अलेक्जेंडर टोपोलॉजी: Difference between revisions

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सांस्थिति(टोपोलॉजी) में, अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति संस्थानिक स्थान है जिसमें विवृत समुच्चय के किसी भी संतति का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) विवृत(खुला) है। यह सांस्थिति का स्वयंसिद्ध है कि विवृत समुच्चयों के किसी भी 'परिमित' संतति का प्रतिच्छेदन विवृत है; अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति में परिमित प्रतिबंध हटा दिया गया है।

अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के साथ समुच्चय को अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान या अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान के रूप में जाना जाता है।

अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति विशिष्ट रूप से उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं से निर्धारित होती है। वास्तव में, समुच्चय X पर किसी भी अग्रिम आदेश ≤ को देखते हुए, X पर अद्वितीय अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति है, जिसके लिए विशेषज्ञता पूर्व आदेश ≤ है। विवृत समुच्चय ≤ के संबंध में सिर्फ ऊपरी समुच्चय हैं। इस प्रकार, X पर अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति X पर पूर्व-आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।

अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान को परिमित रूप से उत्पन्न स्थान भी कहा जाता है क्योंकि उनकी सांस्थिति विशिष्ट रूप से सुसंगत सांस्थिति है जो सभी परिमित सामयिक स्थान संतति है। अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान इस प्रकार परिमित स्थलीय रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में देखे जा सकते हैं।

इस तथ्य के कारण कि छवि इच्छानुसार संघ और प्रतिच्छेदनों के साथ यात्रा करती है, एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान होने की संपत्ति भागफल स्थान के अनुसार संरक्षित है।

अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का नाम रूसी टोपोलॉजिस्ट पी एस अलेक्जेंड्रोव स्थान नाम पर रखा गया है। उन्हें रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव द्वारा प्रस्तुत किए गए अधिक ज्यामितीय एलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

एलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के लक्षण

अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति में कई लक्षण हैं। मान लीजिए X = <X, T> संस्थानिक स्थान है। उसके पश्चात निम्न बराबर हैं:

विवृत और संवृत समुच्चय लक्षण वर्णन:
- विवृत समुच्चय- 'X में विवृत समुच्चयों का इच्छानुसार प्रतिच्छेदन विवृत है।
- संवृत समुच्चय- 'X में संवृत समुच्चयों का इच्छानुसार संघ संवृत है।
प्रतिवेश के लक्षण:
- सबसे छोटा प्रतिवेश- X के प्रत्येक बिंदु का छोटा प्रतिवेश है।
- प्रतिवेश निस्पंदन- इच्छानुसार प्रतिच्छेदनों के अनुसार 'X' में प्रत्येक बिंदु का प्रतिवेश निस्पंदन संवृत है।
आंतरिक और संवृत बीजगणितीय लक्षण वर्णन:
- आंतरिक संचालिका- 'X' का आंतरिक संचालिका उपसमुच्चय के इच्छानुसार प्रतिच्छेदनों पर वितरित करता है।
- समापन संचालिका- 'X' का समापन संचालिका सबसमुच्चय के इच्छानुसार संघों पर वितरण करता है।
अग्रिम आदेश लक्षण वर्णन:
- विशेषीकरण अग्रिम आदेश - T, X के विशेषीकरण अग्रिम आदेश के अनुरूप श्रेष्ठ सांस्थिति है अर्थात अग्रिम आदेश देने वाली श्रेष्ठ सांस्थिति ≤ संतोषजनक x ≤ y यदि और केवल यदि x X में {y} के संवृत होने में है।
- विवृत उप समुच्चय- अग्रिम आदेश ≤ ऐसा है कि 'X' के विवृत समुच्चय ठीक वही हैं जो ऊपरी समुच्चय हैं अर्थात यदि 'x' समुच्चय में है और x ≤ y तो y समुच्चय में है। (यह अग्रिम आदेश स्पष्ट रूप से विशेषीकरण अग्रिम आदेश होगा।)
- संवृत समुच्चय- अग्रिम आदेश ≤ ऐसा है कि 'X' के संवृत समुच्चय ठीक वही हैं जो नीचे की ओर संवृत हैं अर्थात यदि x समुच्चय में है और y ≤ x तो y समुच्चय में है। (यह अग्रिम आदेश स्पष्ट रूप से विशेषीकरण अग्रिम आदेश होगा।)
- खिन्न संवृत- बिंदु x X के उपसमुच्चय S के संवृत होने में निहित है यदि और केवल यदि S में बिंदु y है जैसे कि x ' ≤ y जहां ≤ विशेषीकरण अग्रिम आदेश है अर्थात x {y} के समापन में है।
परिमित पीढ़ी और श्रेणी सिद्धांत लक्षण वर्णन:
- परिमित समापन- बिंदु x X के उपसमुच्चय S के संवृत होने के अंदर स्थित है यदि और केवल यदि S का परिमित उपसमुच्चय F है जैसे कि x F के संवृत होने में निहित है। (यह परिमित उपसमुच्चय सदैव सिंगलटन अर्थात एकाकी वस्तु के रूप में चुना जा सकता है।)
- परिमित उपस्थान- T , X के परिमित उपस्थानों के साथ सुसंगत सांस्थिति है।
- परिमित समावेशन मानचित्र- समावेशन मानचित्र f_i : X_i → X के परिमित उपस्थानों का X अंतिम सिंक बनाता है।
- परिमित पीढ़ी- X परिमित रूप से उत्पन्न होता है अर्थात यह परिमित स्थानों के अंतिम हल में होता है। (इसका कारण है कि अंतिम सिंक f_i है : X_i → X जहां प्रत्येक X_i परिमित सामयिक स्थान है।)

उपरोक्त समकक्ष लक्षणों को संतुष्ट करने वाले संस्थानिक रिक्त स्थान को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थान या अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान कहा जाता है और उनकी सांस्थिति 'T' को अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति कहा जाता है।

पूर्ववर्ती समुच्चयों के साथ समानता

=== पूर्वनिर्धारित समुच्चय पर एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति===

पूर्वनिर्धारित समुच्चय $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ दिया है , हम अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति को ऊपरी समुच्चय X पर होने के लिए विवृत समुच्चयों को $\tau$ चुनकर परिभाषित कर सकते हैं :

\tau =\{\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land \ x\leq y)\ \rightarrow \ y\in G\,\}

इस प्रकार हम सामयिक स्थान प्राप्त करते हैं

$\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ .

संबंधित संवृत समुच्चय निम्न समुच्चय हैं:

$\{\,S\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land \ y\leq x)\ \rightarrow \ y\in S\,\}$

=== संस्थानिक स्थान पर विशेषीकरण अग्रिम आदेश ===

संस्थानिक स्थान X = <X, T> को देखते हुए X पर विशेषीकरण अग्रिम आदेश द्वारा परिभाषित किया गया है:

x ≤ y यदि और केवल यदि x {y} के संवृत होने में है।

इस प्रकार हम पूर्वनिर्धारित समुच्चय W(X) = <X, ≤> प्राप्त करते हैं।

अग्रिम आदेश और अलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के बीच समानता

पूर्व आदेशित प्रत्येक समुच्चय के लिए X = <X, ≤> हमारे पास सदैव W(T(X)) = X होता है, अर्थात X का अग्रिम आदेश संस्थानिक स्थान T(X) से विशेषीकरण अग्रिम आदेश के रूप में प्राप्त किया गया है।

इसके अतिरिक्त प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान X के लिए, हमारे पास T (W( X )) = X है, अर्थात एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति X को विशेषीकरण अग्रिम आदेश द्वारा प्रेरित सांस्थिति के रूप में पुनर्प्राप्त किया गया है।

यद्यपि सामान्य रूप से संस्थानिक स्थान के लिए हमारे पास T(W(X)) = X नहीं है। किंतु T(W(X)) X की तुलना में मासिक सांस्थिति वाला समुच्चय X होगा (अर्थात इसमें अधिक विवृत समुच्चय होंगे) .

