पूर्व आदेश

This article is about द्विआधारी संबंध(बाइनरी संबंध). For ग्राफ़ शीर्ष क्रम, see प्रथम गहराई खोज. For अप्रकाशित उत्पादों के लिए खरीद आदेश, see पूर्व आदेश. For अन्य उपयोग, see पूर्व आदेश (disambiguation).

"अर्धक्रम" redirects here. For अप्रतिवर्त सकर्मक संबंध, see सख्त आदेश.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

//4 द्वारा परिभाषित पूर्व आदेश x R y का हस्से आरेख। चक्रों के कारण R प्रतिसममित नहीं है। यदि एक चक्र में सभी संख्याओं को समतुल्य माना जाता है, तो एक आंशिक, सम रैखिक, क्रम प्राप्त होना। नीचे पहला उदाहरण देखें।

गणित में, विशेष रूप से क्रम सिद्धांत में, एक पूर्व-आदेश या अर्ध-आदेश एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिवर्त संबंध और सकर्मक संबंध भी कहा जाता है। समतुल्य संबंधों और (गैर-सख्त) आंशिक आदेशों की तुलना में सीमाएँ अधिक सामान्य हैं, दोनों एक पूर्व-आदेश की विशेष स्थितियों हैं: एक प्रतिसममित संबंध (या कंकाल (श्रेणी सिद्धांत)) पूर्व-आदेश एक आंशिक आदेश है, और एक सममित संबंध पूर्व-आदेश एक तुल्यता संबंध है।

यह नाम पूर्व आदेश इस विचार से आता है कि पूर्व-आदेश (जो आंशिक आदेश नहीं हैं) 'लगभग' (आंशिक) आदेश हैं, किन्तु पूरी तरह से नहीं; वे न तो आवश्यक रूप से प्रतिसममित और न ही असममित संबंध हैं। क्योंकि पूर्व-आदेश एक बाइनरी संबंध है, प्रतीक $\,\leq \,$ संबंध के लिए सांकेतिक उपकरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। यद्यपि, क्योंकि वे आवश्यक रूप से प्रतिसममित नहीं हैं, कुछ सामान्य अंतर्ज्ञान प्रतीक से जुड़े $\,\leq \,$ प्रयुक्त नहीं हो सकता हैं। दूसरी तरफ, एक आंशिक क्रम और एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करने के लिए, एक सामान्य शैली में एक पूर्व-आदेश का उपयोग किया जा सकता है। यद्यपि, ऐसा करना सदैव उपयोगी या अनुपयोगी होता है, यह अध्ययन किए जा रहे बाधा क्षेत्र पर निर्भर करता है।

शब्दों में, कब $a\leq b,$ होने पर b covers a या वह a precedes b , या वह b reduces a आदि कहे जा सकते है । कभी-कभी, अंकन ← या → या $\,\lesssim \,$ के स्थान पर $\,\leq .$ प्रयोग किया जाता है।

प्रत्येक पूर्व-आदेश एक निर्देशित ग्राफ से मिलता हुआ होता है, समुच्चय के तत्वों के साथ कोने के अनुरूप होता है, और कोने के बीच निर्देशित किनारों के अनुरूप तत्वों के जोड़े के बीच ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करता है। इसका विलोम सत्य नहीं है: अधिकांश निर्देशित रेखांकन न तो प्रतिवर्त और न ही सकर्मक होते हैं । सामान्यतः, संबंधित ग्राफ़ में चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) हो सकता है। एक पूर्व-आदेश जो असममित है अब चक्र नहीं है; यह एक आंशिक क्रम है, और एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ से मिलता हुआ होता है। एक पूर्व-आदेश जो सममित है एक तुल्यता संबंध प्रदर्शित करता है; इसके बारे में सोचा जा सकता है कि ग्राफ़ के किनारों पर दिशा चिह्नक विलुप्त हो गए हैं। सामान्यतः, पूर्व-आदेश के संबंधित निर्देशित ग्राफ में कई वियोजित किए गए घटक हो सकते हैं।

