया है कि अप्रतिबंधित समस्याओं का ऑप्टिमा [[ स्टेशनरी प्वाइंट |स्थिर बिंदुओं]] पर पाया जाता है, जहां पहला व्युत्पन्न या उद्देश्य फलन का अनुप्रवण शून्य है ([[ पहले व्युत्पन्न परीक्षण |पहले व्युत्पन्न परीक्षण]] देखें)। साधारणतया, वे [[ क्रिटिकल पॉइंट (गणित) | क्रांतिक बिंदु]] पर पाए जा सकते हैं, जहां वस्तुनिष्ठ फलन का पहला व्युत्पन्न या ढाल शून्य है या अपरिभाषित है, या पसंद समुच्चय की सीमा पर है। एक समीकरण (या समीकरणों का समुच्चय) जो बताता है कि पहला व्युत्पन्न एक आंतरिक इष्टतम पर शून्य के बराबर है, इसे 'प्रथम-क्रम की स्थिति' या 'प्रथम-क्रम की स्थितियों' का एक समुच्चय कहा जाता है।
-समानता-विवश समस्याओं के ऑप्टिमा को  [[ Lagrange गुणक ]] विधि द्वारा पाया जा सकता है।समानता और/या असमानता की बाधाओं के साथ समस्याओं का ऑप्टिमा ' [[ करुश -कुहन -टकर शर्तों ]]' का उपयोग करके पाया जा सकता है।
+समानता-विवश समस्याओं के ऑप्टिमा को [[ Lagrange गुणक |लैग्रेंज गुणक]] विधि द्वारा पाया जा सकता है। समानता और/या असमानता की बाधाओं के साथ समस्याओं का ऑप्टिमा '[[ करुश -कुहन -टकर शर्तों |करुश -कुहन -टकर शर्तों]] ' का उपयोग करके पाया जा सकता है।
 === इष्टतमता के लिए पर्याप्त शर्तें ===
 जबकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण उन बिंदुओं की पहचान करता है जो एक्सट्रैमा हो सकते हैं, यह परीक्षण एक ऐसे बिंदु को अलग नहीं करता है जो एक से न्यूनतम है जो अधिकतम या एक है जो न तो है।जब उद्देश्य फलनदो बार अलग -अलग होता है, तो इन मामलों को अप्रतिबंधित समस्याओं में दूसरे व्युत्पन्न या दूसरे डेरिवेटिव ( [[ हेसियन मैट्रिक्स ]] कहा जाता है) के मैट्रिक्स की जांच करके प्रतिष्ठित किया जा सकता है, या ऑब्जेक्टिव फलनके दूसरे डेरिवेटिव और कहा जाता है। [[ हेसियन मैट्रिक्स#ने हेसियन |  की सीमा को विवश समस्याओं में हेसियन ]] की सीमा की।अन्य स्थिर बिंदुओं से मैक्सिमा, या मिनिमा को अलग करने वाली स्थितियों को 'दूसरे क्रम की स्थिति' कहा जाता है (देखें ' [[ दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण ]]')।यदि कोई उम्मीदवार समाधान पहले-क्रम की स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो दूसरे क्रम की स्थितियों की संतुष्टि के साथ-साथ कम से कम स्थानीय इष्टतमता को स्थापित करने के लिए पर्याप्त है।
-=== संवेदनशीलता और ऑप्टिमा की निरंतरता ===
+=== ऑप्टिमा की संवेदनशीलता और निरंतरता ===
- [[ लिफाफा प्रमेय ]] बताता है कि एक अंतर्निहित  [[ पैरामीटर ]] में परिवर्तन होने पर एक इष्टतम समाधान का मूल्य कैसे बदलता है।इस परिवर्तन की गणना करने की प्रक्रिया को  [[ तुलनात्मक स्टेटिक्स ]] कहा जाता है।
+[[ लिफाफा प्रमेय |एनवलप प्रमेय]] बताता है कि अंतर्निहित [[ पैरामीटर |मापदण्ड]] में परिवर्तन होने पर इष्टतम समाधान का मूल्य कैसे बदलता है। इस परिवर्तन की गणना करने की प्रक्रिया को [[ तुलनात्मक स्टेटिक्स |तुलनात्मक स्थैतिकी]] कहा जाता है।
+[[ क्लाउड बर्ज |क्लाउड बर्ज]] (1963) का [[ अधिकतम प्रमेय |अधिकतम प्रमेय]] अंतर्निहित फलन के समारोह के रूप में एक इष्टतम समाधान की निरंतरता का वर्णन करता है।
+=== अनुकूलन की गणना ===
+दो बार-अलग-अलग कार्यों के साथ अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, कुछ [[ क्रिटिकल पॉइंट (गणित) |महत्वपूर्ण पॉइंट्स]] उन बिंदुओं को खोजकर पाया जा सकता है जहां उद्देश्य फलन के [[ ग्रेडिएंट |अनुप्रवण]] शून्य है (यानी, स्थिर अंक)। साधारणतया, शून्य  [[ सबग्रिडिएंट |उप अनुप्रवण]] यह प्रमाणित करता है कि उत्तल फलन और अन्य [[ उत्तल अनुकूलन |स्थानीय न्यूनतम]] से लिप्सचिट्ज़ फलन के साथ न्यूनीकरण की समस्याओं के लिए स्थानीय न्यूनतम पाया गया है।
+इसके अलावा, महत्वपूर्ण बिंदुओं को [[ हेसियन मैट्रिक्स |हेसियन आव्यूह]] की निश्चितता का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है: यदि हेसियन एक महत्वपूर्ण बिंदु पर सकारात्मक निश्चित है, तो बिंदु स्थानीय न्यूनतम है; यदि हेस्सियन आव्यूह नकारात्मक निश्चित है, तो बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है; अंत में, यदि अनिश्चित कालीन है, तो बिंदु किसी प्रकार का [[ सैडल पॉइंट |पिचिण्डिका]] बिंदु है।
+विवश समस्याओं को अक्सर [[ Lagrange गुणक |लाग्रेंज गुणक]] की मदद से अप्रतिबंधित समस्याओं में बदल दिया जा सकता है। [[ Lagrangian विश्राम |लाग्रेंज विश्राम]] भी कठिन विवश समस्याओं के अनुमानित समाधान प्रदान कर सकता है।
+जब उद्देश्य फलन [[ उत्तल फ़ंक्शन |उत्तल फलन]] हो, तो कोई भी स्थानीय न्यूनतम भी वैश्विक न्यूनतम होगा। उत्तल कार्यों को कम करने के लिए कुशल संख्यात्मक तकनीकें मौजूद हैं, जैसे [[आंतरिक-बिंदु विधियाँ]]।
+=== वैश्विक अभिसरण===
+साधारणतया, यदि उद्देश्य फलन एक द्विघात फलन नहीं है, तो कई अनुकूलन विधियां अन्य विधियों का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए करती हैं कि पुनरावृत्तियों के कुछ अनुक्रम इष्टतम समाधान में परिवर्तित हो जाते हैं। अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए पहली और अभी भी लोकप्रिय विधि [[ लाइन खोज |लाइन खोज]] पर निर्भर करती है, जो आयाम के साथ फलन को अनुकूलित करती है। अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए एक दूसरा और तेजी से लोकप्रिय तरीका [[ ट्रस्ट क्षेत्र |ट्रस्ट]] क्षेत्रों का उपयोग करता है। दोनों लाइन खोजों और ट्रस्ट क्षेत्रों का उपयोग [[ सबग्रिडिएंट विधि |गैर-विभेद्य अनुकूलन]] के आधुनिक तरीकों में किया जाता है। आमतौर पर, वैश्विक अनुकूलक उन्नत स्थानीय अनुकूलक (जैसे [[ BFGS विधि | BFGS]] ) की तुलना में बहुत धीमा होता है, इसलिए अक्सर स्थानीय अनुकूलक को अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं से शुरू करके एक योग्य वैश्विक अनुकूलक बनाया जा सकता है।
- [[ क्लाउड बर्ज ]] (1963) का  [[ अधिकतम प्रमेय ]] अंतर्निहित मापदंडों के एक समारोह के रूप में एक इष्टतम समाधान की निरंतरता का वर्णन करता है।
-=== अनुकूलन की पथरी ===
-{{Main|Karush–Kuhn–Tucker conditions}}
-{{See also|Critical point (mathematics)|Differential calculus|Gradient|Hessian matrix|Positive definite matrix|Lipschitz continuity|Rademacher's theorem|Convex function|Convex analysis}}
-दो बार-अलग-अलग कार्यों के साथ अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, कुछ  [[ क्रिटिकल पॉइंट (गणित) |  क्रिटिकल पॉइंट्स ]] उन बिंदुओं को खोजकर पाया जा सकता है जहां ऑब्जेक्टिव फलनके  [[ ग्रेडिएंट ]] शून्य है (यानी, स्थिर अंक)। अधिक आम तौर पर, एक शून्य  [[ सबग्रिडिएंट ]] यह प्रमाणित करता है कि  [[ उत्तल अनुकूलन |  के लिए एक स्थानीय न्यूनतम पाया गया है जो उत्तल ]]  [[ उत्तल कार्य |  फलन]] और अन्य  [[ रेडमैचर के प्रमेय |  स्थानीय रूप से ]]  [[ LIPSCHITZ फ़ंक्शन | LIPSCHITZ फलन]]2 ]]]]]]222 ]]  [[111 LIPSCHITZ फलनके साथ।
-इसके अलावा,  [[ हेसियन मैट्रिक्स ]] की  [[ पॉजिटिव डेफिट मैट्रिक्स |  डेफिटनेस ]] का उपयोग करके महत्वपूर्ण बिंदुओं को वर्गीकृत किया जा सकता है: यदि हेसियन एक महत्वपूर्ण बिंदु पर 'पॉजिटिव' 'निश्चित है, तो बिंदु एक स्थानीय न्यूनतम है; यदि हेसियन मैट्रिक्स नकारात्मक निश्चित है, तो बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है; अंत में, यदि अनिश्चितकालीन है, तो बिंदु कुछ प्रकार के  [[ सैडल पॉइंट ]] है।
-विवश समस्याओं को अक्सर  [[ Lagrange गुणक ]] s की मदद से अप्रतिबंधित समस्याओं में बदल दिया जा सकता है।  [[ Lagrangian विश्राम ]] भी कठिन विवश समस्याओं के अनुमानित समाधान प्रदान कर सकता है।
-जब उद्देश्य फलन [[ उत्तल फ़ंक्शन | उत्तल फलन]] है, तो कोई भी स्थानीय न्यूनतम भी एक वैश्विक न्यूनतम होगा। उत्तल कार्यों को कम करने के लिए कुशल संख्यात्मक तकनीकें मौजूद हैं, जैसे कि  [[ इंटीरियर-पॉइंट विधि ]] एस।
