विभेदक ऑपरेटर

वलय पर परिभाषित हार्मोनिक फलन। हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन होते हैं जो लाप्लास संकारक के कर्नेल में स्थित होते हैं, जो एक महत्वपूर्ण अवकल संकारक है।

गणित में, अवकल संकारक एक संकारक होता है जिसे अवकल संकारक के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सहायक है, पहले अंकन के रूप में, अवकलन को एक संक्षेप संकारक के रूप में माना जाता है जो फलन को स्वीकार करता है और एक अन्य फलन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फलन की शैली में) देता है।

यह लेख मुख्य रूप से रैखिक अवकल संकारकों पर विचार करता है, जो कि सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालांकि, अरैखिक अवकल संकारक भी उपस्थित हैं, जैसे श्वार्जियन व्युत्पन्न।

परिभाषा

क्रम-$m$ रैखिक अवकल संकारक फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{1}$ से दूसरे फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{2}$ तक का मानचित्र $A$ है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$$A=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

जहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का बहु-सूचकांक है, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ और प्रत्येक अल्फ़ा के लिए, $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ n-आयामी स्थान में कुछ खुले क्षेत्र पर एक फलन है।संकारक $D^{\alpha }$ की व्याख्या इस प्रकार की जाती है

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

इस प्रकार फलन $f\in {\mathcal {F}}_{1}$ के लिए-

$$Af=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

दो फलनों $D(g,f)$ पर काम करने वाले अवकल संकारक को द्विविभेद संकारक भी कहा जाता है।

अंकन

सबसे सामान्य अवकल संकारक व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न लेने के लिए सामान्य संकेतन में सम्मिलित हैं-

${d \over dx}$, $D$, $D_{x},$ और $\partial _{x}$.

उच्च, nवें क्रम के व्युत्पन्न लेते समय, संकारक को लिखा जा सकता है-

${d^{n} \over dx^{n}}$, $D^{n}$, $D_{x}^{n}$, या $\partial _{x}^{n}$.

तर्क x के फलन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी एक के रूप में दिया जाता है-

$[f(x)]'$

$f'(x).$

D अंकन का उपयोग और निर्माण का श्रेय ओलिवर हीविसाइड को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के अवकल संकारकों पर विचार किया था

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

अवकल समीकरणों के अपने अध्ययन में।

सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अवकल संकारकों में से एक लाप्लासियन संकारक है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.$

अन्य अवकल संकारक Θ संकारक या थीटा संकारक है, जिसे परिभाषित किया गया है

$\Theta =z{d \over dz}.$

इसे कभी-कभी एकरूपता संकारक भी कहा जाता है, क्योंकि इसके अभिलक्षणिक फलन (आइगेन फंक्शन) z में एकपद हैं-

$$\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots$$

n चरों में समरूपता संकारक द्वारा दिया गया है

$$\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$$

जैसा कि एक चर में है, Θ की अभिलक्षणिक समष्‍टियां समघात फलनों का स्थान हैं। (यूलर की समघात फलन प्रमेय)

लिखित रूप में, सामान्य गणितीय अभिसमय का पालन करते हुए, अवकल संकारक के तर्क को प्रायः संकारक के स्वयं के दाहिनी ओर रखा जाता है। कभी-कभी एक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग किया जाता है- संकारक के बाईं ओर और संकारक के दाईं ओर फलन पर संकारक को लागू करने का परिणाम, और अवकल संकारक को दोनों पक्षों के फलनों में लागू करने पर प्राप्त अंतर को तीर द्वारा निम्नानुसार दर्शाया गया है-

$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$

$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$

$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$

क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्यता धारा का वर्णन करने के लिए इस तरह के एक द्विदिश-तीर संकेतन का उपयोग प्रायः किया जाता है।

डेल

Main article: डेल

अवकल समीकरण डेल, जिसे नब्ला भी कहा जाता है, एक महत्वपूर्ण सदिश अवकल समीकरण है। यह भौतिकी में प्रायः मैक्सवेल के समीकरणों के अवकल रूप जैसे स्थानों में प्रकट होता है। त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक में, डेल को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$$\nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.$$

डेल प्रवणता को परिभाषित करता है, और इसका उपयोग विभिन्न वस्तुओं के कर्ल, विचलन और लाप्लासियन की गणना करने के लिए किया जाता है।

संकारक का अभिसम्युक्त

See also: हर्मिटियन अभिसम्युक्त

एक रेखीय अवकल संकारक $T$ दिया गया है

$$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$$

इस संकारक के अभिसम्युक्त को संकारक $T^{*}$के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि

$$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$$

जहां अंकन $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ का उपयोग अदिश गुणनफल या आंतरिक गुणनफल के लिए किया जाता है। इसलिए यह परिभाषा अदिश गुणनफल (अथवा आंतरिक गुणनफल) की परिभाषा पर निर्भर करती है।