T(W(X)) की सांस्थिति स्थान के मूल सांस्थिति के समान विशेषीकरण अग्रिम आदेश को प्रेरित करती है और वास्तव में उस गुण के साथ 'X' पर श्रेष्ठ सांस्थिति है ।

एकरसता और निरंतरता के बीच समानता

एकरूप प्रकार्य दिया गया:

f : 'X'→'Y'

दो पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच (अर्थात प्रकार्य)

f : X→Y

अंतर्निहित समुच्चयों के बीच जैसे कि x ≤ y 'X' में f(x) ≤ f(y) 'Y' में), माना,

'T'(f) : 'T'('X')→'T'('Y')

उसी मानचित्र के रूप में हो जिसे f संबंधित अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर T(f) सतत मानचित्र है।

इसके विपरीत सतत मानचित्र दिया:

g: 'X'→'Y'

दो संस्थानिक स्थान के बीच, माना,

'W'(g) : 'W'('X')→'W'('Y')

वही मानचित्र हो जैसा f को संबंधित पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर W(g) मोनोटोन(समस्वर या एकरूप) प्रकार्य है।

इस प्रकार दो पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच मानचित्र एकरूप है यदि और केवल यदि यह संबंधित अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच निरंतर मानचित्र है। इसके विपरीत दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच मानचित्र निरंतर है यदि और केवल यदि यह संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एकरूप प्रकार्य है।

चूंकि ध्यान दें कि एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के अतिरिक्त अन्य सांस्थिति के स्थितियों में, हमारे पास दो संस्थानिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्र हो सकता है जो निरंतर नहीं है, किंतु फिर भी संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एकरूप प्रकार्य है। (इसे देखने के लिए गैर-अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान 'X' पर विचार करें और पहचान प्रकार्य i : 'X'→'T'('W'('X')) पर विचार करें।)

तुल्यता का श्रेणी सैद्धांतिक विवरण

मान लीजिए समुच्चय, समुच्चयों की श्रेणी और मानचित्र को निरूपित करता है। Top को संस्थानिक स्थान और निरंतरता की श्रेणी को निरूपित करते हैं; और Pro को अग्रिम आदेश और एकरूप प्रकार्यों की श्रेणी को निरूपित करने दें। तब;

T : Pro→Top ,और

W : Top→Pro

समुच्चय पर ठोस कारक हैं जो क्रमशः आसन्न फ़ंक्टर हैं।

बता दें कि Alx ने Top की पूरी उपश्रेणी को निरूपित किया है जिसमें एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान सम्मिलित हैं। फिर प्रतिबंध;

T : Pro→Alx और

W : Alx→Pro

समुच्चय पर व्युत्क्रम ठोस कारक हैं।

वास्तव में Alx बायको-परावर्तक T◦W के साथ Top की बाइको-रिफ्लेक्टिव उपश्रेणी: Top→Alx है । इसका कारण यह है संस्थानिक स्थान की श्रेणी 'X', आइडेंटिटी मैप(पहचान मानचित्र) दिया गया है;

i : T(W(X))→X

निरंतर है और प्रत्येक निरंतर मानचित्र के लिए

f : Y→X

जहां Y एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान है, रचना

i ⁻¹◦f : Y→T(W(X))

निरंतर है।

मोडल फ्रेम से मोडल बीजगणित के निर्माण से संबंध

पूर्व आदेशित किए गए समुच्चय X को देखते हुए, T(X) के आंतरिक संचालिका और समापन संचालिका द्वारा दिए गए हैं:

Int(S) = { x ∈ X : सभी के लिए y ∈ X, x ≤ y का अर्थ है y ∈ S}, और

Cl(S) = { x ∈ X : y ∈ S x ≤ y के साथ उपस्थित है }

सभी S ⊆ X. के लिए

आंतरिक संचालिका और समापन संचालिका को 'X' के सत्ता स्थापित बूलियन बीजगणित पर मोडल संचालिका मानते हुए, यह निर्माण कृपके शब्दार्थ से मॉडल बीजगणित के निर्माण का विशेष स्थिति अर्थात समुच्चय से के साथ एकल बाइनरी संबंध है । (पश्चात का निर्माण स्वयं संबंधपरक संरचना से जटिल बीजगणित के अधिक सामान्य निर्माण का विशेष स्थिति है, अर्थात उस पर परिभाषित संबंधों के साथ समुच्चय।) मोडल बीजगणित का वर्ग जो हम पूर्ववर्ती के स्थितियों में प्राप्त करते हैं। समुच्चय आंतरिक बीजगणित का वर्ग - संस्थानिक स्थान का बीजगणितीय सार है।

गुण

एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान का कोई भी उप-स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत है।^[1]

दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का उत्पाद अलेक्जेंड्रोव-असतत है।^[2]

प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति स्थानीय रूप से इस अर्थ में सघन है कि प्रत्येक बिंदु के पास सघन प्रतिवेश का स्थानीय आधार है, क्योंकि बिंदु का सबसे छोटा प्रतिवेश सदैव सघन होता है।^[3] वास्तव में, यदि $U$ बिंदु $x$ का सबसे छोटा (विवृत) प्रतिवेश है , तो $U$ उप-स्थान सांस्थिति के साथ $U$ के किसी भी खुले आवरण में $U$ .में सम्मिलित $x$ प्रतिवेश है ,तथा ऐसा प्रतिवेश $U$ आवश्यक रूप से बराबर है तो विवृत आवरण $\{U\}$ परिमित उपकवर के रूप में स्वीकार करता है।

प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।^[4]^[5]

इतिहास

अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान पहली बार 1937 में पी.एस. अलेक्जेंड्रोव द्वारा असतत स्थानों के नाम से प्रस्तुत किए गए थे, जहां उन्होंने समुच्चय और प्रतिवेश के संदर्भ में लक्षण वर्णन प्रदान किया था।^[6] असतत स्थान नाम पश्चात में संस्थानिक स्थान के लिए उपयोग किया जाने लगा, जिसमें प्रत्येक सबसमुच्चय विवृत है और मूल अवधारणा को संस्थानिक साहित्य में भुला दिया गया है। दूसरी ओर, एलेक्जेंड्रोव स्थान ने समापन संचालिका और उनके संबंधों पर ऑयस्टीन अयस्क के अग्रणी अध्ययन में प्रासंगिक भूमिका निभाई।

जाली सिद्धांत और सांस्थिति के साथ।^[7]

1980 के दशक में श्रेणीबद्ध सांस्थिति की उन्नति के साथ, अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान को फिर से खोजा गया जब सामान्य रूप से उत्पन्न वस्तु की अवधारणा को सामान्य सांस्थिति पर प्रयुक्त किया गया था और उनके लिए अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान नाम को अपनाया गया था। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान भी उसी समय के आसपास कंप्यूटर विज्ञान में सांकेतिक शब्दार्थ और डोमेन सिद्धांत से उत्पन्न सांस्थिति के संदर्भ में फिर से खोजे गए थे।

1966 में माइकल सी. मैककॉर्ड और ए.के. स्टीनर प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय और रिक्त स्थान के बीच समानता का अवलोकन कियाजो कि एलेक्जेंड्रोव द्वारा प्रस्तुत किए गए रिक्त स्थान के सटीक रूप से T₀ संस्करण थे।^[8]^[9] पी.टी. जॉनस्टोन ने ऐसे सांस्थिति को एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के रूप में संदर्भित किया।^[10] एफ.जी. एरेनास ने स्वतंत्र रूप से इन सांस्थिति के सामान्य संस्करण के लिए इस नाम का प्रस्ताव रखा।^[11] मैककॉर्ड ने यह भी दिखाया कि आंशिक रूप से आदेश किए गए समुच्चय के आदेश जटिल(ऑर्डर कॉम्प्लेक्स) के लिए ये रिक्त स्थान दुर्बल होमोटॉपी समकक्ष हैं। स्टीनर ने प्रदर्शित किया कि तुल्यता प्रतिपरिवर्ती जालक समरूपता है और जो पूर्ण जाली के साथ-साथ पूरकता को संरक्षित करता है।