-=== वैश्विक अभिसरण ====
-आम तौर पर, यदि उद्देश्य फलनएक द्विघात कार्य नहीं है, तो कई अनुकूलन विधियां यह सुनिश्चित करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करती हैं कि पुनरावृत्तियों के कुछ बाद एक इष्टतम समाधान में परिवर्तित हो जाते हैं।अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए पहली और अभी भी लोकप्रिय विधि  [[ लाइन खोज ]] ईएस पर निर्भर करती है, जो एक आयाम के साथ एक फलनको अनुकूलित करती है।अभिसरण सुनिश्चित करने के लिए एक दूसरा और तेजी से लोकप्रिय तरीका  [[ ट्रस्ट क्षेत्र ]] एस का उपयोग करता है।दोनों लाइन खोजों और ट्रस्ट क्षेत्रों का उपयोग  [[ सबग्रिडिएंट विधि |  गैर-विभेद्य अनुकूलन ]] के आधुनिक तरीकों में किया जाता है।आमतौर पर, एक वैश्विक ऑप्टिमाइज़र उन्नत स्थानीय ऑप्टिमाइज़र (जैसे  [[ BFGS विधि |  BFGS ]]) की तुलना में बहुत धीमा होता है, इसलिए अक्सर विभिन्न शुरुआती बिंदुओं से स्थानीय ऑप्टिमाइज़र शुरू करके एक कुशल वैश्विक ऑप्टिमाइज़र का निर्माण किया जा सकता है।एक अनुमानित समाधान की गणना करने वाले हेयुरिस्टिक आधारित अनुकूलन कलन विधि का भी उपयोग किया जा सकता है<ref name=": 1 />
-== कम्प्यूटेशनल अनुकूलनतकनीक ==
-समस्याओं को हल करने के लिए, शोधकर्ता  [[ एल्गोरिथम ]] एस का उपयोग कर सकते हैं जो चरणों की एक परिमित संख्या में समाप्त हो जाते हैं, या  [[ पुनरावृत्त विधि ]] एस जो एक समाधान में परिवर्तित होते हैं (समस्याओं के कुछ निर्दिष्ट वर्ग पर), या  [[ हेयुरिस्टिक एल्गोरिथ्म |  HEURISTICS ]] जो प्रदान कर सकते हैंकुछ समस्याओं के अनुमानित समाधान (हालांकि उनके पुनरावृत्तियों को अभिसरण की आवश्यकता नहीं है)।
-=== अनुकूलन कलन विधि ===
-{{see also|List of optimization algorithms}}
-*  [[ सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म ]] का  [[ जॉर्ज डैंटज़िग ]],  [[ रैखिक प्रोग्रामिंग | रैखिक कार्यरचना]]  के लिए डिज़ाइन किया गया
-* सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के एक्सटेंशन,  [[ द्विघात प्रोग्रामिंग | द्विघात कार्यरचना]]  के लिए डिज़ाइन किए गए और  [[ रैखिक-फ्रैक्टल प्रोग्रामिंग | रैखिक-फ्रैक्टल कार्यरचना]]  के लिए
-* सिंप्लेक्स एल्गोरिथ्म के वेरिएंट जो विशेष रूप से  [[ फ्लो नेटवर्क |  नेटवर्क अनुकूलन]] के लिए अनुकूल हैं
-*  [[ कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन |  कॉम्बिनेटरियल कलन विधि]]
-*  [[ क्वांटम अनुकूलन एल्गोरिदम | क्वांटम अनुकूलन कलन विधि]]
-=== पुनरावृत्त तरीके ====
-{{Main|Iterative method}}
- [[ iterative विधियाँ ]]  [[ nonlinear प्रोग्रामिंग | nonlinear कार्यरचना]] की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाती हैं कि क्या वे  [[ सबरूटीन |  का मूल्यांकन ]]  [[ हेसियन मैट्रिक्स |  हेसियन ]], ग्रेडिएंट्स, या केवल फलनमानों का मूल्यांकन करते हैं। हेसियन (एच) और ग्रेडिएंट्स (जी) का मूल्यांकन करते समय अभिसरण की दर में सुधार होता है, उन कार्यों के लिए जिनके लिए ये मात्राएँ मौजूद हैं और पर्याप्त रूप से सुचारू रूप से भिन्न होती हैं, इस तरह के मूल्यांकन प्रत्येक पुनरावृत्ति के  [[ कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत |  कम्प्यूटेशनल जटिलता ]] (या कम्प्यूटेशनल लागत) को बढ़ाते हैं। कुछ मामलों में, कम्प्यूटेशनल जटिलता अत्यधिक उच्च हो सकती है।
+== कम्प्यूटेशनल अनुकूलन तकनीक ==
+समस्याओं को हल करने के लिए, शोधकर्ता [[ एल्गोरिथम |कलन विधि]] का उपयोग कर सकते हैं जो चरणों की एक परिमित संख्या में समाप्त हो जाते हैं, या [[ पुनरावृत्त विधि |पुनरावृत्त विधि]] जो एक समाधान में अभिसरण करते हैं (समस्याओं के कुछ निर्दिष्ट वर्ग पर), या  [[ हेयुरिस्टिक एल्गोरिथ्म |ह्यूरिस्टिक्स]] जो कुछ समस्याओं के अनुमानित समाधान प्रदान कर सकते हैं (हालांकि उनके पुनरावृत्तियों को अभिसरण की आवश्यकता नहीं है)।
-ऑप्टिमाइज़र के लिए एक प्रमुख मानदंड केवल आवश्यक फलनमूल्यांकन की संख्या है क्योंकि यह अक्सर पहले से ही एक बड़ा कम्प्यूटेशनल प्रयास होता है, आमतौर पर ऑप्टिमाइज़र के भीतर ही बहुत अधिक प्रयास होता है, जिसे मुख्य रूप से एन चर पर संचालित करना पड़ता है। डेरिवेटिव ऐसे ऑप्टिमाइज़र के लिए विस्तृत जानकारी प्रदान करते हैं, लेकिन गणना करने के लिए और भी कठिन हैं, उदा। ग्रेडिएंट का अनुमान लगाने से कम से कम N+1 फलनमूल्यांकन होता है। द्वितीय डेरिवेटिव (हेसियन मैट्रिक्स में एकत्र) के अनुमानों के लिए, फलनमूल्यांकन की संख्या n of के क्रम में है। न्यूटन की विधि के लिए 2-ऑर्डर डेरिवेटिव्स की आवश्यकता होती है, इसलिए प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, फलनकॉल की संख्या N, के क्रम में है, लेकिन एक सरल शुद्ध ढाल ऑप्टिमाइज़र के लिए यह केवल N है। हालांकि, ग्रेडिएंट ऑप्टिमाइज़र को आमतौर पर न्यूटन के एल्गोरिथ्म की तुलना में अधिक पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। फलनकॉल की संख्या के संबंध में कौन सा सबसे अच्छा है, यह समस्या पर निर्भर करता है।
+=== अनुकूलन कलन विधि ===
-* ऐसे तरीके जो हेसियन (या अनुमानित हेसियन का मूल्यांकन करते हैं,  [[ परिमित अंतर ]] s का उपयोग करते हुए):
+*  [[ जॉर्ज डैंटज़िग |जॉर्ज डैंटज़िग]] का [[ सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म |प्रसमुच्चय कलन विधि]], [[ रैखिक प्रोग्रामिंग |रैखिक कार्यरचना]] के लिए डिज़ाइन किया गया।
-**  [[ न्यूटन की विधि अनुकूलन में |  न्यूटन की विधि ]]
+* प्रसमुच्चय कलन विधि के विस्तारण, [[ द्विघात प्रोग्रामिंग |द्विघात कार्यरचना]] और [[ रैखिक-फ्रैक्टल प्रोग्रामिंग |रैखिक-फ्रैक्टल कार्यरचना]] के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
-**  [[ अनुक्रमिक द्विघात प्रोग्रामिंग | अनुक्रमिक द्विघात कार्यरचना]] : लघु-मध्यम पैमाने के लिए एक न्यूटन-आधारित विधि '' विवश '' समस्याएं। कुछ संस्करण बड़े-आयामी समस्याओं को संभाल सकते हैं।
+* प्रसमुच्चय कलन विधि के प्रकारांतर जो विशेष रूप से [[ फ्लो नेटवर्क |संजाल अनुकूलन]] के लिए अनुकूल हैं।
-**  [[ इंटीरियर पॉइंट मेथड्स ]]: यह विवश अनुकूलन के लिए तरीकों का एक बड़ा वर्ग है, जिनमें से कुछ केवल (उप) ग्रेडिएंट जानकारी का उपयोग करते हैं और जिनमें से अन्य को हेसियन के मूल्यांकन की आवश्यकता होती है।
+*  [[ कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन |संयोजी कलन विधि]]
-* ऐसे तरीके जो ग्रेडिएंट्स का मूल्यांकन करते हैं, या किसी तरह से अनुमानित ग्रेडिएंट्स (या यहां तक कि सबग्रैडिएंट्स):
+*  [[ क्वांटम अनुकूलन एल्गोरिदम | क्वांटम अनुकूलन कलन विधि]]
-**  [[ समन्वय वंश ]] तरीके: कलन विधि जो प्रत्येक पुनरावृत्ति में एक एकल समन्वय को अपडेट करते हैं
-**  [[ संयुग्म ग्रेडिएंट विधि ]] एस:  [[ ITERATIVE विधि ]] बड़ी समस्याओं के लिए। (सिद्धांत रूप में, ये विधियाँ द्विघात उद्देश्य कार्यों के साथ चरणों की एक परिमित संख्या में समाप्त हो जाती हैं, लेकिन यह परिमित समाप्ति परिमित -पूर्व -प्रक्षेपण कंप्यूटरों पर व्यवहार में नहीं देखा जाता है।)
-**  [[ ग्रेडिएंट डिसेंट ]] (वैकल्पिक रूप से, सबसे कठिन वंश या सबसे खड़ी चढ़ाई): ऐतिहासिक और सैद्धांतिक रुचि का एक (धीमा) विधि, जिसने भारी समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने के लिए रुचि को नवीनीकृत किया है।
-**  [[ सबग्रिडिएंट विधि ]] एस: बड़े  [[ रेडमैकर के प्रमेय |  के लिए एक पुनरावृत्त विधि स्थानीय रूप से ]]  [[ लिप्स्चिट्ज़ निरंतरता |  लिप्स्चिट्ज़ फ़ंक्शंस ]]  [[ सबग्रिडिएंट |  सामान्यीकृत ग्रैडेंट्स ]] का उपयोग करते हुए। बोरिस टी। पॉलीक के बाद, सबग्रिडिएंट -प्रोजेक्शन विधियाँ संयुग्म -ग्रैडिएंट विधियों के समान हैं।