औपचारिक परिभाषा

एक सजातीय संबंध पर विचार करें तो किसी दिए गए समुच्चय $P,$(गणित) पर $\,\leq \,$ पर जिससे परिभाषा के अनुसार, $\,\leq \,$ का कुछ उपसमुच्चय $P\times P$ है और अंकन $a\leq b$ के स्थान पर $(a,b)\in \,\leq .$ प्रयोग किया जाता है , तब $\,\leq \,$ को preorder या quasiorder कहा जाता है यदि यह प्रतिवर्ती संबंध और सकर्मक संबंध है; अर्थात्, यदि यह संतुष्ट करता है:

1. प्रतिवर्ती संबंध: $a\leq a$ सभी के लिए $a\in P,$ और
2. सकर्मक संबंध: यदि $a\leq b{\text{ and }}b\leq c{\text{ then }}a\leq c$ सभी के लिए $a,b,c\in P.$ एक समुच्चय जो एक पूर्व-आदेश से लैस होता है उसे एक प्रीऑर्डर्ड समुच्चय (या प्रोसेट) कहा जाता है। सख्त पूर्व-आदेश पर बल या इसके विपरीत, एक पूर्व-आदेश को गैर-सख्त पूर्व-आदेश के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है।

यदि प्रतिवर्तता   को अविचलित संबंध से बदल दिया जाता है (ट्रांज़िटिविटी रखते हुए) तो परिणाम को एक सख्त  पूर्व-आदेश कहा जाता है; स्पष्ट रूप से, एstrict preorderपर $P$ एक सजातीय द्विआधारी संबंध है $\,<\,$ पर $P$ जो निम्नलिखित बाधाओं को पूरा करता है:
<ओल>

इरेफ्लेक्सिव संबंध या एंटी-प्रतिवर्तता  : not $a<a$ सभी के लिए $a\in P;$ वह है, $\,a<a$ है false सभी के लिए $a\in P,$ और</ली>

सकर्मक संबंध: यदि $a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c$ सभी के लिए $a,b,c\in P.$</ली> </ओल> एक द्विआधारी संबंध एक सख्त पूर्व-आदेश है यदि और केवल यदि यह एक सख्त आंशिक आदेश है। परिभाषा के अनुसार, एक सख्त आंशिक आदेश एक असममित संबंध सख्त पूर्व आदेश है, जहां $\,<\,$ कहा जाता है asymmetric यदि $a<b{\text{ implies }}{\textit {not}}\ b<a$ सभी के लिए $a,b.$ इसके विपरीत, प्रत्येक सख्त पूर्व-आदेश एक सख्त आंशिक आदेश है क्योंकि प्रत्येक सकर्मक अपरिवर्तनीय संबंध आवश्यक रूप से असममित संबंध है। चूंकि वे समतुल्य हैं, सख्त आंशिक आदेश शब्द को विशेष रूप से सख्त पूर्व आदेश पर पसंद किया जाता है और पाठकों को ऐसे संबंधों के विवरण के लिए सख्त आंशिक आदेश के लिए संदर्भित किया जाता है। सख्त पूर्व-आदेशों के विपरीत, कई (गैर-सख्त) पूर्व-आदेश हैं not (गैर-सख्त) आंशिक आदेश।

संबंधित परिभाषाएँ

यदि एक पूर्व-आदेश भी प्रतिसममित संबंध है, अर्थात, $a\leq b$ और $b\leq a$ तात्पर्य $a=b,$ तो यह आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है।

दूसरी तरफ, यदि यह सममित संबंध है, अर्थात यदि $a\leq b$ तात्पर्य $b\leq a,$ तो यह एक तुल्यता संबंध है।

एक पूर्व-आदेश कुल अग्रिम आदेश है यदि $a\leq b$ या $b\leq a$ सभी के लिए $a,b\in P.$ एक पूर्वनिर्धारित समुच्चय की धारणा $P$ एक श्रेणी सिद्धांत में एक पतली श्रेणी के रूप में तैयार किया जा सकता है; अर्थात्, एक श्रेणी के रूप में एक वस्तु से दूसरी वस्तु में अधिकतम एक रूपवाद। यहाँ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के तत्वों के अनुरूप है $P,$ और संबंधित वस्तुओं के लिए एक आकारिकी है, अन्यथा शून्य। वैकल्पिक रूप से, एक पूर्व-आदेशित समुच्चय को समृद्ध श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है, श्रेणी से समृद्ध $2=(0\to 1).$ एक पूर्व-आदेशित वर्ग एक ऐसा वर्ग (गणित) है जो एक पूर्व-आदेश से सुसज्जित है। प्रत्येक समुच्चय एक वर्ग है और इसलिए प्रत्येक पूर्वनिर्धारित समुच्चय एक पूर्वनिर्धारित वर्ग है।