यह मॉडल तर्क के क्षेत्र में भी प्रसिद्ध परिणाम था कि परिमित संस्थानिक रिक्त स्थान और परिमित समुच्चय (मोडल लॉजिक S4 के लिए परिमित मोडल फ्रेम) के बीच समानता उपस्थित है। आंद्रेज ग्रेज़गोर्स्की (ए.ग्रेज़गोर्स्की) ने देखा कि यह 'पूरी तरह से वितरण स्थान' और पूर्व-आदेशों के रूप में संदर्भित के मध्य समानता तक विस्तारित है। सी. नटर्मन ने देखा कि ये स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान थे और परिणाम को एलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान की श्रेणी और (विवृत) निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के बीच श्रेणी-सैद्धांतिक तुल्यता तक बढ़ाया, और पूर्व-आदेशों की श्रेणी और (बाध्य) एकरूप मानचित्र, पूर्व-आदेश लक्षण वर्णन के साथ-साथ आंतरिक और संवृत बीजगणितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है।^[12]

सामान्य सांस्थिति के दृष्टिकोण से इन स्थानों की व्यवस्थित जांच, जिसे अलेक्जेंड्रोव द्वारा मूल दस्तावेज के पश्चात से उपेक्षित किया गया था, एफ.जी. एरेनास द्वारा लिया गया था।^[11]

यह भी देखें

पी-स्थान, दुर्बल स्थिति को संतुष्ट करने वाला स्थान है जो खुले सेटों के गणनीय प्रतिच्छेदन विवृत हैं।

संदर्भ

↑ Speer 2007, Theorem 7.
↑ Arenas 1999, Theorem 2.2.
↑ Speer, Timothy (16 August 2007). "A Short Study of Alexandroff Spaces". arXiv:0708.2136 [math.GN].Theorem 5
↑ "Are minimal neighborhoods in an Alexandrov topology path-connected?". Mathematics Stack Exchange.
↑ Arenas 1999, Theorem 2.8.
↑ Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Mat. Sb. New Series (in Deutsch). 2: 501–518.
↑ O. Ore, Some studies on closure relations, Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. See Marcel Erné, Closure, in Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editors), Beyond Topology, Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009, p.170ff
↑ McCord, M. C. (1966). "Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces". Duke Mathematical Journal. 33 (3): 465–474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
↑ Steiner, A. K. (1966). "The Lattice of Topologies: Structure and Complementation". Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 379–398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947. JSTOR 1994555.
↑ Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.
↑ ^11.0 ^11.1 Arenas, F. G. (1999). "Alexandroff spaces" (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae. 68 (1): 17–25.
↑ Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics.

[FOOTNOTESpeer2007Theorem_7-1] Speer 2007, Theorem 7.

[FOOTNOTEArenas1999Theorem_2.2-2] Arenas 1999, Theorem 2.2.

[3] Speer, Timothy (16 August 2007). "A Short Study of Alexandroff Spaces". arXiv:0708.2136 [math.GN].Theorem 5

[4] "Are minimal neighborhoods in an Alexandrov topology path-connected?". Mathematics Stack Exchange.

[FOOTNOTEArenas1999Theorem_2.8-5] Arenas 1999, Theorem 2.8.

[Ale37-6] Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Mat. Sb. New Series (in Deutsch). 2: 501–518.

[7] O. Ore, Some studies on closure relations, Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. See Marcel Erné, Closure, in Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editors), Beyond Topology, Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009, p.170ff

[McC66-8] McCord, M. C. (1966). "Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces". Duke Mathematical Journal. 33 (3): 465–474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.

[Ste66-9] Steiner, A. K. (1966). "The Lattice of Topologies: Structure and Complementation". Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 379–398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947. JSTOR 1994555.

[Joh82-10] Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.

[Are99-11] 11.0 ^11.1 Arenas, F. G. (1999). "Alexandroff spaces" (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae. 68 (1): 17–25.

[Nat91-12] Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics.

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v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
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Contents

एलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के लक्षण

पूर्ववर्ती समुच्चयों के साथ समानता

अग्रिम आदेश और अलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के बीच समानता