-** वंश की बंडल विधि: स्थानीय रूप से लिप्स्चिट्ज़ कार्यों के साथ छोटे-मेडियम-आकार की समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्ति विधि, विशेष रूप से  [[ उत्तल अनुकूलन |  उत्तल न्यूनतमकरण ]] समस्याओं के लिए (संयुग्म ग्रेडिएंट विधियों के समान)।
-**  [[ एलिपोसिड विधि ]]:  [[ Quasiconvex फ़ंक्शन |  Quasiconvex ]] उद्देश्य कार्यों और महान सैद्धांतिक रुचि के साथ छोटी समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्ति विधि, विशेष रूप से कुछ कॉम्बिनेटरियल अनुकूलनसमस्याओं की बहुपद समय जटिलता को स्थापित करने में। इसमें अर्ध-न्यूटन विधियों के साथ समानताएं हैं।
-**  [[ फ्रैंक -वुल्फ एल्गोरिथ्म |  सशर्त ग्रेडिएंट विधि (फ्रैंक -वुल्फ) ]]  [[ रैखिक बाधाओं के साथ विशेष रूप से संरचित समस्याओं के अनुमानित न्यूनतमकरण के लिए ]], विशेष रूप से ट्रैफ़िक नेटवर्क के साथ। सामान्य अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, यह विधि ढाल विधि को कम कर देती है, जिसे अप्रचलित माना जाता है (लगभग सभी समस्याओं के लिए)।
-**  [[ क्वासी-न्यूटन एमETHOD ]] S: मध्यम-बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त तरीके (जैसे n <1000)।
-**  [[ स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक साथ गड़बड़ी स्टोकेस्टिक सन्निकटन |प्रसंभाव्य अनुकूलनके लिए एक साथ गड़बड़ीप्रसंभाव्य सन्निकटन]]  (एसपीएसए) विधि;यादृच्छिक (कुशल) ढाल सन्निकटन का उपयोग करता है।
-* वे तरीके जो केवल फलनमानों का मूल्यांकन करते हैं: यदि कोई समस्या लगातार अलग है, तो ग्रेडिएंट्स को परिमित अंतर का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है, जिस स्थिति में एक ढाल-आधारित विधि का उपयोग किया जा सकता है।
-**  [[ प्रक्षेप ]] विधियाँ
-**  [[ पैटर्न खोज (अनुकूलन) |  पैटर्न खोज ]] विधियाँ, जिनमें  [[ नेल्डर -मेथ विधि |  नेल्डर -मेड हेयुरिस्टिक (सिम्पलिस के साथ) ]] की तुलना में बेहतर अभिसरण गुण हैं, जो नीचे सूचीबद्ध है।
-**  [[ मिरर वंश ]]
-=== heuristics ===
+=== पुनरावृत्त तरीके ===
-{{Main|Heuristic algorithm}}
+[[ nonlinear प्रोग्रामिंग |गैर-रैखिक कार्यरचना]] की समस्याओं [[ सबरूटीन |का मूल्यांकन]] करने के लिए उपयोग किए जाने वाले [[ iterative विधियाँ |पुनरावृत्त विधियाँ]] इस बात के अनुसार भिन्न होते हैं कि क्या वे [[ हेसियन मैट्रिक्स |हेसियन]], प्रवणता या केवल फलन मानों का मूल्यांकन करते हैं। हेसियन और ग्रेडियेंट का मूल्यांकन करते समय अभिसरण की दर में सुधार होता है, जिसके लिए ये मात्रा मौजूद होती है और पर्याप्त रूप से भिन्न होती है, ऐसे मूल्यांकन प्रत्येक पुनरावृत्ति की [[ कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत |संगणनात्मक जटिलता]] (या संगणनात्मक लागत) में वृद्धि करते हैं। कुछ मामलों में, संगणनात्मक जटिलता अत्यधिक अधिक हो सकती है।
-इसके अलावा (बारीक रूप से समाप्ति)  [[ एल्गोरिथ्म ]] एस और (अभिसरण)  [[ पुनरावृत्त विधि ]] एस,  [[ हेयुरिस्टिक एल्गोरिथ्म |  हेयुरिस्टिक्स ]] हैं<ref name=": 1 /> एक हेयुरिस्टिक कोई भी एल्गोरिथ्म है जो समाधान खोजने के लिए (गणितीय रूप से) गारंटी नहीं है, लेकिन जो कुछ व्यावहारिक स्थितियों में फिर भी उपयोगी है।कुछ प्रसिद्ध heuristics की सूची:
+अनुकूलन के लिए प्रमुख मानदंड केवल आवश्यक फलन मूल्यांकन की संख्या है क्योंकि यह अक्सर पहले से ही एक बड़ा संगणनात्मक प्रयास होता है, आमतौर पर अनुकूलन के भीतर ही बहुत अधिक प्रयास होता है, जिसे मुख्य रूप से N चर पर संचालित करना पड़ता है। डेरिवेटिव ऐसे अनुकूलन के लिए विस्तृत जानकारी प्रदान करते हैं, लेकिन गणना करने के लिए और भी कठिन होता है, उदाहरण के लिए अनुप्रवण  का अनुमान लगाने से कम से कम N+1 फलन मूल्यांकन होता है। द्वितीय डेरिवेटिव (हेसियन आव्यूह में एकत्रित) के अनुमानों के लिए, फलन मूल्यांकन की संख्या N² के क्रम में है। न्यूटन की विधि के लिए 2-ऑर्डर डेरिवेटिव्स की आवश्यकता होती है, इसलिए प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, फलन आवाहन की संख्या N² के क्रम में होती है, लेकिन एक सरल शुद्ध अनुप्रवण अनुकूलन के लिए यह केवल N होती है। हालाँकि, अनुप्रवण अनुकूलन को न्यूटन के कलन विधि की तुलना में आमतौर पर अधिक पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। कौन सा फलन आवाहन की संख्या के संबंध में सबसे अच्छा है, समस्या पर ही निर्भर करता है।
+* ऐसे तरीके जो हेसियन (या अनुमानित हेसियन) का मूल्यांकन करते हैं, ([[ परिमित अंतर |परिमित अंतर]] का उपयोग करते हुए):
+**  [[ न्यूटन की विधि अनुकूलन में | न्यूटन की विधि]]
+**  [[ अनुक्रमिक द्विघात प्रोग्रामिंग |अनुक्रमिक द्विघात कार्यरचना]] : लघु-मध्यम पैमाने की विवश समस्याओं के लिए न्यूटन-आधारित विधि। कुछ संस्करण बड़े-आयामी समस्याओं को संभाल सकते हैं।
+**  [[ इंटीरियर पॉइंट मेथड्स |आंतरिक बिंदु विधियाँ]] : यह विवश अनुकूलन के लिए विधियों का एक बड़ा वर्ग है, जिनमें से कुछ केवल (उप) अनुप्रवण जानकारी का उपयोग करते हैं और जिनमें से अन्य को हेसियन के मूल्यांकन की आवश्यकता होती है।
+* ऐसे तरीके जो अनुप्रवण का मूल्यांकन करते हैं, या किसी तरह से अनुमानित अनुप्रवण (या यहां तक कि उप-अनुप्रवण):
+**  [[ समन्वय वंश | समन्वय वंश]] विधियाँ: कलन विधि जो प्रत्येक पुनरावृत्ति में एकल समन्वय को अद्यतन करते हैं
+**  [[ संयुग्म ग्रेडिएंट विधि | संयुग्म अनुप्रवण विधि]]: बड़ी समस्याओं के लिए[[ ITERATIVE विधि | पुनरावृत्त]][[ ITERATIVE विधि | विधि]]। (सिद्धांत रूप में, ये विधियाँ द्विघात उद्देश्य कार्यों के साथ चरणों की परिमित संख्या में समाप्त हो जाती हैं, लेकिन यह परिमित समाप्ति परिमित -पूर्व -प्रक्षेपण कंप्यूटरों पर व्यवहार में नहीं देखा जाता है।)
+**  [[ ग्रेडिएंट डिसेंट |अनुप्रवण उद्भव]]  (वैकल्पिक रूप से, 'सबसे कठिन वंश' या 'सबसे खड़ी चढ़ाई'): ऐतिहासिक और सैद्धांतिक रुचि की एक (धीमा) विधि, जिसने भारी समस्याओं के अनुमानित समाधान खोजने के लिए रुचि को नवीनीकृत किया है।
+**  [[ सबग्रिडिएंट विधि |उप-अनुप्रवण विधि]] : [[ सबग्रिडिएंट |सामान्यीकृत अनुप्रवण]] का उपयोग करके बड़े स्थानीय रूप से [[लिप्सचिट्ज़ कार्यों]] के लिए पुनरावृत्त विधि। बोरिस टी. पॉलीक के बाद, उप-अनुप्रवण-प्रक्षेपण विधियां संयुग्म-अनुप्रवण विधियों के समान हैं।
+** वंश की बंडल विधि: स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ कार्यों के साथ छोटे-मध्यम आकार की समस्याओं के लिए एक पुनरावृत्ति विधि, विशेष रूप से [[ उत्तल अनुकूलन |उत्तल न्यूनतमकरण]] समस्याओं के लिए (संयुग्म ढाल विधियों के समान) है।
+**  [[ एलिपोसिड विधि |दीर्घवृत्ताभ विधि]] : विशेष रूप से कुछ संयोजी इष्टतमीकरण समस्याओं की बहुपद समय जटिलता स्थापित करने में [[ Quasiconvex फ़ंक्शन |अर्ध-उत्तल]] उद्देश्य फलन और महान सैद्धांतिक रुचि के साथ छोटी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त विधि। इसमें अर्ध-न्यूटन विधियों के साथ समानताएं हैं।
+**  विशेष रूप से यातायात नेटवर्क के साथ [[ रैखिक बाधाओं के साथ विशेष रूप से संरचित समस्याओं के अनुमानित न्यूनतमकरण के लिए |रैखिक बाधाओं के साथ विशेष रूप से संरचित समस्याओं के अनुमानित न्यूनतमकरण के लिए]] [[ फ्रैंक -वुल्फ एल्गोरिथ्म |सशर्त अनुप्रवण विधि (फ्रैंक -वुल्फ)]]। सामान्य अप्रतिबंधित समस्याओं के लिए, यह विधि अनुप्रवण विधि को कम कर देती है, जिसे अप्रचलित (लगभग सभी समस्याओं के लिए) माना जाता है।
+**  [[ क्वासी-न्यूटन एमETHOD | क्वासी-न्यूटन विधियाँ]] : मध्यम-बड़ी समस्याओं के लिए पुनरावृत्त तरीके (जैसे n <1000)।
+**  [[ स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक साथ गड़बड़ी स्टोकेस्टिक सन्निकटन |प्रसंभाव्य अनुकूलन के लिए एक साथ क्षोभ प्रसंभाव्य सन्निकटन]]  (एसपीएसए) विधि; यादृच्छिक (कुशल) अनुप्रवण सन्निकटन का उपयोग करता है।