एक चर में औपचारिक अभिसम्युक्त

वास्तविक अंतराल (a, b) पर वर्ग-समाकलनीय फलन के फलनात्मक समष्टि में, अदिश गुणनफल को परिभाषित किया गया है

$$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,$$

जहाँ f(x) के ऊपर की रेखा f(x) के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाती है। यदि इसके अलावा कोई शर्त जोड़ता है कि f या g, $x\to a$ और $x\to b$ के रूप में समाप्त हो जाता है, तो T के अभिसम्युक्त को भी इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].$$

यह सूत्र स्पष्ट रूप से अदिश गुणनफल की परिभाषा पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी अभिसम्युक्त संकारक की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। जब $T^{*}$को इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया जाता है, तो इसे T का औपचारिक अभिसम्युक्त कहा जाता है।

A (औपचारिक रूप से) स्व-अभिसम्युक्त संकारक अपने स्वयं के (औपचारिक) अभिसम्युक्त के बराबर संकारक होता है।

अनेक चर

यदि Ω Rⁿ में एक क्षेत्र है, और P Ω पर एक अवकल संकारक है, तो P का अभिसम्युक्त L²(Ω) में द्वैत द्वारा समान रूप से परिभाषित किया गया है-

$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

सभी निर्बाध L² फलनों f, g के लिए। चूंकि निर्बाध फलन L² में सघन होते हैं, यह L² के सघन उपसमुच्चय पर अभिसम्युक्त को परिभाषित करता है- P^* सघन रूप से परिभाषित संकारक है।

उदाहरण

स्टर्म-लिउविल संकारक औपचारिक स्व-अभिसम्युक्त संकारक का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के रैखिक अवकल संकारक L को रूप में लिखा जा सकता है

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.$

उपरोक्त औपचारिक अभिसम्युक्त परिभाषा का उपयोग करके इस गुण को सिद्ध किया जा सकता है।

${\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}$

यह संकारक स्टर्म-लिउविल सिद्धांत का केंद्र है जहां इस संकारक के अभिलक्षणिक फलन (अभिलक्षणिक सदिश के अनुरूप) पर विचार किया जाता है।

अवकल संकारकों के गुण

अवकलन रैखिक है, अर्थात

$D(f+g)=(Df)+(Dg),$

$D(af)=a(Df),$

जहाँ f और g फलन हैं, और a एक स्थिरांक है।

फलन गुणांक वाले D में कोई बहुपद भी एक अवकल संकारक है। हम नियम के अनुसार अवकल संकारकों की रचना भी कर सकते हैं

$(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).$

तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है- सबसे पहले संकारक D₂ में किसी भी फलन गुणांक को D₁ के अनुप्रयोग की आवश्यकता के अनुसार कई बार अलग-अलग होना चाहिए। ऐसे संकारकोंं के वलय प्राप्त करने के लिए हमें प्रयुक्त गुणांक के सभी क्रमोंं के व्युत्पन्न को मानना ​​चाहिए। दूसरे, यह वलय क्रमविनिमेय नहीं होगा- संकारक gD सामान्य रूप से Dg के समान नहीं होता है। उदाहरण के लिए हमारे पास क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक संबंध है-

$Dx-xD=1.$

संकारकों का उपवलय, जो स्थिर गुणांकों के साथ D में बहुपद हैं, इसके विपरीत, क्रमविनिमेय है। इसे दूसरे तरीके से वर्णित किया जा सकता है- इसमें अनुवाद-अपरिवर्तनीय संकारक सम्मिलित हैं।

अवकल संकारक भी शिफ्ट प्रमेय का पालन करते हैं।

अनेक चर

एक ही निर्माण को आंशिक व्युत्पन्नों के साथ किया जा सकता है, अलग-अलग चर के संबंध में अवकलन संकारकों को उत्पन्न करता है जो परिवर्तित करते है (दूसरे व्युत्पन्नों की सममिति देखें)।

बहुपद अवकल संकारकों का वलय

अविभाजित बहुपद अवकल संकारकों का वलय

Main article: वेल बीजगणित

यदि R एक वलय है, तो $R\langle D,X\rangle$ को चर D और X में R के ऊपर गैर विनिमेय बहुपद वलय होने दें, और I DX − XD − 1 द्वारा उत्पन्न द्वि पक्षीय क्रम है। तब R पर अविभाजित बहुपद अवकल संकारकों का वलय भागफल वलय $R\langle D,X\rangle /I$ होता है। यह एक गैर-विनिमेय सरल वलय है। प्रत्येक तत्व को $X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I$ रूप के एकपद के R-रैखिक संयोजन के रूप में एक विशिष्ट तरीके से लिखा जा सकता है। यह बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के अनुरूप का समर्थन करता है।