एकरसता और निरंतरता के बीच समानता

तुल्यता का श्रेणी सैद्धांतिक विवरण

मोडल फ्रेम से मोडल बीजगणित के निर्माण से संबंध

गुण

इतिहास

यह भी देखें

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-[[टोपोलॉजी]] में, एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है जिसमें खुले सेट के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खुला है। यह टोपोलॉजी का एक स्वयंसिद्ध है कि खुले सेटों के किसी भी 'परिमित' परिवार का प्रतिच्छेदन खुला है; अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी में परिमित प्रतिबंध हटा दिया गया है।
+[[टोपोलॉजी|सांस्थिति(टोपोलॉजी)]] में, अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्थान]] है जिसमें विवृत समुच्चय के किसी भी संतति का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) विवृत(खुला) है। यह सांस्थिति का स्वयंसिद्ध है कि विवृत समुच्चयों के किसी भी 'परिमित' संतति का प्रतिच्छेदन विवृत है; अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति में परिमित प्रतिबंध हटा दिया गया है।
-अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ एक सेट को अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान या अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान के रूप में जाना जाता है।
+अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के साथ समुच्चय को अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान या अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान के रूप में जाना जाता है।
-अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी विशिष्ट रूप से उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं से निर्धारित होती है। दरअसल, [[सेट (गणित)]] ''X'' पर किसी भी प्रीऑर्डर ≤ को देखते हुए, ''X'' पर एक अद्वितीय अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है, जिसके लिए [[विशेषज्ञता [[पूर्व आदेश]]]] ≤ है। [[खुला सेट]] ≤ के संबंध में सिर्फ [[ऊपरी सेट]] हैं। इस प्रकार, ''एक्स'' पर अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी ''एक्स'' पर पूर्व-आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।
+अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति विशिष्ट रूप से उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं से निर्धारित होती है। वास्तव में, समुच्चय ''X'' पर किसी भी अग्रिम आदेश ≤ को देखते हुए, ''X'' पर अद्वितीय अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति है, जिसके लिए विशेषज्ञता [[पूर्व आदेश]] ≤ है। [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] ≤ के संबंध में सिर्फ [[ऊपरी सेट|ऊपरी समुच्चय]] हैं। इस प्रकार, ''X'' पर अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति ''X'' पर पूर्व-आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।
-अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान को परिमित रूप से उत्पन्न स्थान भी कहा जाता है क्योंकि उनकी टोपोलॉजी विशिष्ट रूप से [[सुसंगत टोपोलॉजी]] है जो सभी [[परिमित सामयिक स्थान]] परिवार है। अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान इस प्रकार परिमित स्थलीय रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में देखे जा सकते हैं।
+अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान को परिमित रूप से उत्पन्न स्थान भी कहा जाता है क्योंकि उनकी सांस्थिति विशिष्ट रूप से [[सुसंगत टोपोलॉजी|सुसंगत सांस्थिति]] है जो सभी [[परिमित सामयिक स्थान]] संतति है। अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान इस प्रकार परिमित स्थलीय रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में देखे जा सकते हैं।
-इस तथ्य के कारण कि [[छवि (गणित)]] मनमाना [[संघ (गणित)]] और चौराहों के साथ यात्रा करती है, एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान होने की संपत्ति [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] के तहत संरक्षित है।
+इस तथ्य के कारण कि [[छवि (गणित)|छवि]] इच्छानुसार [[संघ (गणित)|संघ]] और प्रतिच्छेदनों के साथ यात्रा करती है, एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान होने की संपत्ति [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)|भागफल स्थान]] के अनुसार संरक्षित है।
-अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का नाम रूसी टोपोलॉजिस्ट पी एस [[अलेक्जेंड्रोव अंतरिक्ष]] नाम पर रखा गया है। उन्हें रूसी गणितज्ञ [[अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव]] द्वारा पेश किए गए अधिक ज्यामितीय एलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
+अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का नाम रूसी टोपोलॉजिस्ट पी एस [[अलेक्जेंड्रोव अंतरिक्ष|अलेक्जेंड्रोव स्थान]] नाम पर रखा गया है। उन्हें रूसी गणितज्ञ [[अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव]] द्वारा प्रस्तुत किए गए अधिक ज्यामितीय एलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
-== एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजीज के लक्षण ==
+== एलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के लक्षण ==
-अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी में कई लक्षण हैं। मान लीजिए ''X'' = <''X'', ''T''> एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:
+अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति में कई लक्षण हैं। मान लीजिए ''X'' = <''X'', ''T''> संस्थानिक स्थान है। उसके पश्चात निम्न बराबर हैं:
-* खुला और बंद सेट लक्षण वर्णन:
+* '''विवृत और संवृत समुच्चय लक्षण वर्णन:'''
-** ओपन सेट। 'X'' में खुले सेटों का एक मनमाना चौराहा खुला है।
+** विवृत समुच्चय- 'X'' में विवृत समुच्चयों का इच्छानुसार प्रतिच्छेदन विवृत है।''
-** बंद सेट। 'X'' में बंद सेटों का मनमाना संघ बंद है।
+** संवृत समुच्चय- 'X'' में संवृत समुच्चयों का इच्छानुसार संघ संवृत है।''
-*पड़ोस के लक्षण:
+*'''प्रतिवेश के लक्षण:'''
-** सबसे छोटा पड़ोस। ''X'' के हर बिंदु का एक छोटा [[पड़ोस (टोपोलॉजी)]] है।
+** सबसे छोटा प्रतिवेश- ''X'' के प्रत्येक बिंदु का छोटा [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|प्रतिवेश]] है।
-** पड़ोस फ़िल्टर। मनमाना चौराहों के तहत 'एक्स' में हर बिंदु का [[पड़ोस फिल्टर]] बंद है।
+** प्रतिवेश निस्पंदन- इच्छानुसार प्रतिच्छेदनों के अनुसार 'X' में प्रत्येक बिंदु का [[पड़ोस फिल्टर|प्रतिवेश निस्पंदन]] संवृत है।
-*आंतरिक और बंद बीजगणितीय लक्षण वर्णन:
+*'''आंतरिक और संवृत बीजगणितीय लक्षण वर्णन:'''
-** [[आंतरिक ऑपरेटर]]। 'X' का आंतरिक संचालिका उपसमुच्चय के मनमाना चौराहों पर वितरित करता है।
+** [[आंतरिक ऑपरेटर|आंतरिक संचालिका]]- 'X' का आंतरिक संचालिका उपसमुच्चय के इच्छानुसार प्रतिच्छेदनों पर वितरित करता है।
-** [[बंद करने वाला ऑपरेटर]]। 'एक्स' का क्लोजर ऑपरेटर सबसेट के मनमाने यूनियनों पर वितरण करता है।
+** [[बंद करने वाला ऑपरेटर|समापन संचालिका]]- 'X' का समापन संचालिका सबसमुच्चय के इच्छानुसार संघों पर वितरण करता है।
-* अग्रिम आदेश लक्षण वर्णन:
+* '''अग्रिम आदेश लक्षण वर्णन''':
-** स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर। ''T'' ''X'' के स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के अनुरूप [[बेहतरीन टोपोलॉजी]] है यानी प्रीऑर्डर देने वाली बेहतरीन टोपोलॉजी ≤ संतोषजनक ''x'' ≤ ''y'' अगर और केवल अगर ''x'' है ''X'' में {''y''} के बंद होने में।
+** विशेषीकरण अग्रिम आदेश - ''T,'' ''X'' के विशेषीकरण अग्रिम आदेश के अनुरूप श्रेष्ठ [[बेहतरीन टोपोलॉजी|सांस्थिति]] है अर्थात अग्रिम आदेश देने वाली श्रेष्ठ सांस्थिति ≤ संतोषजनक ''x'' ≤ ''y'' यदि और केवल यदि ''x'' ''X'' में {''y''} के संवृत होने में है।