+* वे तरीके जो केवल फलन मानों का मूल्यांकन करते हैं: यदि कोई समस्या लगातार अलग है, तो अनुप्रवण्स को परिमित अंतर का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है, जिस स्थिति में अनुप्रवण-आधारित विधि का उपयोग किया जा सकता है।
+**  [[ प्रक्षेप | प्रक्षेप]]  विधियाँ
+**  [[ पैटर्न खोज (अनुकूलन) |  पैटर्न खोज]]  विधियाँ, जिनमें  [[ नेल्डर -मेथ विधि |नेल्डर -मेड हेयुरिस्टिक (आद्यलक्षणी  के साथ)]]  की तुलना में बेहतर अभिसरण गुण हैं, जो नीचे सूचीबद्ध है।
+**  [[ मिरर वंश | मिरर वंश]]
+=== हेयुरिस्टिक (अनुमानी) ===
+इसके अलावा (अंतिम रूप से समाप्त) [[ एल्गोरिथ्म |कलन विधि]] और (अभिसरण) [[ पुनरावृत्त विधि |पुनरावृत्त विधि]], [[ हेयुरिस्टिक एल्गोरिथ्म |हेयुरिस्टिक्स]] हैं। अनुमानी कोई भी कलन विधि है जो समाधान खोजने के लिए (गणितीय रूप से) गारंटीकृत नहीं है, लेकिन जो कुछ व्यावहारिक स्थितियों में फिर भी उपयोगी है। कुछ प्रसिद्ध अनुमानों की सूची:
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 *  [[ सिम्युलेटेड एनीलिंग ]]
 *  [[ स्टोकेस्टिक टनलिंग ]]
-*  [[ तबू खोज]{{colend}}
+*  [[ तबू खोज]]{{colend}}
 == अनुप्रयोग ==
-=== यांत्रिकी ====
+=== यांत्रिकी ===
- [[ कठोर शरीर की गतिशीलता ]] में समस्याएं (विशेष रूप से स्पष्ट रूप से कठोर शरीर की गतिशीलता) में अक्सर गणितीय कार्यरचना तकनीकों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आप कठोर शरीर की गतिशीलता को देख सकते हैं।<ref>{{cite journal |first=A.F. |last=Vereshchagin |title=Modelling and control of motion of manipulation robots |journal=Soviet Journal of Computer and Systems Sciences |volume=27 |issue=5 |pages=29–38 |year=1989}}</ref> बाधाएं विभिन्न nonlinear ज्यामितीय बाधाएं हैं जैसे कि इन दो बिंदुओं को हमेशा संयोग होना चाहिए, इस सतह को किसी अन्य में प्रवेश नहीं करना चाहिए, या इस बिंदु को हमेशा इस वक्र पर कहीं झूठ बोलना चाहिए।इसके अलावा, कंप्यूटिंग संपर्क बलों की समस्या  [[ रैखिक पूरक समस्या ]] को हल करके की जा सकती है, जिसे क्यूपी (द्विघात कार्यरचना) समस्या के रूप में भी देखा जा सकता है।
+[[ कठोर शरीर की गतिशीलता |कठोर शरीर की गतिशीलता]] में (विशेष रूप से स्पष्ट रूप से कठोर शरीर की गतिशीलता) समस्याओं के लिए अक्सर गणितीय कार्यरचना तकनीकों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आप कठोर शरीर की गतिशीलता को एक बाधा कई गुना पर साधारण अंतर समीकरण को हल करने के प्रयास के रूप में देख सकते हैं;<ref>{{cite journal |first=A.F. |last=Vereshchagin |title=Modelling and control of motion of manipulation robots |journal=Soviet Journal of Computer and Systems Sciences |volume=27 |issue=5 |pages=29–38 |year=1989}}</ref> बाधाएं विभिन्न अरैखिक ज्यामितीय बाधाएं हैं जैसे कि इ"न दो बिंदुओं को सदैव संयोग होना चाहिए", "यह सतह किसी अन्य में प्रवेश नहीं करनी चाहिए", या "यह बिंदु सदैव इस वक्र पर कहीं स्थित होना चाहिए"। साथ ही, संपर्क बलों की गणना करने की समस्या एक [[ रैखिक पूरक समस्या |रैखिक पूरक समस्या]] को हल करके की जा सकती है, जिसे QP (द्विघात कार्यरचना) समस्या के रूप में भी देखा जा सकता है।
-कई डिजाइन समस्याओं को अनुकूलन कार्यक्रमों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।इस एप्लिकेशन को डिज़ाइन अनुकूलनकहा जाता है।एक सबसमुच्चय  [[ इंजीनियरिंग ऑप्टिमाइज़ेशन | इंजीनियरिंग अनुकूलन]] है, और इस क्षेत्र का एक और हाल ही में और बढ़ता सबसमुच्चय  [[ मल्टीडिसिप्लिनरी डिज़ाइन ऑप्टिमाइज़ेशन | मल्टीडिसिप्लिनरी डिज़ाइन अनुकूलन]] है, जो कई समस्याओं में उपयोगी है, विशेष रूप से  [[ एयरोस्पेस इंजीनियरिंग ]] समस्याओं पर लागू किया गया है।
+कई डिजाइन समस्याओं को अनुकूलन कार्यक्रमों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। इस अनुप्रयोग को डिज़ाइन अनुकूलन कहा जाता है। एक उपसमुच्चय [[ इंजीनियरिंग ऑप्टिमाइज़ेशन |इंजीनियरिंग अनुकूलन]] है, और इस क्षेत्र का एक और हाल ही में और बढ़ता सबसमुच्चय [[ मल्टीडिसिप्लिनरी डिज़ाइन ऑप्टिमाइज़ेशन |बहु-विषयक डिज़ाइन अनुकूलन]] है, जो कई समस्याओं में उपयोगी है, विशेष रूप से [[ एयरोस्पेस इंजीनियरिंग |अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी इंजीनियरिंग]] समस्याओं पर लागू किया गया है।
 यह दृष्टिकोण ब्रह्मांड विज्ञान और खगोल भौतिकी में लागू किया जा सकता है<ref>{{cite journal |first1=S. |last1=Haggag|first2=F. |last2=Desokey|first3=M. |last3=Ramadan   |title=A cosmological inflationary model using optimal control |journal= Gravitation and Cosmology|volume=23 |issue=3 |pages=236–239 |year=2017 |issn=1995-0721 | doi=10.1134/S0202289317030069 |bibcode=2017GrCo...23..236H|s2cid=125980981}}</ref>
 === अर्थशास्त्र और वित्त ===
- [[ इकोनॉमिक्स ]]  [[ एजेंट (अर्थशास्त्र) |  एजेंट्स ]] के अनुकूलन से निकटता से जुड़ा हुआ है कि एक प्रभावशाली परिभाषा से संबंधित अर्थशास्त्र का वर्णन किया गया है '' क्वा '' विज्ञान के रूप में मानव व्यवहार के अध्ययन के रूप में अंत और  [[ दुर्लभ ]] का मतलब वैकल्पिक उपयोग के साथ वैकल्पिक उपयोग के साथ है।<ref> [[ लियोनेल रॉबिन्स ]] (1935, 2 एड।) ''  [[ आर्थिक विज्ञान की प्रकृति और महत्व पर एक निबंध#प्रमुख प्रस्ताव |  आर्थिक विज्ञान की प्रकृति और महत्व पर एक निबंध ]] ', मैकमिलन, पी।16</ref>  आधुनिक अनुकूलन सिद्धांत में पारंपरिक अनुकूलन सिद्धांत शामिल है, लेकिन यह भी  [[ गेम थ्योरी ]] और आर्थिक  [[ संतुलन (अर्थशास्त्र) |  संतुलन ]] के अध्ययन के साथ ओवरलैप है। ''  [[ जर्नल ऑफ़ इकोनॉमिक लिटरेचर ]] ''  [[ JEL वर्गीकरण कोड |  कोड ]]  [[ JEL वर्गीकरण कोड#गणितीय और मात्रात्मक तरीके JEL के तहत गणितीय कार्यरचना, अनुकूलनतकनीकों और संबंधित विषयों को वर्गीकृत करें।
+[[ इकोनॉमिक्स |अर्थशास्त्र]] [[ एजेंट (अर्थशास्त्र) |एजेंट्स]] के अनुकूलन से निकटता से जुड़ा हुआ है कि एक प्रभावशाली परिभाषा वैकल्पिक उपयोगों के साथ "साध्य और [[ दुर्लभ |दुर्लभ]] साधनों के बीच संबंध के रूप में मानव व्यवहार का अध्ययन" के रूप में विज्ञान के रूप में अर्थशास्त्र का वर्णन करती है।<ref> [[ लियोनेल रॉबिन्स ]] (1935, 2 एड।) ''  [[ आर्थिक विज्ञान की प्रकृति और महत्व पर एक निबंध#प्रमुख प्रस्ताव |  आर्थिक विज्ञान की प्रकृति और महत्व पर एक निबंध ]] ', मैकमिलन, पी।16''</ref> आधुनिक अनुकूलन सिद्धांत में पारंपरिक अनुकूलन सिद्धांत सम्मिलित है, लेकिन यह भी [[ गेम थ्योरी |गेम थ्योरी]] और आर्थिक [[ संतुलन (अर्थशास्त्र) |संतुलन]] के अध्ययन के साथ अधिव्यापन है। द''[[ जर्नल ऑफ़ इकोनॉमिक लिटरेचर |जर्नल ऑफ़ इकोनॉमिक लिटरेचर]]''[[ JEL वर्गीकरण कोड |कोड]] गणितीय कार्यरचना, अनुकूलन तकनीकों और संबंधित विषयों को  JEL:C61-C63 के तहत वर्गीकृत करता है।
-माइक्रोइकॉनॉमिक्स में,  [[ उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या ]] और इसकी  [[ दोहरी समस्या ]],  [[ व्यय न्यूनतमकरण समस्या ]], आर्थिक अनुकूलन समस्याएं हैं। Insofar के रूप में वे लगातार व्यवहार करते हैं,  [[ उपभोक्ता ]] s को उनकी  [[ उपयोगिता ]] को अधिकतम करने के लिए माना जाता है, जबकि  [[ फर्म ]] s को आमतौर पर अपने  [[ लाभ (अर्थशास्त्र) |  लाभ ]] को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। इसके अलावा, एजेंटों को अक्सर  [[ जोखिम के रूप में तैयार किया जाता है, जो |  जोखिम-प्रति-]] ]] होता है, जिससे जोखिम से बचने के लिए प्राथमिकता होती है।  [[ एसेट प्राइसिंग |  एसमुच्चय प्राइस]] भी अनुकूलनथ्योरी का उपयोग करके मॉडलिंग की जाती है, हालांकि अंतर्निहित गणित स्थैतिक अनुकूलन के बजाय  [[ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया |प्रसंभाव्य प्रक्रिया]] ईएस के अनुकूलन पर निर्भर करता है।  [[ अंतर्राष्ट्रीय व्यापार सिद्धांत ]] राष्ट्रों के बीच व्यापार पैटर्न को समझाने के लिए अनुकूलन का भी उपयोग करता है।  [[ पोर्टफोलियो (वित्त) |  पोर्टफोलियो ]] का अनुकूलन अर्थशास्त्र में बहु-उद्देश्य अनुकूलन का एक उदाहरण है।
+सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, [[ उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या |उपयोगिता अधिकतमकरण समस्या]] और इसकी [[ दोहरी समस्या |दोहरी समस्या]], [[ व्यय न्यूनतमकरण समस्या |व्यय न्यूनतमकरण समस्या]], आर्थिक अनुकूलन समस्याएं हैं। जहाँ तक वे लगातार व्यवहार करते हैं, [[ उपभोक्ता |उपभोक्ता]] को उनकी  [[ उपयोगिता | उपयोगिता]] को अधिकतम करने के लिए माना जाता है, जबकि [[ फर्म |फर्मों]] को आमतौर पर अपने [[ लाभ (अर्थशास्त्र) |लाभ]] को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। इसके अलावा, एजेंटों को अक्सर [[ जोखिम के रूप में तैयार किया जाता है, जो |जोखिम-प्रतिकूल]] होने के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है, जिससे जोखिम से बचने को प्राथमिकता दी जाती है। एसेट की कीमतें भी अनुकूलन सिद्धांत का उपयोग करके तैयार की जाती हैं, हालांकि अंतर्निहित गणित स्थैतिक अनुकूलन के बजाय [[ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया |प्रसंभाव्य]] प्रक्रियाओं के अनुकूलन पर निर्भर करता है। [[ अंतर्राष्ट्रीय व्यापार सिद्धांत |अंतर्राष्ट्रीय व्यापार सिद्धांत]] भी राष्ट्रों के बीच व्यापार पैटर्न की व्याख्या करने के लिए अनुकूलन का उपयोग करता है। विभागों का अनुकूलन अर्थशास्त्र में बहुउद्देश्यीय अनुकूलन का एक उदाहरण है।
-के दशक के बाद से, अर्थशास्त्रियों ने  [[ नियंत्रण सिद्धांत ]] का उपयोग करके समय के साथ गतिशील निर्णय लिए हैं<ref>{{cite journal |first=Robert |last=Dorfman |author-link=Robert Dorfman |title=An Economic Interpretation of Optimal Control Theory |journal=[[American Economic Review]] |volume=59 |issue=5 |year=1969 |pages=817–831 |jstor=1810679 }}</ref> उदाहरण के लिए, डायनेमिक  [[ खोज सिद्धांत |  खोज मॉडल ]] का उपयोग  [[ श्रम अर्थशास्त्र |  श्रम-बाजार व्यवहार ]] का अध्ययन करने के लिए किया जाता है<ref>{{cite book |first=Thomas J. |last=Sargent |author-link=Thomas J. Sargent |chapter=Search |title=Dynamic Macroeconomic Theory |publisher=Harvard University Press |year=1987 |pages=57–91 |isbn= 9780674043084|chapter-url=https://books.google.com/books?id=nVuyXF8ibeIC&pg=PA57 }}</ref> एक महत्वपूर्ण अंतर नियतात्मक औरप्रसंभाव्य मॉडल के बीच है<ref>ए.जी. मॉलियारिस (2008)।स्टोचस्टिक इष्टतम नियंत्रण, '' द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स '', दूसरा संस्करण।] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171018182459/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000269&edition=&field=keyword&q=Taylor's%20th&topicid=&result_number=1 |date=2017-10-18 }}</ref>   [[ मैक्रोइकॉनॉमिक्स |  मैक्रोइकॉनॉमिस्ट ]] बिल्ड  [[ डायनेमिक स्टोकेस्टिक जनरल इक्विलिब्रियम |  डायनेमिकप्रसंभाव्य जनरल इक्विलिब्रियम (डीएसजीई)]] मॉडल जो पूरी अर्थव्यवस्था की गतिशीलता का वर्णन करते हैं।<ref>{{cite journal |first1=Julio |last1=Rotemberg |author-link=Julio Rotemberg |author-link2=Michael Woodford (economist) |first2=Michael |last2=Woodford |year=1997 |title=An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy |journal=NBER Macroeconomics Annual |volume=12 |pages=297–346 |doi=10.2307/3585236 |jstor=3585236 |url=http://www.nber.org/chapters/c11041.pdf |doi-access=free }}</ref><ref>''  [[ द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स ]] '' (2008) से, अमूर्त लिंक के साथ दूसरा संस्करण: <br /> &nbsp; & nbsp;• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?</ref>
+के दशक के बाद से, अर्थशास्त्रियों ने [[ नियंत्रण सिद्धांत |नियंत्रण सिद्धांत]] का उपयोग करके समय के साथ गतिशील निर्णयों को प्रतिरूपित किया है।<ref>{{cite journal |first=Robert |last=Dorfman |author-link=Robert Dorfman |title=An Economic Interpretation of Optimal Control Theory |journal=[[American Economic Review]] |volume=59 |issue=5 |year=1969 |pages=817–831 |jstor=1810679 }}</ref> उदाहरण के लिए, [[ श्रम अर्थशास्त्र |श्रम-बाजार व्यवहार]] का अध्ययन करने के लिए गतिशील खोज मॉडल का उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book |first=Thomas J. |last=Sargent |author-link=Thomas J. Sargent |chapter=Search |title=Dynamic Macroeconomic Theory |publisher=Harvard University Press |year=1987 |pages=57–91 |isbn= 9780674043084|chapter-url=https://books.google.com/books?id=nVuyXF8ibeIC&pg=PA57 }}</ref> नियतात्मक और प्रसंभाव्य मॉडल के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है।<ref>ए.जी. मॉलियारिस (2008)।स्टोचस्टिक इष्टतम नियंत्रण, '' द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स '', दूसरा संस्करण।] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171018182459/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000269&edition=&field=keyword&q=Taylor's%20th&topicid=&result_number=1 |date=2017-10-18 }}</ref> [[ मैक्रोइकॉनॉमिक्स |मैक्रोइकॉनॉमिस्ट]] [[ डायनेमिक स्टोकेस्टिक जनरल इक्विलिब्रियम |सक्रिय प्रसंभाव्य सामान्य संतुलन (डीएसजीई)]] मॉडल का निर्माण करते हैं जो श्रमिकों, उपभोक्ताओं, निवेशकों और सरकारों के अन्योन्याश्रित अनुकूलन निर्णयों के परिणाम के रूप में संपूर्ण अर्थव्यवस्था की गतिशीलता का वर्णन करते हैं।<ref>{{cite journal |first1=Julio |last1=Rotemberg |author-link=Julio Rotemberg |author-link2=Michael Woodford (economist) |first2=Michael |last2=Woodford |year=1997 |title=An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy |journal=NBER Macroeconomics Annual |volume=12 |pages=297–346 |doi=10.2307/3585236 |jstor=3585236 |url=http://www.nber.org/chapters/c11041.pdf |doi-access=free }}</ref><ref>''  [[ द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स ]] '' (2008) से, अमूर्त लिंक के साथ दूसरा संस्करण: <br /> &nbsp; & nbsp;• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?• [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?</ref>
-=== इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग ====
+=== इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग ===