$R[X]$ (मानक व्युत्पत्ति के लिए) पर अवकल मॉड्यूल को $R\langle D,X\rangle /I$ पर मॉड्यूल के साथ पहचाना जा सकता है।

बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय

यदि R एक वलय है, तो $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$ को चर $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$ में R के ऊपर गैर विनिमेय बहुपद वलय होने दें और I तत्वों द्वारा उत्पन्न द्वि पक्षीय क्रम हैं

$(D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$

सभी $1\leq i,j\leq n,$} के लिए, जहां $\delta$ क्रोनकर डेल्टा है। फिर R पर बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय भागफल वलय $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I$ है।

यह एक गैर-विनिमेय सरल वलय है। प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}$ रूप के एकपदी के R-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

समन्वय-स्वतंत्र विवरण

अवकल ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में दो सदिश बंडलों के बीच अवकल संकारकों का एक समन्वय-स्वतंत्र विवरण होना प्रायः सुविधाजनक होता है। माना E और F अवकलनीय कई गुना M पर दो सदिश बंडल हैं। अनुभागों P : Γ(E) → Γ(F) का एक R-रैखिक मानचित्रण kवें-क्रम रैखिक अवकल संकारक कहा जाता है यदि यह जेट बंडल J^k(E) के माध्यम से कारक होता है।

$i_{P}:J^{k}(E)\to F$

ऐसा है कि

$P=i_{P}\circ j^{k}$

जहाँ j^k: Γ(E) → Γ(J^k(E)) वह दीर्घीकरण है जो E के किसी भी खंड को k-जेट से जोड़ता है।

इसका अर्थ सिर्फ इतना है कि E के दिए गए खंड s के लिए, एक बिंदु x ∈ M पर P(s) का मान पूरी तरह से x में s के k-क्रम के अनंत व्यवहार द्वारा निर्धारित किया जाता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि P(s)(x) x में s के आधार द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि अवकल संकारक स्थानीय हैं। मूलभूत परिणाम पीटर प्रमेय है जो दिखा रहा है कि इसका विपरीत भी सत्य है- कोई भी (रैखिक) स्थानीय संकारक अवकल है।

क्रमविनिमेय बीजगणित से संबंध

रेखीय अवकल संकारकों का समतुल्य, लेकिन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विवरण इस प्रकार है- R-रैखिक मानचित्र P एक k-क्रम रैखिक अवकल संकारक है, यदि किसी k + 1 निर्बाध फलन$f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)$ के लिए हमारे पास है

$[f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.$

यहाँ कोष्ठक$[f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)$ को दिक्परिवर्तक के रूप में परिभाषित किया गया है

$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).$

रेखीय अवकल संकारकों के इस निरूपण से पता चलता है कि वे क्रमविनिमेय बीजगणित पर मॉड्यूल के बीच विशेष मानचित्र हैं, जिससे अवधारणा को क्रमविनिमेय बीजगणित के एक भाग के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण

• भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास संकारक जैसे संकारक आंशिक अवकल समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
• अवकल सांस्थितिकी में, बाहरी व्युत्पन्न और लाई व्युत्पन्न संकारकों का आंतरिक अर्थ होता है।
• संक्षेप बीजगणित में, व्युत्पत्ति की अवधारणा अवकल संकारकों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसके लिए गणना के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। प्रायः इस तरह के सामान्यीकरण बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित में नियोजित होते हैं। जेट (गणित) भी देखें।
• सम्मिश्र चर z = x + i y के होलोमोर्फिक फलनों के विकास में, कभी-कभी सम्मिश्र फलन को दो वास्तविक चर x और y का फलन माना जाता है। विर्टिंगर व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अवकल संकारक हैं-
  $${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .$$
  इस दृष्टिकोण का उपयोग कई सम्मिश्र चरों के फलनों और एक मोटर चर के फलनों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।

इतिहास

1800 में लुइस फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगस्ट को स्थानक के रूप में अवकल संकारक लिखने का वैचारिक कदम बताया गया है।

यह भी देखें

• अवकल संकारक
• डेल्टा संकारक
• दीर्घवृत्तीय संकारक
• कर्ल (गणित)
• भिन्नात्मक गणना
• अपरिवर्तनीय अवकल संकारक
• क्रमविनिमेय बीजगणित पर अवकल गणना
• लैग्रेंजियन प्रणाली
• वर्णक्रमीय सिद्धांत
• ऊर्जा संकारक
• गति संकारक
• डीबीएआर (DBAR) संकारक

बाहरी संबंध

• Media related to Differential operators at Wikimedia Commons
• "Differential operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]