-** ओपन अप-सेट। एक प्रीऑर्डर ≤ ऐसा है कि 'एक्स' के खुले सेट ठीक वही हैं जो ऊपरी सेट हैं यानी अगर 'x' सेट में है और ''x'' ≤ ''y'' तो ''y '' सेट में है। (यह प्रीऑर्डर सटीक रूप से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर होगा।)
+** विवृत उप समुच्चय- अग्रिम आदेश ≤ ऐसा है कि 'X' के विवृत समुच्चय ठीक वही हैं जो ऊपरी समुच्चय हैं अर्थात यदि 'x' समुच्चय में है और ''x'' ≤ ''y'' तो ''y'' समुच्चय में है। (यह अग्रिम आदेश स्पष्ट रूप से विशेषीकरण अग्रिम आदेश होगा।)
-** बंद-सेट। एक प्रीऑर्डर ≤ ऐसा है कि 'एक्स' के बंद सेट ठीक वही हैं जो नीचे की ओर बंद हैं यानी अगर ''x'' सेट में है और ''y'' ≤ ''x'' तो ''y '' सेट में है। (यह प्रीऑर्डर सटीक रूप से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर होगा।)
+** संवृत समुच्चय- अग्रिम आदेश ≤ ऐसा है कि 'X' के संवृत समुच्चय ठीक वही हैं जो नीचे की ओर संवृत हैं अर्थात यदि ''x'' समुच्चय में है और ''y'' ≤ ''x'' तो ''y'' समुच्चय में है। (यह अग्रिम आदेश स्पष्ट रूप से विशेषीकरण अग्रिम आदेश होगा।)
-** नीचे बंद। एक बिंदु ''x'' ''X'' के एक उपसमुच्चय ''S'' के बंद होने में निहित है यदि और केवल यदि ''S'' में एक बिंदु ''y'' है जैसे कि ''x'' ' ≤ ''y'' जहां ≤ स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर है यानी ''x'' {''y''} के क्लोजर में है।
+** खिन्न संवृत- बिंदु ''x'' ''X'' के उपसमुच्चय ''S'' के संवृत होने में निहित है यदि और केवल यदि ''S'' में बिंदु ''y'' है जैसे कि ''x'' ' ≤ ''y'' जहां ≤ विशेषीकरण अग्रिम आदेश है अर्थात ''x'' {''y''} के समापन में है।
-*परिमित पीढ़ी और श्रेणी सिद्धांत लक्षण वर्णन:
+*'''परिमित पीढ़ी और श्रेणी सिद्धांत लक्षण वर्णन:'''
-** परिमित समापन। एक बिंदु ''x'' ''X'' के उपसमुच्चय ''S'' के बंद होने के भीतर स्थित है यदि और केवल यदि ''S'' का परिमित उपसमुच्चय ''F'' है जैसे कि ''x '' 'एफ'' के बंद होने में निहित है। (यह परिमित उपसमुच्चय हमेशा एक सिंगलटन के रूप में चुना जा सकता है।)
+** परिमित समापन- बिंदु ''x'' ''X'' के उपसमुच्चय ''S'' के संवृत होने के अंदर स्थित है यदि और केवल यदि ''S'' का परिमित उपसमुच्चय ''F'' है जैसे कि ''x'' ''F के संवृत होने में निहित है। (यह परिमित उपसमुच्चय सदैव सिंगलटन अर्थात एकाकी वस्तु के रूप में चुना जा सकता है।)''
-** परिमित उपस्थान। ''T'' ''X'' के परिमित उपस्थानों के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है।
+** परिमित उपस्थान- ''T'' , ''X'' के परिमित उपस्थानों के साथ सुसंगत सांस्थिति है।
-** परिमित समावेशन मानचित्र। समावेशन मानचित्र ''एफ''<sub>''i''</sub> : ''एक्स''<sub>''i''</sub> → ''X'' के परिमित उपस्थानों का ''X'' एक [[अंतिम सिंक]] बनाता है।
+** परिमित समावेशन मानचित्र- समावेशन मानचित्र ''f''<sub>''i''</sub> : ''X''<sub>''i''</sub> → ''X'' के परिमित उपस्थानों का ''X'' [[अंतिम सिंक]] बनाता है।
-** परिमित पीढ़ी। ''X'' परिमित रूप से उत्पन्न होता है यानी यह परिमित स्थानों के अंतिम हल में होता है। (इसका मतलब है कि एक अंतिम सिंक ''एफ'' है<sub>''i''</sub> : ''एक्स''<sub>''i''</sub> → ''एक्स'' जहां प्रत्येक ''एक्स''<sub>''i''</sub> एक परिमित सामयिक स्थान है।)
+** परिमित पीढ़ी- ''X'' परिमित रूप से उत्पन्न होता है अर्थात यह परिमित स्थानों के अंतिम हल में होता है। (इसका कारण है कि अंतिम सिंक ''f<sub>i</sub>'' है : ''X''<sub>''i''</sub> → ''X'' जहां प्रत्येक ''X''<sub>''i''</sub> परिमित सामयिक स्थान है।)
-उपरोक्त समकक्ष लक्षणों को संतुष्ट करने वाले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थान या अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान कहा जाता है और उनकी टोपोलॉजी 'टी' को अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी कहा जाता है।
+उपरोक्त समकक्ष लक्षणों को संतुष्ट करने वाले संस्थानिक रिक्त स्थान को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थान या अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान कहा जाता है और उनकी सांस्थिति '''T''<nowiki/>' को अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति कहा जाता है।
-== पूर्ववर्ती सेटों के साथ समानता ==
+== पूर्ववर्ती समुच्चयों के साथ समानता ==
-=== पहले से तय सेट === पर एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी
+<nowiki>=== पूर्वनिर्धारित समुच्चय पर एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति===</nowiki>
-एक पूर्वनिर्धारित सेट दिया <math> \mathbf{X} = \langle X, \le\rangle</math> हम एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकते हैं <math>\tau</math> ऊपरी सेट होने के लिए खुले सेटों को चुनकर X पर:
+पूर्वनिर्धारित समुच्चय <math> \mathbf{X} = \langle X, \le\rangle</math> दिया है , हम अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति को ऊपरी समुच्चय X पर होने के लिए विवृत समुच्चयों को <math>\tau</math> चुनकर परिभाषित कर सकते हैं :
 :<math>\tau = \{\, G \subseteq X :  \forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land\ x\le y)\ \rightarrow\ y \in G\,\}</math>
-इस प्रकार हम एक सामयिक स्थान प्राप्त करते हैं <math>\mathbf{T}(\mathbf{X}) = \langle X, \tau\rangle</math>.
+इस प्रकार हम सामयिक स्थान प्राप्त करते हैं
-संबंधित बंद सेट निम्न सेट हैं:
+<math>\mathbf{T}(\mathbf{X}) = \langle X, \tau\rangle</math>.
-::<math>\{\, S \subseteq X :  \forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land\ y\le x)\ \rightarrow\ y \in S\,\}</math>
+संबंधित संवृत समुच्चय निम्न समुच्चय हैं:
-=== टोपोलॉजिकल स्पेस === पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर
+<math>\{\, S \subseteq X :  \forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land\ y\le x)\ \rightarrow\ y \in S\,\}</math>
-एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' = <''X'', ''T''> को देखते हुए ''X'' पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर द्वारा परिभाषित किया गया है:
+<nowiki>=== संस्थानिक स्थान पर विशेषीकरण अग्रिम आदेश ===</nowiki>
-: ''x'' ≤ ''y'' अगर और केवल अगर ''x'' {''y''} के बंद होने में है।
+संस्थानिक स्थान ''X'' = <''X'', ''T''> को देखते हुए ''X'' पर विशेषीकरण अग्रिम आदेश द्वारा परिभाषित किया गया है:
-इस प्रकार हम एक पूर्वनिर्धारित सेट ''W''(''X'') = <''X'', ≤> प्राप्त करते हैं।
+: ''x'' ≤ ''y'' यदि और केवल यदि ''x'' {''y''} के संवृत होने में है।
-=== प्रीऑर्डर्स और अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजीज के बीच समानता ===
+इस प्रकार हम पूर्वनिर्धारित समुच्चय ''W''(''X'') = <''X'', ≤> प्राप्त करते हैं।
-पहले से ऑर्डर किए गए हर सेट के लिए ''X'' = <''X'', ≤> हमारे पास हमेशा ''W''(''T''(''X'')) = ''X'' होता है, यानी ''X'' का प्रीऑर्डर टोपोलॉजिकल स्पेस ''T''(''X'') से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के रूप में बरामद किया गया है।
+=== अग्रिम आदेश और अलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के बीच समानता ===
-इसके अलावा प्रत्येक '' अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान '' '' एक्स '' के लिए, हमारे पास '' टी '' ('' डब्ल्यू '' ( '' एक्स '')) = '' एक्स '' है, यानी एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी ''X'' को स्पेशलाइज़ेशन प्रीऑर्डर द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के रूप में पुनर्प्राप्त किया गया है।
-हालाँकि सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए हमारे पास ''T''(''W''(''X'')) = ''X'' नहीं है। बल्कि ''T''(''W''(''X'')) ''X'' की तुलना में महीन टोपोलॉजी वाला सेट ''X'' होगा (अर्थात इसमें अधिक खुले सेट होंगे) .
+पूर्व आदेशित प्रत्येक समुच्चय के लिए ''X'' = <''X'', ≤> हमारे पास सदैव ''W''(''T''(''X'')) = ''X'' होता है, अर्थात ''X'' का अग्रिम आदेश संस्थानिक स्थान ''T''(''X'') से विशेषीकरण अग्रिम आदेश के रूप में प्राप्त किया गया है।