- [[ इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग ]] में अनुकूलन तकनीकों के कुछ सामान्य अनुप्रयोगों में  [[ सक्रिय फ़िल्टर ]] डिजाइन शामिल हैं<ref>{{Cite journal|last1=De|first1=Bishnu Prasad|last2=Kar|first2=R.|last3=Mandal|first3=D.|last4=Ghoshal|first4=S.P.|date=2014-09-27|title=Optimal selection of components value for analog active filter design using simplex particle swarm optimization|journal=International Journal of Machine Learning and Cybernetics|volume=6|issue=4|pages=621–636|doi=10.1007/s13042-014-0299-0|s2cid=13071135|issn=1868-8071}}</ref> सुपरकंडक्टिंग मैग्नेटिक एनर्जी स्टोरेज सिस्टम में स्ट्रे फ़ील्ड में कमी,  [[ स्पेस मैपिंग ]] डिजाइन  [[ माइक्रोवेव ]] स्ट्रक्चर्स<ref>{{cite journal |last1=Koziel |first1=Slawomir |last2=Bandler |first2=John W. |title=Space Mapping With Multiple Coarse Models for Optimization of Microwave Components |journal=IEEE Microwave and Wireless Components Letters |date=January 2008 |volume=18 |issue=1 |pages=1–3 |doi=10.1109/LMWC.2007.911969|citeseerx=10.1.1.147.5407 |s2cid=11086218 }}</ref> हैंडसमुच्चय एंटेना<ref>{{cite journal |last1=Tu |first1=Sheng |last2=Cheng |first2=Qingsha S. |last3=Zhang |first3=Yifan |last4=Bandler |first4=John W. |last5=Nikolova |first5=Natalia K. |title=Space Mapping Optimization of Handset Antennas Exploiting Thin-Wire Models |journal=IEEE Transactions on Antennas and Propagation |date=July 2013 |volume=61 |issue=7 |pages=3797–3807 |doi=10.1109/TAP.2013.2254695|bibcode=2013ITAP...61.3797T |doi-access=free }}</ref><ref>एन। फ्रेडरिक, [http://mwrf.com/software/space-mapping-outpaces-em-optimization-handset-antenna-design "हैंडसेट-एंटेना डिजाइन में स्पेस मैपिंग आउटपेस ईएम ऑप्टिमाइज़ेशन,"] माइक्रोवेव और आरएफ, 30 अगस्त, 30, 30,2013</ref><ref>{{cite journal |last1=Cervantes-González |first1=Juan C. |last2=Rayas-Sánchez |first2=José E. |last3=López |first3=Carlos A. |last4=Camacho-Pérez |first4=José R. |last5=Brito-Brito |first5=Zabdiel |last6=Chávez-Hurtado |first6=José L. |title=Space mapping optimization of handset antennas considering EM effects of mobile phone components and human body |journal=International Journal of RF and Microwave Computer-Aided Engineering |date=February 2016 |volume=26 |issue=2 |pages=121–128 |doi=10.1002/mmce.20945}}</ref> इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स-आधारित डिजाइन।माइक्रोवेव घटकों और एंटेना के इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रूप से मान्य डिजाइन अनुकूलन ने एक उपयुक्त भौतिकी-आधारित या अनुभवजन्य  [[ सरोगेट मॉडल ]] और  [[ स्पेस मैपिंग ]] कार्यप्रणाली का व्यापक उपयोग किया है।<ref>{{cite journal |last1=Bandler |first1=J.W. |last2=Biernacki |first2=R.M. |last3=Chen |first3=Shao Hua |last4=Grobelny |first4=P.A. |last5=Hemmers |first5=R.H. |title=Space mapping technique for electromagnetic optimization |journal=IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques |date=1994 |volume=42 |issue=12 |pages=2536–2544 |doi=10.1109/22.339794|bibcode=1994ITMTT..42.2536B }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Bandler |first1=J.W. |last2=Biernacki |first2=R.M. |author3=Shao Hua Chen |last4=Hemmers |first4=R.H. |last5=Madsen |first5=K. |title=Electromagnetic optimization exploiting aggressive space mapping |journal=IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques |date=1995 |volume=43 |issue=12 |pages=2874–2882 |doi=10.1109/22.475649|bibcode=1995ITMTT..43.2874B }}</ref>
+[[ इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग |इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग]] में अनुकूलन तकनीकों के कुछ सामान्य अनुप्रयोगों में [[ सक्रिय फ़िल्टर |सक्रिय फ़िल्टर]] डिजाइन, अतिचालक चुंबकीय ऊर्जा भंडारण प्रणालियों में अवांछित क्षेत्र में कमी, [[ माइक्रोवेव |माइक्रोवेव]] संरचनाओं के [[ स्पेस मैपिंग |अंतरिक्ष]] [[ स्पेस मैपिंग |मानचित्रण]] डिजाइन,<ref>{{cite journal |last1=Koziel |first1=Slawomir |last2=Bandler |first2=John W. |title=Space Mapping With Multiple Coarse Models for Optimization of Microwave Components |journal=IEEE Microwave and Wireless Components Letters |date=January 2008 |volume=18 |issue=1 |pages=1–3 |doi=10.1109/LMWC.2007.911969|citeseerx=10.1.1.147.5407 |s2cid=11086218 }}</ref> हैंडसमुच्चय एंटेना, <ref>एन। फ्रेडरिक, [http://mwrf.com/software/space-mapping-outpaces-em-optimization-handset-antenna-design "हैंडसेट-एंटेना डिजाइन में स्पेस मैपिंग आउटपेस ईएम ऑप्टिमाइज़ेशन,"] माइक्रोवेव और आरएफ, 30 अगस्त, 30, 30,2013</ref> इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स-आधारित डिजाइन<ref>{{cite journal |last1=Cervantes-González |first1=Juan C. |last2=Rayas-Sánchez |first2=José E. |last3=López |first3=Carlos A. |last4=Camacho-Pérez |first4=José R. |last5=Brito-Brito |first5=Zabdiel |last6=Chávez-Hurtado |first6=José L. |title=Space mapping optimization of handset antennas considering EM effects of mobile phone components and human body |journal=International Journal of RF and Microwave Computer-Aided Engineering |date=February 2016 |volume=26 |issue=2 |pages=121–128 |doi=10.1002/mmce.20945}}</ref> सम्मिलित हैं<ref>{{Cite journal|last1=De|first1=Bishnu Prasad|last2=Kar|first2=R.|last3=Mandal|first3=D.|last4=Ghoshal|first4=S.P.|date=2014-09-27|title=Optimal selection of components value for analog active filter design using simplex particle swarm optimization|journal=International Journal of Machine Learning and Cybernetics|volume=6|issue=4|pages=621–636|doi=10.1007/s13042-014-0299-0|s2cid=13071135|issn=1868-8071}}</ref>। 1993 में अंतरिक्ष मानचित्रण की खोज के बाद से माइक्रोवेव घटकों और एंटेना के विद्युत चुम्बकीय रूप से मान्य डिजाइन अनुकूलन ने उपयुक्त भौतिकी-आधारित या अनुभवजन्य [[ सरोगेट मॉडल |सरोगेट मॉडल]] और [[ स्पेस मैपिंग |अंतरिक्ष मानचित्रण]] पद्धतियों का व्यापक उपयोग किया है।<ref>{{cite journal |last1=Bandler |first1=J.W. |last2=Biernacki |first2=R.M. |last3=Chen |first3=Shao Hua |last4=Grobelny |first4=P.A. |last5=Hemmers |first5=R.H. |title=Space mapping technique for electromagnetic optimization |journal=IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques |date=1994 |volume=42 |issue=12 |pages=2536–2544 |doi=10.1109/22.339794|bibcode=1994ITMTT..42.2536B }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Bandler |first1=J.W. |last2=Biernacki |first2=R.M. |author3=Shao Hua Chen |last4=Hemmers |first4=R.H. |last5=Madsen |first5=K. |title=Electromagnetic optimization exploiting aggressive space mapping |journal=IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques |date=1995 |volume=43 |issue=12 |pages=2874–2882 |doi=10.1109/22.475649|bibcode=1995ITMTT..43.2874B }}</ref>
-=== सिविल इंजीनियरिंग ====
+=== सिविल इंजीनियरिंग ===
-सिविल इंजीनियरिंग में अनुकूलन का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है। [[ कंस्ट्रक्शन मैनेजमेंट ]] और  [[ ट्रांसपोर्टेशन इंजीनियरिंग ]] सिविल इंजीनियरिंग की मुख्य शाखाओं में से हैं जो अनुकूलन पर बहुत अधिक भरोसा करते हैं।सबसे आम सिविल इंजीनियरिंग समस्याएं जो अनुकूलन द्वारा हल की जाती हैं<ref>{{cite journal |last1=Piryonesi |first1=Sayed Madeh |last2=Tavakolan |first2=Mehdi |title=A mathematical programming model for solving cost-safety optimization (CSO) problems in the maintenance of structures |journal=KSCE Journal of Civil Engineering |date=9 January 2017 |volume=21 |issue=6 |pages=2226–2234 |doi=10.1007/s12205-017-0531-z|s2cid=113616284 }}</ref>  [[ संसाधन समतल ]]<ref>{{cite journal |last1=Hegazy |first1=Tarek |title=Optimization of Resource Allocation and Leveling Using Genetic Algorithms |journal=Journal of Construction Engineering and Management |date=June 1999 |volume=125 |issue=3 |pages=167–175 |doi=10.1061/(ASCE)0733-9364(1999)125:3(167) |doi-access=free}}</ref><ref name=": ०{{Cite journal|title=Piryonesi, S. M., Nasseri, M., & Ramezani, A. (2018). Resource leveling in construction projects with activity splitting and resource constraints: a simulated annealing optimization. |journal=Canadian Journal of Civil Engineering |date=9 July 2018 |volume=46 |pages=81–86|doi=10.1139/cjce-2017-0670|hdl=1807/93364|hdl-access=free|last1=Piryonesi |first1=S. Madeh |last2=Nasseri |first2=Mehran |last3=Ramezani |first3=Abdollah |s2cid=116480238 }}</ref>  [[ हाइड्रोलॉजिकल ऑप्टिमाइज़ेशन |  जल संसाधन आवंटन ]],  [[ यातायात ]] प्रबंधन<ref>{{Cite journal|last1=Herty|first1=M.|last2=Klar|first2=A.|date=2003-01-01|title=Modeling, Simulation, and Optimization of Traffic Flow Networks|url=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S106482750241459X|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=25|issue=3|pages=1066–1087|doi=10.1137/S106482750241459X|issn=1064-8275}}</ref> और अनुसूची अनुकूलन।