उदाहरण

ग्राफ सिद्धांत

• (ऊपर चित्र देखें) xinteger division|//4 का अर्थ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो x से कम या बराबर है जो 4 से विभाजित है, इस प्रकार 1integer division|//4 0 है, जो निश्चित रूप से 0 से कम या उसके बराबर है, जो स्वयं 0पूर्णांक विभाजन के समान है|//4.
• किसी भी निर्देशित ग्राफ (संभवतः चक्र युक्त) में पुन: योग्यता संबंध एक पूर्व-आदेश को जन्म देता है, जहां $x\leq y$ पूर्व-आदेश में यदि और केवल यदि निर्देशित ग्राफ में x से y तक का रास्ता है। इसके विपरीत, प्रत्येक पूर्व-आदेश एक निर्देशित ग्राफ़ का रीचैबिलिटी संबंधशिप है (उदाहरण के लिए, ग्राफ़ जिसमें प्रत्येक जोड़ी के लिए x से y तक का किनारा है (x, y) साथ $x\leq y.$ यद्यपि, कई अलग-अलग ग्राफ़ में एक-दूसरे के समान रीचैबिलिटी पूर्व-आदेश हो सकते हैं। उसी तरह, निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ़ की पुन: योग्यता, बिना चक्र वाले निर्देशित ग्राफ़, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय ों को जन्म देते हैं (अतिरिक्त एंटीसिमेट्री संपत्ति को संतुष्ट करने वाले पूर्व-आदेश)।
• ग्राफ सिद्धांत में ग्राफ-सामान्य संबंध।

कंप्यूटर विज्ञान

कंप्यूटर विज्ञान में, निम्नलिखित पूर्व-आदेशों के उदाहरण मिल सकते हैं।

• बिग ओ नोटेशन फ़ंक्शन पर पूर्व-आदेश का कारण बनता है $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$. संबंधित तुल्यता संबंध को स्पर्शोन्मुख_विश्लेषण # परिभाषा कहा जाता है।
• बहुपद-समय में कमी | बहुपद-समय, कई-एक कमी | कई-एक (मानचित्रण) और ट्यूरिंग कटौती जटिलता वर्गों पर पूर्व-आदेश हैं।
• सबटाइपिंग संबंध सामान्यतः पूर्व-आदेश होते हैं।
• सिमुलेशन प्रीऑर्डर्स प्रीऑर्डर्स हैं (इसलिए नाम)।
• सार पुनर्लेखन प्रणालियों में संबंधों में कमी।
• द्वारा परिभाषित शब्द (तर्क) के समुच्चय पर समावेशन प्रस्ताव $s\leq t$ यदि एक शब्द (तर्क) # टी की बाधाओं के साथ संचालन एस का प्रतिस्थापन उदाहरण है।
• थीटा-अवधारणा, जो तब होता है जब पूर्व के लिए एक प्रतिस्थापन (तर्क) प्रयुक्त करने के बाद, एक वियोगात्मक प्रथम-क्रम सूत्र में शाब्दिक दूसरे द्वारा समाहित होते हैं।

अन्य

और उदाहरण:

• प्रत्येक परिमित सामयिक स्थान परिभाषित करके अपने बिंदुओं पर एक पूर्व-आदेश को जन्म देता है $x\leq y$ यदि और केवल यदि x, y के प्रत्येक निकटतम (गणित) से संबंधित है। इस तरह से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के स्पेशलाइजेशन (प्री) ऑर्डर के रूप में हर परिमित पूर्व-आदेश का गठन किया जा सकता है। यही है, परिमित टोपोलॉजी और परिमित सीमा के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। चूंकि, अनंत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं के बीच संबंध एक-से-एक नहीं है।
• एक नेट (गणित) एक निर्देशित समुच्चय पूर्व-आदेश है, अर्थात तत्वों की प्रत्येक जोड़ी में ऊपरी सीमा होती है। नेट के माध्यम से अभिसरण की परिभाषा टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण है, जहां महत्वपूर्ण विशेषताओं को खोए बिना पूर्व-आदेशों को आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय ों द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है।
• द्वारा परिभाषित संबंध $x\leq y$ यदि $f(x)\leq f(y),$ जहां एफ कुछ पूर्व-आदेश में एक फ़ंक्शन है।
• द्वारा परिभाषित संबंध $x\leq y$ यदि एक्स से वाई तक कुछ इंजेक्शन समारोह उपस्थित है। इंजेक्शन को अनुमान से बदला जा सकता है, या किसी भी प्रकार की संरचना-संरक्षण कार्य, जैसे रिंग समरूपता, या क्रमचय।
• गणनीय कुल ऑर्डरिंग के लिए एम्बेडिंग संबंध।
• एक श्रेणी (गणित) किसी भी वस्तु x से किसी भी अन्य वस्तु y में अधिकतम एक रूपवाद के साथ एक पूर्व-आदेश है। ऐसी श्रेणियों को पतली श्रेणी कहा जाता है। इस अर्थ में, श्रेणियां वस्तुओं के बीच एक से अधिक संबंधों की अनुमति देकर पूर्व-आदेशों को सामान्यीकृत करती हैं: प्रत्येक आकारिकी एक विशिष्ट (नामित) पूर्व-आदेश संबंध है।

सख्त दुर्बल ऑर्डरिंग का उदाहरण#कुल अग्रिम आदेश:

• वरीयता, सामान्य मॉडल के अनुसार।

उपयोग करता है

कई स्थितियों में पूर्व-आदेश एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

• हर पूर्व-आदेश को एक टोपोलॉजी दी जा सकती है, अलेक्जेंडर टोपोलॉजी; और वास्तव में, समुच्चय पर प्रत्येक पूर्व-आदेश उस समुच्चय पर एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ एक-से-एक पत्राचार में है।
• आंतरिक बीजगणित को परिभाषित करने के लिए पूर्व-आदेशों का उपयोग किया जा सकता है।
• प्रीऑर्डर्स कुछ प्रकार के मॉडल तर्क के लिए क्रिपके शब्दार्थ प्रदान करते हैं।
• प्रीऑर्डर्स का उपयोग फोर्सिंग (गणित) में समुच्चय सिद्धान्त में स्थिरता और स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) परिणामों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

निर्माण

हर द्विआधारी संबंध $R$ एक समुच्चय पर $S$ पर पूर्व-आदेश तक बढ़ाया जा सकता है $S$ सकर्मक बंद और प्रतिवर्ती क्लोजर लेकर, $R^{+=}.$ सकर्मक समापन पथ कनेक्शन को इंगित करता है $R:xR^{+}y$ यदि और केवल यदि कोई है $R$-पथ (ग्राफ सिद्धांत) से $x$ को $y.$ बायनरी संबंध से प्रेरित लेफ्ट रेसीड्यूल प्रीऑर्डर

एक द्विआधारी संबंध दिया $R,$ पूरक रचना $R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}$ एक पूर्व-आदेश बनाता है जिसे विषम संबंध#पूर्व-आदेश R\R कहा जाता है, कहाँ $R^{\textsf {T}}$ के विलोम संबंध को दर्शाता है $R,$ और ${\overline {R}}$ के पूरक ( समुच्चय सिद्धांत) संबंध को दर्शाता है $R,$ जबकि $\circ$ संबंध संरचना को दर्शाता है।

विभाजनों पर अग्रिम आदेश और आंशिक आदेश

एक पूर्व आदेश दिया $\,\lesssim \,$ पर $S$ कोई एक तुल्यता संबंध को परिभाषित कर सकता है $\,\sim \,$ पर $S$ ऐसा है कि

$$a\sim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;b\lesssim a.$$
 परिणामी संबंध $\,\sim \,$  पूर्व-आदेश के बाद से प्रतिवर्ती है $\,\lesssim \,$ प्रतिवर्त है; की संक्रामकता को प्रयुक्त करके सकर्मक $\,\lesssim \,$ दो बार; और परिभाषा के अनुसार सममित।