-''T''(''W''(''X'')) की टोपोलॉजी स्पेस के मूल टोपोलॉजी के समान स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर को प्रेरित करती है और वास्तव में 'X' पर बेहतरीन टोपोलॉजी है '' उस संपत्ति के साथ।
+इसके अतिरिक्त प्रत्येक ''अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान'' ''X'' के लिए, हमारे पास ''T'' (''W''( ''X '')) = ''X'' है, अर्थात एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति ''X'' को विशेषीकरण अग्रिम आदेश द्वारा प्रेरित सांस्थिति के रूप में पुनर्प्राप्त किया गया है।
+यद्यपि सामान्य रूप से संस्थानिक स्थान के लिए हमारे पास ''T''(''W''(''X'')) = ''X'' नहीं है। किंतु ''T''(''W''(''X'')) ''X'' की तुलना में मासिक सांस्थिति वाला समुच्चय ''X'' होगा (अर्थात इसमें अधिक विवृत समुच्चय होंगे) .
+''T''(''W''(''X'')) की सांस्थिति स्थान के मूल सांस्थिति के समान विशेषीकरण अग्रिम आदेश को प्रेरित करती है और वास्तव में उस गुण के साथ 'X' पर श्रेष्ठ सांस्थिति है ।
 === एकरसता और निरंतरता के बीच समानता ===
-एक [[मोनोटोन समारोह]] दिया गया
+[[मोनोटोन समारोह|एकरूप प्रकार्य]] दिया गया:
 :f : 'X'→'Y'
-दो पूर्वनिर्धारित सेटों के बीच (अर्थात एक function
+दो पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच (अर्थात प्रकार्य)
 : f : X→Y
-अंतर्निहित सेटों के बीच जैसे कि x ≤ y 'X' में f(x) ≤ f(y) 'Y' में), चलो
+अंतर्निहित समुच्चयों के बीच जैसे कि x ≤ y 'X' में f(x) ≤ f(y) 'Y' में), माना,
 :'T'(f) : 'T'('X')→'T'('Y')
-उसी मानचित्र के रूप में हो जिसे f संबंधित अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर 'टी' (एफ) एक सतत नक्शा (टोपोलॉजी) है।
+उसी मानचित्र के रूप में हो जिसे f संबंधित अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर '''''T'''''(''f'') सतत मानचित्र है।
-इसके विपरीत एक सतत नक्शा दिया
+इसके विपरीत सतत मानचित्र दिया:
 :g: 'X'→'Y'
-दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच, चलो
+दो संस्थानिक स्थान के बीच, माना,
 :'W'(g) : 'W'('X')→'W'('Y')
-वही नक्शा हो जैसा f को संबंधित पूर्वनिर्धारित सेटों के बीच एक मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर 'डब्ल्यू' (जी) एक मोनोटोन फ़ंक्शन है।
+वही मानचित्र हो जैसा f को संबंधित पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर '''''W'''''(''g'') मोनोटोन(समस्वर या एकरूप) प्रकार्य है।
-इस प्रकार दो पूर्ववर्ती सेटों के बीच एक नक्शा मोनोटोन है अगर और केवल अगर यह संबंधित अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच एक निरंतर नक्शा है। इसके विपरीत दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच एक नक्शा निरंतर है अगर और केवल अगर यह संबंधित पूर्ववर्ती सेटों के बीच एक मोनोटोन फ़ंक्शन है।
+इस प्रकार दो पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच मानचित्र एकरूप है यदि और केवल यदि यह संबंधित अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच निरंतर मानचित्र है। इसके विपरीत दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच मानचित्र निरंतर है यदि और केवल यदि यह संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एकरूप प्रकार्य है।
-हालांकि ध्यान दें कि एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के अलावा अन्य टोपोलॉजी के मामले में, हमारे पास दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक नक्शा हो सकता है जो निरंतर नहीं है, लेकिन फिर भी संबंधित पूर्ववर्ती सेटों के बीच एक मोनोटोन फ़ंक्शन है। (इसे देखने के लिए एक गैर-अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान 'X' पर विचार करें और पहचान फ़ंक्शन i : 'X'→'T'('W'('X')) पर विचार करें।)
+चूंकि ध्यान दें कि एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के अतिरिक्त अन्य सांस्थिति के स्थितियों में, हमारे पास दो संस्थानिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्र हो सकता है जो निरंतर नहीं है, किंतु फिर भी संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एकरूप प्रकार्य है। (इसे देखने के लिए गैर-अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान 'X' पर विचार करें और पहचान प्रकार्य i : 'X'→'T'('W'('X')) पर विचार करें।)
 === तुल्यता का श्रेणी सैद्धांतिक विवरण ===
-मान लीजिए समुच्चय, समुच्चयों की श्रेणी और मानचित्र (गणित) को निरूपित करता है। टॉप को टोपोलॉजिकल स्पेस और [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] की श्रेणी को निरूपित करते हैं; और प्रो को प्रीऑर्डर और मोनोटोन फ़ंक्शंस की श्रेणी को निरूपित करने दें। तब
+मान लीजिए समुच्चय, समुच्चयों की श्रेणी और मानचित्र को निरूपित करता है। Top को संस्थानिक स्थान और [[निरंतरता (टोपोलॉजी)|निरंतरता]] की श्रेणी को निरूपित करते हैं; और Pro को अग्रिम आदेश और एकरूप प्रकार्यों की श्रेणी को निरूपित करने दें। तब;
-:''T'' : प्रो→टॉप और
+:''T'' : Pro→Top ,और
-:''W'' : टॉप→प्रो
+:''W'' : Top→Pro
-सेट पर [[मैं ठोस काम कर रहा हूं]] हैं जो क्रमशः आसन्न फ़ंक्टर हैं।
+समुच्चय पर [[मैं ठोस काम कर रहा हूं|ठोस कारक]] हैं जो क्रमशः आसन्न फ़ंक्टर हैं।
-बता दें कि Alx ने टॉप की पूरी उपश्रेणी को निरूपित किया है जिसमें एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान शामिल हैं। फिर प्रतिबंध
+बता दें कि Alx ने Top की पूरी उपश्रेणी को निरूपित किया है जिसमें एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान सम्मिलित हैं। फिर प्रतिबंध;
-:''T'' : Pro→Alx and
+:''T'' : Pro→Alx और
 :''W'' : Alx→Pro
-सेट पर व्युत्क्रम कंक्रीट फ़ैक्टर हैं।
+समुच्चय पर व्युत्क्रम ठोस कारक हैं।
-वास्तव में Alx एक [[कोररिफ्लेक्टिव उपश्रेणी]] है|बायको-रिफ्लेक्टर ''T''◦''W'' के साथ टॉप की बाइको-रिफ्लेक्टिव उपश्रेणी: Top→Alx। इसका मतलब यह है [[टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी]] 'एक्स', आइडेंटिटी मैप दिया गया है
+वास्तव में Alx बायको-परावर्तक ''T''◦''W'' के साथ Top की बाइको-रिफ्लेक्टिव उपश्रेणी: Top→Alx है । इसका कारण यह है [[टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी|संस्थानिक स्थान की श्रेणी]] 'X', आइडेंटिटी मैप(पहचान मानचित्र) दिया गया है;
 :''i'' : ''T''(''W''(''X''))→''X''
-निरंतर है और हर निरंतर मानचित्र के लिए
+निरंतर है और प्रत्येक निरंतर मानचित्र के लिए
 :''f'' : ''Y''→''X''
-जहां ''Y'' एक एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान है, रचना
+जहां ''Y'' एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान है, रचना
-:''मैं''<sup>−1</sup>◦f : 'Y'→'T'('W'('X'))
+:''i'' <sup>−1</sup>◦''f'' : '''''Y'''''→'''''T'''''('''''W'''''('''''X'''''))
 निरंतर है।
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 === मोडल फ्रेम से मोडल बीजगणित के निर्माण से संबंध ===
-पहले से ऑर्डर किए गए सेट ''X'' को देखते हुए, ''T''(''X'') के इंटीरियर ऑपरेटर और क्लोजर ऑपरेटर द्वारा दिए गए हैं:
+पूर्व आदेशित '''किए गए''' समुच्चय ''X'' को देखते हुए, ''T''(''X'') के आंतरिक संचालिका और समापन संचालिका द्वारा दिए गए हैं:
 :Int(''S'') = { ''x'' ∈ X : सभी के लिए ''y'' ∈ X, ''x'' ≤ ''y'' का अर्थ है ''y'' ∈ S}, और
-:Cl(''S'') = { ''x'' ∈ X : एक ''y'' ∈ S ''x'' ≤ ''y'' के साथ मौजूद है }
+:Cl(''S'') = { ''x'' ∈ X : ''y'' ∈ S ''x'' ≤ ''y'' के साथ उपस्थित है }
 सभी ''S'' ⊆ ''X.'' के लिए