+सिविल इंजीनियरिंग में अनुकूलन का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है। [[ कंस्ट्रक्शन मैनेजमेंट |निर्माण प्रबंधन]] और [[ ट्रांसपोर्टेशन इंजीनियरिंग |परिवहन इंजीनियरिंग]] सिविल इंजीनियरिंग की मुख्य शाखाओं में से हैं जो अनुकूलन पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं।अनुकूलन द्वारा हल की जाने वाली सबसे आम सिविल इंजीनियरिंग समस्याएं हैं<ref>{{cite journal |last1=Piryonesi |first1=Sayed Madeh |last2=Tavakolan |first2=Mehdi |title=A mathematical programming model for solving cost-safety optimization (CSO) problems in the maintenance of structures |journal=KSCE Journal of Civil Engineering |date=9 January 2017 |volume=21 |issue=6 |pages=2226–2234 |doi=10.1007/s12205-017-0531-z|s2cid=113616284 }}</ref> [[resource leveling]],<ref>{{cite journal |last1=Hegazy |first1=Tarek |title=Optimization of Resource Allocation and Leveling Using Genetic Algorithms |journal=Journal of Construction Engineering and Management |date=June 1999 |volume=125 |issue=3 |pages=167–175 |doi=10.1061/(ASCE)0733-9364(1999)125:3(167) |doi-access=free}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|title=Piryonesi, S. M., Nasseri, M., & Ramezani, A. (2018). Resource leveling in construction projects with activity splitting and resource constraints: a simulated annealing optimization. |journal=Canadian Journal of Civil Engineering |date=9 July 2018 |volume=46 |pages=81–86|doi=10.1139/cjce-2017-0670|hdl=1807/93364|hdl-access=free|last1=Piryonesi |first1=S. Madeh |last2=Nasseri |first2=Mehran |last3=Ramezani |first3=Abdollah |s2cid=116480238 }}</ref> [[Hydrological optimization|water resource allocation]], [[traffic]] management<ref>{{Cite journal|last1=Herty|first1=M.|last2=Klar|first2=A.|date=2003-01-01|title=Modeling, Simulation, and Optimization of Traffic Flow Networks|url=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S106482750241459X|journal=SIAM Journal on Scientific Computing|volume=25|issue=3|pages=1066–1087|doi=10.1137/S106482750241459X|bibcode=2003SJSC...25.1066H |issn=1064-8275}}</ref> and schedule optimization.
-=== संचालन अनुसंधान ====
-एक अन्य क्षेत्र जो अनुकूलन तकनीकों का बड़े पैमाने पर उपयोग करता है, वह है  [[ संचालन अनुसंधान ]]<ref>{{cite web|title=New force on the political scene: the Seophonisten |url=http://www.seophonist-wahl.de/ |access-date=14 September 2013 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20141218090504/http://www.seophonist-wahl.de/ |archive-date=18 December 2014 }}</ref> संचालन अनुसंधान भी बेहतर निर्णय लेने का समर्थन करने के लिएप्रसंभाव्य मॉडलिंग और सिमुलेशन का उपयोग करता है।तेजी से, संचालन अनुसंधान  [[ स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग |प्रसंभाव्य कार्यरचना]] का उपयोग करता है, जो कि घटनाओं के अनुकूल होने वाले गतिशील निर्णयों को मॉडल करने के लिए है;इस तरह की समस्याओं को बड़े पैमाने पर अनुकूलन और  [[ स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन |प्रसंभाव्य अनुकूलन]] विधियों के साथ हल किया जा सकता है।
+=== संचालन अनुसंधान ===
+एक अन्य क्षेत्र जो व्यापक रूप से अनुकूलन तकनीकों का उपयोग करता है, वह [[ संचालन अनुसंधान |संचालन अनुसंधान]] <ref>{{cite web|title=New force on the political scene: the Seophonisten |url=http://www.seophonist-wahl.de/ |access-date=14 September 2013 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20141218090504/http://www.seophonist-wahl.de/ |archive-date=18 December 2014 }}</ref> है। संचालन अनुसंधान बेहतर निर्णय लेने में सहायता के लिए प्रसंभाव्य मॉडलिंग और अनुरूपण का भी उपयोग करता है। तेजी से, संचालन अनुसंधान घटनाओं के अनुकूल होने वाले गतिशील निर्णयों को मॉडल करने के लिए [[ स्टोकेस्टिक प्रोग्रामिंग |प्रसंभाव्य कार्यरचना]] का उपयोग करता है; इस तरह की समस्याओं को बड़े पैमाने पर अनुकूलन और [[ स्टोकेस्टिक ऑप्टिमाइज़ेशन |प्रसंभाव्य अनुकूलन]] विधियों से हल किया जा सकता है।
 === नियंत्रण इंजीनियरिंग ===
-गणितीय अनुकूलन का उपयोग बहुत आधुनिक नियंत्रक डिजाइन में किया जाता है।उच्च-स्तरीय नियंत्रक जैसे कि  [[ मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल ]] (एमपीसी) या रियल-टाइम अनुकूलन(आरटीओ) गणितीय अनुकूलन को नियोजित करते हैं।ये कलन विधि ऑनलाइन चलते हैं और बार -बार निर्णय चर के लिए मूल्यों को निर्धारित करते हैं, जैसे कि एक प्रक्रिया संयंत्र में चोक ओपनिंग, पुनरावृत्ति द्वारा एक गणितीय अनुकूलन समस्या को हल करके बाधाओं और सिस्टम के एक मॉडल को नियंत्रित करने के लिए।
+बहुत आधुनिक नियंत्रक डिजाइन में गणितीय अनुकूलन का उपयोग किया जाता है। उच्च-स्तरीय नियंत्रक जैसे कि [[ मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल |मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल]] (एमपीसी) या रियल-टाइम (समयोचित) अनुकूलन (आरटीओ) गणितीय अनुकूलन को नियोजित करते हैं। ये कलन विधि ऑनलाइन चलते हैं और बार -बार निर्णय चर के लिए मूल्यों को निर्धारित करते हैं, जैसे कि प्रक्रिया संयंत्र में चोक ओपनिंग, पुनरावृत्ति द्वारा गणितीय अनुकूलन समस्या को हल करके बाधाओं और सिस्टम के एक मॉडल को नियंत्रित करने के लिए है।
-=== भूभौतिकी ====
+=== भूभौतिकी ===
-अनुकूलन तकनीकों का उपयोग नियमित रूप से  [[ भूभौतिकी |  भूभौतिकीय ]] पैरामीटर अनुमान समस्याओं में किया जाता है।भूभौतिकीय माप का एक समुच्चय दिया गया, उदा। [[ सीस्मोलॉजी |  भूकंपीय रिकॉर्डिंग ]], यह  [[ खनिज भौतिकी |  भौतिक गुण ]] और पृथ्वी की  [[ संरचना |  ज्यामितीय आकार ]] अंतर्निहित चट्टानों और तरल पदार्थों के लिए हल करना आम है।भूभौतिकी में अधिकांश समस्याएं नियतात्मक औरप्रसंभाव्य दोनों तरीकों के साथ व्यापक रूप से उपयोग किए जा रहे हैं।
+अनुकूलन तकनीकों का उपयोग नियमित रूप से [[ भूभौतिकी |भूभौतिकीय]] मापदण्ड अनुमान समस्याओं में किया जाता है। भूभौतिकीय मापों के समुच्चय को देखते हुए, उदाहरण के लिए [[ सीस्मोलॉजी |भूकंपीय रिकॉर्डिंग]], यह [[ खनिज भौतिकी |भौतिक गुण]] और पृथ्वी की [[ संरचना |ज्यामितीय आकार]] अंतर्निहित चट्टानों और तरल पदार्थों के लिए हल करना आम है। भूभौतिकी में अधिकांश समस्याएं नियतात्मक और प्रसंभाव्य दोनों तरीकों के साथ व्यापक रूप से उपयोग किए जा रहे हैं।
 === आणविक मॉडलिंग ===
-{{main|Molecular modeling}}
+गैर-रैखिक अनुकूलन विधियों का व्यापक रूप से [[ कंफॉर्मल एनालिसिस |संरूपण विश्लेषण]] में उपयोग किया जाता है।