इस संबंध का उपयोग करके, तुल्यता के भागफल समुच्चय पर एक आंशिक क्रम बनाना संभव है, $S/\sim ,$ जो कि सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $\,\sim .$ यदि पूर्व आदेश द्वारा निरूपित किया जाता है $R^{+=},$ तब $S/\sim$ का समुच्चय है $R$-चक्र (ग्राफ सिद्धांत) तुल्यता वर्ग:

$x\in [y]$ यदि और केवल यदि $x=y$ या $x$ एक में है $R$-साइकिल के साथ $y$ किसी भी स्थितियों में, पर $S/\sim$ परिभाषित करना संभव है $[x]\leq [y]$ यदि और केवल यदि $x\lesssim y.$ यह अच्छी तरह से परिभाषित है, जिसका अर्थ है कि इसकी परिभाषित स्थिति किस प्रतिनिधि पर निर्भर नहीं करती है $[x]$ और $[y]$ चुने गए हैं, की परिभाषा से अनुसरण करते हैं $\,\sim .\,$ यह आसानी से सत्यापित है कि यह आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय का उत्पादन करता है।

इसके विपरीत, किसी समुच्चय के विभाजन पर किसी आंशिक क्रम से $S,$ पर पूर्व-आदेश बनाना संभव है $S$ अपने आप। पूर्व-आदेशों और जोड़े (विभाजन, आंशिक क्रम) के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

Example: होने देना $S$ एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) हो, जो कुछ गुणों के साथ वाक्य (गणितीय तर्क) का एक समुच्चय है (जिसका विवरण सिद्धांत (गणितीय तर्क) में पाया जा सकता है)। उदाहरण के लिए, $S$ एक प्रथम-क्रम सिद्धांत हो सकता है (जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत) या एक सरल प्रस्तावक कलन | शून्य-क्रम सिद्धांत। के अनेक गुणों में से एक है $S$ क्या यह तार्किक परिणामों के अनुसार बंद है, उदाहरण के लिए, यदि कोई वाक्य $A\in S$ तार्किक रूप से कुछ वाक्य का तात्पर्य है $B,$ जो इस प्रकार लिखा जाएगा $A\Rightarrow B$ और के रूप में भी $B\Leftarrow A,$ फिर अनिवार्य रूप से $B\in S$ (विधि समुच्चय करके)। रिश्ता $\,\Leftarrow \,$ पर एक अग्रिम आदेश है $S$ क्योंकि $A\Leftarrow A$ सदैव धारण करता है और जब भी $A\Leftarrow B$ और $B\Leftarrow C$ दोनों पकड़ तो ऐसा करता है $A\Leftarrow C.$ इसके अतिरिक्त, किसी के लिए $A,B\in S,$ $A\sim B$ यदि और केवल यदि $A\Leftarrow B{\text{ and }}B\Leftarrow A$; अर्थात्, दो वाक्यों के संबंध में समकक्ष हैं $\,\Leftarrow \,$ यदि और केवल यदि वे तार्किक रूप से समकक्ष हैं। यह विशेष तुल्यता संबंध $A\sim B$ सामान्यतः अपने विशेष प्रतीक के साथ दर्शाया जाता है $A\iff B,$ और इसलिए यह प्रतीक $\,\iff \,$ की स्थान उपयोग किया जा सकता है $\,\sim .$ वाक्य का तुल्यता वर्ग $A,$ द्वारा चिह्नित $[A],$ सभी वाक्यों से मिलकर बनता है $B\in S$ जो तार्किक रूप से समकक्ष हैं $A$ (बस इतना ही $B\in S$ ऐसा है कि $A\iff B$). आंशिक आदेश जारी है $S/\sim$ प्रेरक $\,\Leftarrow ,\,$ जिसे उसी प्रतीक द्वारा भी दर्शाया जाएगा $\,\Leftarrow ,\,$ द्वारा चित्रित है $[A]\Leftarrow [B]$ यदि और केवल यदि $A\Leftarrow B,$ जहां दाहिने हाथ की स्थिति प्रतिनिधियों की पसंद से स्वतंत्र होती है $A\in [A]$ और $B\in [B]$ तुल्यता वर्गों की। यह सब कहा गया है $\,\Leftarrow \,$ अब तक इसके विलोम संबंध के बारे में भी कहा जा सकता है $\,\Rightarrow .\,$ पहले से ऑर्डर किया हुआ समुच्चय $(S,\Leftarrow )$ एक निर्देशित समुच्चय है क्योंकि यदि $A,B\in S$ और यदि $C:=A\wedge B$ तार्किक संयोजन द्वारा गठित वाक्य को दर्शाता है $\,\wedge ,\,$ तब $A\Leftarrow C$ और $B\Leftarrow C$ कहाँ $C\in S.$ आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय $\left(S/\sim ,\Leftarrow \right)$ परिणामस्वरूप एक निर्देशित समुच्चय भी है। संबंधित उदाहरण के लिए लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित देखें।