-इंटीरियर ऑपरेटर और क्लोजर ऑपरेटर को 'एक्स' के [[सत्ता स्थापित]] [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] पर मोडल ऑपरेटर मानते हुए, यह निर्माण एक [[कृपके शब्दार्थ]] से एक [[मॉडल बीजगणित]] के निर्माण का एक विशेष मामला है यानी एक सेट से एक के साथ एकल बाइनरी संबंध। (बाद का निर्माण स्वयं एक [[संबंधपरक संरचना]] से एक [[जटिल बीजगणित (सेट सिद्धांत)]] के एक अधिक सामान्य निर्माण का एक विशेष मामला है, अर्थात उस पर परिभाषित संबंधों के साथ एक सेट।) मोडल बीजगणित का वर्ग जो हम एक पूर्ववर्ती के मामले में प्राप्त करते हैं। सेट [[आंतरिक बीजगणित]] का वर्ग है - टोपोलॉजिकल स्पेस का बीजगणितीय सार।
+आंतरिक संचालिका और समापन संचालिका को 'X' के [[सत्ता स्थापित]] [[बूलियन बीजगणित (संरचना)|बूलियन बीजगणित]] पर मोडल संचालिका मानते हुए, यह निर्माण [[कृपके शब्दार्थ]] से [[मॉडल बीजगणित]] के निर्माण का विशेष स्थिति अर्थात समुच्चय से के साथ एकल बाइनरी संबंध है । (पश्चात का निर्माण स्वयं [[संबंधपरक संरचना]] से [[जटिल बीजगणित (सेट सिद्धांत)|जटिल बीजगणित]] के अधिक सामान्य निर्माण का विशेष स्थिति है, अर्थात उस पर परिभाषित संबंधों के साथ समुच्चय।) मोडल बीजगणित का वर्ग जो हम पूर्ववर्ती के स्थितियों में प्राप्त करते हैं। समुच्चय [[आंतरिक बीजगणित]] का वर्ग - संस्थानिक स्थान का बीजगणितीय सार है।
 == गुण ==
 एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान का कोई भी उप-स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत है।{{sfn|Speer|2007|loc=Theorem 7}}
 दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का उत्पाद अलेक्जेंड्रोव-असतत है।{{sfn|Arenas|1999|loc=Theorem 2.2}}
-प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इस अर्थ में कॉम्पैक्ट है कि हर बिंदु के पास कॉम्पैक्ट पड़ोस का [[स्थानीय आधार]] है, क्योंकि एक बिंदु का सबसे छोटा पड़ोस हमेशा कॉम्पैक्ट होता है।<ref>{{cite arXiv |last1=Speer |first1=Timothy |title=A Short Study of Alexandroff Spaces |eprint=0708.2136 |class=math.GN |date=16 August 2007}}Theorem 5</ref> दरअसल, अगर <math>U</math> एक बिंदु का सबसे छोटा (खुला) पड़ोस है <math>x</math>, में <math>U</math> उप-अंतरिक्ष टोपोलॉजी के साथ स्वयं का कोई भी खुला आवरण <math>U</math> का पड़ोस शामिल है <math>x</math> सम्मिलित <math>U</math>. ऐसा पड़ोस आवश्यक रूप से बराबर है <math>U</math>, तो खुला आवरण स्वीकार करता है <math>\{U\}</math> एक परिमित उपकवर के रूप में।
-प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।<ref>{{cite web |title=Are minimal neighborhoods in an Alexandrov topology path-connected? |url=https://math.stackexchange.com/questions/2965227 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>{{sfn|Arenas|1999|loc=Theorem 2.8}}
+प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति स्थानीय रूप से इस अर्थ में सघन है कि प्रत्येक बिंदु के पास सघन प्रतिवेश का [[स्थानीय आधार]] है, क्योंकि बिंदु का सबसे छोटा प्रतिवेश सदैव सघन होता है।<ref>{{cite arXiv |last1=Speer |first1=Timothy |title=A Short Study of Alexandroff Spaces |eprint=0708.2136 |class=math.GN |date=16 August 2007}}Theorem 5</ref> वास्तव में, यदि <math>U</math> बिंदु <math>x</math> का सबसे छोटा (विवृत) प्रतिवेश है , तो <math>U</math> उप-स्थान सांस्थिति के साथ <math>U</math> के किसी भी खुले आवरण में <math>U</math>.में सम्मिलित <math>x</math> प्रतिवेश है ,तथा ऐसा प्रतिवेश <math>U</math> आवश्यक रूप से बराबर है तो विवृत आवरण <math>\{U\}</math> परिमित उपकवर के रूप में स्वीकार करता है।
+प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव सांस्थिति स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।<ref>{{cite web |title=Are minimal neighborhoods in an Alexandrov topology path-connected? |url=https://math.stackexchange.com/questions/2965227 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>{{sfn|Arenas|1999|loc=Theorem 2.8}}
+== इतिहास ==
-== इतिहास ==
+अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान पहली बार 1937 में पी.एस. अलेक्जेंड्रोव द्वारा असतत स्थानों के नाम से प्रस्तुत किए गए थे, जहां उन्होंने समुच्चय और प्रतिवेश के संदर्भ में लक्षण वर्णन प्रदान किया था।<ref name="Ale37">{{cite journal |last=Alexandroff |first=P. |title=Diskrete Räume |journal=Mat. Sb. |series=New Series |volume=2 |year=1937 |pages=501–518 |url=http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v44/i3/p501 |language=de }}</ref> [[असतत स्थान]] नाम पश्चात में संस्थानिक स्थान के लिए उपयोग किया जाने लगा, जिसमें प्रत्येक सबसमुच्चय विवृत है और मूल अवधारणा को संस्थानिक साहित्य में भुला दिया गया है। दूसरी ओर, एलेक्जेंड्रोव स्थान ने समापन संचालिका और उनके संबंधों पर ऑयस्टीन अयस्क के अग्रणी अध्ययन में प्रासंगिक भूमिका निभाई।
-अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान पहली बार 1937 में पीएस अलेक्जेंड्रोव द्वारा असतत स्थानों के नाम से पेश किए गए थे, जहां उन्होंने सेट और पड़ोस के संदर्भ में लक्षण वर्णन प्रदान किया था।<ref name="Ale37">{{cite journal |last=Alexandroff |first=P. |title=Diskrete Räume |journal=Mat. Sb. |series=New Series |volume=2 |year=1937 |pages=501–518 |url=http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v44/i3/p501 |language=de }}</ref> [[असतत स्थान]] नाम बाद में टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए इस्तेमाल किया जाने लगा, जिसमें हर सबसेट खुला है और मूल अवधारणा को टोपोलॉजिकल साहित्य में भुला दिया गया है। दूसरी ओर, एलेक्जेंड्रोव स्पेस ने क्लोजर ऑपरेटर और उनके संबंधों पर ऑयस्टीन अयस्क के अग्रणी अध्ययन में एक प्रासंगिक भूमिका निभाई।
+[[जाली सिद्धांत]] और सांस्थिति के साथ।<ref>O. Ore, ''Some studies on closure relations'', Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. See [[Marcel Erné]], ''Closure'', in Frédéric Mynard, Elliott Pearl
-[[जाली सिद्धांत]] और टोपोलॉजी के साथ।<ref>O. Ore, ''Some studies on closure relations'', Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. See [[Marcel Erné]], ''Closure'', in Frédéric Mynard, Elliott Pearl
 (Editors), ''Beyond Topology'', Contemporary mathematics vol. 486, American Mathematical Society, 2009, p.170ff</ref>
-के दशक में [[श्रेणीबद्ध टोपोलॉजी]] की उन्नति के साथ, अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान को फिर से खोजा गया जब सामान्य रूप से उत्पन्न वस्तु की अवधारणा को [[सामान्य टोपोलॉजी]] पर लागू किया गया था और उनके लिए अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान नाम को अपनाया गया था। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान भी उसी समय के आसपास [[कंप्यूटर विज्ञान]] में [[सांकेतिक शब्दार्थ]] और [[डोमेन सिद्धांत]] से उत्पन्न टोपोलॉजी के संदर्भ में फिर से खोजे गए थे।
-में माइकल सी. मैककॉर्ड और ए.के. स्टीनर प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]] और रिक्त स्थान के बीच एक समानता का अवलोकन किया जो वास्तव में कोलमोगोरोव स्थान थे|टी<sub>0</sub>अलेक्जेंड्रोव द्वारा पेश किए गए रिक्त स्थान के संस्करण।<ref name="McC66">{{cite journal |last=McCord |first=M. C. |title=Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=33 |issue=3 |year=1966 |pages=465–474 |doi=10.1215/S0012-7094-66-03352-7 }}</ref><ref name="Ste66">{{cite journal |last=Steiner |first=A. K. |title=The Lattice of Topologies: Structure and Complementation |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=122 |issue=2 |year=1966 |pages=379–398 |doi=10.2307/1994555 | issn=0002-9947 |jstor=1994555 |doi-access=free }}</ref> पीटी जॉनस्टोन ने ऐसे टोपोलॉजी को एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के रूप में संदर्भित किया।<ref name="Joh82">{{cite book |last=Johnstone |first=P. T. |title=Stone spaces |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1986 |edition=1st paperback |isbn=978-0-521-33779-3 }}</ref> एफजी एरेनास ने स्वतंत्र रूप से इन टोपोलॉजी के सामान्य संस्करण के लिए इस नाम का प्रस्ताव रखा।<ref name="Are99">{{cite journal |last=Arenas |first=F. G. |title=Alexandroff spaces |journal=Acta Math. Univ. Comenianae |volume=68 |issue=1 |year=1999 |pages=17–25 |url=https://www.emis.de/journals/AMUC/_vol-68/_no_1/_arenas/arenas.pdf}}</ref> मैककॉर्ड ने यह भी दिखाया कि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के [[आदेश जटिल]] के लिए ये रिक्त स्थान कमजोर होमोटॉपी समकक्ष हैं। स्टीनर ने प्रदर्शित किया कि तुल्यता एक सहप्रसरण है और फंक्शनल लैटिस (ऑर्डर) आइसोमोर्फिज्म का विरोधाभास है जो [[पूर्ण जाली]] के साथ-साथ पूरकता को संरक्षित करता है।