-नॉनलाइनियर अनुकूलनविधियों का व्यापक रूप से  [[ कंफॉर्मल एनालिसिस ]] में उपयोग किया जाता है।
 === कम्प्यूटेशनल सिस्टम बायोलॉजी ===
-{{main|Computational systems biology}}
+अनुकूलन तकनीकों का उपयोग संगणनात्मक प्रणाली जीव विज्ञान के कई पहलुओं में किया जाता है जैसे कि मॉडल निर्माण, इष्टतम प्रयोगात्मक डिजाइन, उपापचय इंजीनियरिंग और कृत्रिम जीव विज्ञान।<ref name="Papoutsakis 1984">{{Cite journal|last=Papoutsakis|first=Eleftherios Terry|date=February 1984|title=Equations and calculations for fermentations of butyric acid bacteria|journal=Biotechnology and Bioengineering|volume=26|issue=2|pages=174–187|doi=10.1002/bit.260260210|pmid=18551704|s2cid=25023799|issn=0006-3592}}</ref> [[ रैखिक प्रोग्रामिंग |रैखिक कार्यरचना]] किण्वन उत्पादों की अधिकतम संभावित पैदावार की गणना करने के लिए लागू किया गया है<ref name="Papoutsakis 1984" /> और कई माइक्रोएरे डेटासमुच्चय से जीन विनियामक प्रसार<ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Rui-Sheng|last2=Wang|first2=Yong|last3=Zhang|first3=Xiang-Sun|last4=Chen|first4=Luonan|date=2007-09-22|title=Inferring transcriptional regulatory networks from high-throughput data|journal=Bioinformatics|volume=23|issue=22|pages=3056–3064|doi=10.1093/bioinformatics/btm465|pmid=17890736|issn=1460-2059|doi-access=free}}</ref> के साथ-साथ ही उच्च- साद्यांत डेटा से अनुलेखीय<ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Yong|last2=Joshi|first2=Trupti|last3=Zhang|first3=Xiang-Sun|last4=Xu|first4=Dong|last5=Chen|first5=Luonan|date=2006-07-24|title=Inferring gene regulatory networks from multiple microarray datasets |journal=Bioinformatics|language=en|volume=22|issue=19|pages=2413–2420|doi=10.1093/bioinformatics/btl396|pmid=16864593|issn=1460-2059|doi-access=free}}</ref> नियामक प्रसार का अनुमान लगाया गया है। [[ nonlinear प्रोग्रामिंग |अरैखिक कार्यरचना]] का उपयोग ऊर्जा उपापचय का विश्लेषण करने के लिए किया गया है<ref>{{Cite journal|last1=Vo|first1=Thuy D.|last2=Paul Lee|first2=W.N.|last3=Palsson|first3=Bernhard O.|date=May 2007|title=Systems analysis of energy metabolism elucidates the affected respiratory chain complex in Leigh's syndrome|journal=Molecular Genetics and Metabolism|volume=91|issue=1|pages=15–22|doi=10.1016/j.ymgme.2007.01.012|pmid=17336115|issn=1096-7192}}</ref> और जैव रासायनिक मार्गों में उपापचय इंजीनियरिंग और मापदण्ड अनुमान के लिए लागू किया गया है<ref>{{Cite journal|last1=Mendes|first1=P.|author-link1 = Pedro Pedrosa Mendes|last2=Kell|first2=D.|date=1998|title=Non-linear optimization of biochemical pathways: applications to metabolic engineering and parameter estimation|journal=Bioinformatics|volume=14|issue=10|pages=869–883|issn=1367-4803|pmid=9927716|doi=10.1093/bioinformatics/14.10.869|doi-access=free}}</ref>
-अनुकूलन तकनीकों का उपयोग कम्प्यूटेशनल सिस्टम जीव विज्ञान के कई पहलुओं में किया जाता है जैसे कि मॉडल बिल्डिंग, इष्टतम प्रयोगात्मक डिजाइन, चयापचय इंजीनियरिंग और सिंथेटिक जीव विज्ञान<ref name="Papoutsakis 1984">{{Cite journal|last=Papoutsakis|first=Eleftherios Terry|date=February 1984|title=Equations and calculations for fermentations of butyric acid bacteria|journal=Biotechnology and Bioengineering|volume=26|issue=2|pages=174–187|doi=10.1002/bit.260260210|pmid=18551704|s2cid=25023799|issn=0006-3592}}</ref>  [[ रैखिक प्रोग्रामिंग | रैखिक कार्यरचना]] किण्वन उत्पादों की अधिकतम संभावित पैदावार की गणना करने के लिए लागू किया गया है<ref name="Papoutsakis 1984" /> और कई माइक्रोएरे डेटासमुच्चय से जीन नियामक नेटवर्क का अनुमान लगाने के लिए<ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Yong|last2=Joshi|first2=Trupti|last3=Zhang|first3=Xiang-Sun|last4=Xu|first4=Dong|last5=Chen|first5=Luonan|date=2006-07-24|title=Inferring gene regulatory networks from multiple microarray datasets |journal=Bioinformatics|language=en|volume=22|issue=19|pages=2413–2420|doi=10.1093/bioinformatics/btl396|pmid=16864593|issn=1460-2059|doi-access=free}}</ref> साथ ही उच्च-थ्रूपुट डेटा से ट्रांसक्रिप्शनल नियामक नेटवर्क<ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Rui-Sheng|last2=Wang|first2=Yong|last3=Zhang|first3=Xiang-Sun|last4=Chen|first4=Luonan|date=2007-09-22|title=Inferring transcriptional regulatory networks from high-throughput data|journal=Bioinformatics|volume=23|issue=22|pages=3056–3064|doi=10.1093/bioinformatics/btm465|pmid=17890736|issn=1460-2059|doi-access=free}}</ref>  [[ nonlinear प्रोग्रामिंग | nonlinear कार्यरचना]] का उपयोग ऊर्जा चयापचय का विश्लेषण करने के लिए किया गया है<ref>{{Cite journal|last1=Vo|first1=Thuy D.|last2=Paul Lee|first2=W.N.|last3=Palsson|first3=Bernhard O.|date=May 2007|title=Systems analysis of energy metabolism elucidates the affected respiratory chain complex in Leigh's syndrome|journal=Molecular Genetics and Metabolism|volume=91|issue=1|pages=15–22|doi=10.1016/j.ymgme.2007.01.012|pmid=17336115|issn=1096-7192}}</ref> और जैव रासायनिक मार्गों में चयापचय इंजीनियरिंग और पैरामीटर अनुमान के लिए लागू किया गया है<ref>{{Cite journal|last1=Mendes|first1=P.|author-link1 = Pedro Pedrosa Mendes|last2=Kell|first2=D.|date=1998|title=Non-linear optimization of biochemical pathways: applications to metabolic engineering and parameter estimation|journal=Bioinformatics|volume=14|issue=10|pages=869–883|issn=1367-4803|pmid=9927716|doi=10.1093/bioinformatics/14.10.869|doi-access=free}}</ref>
-=== मशीन लर्निंग ===
-{{main|Machine learning#Optimization}}
-== सॉल्वर ==
-{{main|List of optimization software}}
-==See also==
+==यह भी देखे==
-{{colbegin|colwidth=22em}}
+{{colbegin|colwidth=22em}}* [[ब्राचिस्टोक्रोन]]
-* [[Brachistochrone]]
+* [[वक्र फिटिंग]]
-* [[Curve fitting]]
+* [[नियतात्मक वैश्विक अनुकूलन]]
-* [[Deterministic global optimization]]
+* [[लक्ष्य प्रोग्रामिंग]]
-* [[Goal programming]]
+* [[गणित में प्रकाशनों की सूची#Optimization|अनुकूलन में महत्वपूर्ण प्रकाशन]]
-* [[List of publications in mathematics#Optimization|Important publications in optimization]]
+* [[कम से कम वर्गों]]
-* [[Least squares]]
+* [[गणितीय अनुकूलन सोसायटी]] (पूर्व में गणितीय प्रोग्रामिंग सोसायटी)
-* [[Mathematical Optimization Society]] (formerly Mathematical Programming Society)
+* [[: श्रेणी: अनुकूलन एल्गोरिदम और विधियां | गणितीय अनुकूलन एल्गोरिदम]]
-* [[:Category:Optimization algorithms and methods|Mathematical optimization algorithms]]
+* [[:श्रेणी:गणितीय अनुकूलन सॉफ्टवेयर|गणितीय अनुकूलन सॉफ्टवेयर]]
-* [[:Category:Mathematical optimization software|Mathematical optimization software]]
+* [[प्रक्रिया का इष्टतीमीकरण]]
-* [[Process optimization]]
+* [[सिमुलेशन-आधारित अनुकूलन]]
-* [[Simulation-based optimization]]
+* [[अनुकूलन के लिए परीक्षण कार्य]]
-* [[Test functions for optimization]]
+* [[विभिन्न कलन]]
-* [[Variational calculus]]
+* [[वाहन रूटिंग समस्या]]{{colend}}
-* [[Vehicle routing problem]]
-{{colend}}
 ==Notes==
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