अग्रिम-आदेश और सख्त पूर्व-आदेश

एक पूर्व-आदेश द्वारा प्रेरित सख्त प्रीऑर्डर

एक पूर्व आदेश दिया $\,\lesssim ,$ एक नया रिश्ता $\,<\,$ घोषित करके परिभाषित किया जा सकता है $a<b$ यदि और केवल यदि $a\lesssim b{\text{ and not }}b\lesssim a.$ तुल्यता संबंध का उपयोग करना $\,\sim \,$ ऊपर प्रस्तुत किया गया, $a<b$ यदि और केवल यदि $a\lesssim b{\text{ and not }}a\sim b;$ और इसलिए निम्नलिखित धारण करता है

$$a\lesssim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a<b\;{\text{ or }}\;a\sim b.$$

रिश्ता $\,<\,$ एक सख्त आंशिक आदेश है और every सख्त आंशिक आदेश इस तरह से बनाया जा सकता है।

If अग्रिम आदेश $\,\lesssim \,$ प्रतिसममित संबंध है (और इस प्रकार एक आंशिक क्रम) तो तुल्यता $\,\sim \,$ समानता है (अर्थात, $a\sim b$ यदि और केवल यदि $a=b$) और इसलिए इस स्थितियों में, की परिभाषा $\,<\,$ के रूप में पुनर्स्थापित किया जा सकता है:
$$a<b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\leq b\;{\text{ and }}\;a\neq b\quad \quad ({\text{assuming }}\lesssim {\text{ is antisymmetric}}).$$

किन्तु खास बात यह है कि यह नई बाधा है not संबंध की सामान्य परिभाषा के रूप में (न ही यह समतुल्य है) उपयोग किया जाता है $\,<\,$ (वह है, $\,<\,$ है not के रूप में परिभाषित: $a<b$ यदि और केवल यदि $a\lesssim b{\text{ and }}a\neq b$) क्योंकि यदि पूर्व-आदेश $\,\lesssim \,$ प्रतिसममित नहीं है तो परिणामी संबंध $\,<\,$ सकर्मक नहीं होगा (विचार करें कि समतुल्य गैर-बराबर तत्व कैसे संबंधित हैं)। प्रतीक के प्रयोग का यही कारण है$\lesssim$प्रतीक से कम या उसके बराबर के अतिरिक्त$\leq$, जो एक ऐसे पूर्व-आदेश के लिए भ्रम तथापि कर सकता है जो प्रतिसममित नहीं है क्योंकि यह भ्रामक रूप से सुझाव दे सकता है $a\leq b$ तात्पर्य $a<b{\text{ or }}a=b.$ सख्त पूर्व-आदेश से प्रेरित प्रीऑर्डर

उपरोक्त निर्माण का उपयोग करके, कई गैर-सख्त पूर्व-आदेश एक ही सख्त पूर्व-आदेश दे सकते हैं $\,<,\,$ तो कैसे के बारे में अधिक जानकारी के बिना $\,<\,$ का निर्माण किया गया था (इस तरह के तुल्यता संबंध का ज्ञान $\,\sim \,$ उदाहरण के लिए), मूल गैर-सख्त पूर्व-आदेश से पुनर्निर्माण करना संभव नहीं हो सकता है $\,<.\,$ संभावित (गैर-सख्त) पूर्व-आदेश जो दिए गए सख्त पूर्व-आदेश को प्रेरित करते हैं $\,<\,$ निम्नलिखित को सम्मिलित कीजिए:

• परिभाषित करना $a\leq b$ जैसा $a<b{\text{ or }}a=b$ (अर्थात, संबंध का प्रतिवर्त समापन लें)। यह सख्त आंशिक आदेश से जुड़ा आंशिक आदेश देता है$<$प्रतिवर्ती क्लोजर के माध्यम से; इस स्थितियों में समानता समानता है $\,=,$ तो प्रतीक $\,\lesssim \,$ और $\,\sim \,$ आवश्यकता नहीं है।
• परिभाषित करना $a\lesssim b$ जैसा${\text{ not }}b<a$(अर्थात, संबंध का व्युत्क्रम पूरक लें), जो परिभाषित करने के अनुरूप है $a\sim b$ न तो $a<b{\text{ nor }}b<a$; ये संबंध $\,\lesssim \,$ और $\,\sim \,$ सामान्य रूप से सकर्मक नहीं हैं; यद्यपि, यदि वे हैं $\,\sim \,$ एक समानता है; उस स्थितियों में$<$एक सख्त दुर्बल आदेश है। परिणामी पूर्व-आदेश जुड़ा हुआ संबंध है (जिसे पहले टोटल कहा जाता था); अर्थात कुल प्रीऑर्डर।

यदि $a\leq b$ तब $a\lesssim b.$ विलोम धारण करता है (अर्थात, $\,\lesssim \;\;=\;\;\leq \,$) यदि और केवल यदि जब भी $a\neq b$ तब $a<b$ या $b<a.$

पूर्व-आदेशों की संख्या

Number of n-element binary relations of different types

Elem­ents	Any	Transitive	Reflexive	Symmetric	Preorder	Partial order	Total preorder	Total order	Equivalence relation
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Note that S(n, k) refers to Stirling numbers of the second kind. जैसा कि ऊपर बताया गया है, पूर्व-आदेशों और जोड़े (विभाजन, आंशिक क्रम) के बीच 1-टू-1 पत्राचार है। इस प्रकार पूर्व-आदेशों की संख्या प्रत्येक विभाजन पर आंशिक आदेशों की संख्या का योग है। उदाहरण के लिए:

• for $n=3:$
  • 1 partition of 3, giving 1 preorder
  • 3 partitions of 2 + 1, giving $3\times 3=9$ preorders
  • 1 partition of 1 + 1 + 1, giving 19 preorders
  I.e., together, 29 preorders.
• for $n=4:$
  • 1 partition of 4, giving 1 preorder
  • 7 partitions with two classes (4 of 3 + 1 and 3 of 2 + 2), giving $7\times 3=21$ preorders
  • 6 partitions of 2 + 1 + 1, giving $6\times 19=114$ preorders
  • 1 partition of 1 + 1 + 1 + 1, giving 219 preorders
  I.e., together, 355 preorders.

अंतराल

के लिए $a\lesssim b,$ अंतराल (गणित) $[a,b]$ बिंदुओं का समुच्चय x संतोषजनक है $a\lesssim x$ और $x\lesssim b,$ भी लिखा $a\lesssim x\lesssim b.$ इसमें कम से कम अंक a और b होते हैं। कोई भी परिभाषा को सभी जोड़ियों तक विस्तारित करना चुन सकता है $(a,b)$ अतिरिक्त अंतराल सभी खाली हैं।

इसी सख्त संबंध का उपयोग करना$<$, कोई भी अंतराल को परिभाषित कर सकता है $(a,b)$ अंक x संतोषजनक के समुच्चय के रूप में $a<x$ और $x<b,$ भी लिखा $a<x<b.$ एक खुला अंतराल तथापि खाली हो सकता है $a<b.$ भी $[a,b)$ और $(a,b]$ इसी प्रकार परिभाषित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय - पूर्व-आदेश जो प्रतिसममित संबंध है
• तुल्यता संबंध - पूर्वक्रम जो कि सममित संबंध है
• सख्त दुर्बल आदेश # कुल अग्रिम आदेश - पूर्व आदेश जो जुड़ा हुआ संबंध है
• टोटल ऑर्डर - पूर्व-आदेश जो प्रतिसममित और टोटल है
• निर्देशित समुच्चय
• पहले से ऑर्डर किए गए समुच्चय की श्रेणी
• पूर्व-आदेश देना
• अच्छी तरह से आदेश देने वाला

टिप्पणियाँ

संदर्भ

• Schmidt, Gunther, "Relational Mathematics", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9