+के दशक में [[श्रेणीबद्ध टोपोलॉजी|श्रेणीबद्ध सांस्थिति]] की उन्नति के साथ, अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान को फिर से खोजा गया जब सामान्य रूप से उत्पन्न वस्तु की अवधारणा को [[सामान्य टोपोलॉजी|सामान्य सांस्थिति]] पर प्रयुक्त किया गया था और उनके लिए अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान नाम को अपनाया गया था। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान भी उसी समय के आसपास [[कंप्यूटर विज्ञान]] में [[सांकेतिक शब्दार्थ]] और [[डोमेन सिद्धांत]] से उत्पन्न सांस्थिति के संदर्भ में फिर से खोजे गए थे।
-यह [[मॉडल तर्क]] के क्षेत्र में भी एक प्रसिद्ध परिणाम था कि परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और परिमित सेट (मोडल लॉजिक एस 4 के लिए परिमित [[मोडल फ्रेम]]) के बीच समानता मौजूद है। आंद्रेज ग्रेज़गोर्स्की | ए। Grzegorczyk ने देखा कि यह 'पूरी तरह से वितरण स्थान' और पूर्व-आदेशों के रूप में संदर्भित के बीच एक समानता तक विस्तारित है। सी। नटर्मन ने देखा कि ये स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान थे और परिणाम को एलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान की श्रेणी और (खुले) निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के बीच एक श्रेणी-सैद्धांतिक तुल्यता तक बढ़ाया, और पूर्व-आदेशों की श्रेणी और (बाध्य) मोनोटोन मानचित्र, पूर्व-आदेश लक्षण वर्णन के साथ-साथ आंतरिक बीजगणित लक्षण वर्णन प्रदान करना।<ref name="Nat91">{{cite book |last=Naturman |first=C. A. |title=Interior Algebras and Topology |publisher=Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics |year=1991 }}</ref>
+में माइकल सी. मैककॉर्ड और ए.के. स्टीनर प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित]] समुच्चय और रिक्त स्थान के बीच समानता का अवलोकन कियाजो कि एलेक्जेंड्रोव द्वारा प्रस्तुत किए गए रिक्त स्थान के सटीक रूप से T<sub>0</sub> संस्करण थे।<ref name="McC66">{{cite journal |last=McCord |first=M. C. |title=Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces |journal=[[Duke Mathematical Journal]] |volume=33 |issue=3 |year=1966 |pages=465–474 |doi=10.1215/S0012-7094-66-03352-7 }}</ref><ref name="Ste66">{{cite journal |last=Steiner |first=A. K. |title=The Lattice of Topologies: Structure and Complementation |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=122 |issue=2 |year=1966 |pages=379–398 |doi=10.2307/1994555 | issn=0002-9947 |jstor=1994555 |doi-access=free }}</ref> पी.टी. जॉनस्टोन ने ऐसे सांस्थिति को एलेक्जेंड्रोव सांस्थिति के रूप में संदर्भित किया।<ref name="Joh82">{{cite book |last=Johnstone |first=P. T. |title=Stone spaces |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1986 |edition=1st paperback |isbn=978-0-521-33779-3 }}</ref> एफ.जी. एरेनास ने स्वतंत्र रूप से इन सांस्थिति के सामान्य संस्करण के लिए इस नाम का प्रस्ताव रखा।<ref name="Are99">{{cite journal |last=Arenas |first=F. G. |title=Alexandroff spaces |journal=Acta Math. Univ. Comenianae |volume=68 |issue=1 |year=1999 |pages=17–25 |url=https://www.emis.de/journals/AMUC/_vol-68/_no_1/_arenas/arenas.pdf}}</ref> मैककॉर्ड ने यह भी दिखाया कि आंशिक रूप से आदेश किए गए समुच्चय के [[आदेश जटिल|आदेश जटिल(ऑर्डर कॉम्प्लेक्स)]] के लिए ये रिक्त स्थान दुर्बल होमोटॉपी समकक्ष हैं। स्टीनर ने प्रदर्शित किया कि तुल्यता प्रतिपरिवर्ती जालक समरूपता है और जो [[पूर्ण जाली]] के साथ-साथ पूरकता को संरक्षित करता है।
-सामान्य टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से इन स्थानों की एक व्यवस्थित जांच, जिसे अलेक्जेंड्रोव द्वारा मूल पेपर के बाद से उपेक्षित किया गया था, एफजी एरेनास द्वारा लिया गया था।<ref name="Are99" />
+यह [[मॉडल तर्क]] के क्षेत्र में भी प्रसिद्ध परिणाम था कि परिमित संस्थानिक रिक्त स्थान और परिमित समुच्चय (मोडल लॉजिक S4 के लिए परिमित [[मोडल फ्रेम]]) के बीच समानता उपस्थित है। आंद्रेज ग्रेज़गोर्स्की (ए.ग्रेज़गोर्स्की) ने देखा कि यह 'पूरी तरह से वितरण स्थान' और पूर्व-आदेशों के रूप में संदर्भित के मध्य समानता तक विस्तारित है। सी. नटर्मन ने देखा कि ये स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान थे और परिणाम को एलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान की श्रेणी और (विवृत) निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के बीच श्रेणी-सैद्धांतिक तुल्यता तक बढ़ाया, और पूर्व-आदेशों की श्रेणी और (बाध्य) एकरूप मानचित्र, पूर्व-आदेश लक्षण वर्णन के साथ-साथ आंतरिक और संवृत बीजगणितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है।<ref name="Nat91">{{cite book |last=Naturman |first=C. A. |title=Interior Algebras and Topology |publisher=Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics |year=1991 }}</ref>
+सामान्य सांस्थिति के दृष्टिकोण से इन स्थानों की व्यवस्थित जांच, जिसे अलेक्जेंड्रोव द्वारा मूल दस्तावेज के पश्चात से उपेक्षित किया गया था, एफ.जी. एरेनास द्वारा लिया गया था।<ref name="Are99" />
 == यह भी देखें ==
-* पी-स्पेस | पी-स्पेस, कमजोर स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक स्थान जो खुले सेटों के गणनीय चौराहे खुले हैं
+* पी-स्थान, दुर्बल स्थिति को संतुष्ट करने वाला स्थान है जो खुले सेटों के गणनीय प्रतिच्छेदन विवृत हैं।
 ==संदर्भ==
@@ Line 167: / Line 172: @@
 {{Order theory}}
 {{DEFAULTSORT:Alexandrov Topology}}
-[[Category: क्लोजर ऑपरेटर्स]] [[Category: आदेश सिद्धांत]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
-[[Category:Created On 16/02/2023]]
+[[Category:Collapse templates|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Created On 16/02/2023|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Machine Translated Page|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Pages with script errors|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Alexandrov Topology]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
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+[[Category:टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण|Alexandrov Topology]]

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अलेक्जेंडर टोपोलॉजी: Difference between revisions

Latest revision as of 21:24, 27 February 2023

एलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के लक्षण

पूर्ववर्ती समुच्चयों के साथ समानता

अग्रिम आदेश और अलेक्जेंड्रोव सांस्थितिज के बीच समानता

एकरसता और निरंतरता के बीच समानता

तुल्यता का श्रेणी सैद्धांतिक विवरण

मोडल फ्रेम से मोडल बीजगणित के निर्माण से संबंध

गुण

इतिहास

यह भी देखें

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