परिमित संबंध

गणित में, समुच्चय X₁, ..., X_n पर परिमित संबंध कार्तीय गुणनफल X₁ × ⋯ × X_n का एक उपसमुच्चय है; अर्थात यह n-टपल (x₁, ..., x_n) का एक समुच्चय है जिसमें X_i में x_i अवयव सम्मिलित हैं। विशिष्ट रूप से, संबंध n-टपल के अवयवों के बीच एक संभावित संबंध का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, संबंध x, y से विभाज्य है और z में 3-टपल का समुच्चय होता है जैसे कि जब क्रमशः x, y और z को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वाक्य को सत्य बनाते हैं।

संबंध में स्थानों की संख्या देने वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n को संबंध की विषमता, अनुकूलता या परिमाण कहा जाता है। n स्थानों के साथ संबंध को विभिन्न प्रकार से 'n-एरी संबंध', 'n-एडिक संबंध' या 'n परिमाण का संबंध' कहा जाता है। स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ संबंधों को परिमित संबंध कहा जाता है(या संदर्भ स्पष्ट होने पर मात्र संबंध)। अनुक्रम के साथ असीमित संबंधों की अवधारणा को सामान्यीकृत करना भी संभव है।

समुच्चय X₁, ..., X_n पर एक n-एरी संबंध, X₁ × ⋯ × X_n के घात समुच्चय का एक अवयव है।

0-एरी संबंध मात्र दो घटकों की गिनती करते हैं: एक जो सदैव अधिकृत करता है, और वह जो कभी अधिकृत नहीं करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मात्र एक 0-टपल, रिक्त टपल() है। वे कभी-कभी गणितीय प्रेरण तर्क के आधार कारक के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं।

एकल संबंधों को कुछ गुण रखने वाले घटकों(जैसे नोबेल पुरस्कार विजेताओं का संग्रह) के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है(जैसे कि नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया)।

द्विआधारी संबंध अंतिम संबंधों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला रूप है। जब X₁ = X₂ इसे सजातीय संबंध कहा जाता है, उदाहरण के लिए:

• समानता(गणित) और असमानता(गणित), जैसे कि 5 < 12 जैसे कथनों में = और < जैसे संकेतों द्वारा दर्शाया गया है, या
• भाजक, चिह्न द्वारा निरूपित | 13|143 जैसे कथनों में।

अन्यथा यह एक विषम संबंध है, उदाहरण के लिए:

• अवयव(गणित), जैसे 1 ∈ N जैसे कथनों में ∈ चिह्न द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण

त्रिचर संबंध पर विचार करें R "x को लगता है कि y चरसमूह के समूह पर z को पसंद करता है P = {ऐलिस, बॉब, चार्ल्स, डेनिस, द्वारा परिभाषित:

R = {(ऐलिस, बॉब, डेनिस), (चार्ल्स, ऐलिस, बॉब), (चार्ल्स, चार्ल्स, ऐलिस), (डेनिस, डेनिस, डेनिस)}।

R को निम्न तालिका द्वारा समान रूप से दर्शाया जा सकता है:

संबंध R "x सोचता है कि y को z" पसंद है

P	P	P
ऐलिस	बॉब	डेनिस
चार्ल्स	ऐलिस	बॉब
चार्ल्स	चार्ल्स	ऐलिस
डेनिस	डेनिस	डेनिस

यहाँ, प्रत्येक पंक्ति R के एक त्रिपक्षीय का प्रतिनिधित्व करती है, अर्थात यह x के रूप में एक कथन देती है जो सोचती है कि y को z पसंद है। उदाहरण के लिए, प्रथम पंक्ति बताती है कि ऐलिस सोचती है कि बॉब डेनिस को पसंद करता है। सभी पंक्तियां अलग हैं। पंक्तियों का क्रम नगण्य है परन्तु स्तंभों का क्रम महत्वपूर्ण है।

उपरोक्त तालिका एक संबंधपरक डेटाबेस का एक सरल उदाहरण भी है, एक ऐसा क्षेत्र जिसमें संबंधपरक बीजगणित में निहित सिद्धांत और डेटा प्रबंधन में अनुप्रयोग हैं। यद्यपि, कंप्यूटर वैज्ञानिक, तर्कशास्त्री और गणितज्ञ अलग-अलग धारणाएँ रखते हैं कि एक सामान्य संबंध क्या है और इसमें क्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, डेटाबेस को प्रयोगसिद्ध डेटा से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो कि परिभाषा के अनुसार परिमित है, जबकि गणित में, अनंत एरिटी(अर्थात, अनन्त संबंध) के साथ संबंधों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषाएँ

जब दो वस्तुओं, गुणों, वर्गों या गुणों को एक साथ मन द्वारा देखा जाता है, तो वह संबंध कहलाता है।

— ऑगस्टस डी मॉर्गन

गणित में सामने आई संबंधों की प्रथम परिभाषा है:

परिभाषा 1

समुच्चय X₁, ⋯, X_n पर एक n-एरी 'संबंध' R कार्तीय गुणनफल X₁ × ⋯ × X_n का एक उपसमुच्चय है।

संबंधों की दूसरी परिभाषा एक सिद्धप्रयोग का उपयोग करती है जो गणित में सामान्य है, यह निर्धारित करते हुए कि जैसे और जैसे एक n-टपल है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि जैसे गणितीय वस्तु n अवयवों के साथ गणितीय वस्तुओं के विनिर्देश द्वारा निर्धारित होती है। n समुच्चयों पर संबंध R की स्थिति में, निर्दिष्ट करने के लिए n + 1 वस्तु हैं, अर्थात्, n समुच्चय और उनके कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय। सिद्धप्रयोग में, यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि R एक(n + 1)-टपल है।

परिभाषा 2

समुच्चय X₁, ⋯, X_n पर एक n-एरी 'संबंध' R एक(n + 1)-टपल (X₁, ⋯, X_n, G) है, जहां G कार्तीय गुणनफल X₁ × ⋯ × X_n का एक उपसमुच्चय है जिसे R का ग्राफ कहा जाता है।

एक नियम के रूप में, जो भी परिभाषा सबसे उपयुक्त होती है, उसे उस उद्देश्य के लिए चुना जाएगा, और यदि कभी भी दो परिभाषाओं के बीच अंतर करना आवश्यक हो जाता है, तो दूसरी परिभाषा को संतुष्ट करने वाली इकाई को एक अंत:स्थापन या सम्मिलित संबंध कहा जा सकता है।

दोनों कथन (x₁, ⋯, x_n) ∈ R(प्रथम परिभाषा के अंतर्गत) और (x₁, ⋯, x_n) ∈ G(दूसरी परिभाषा के अंतर्गत) "x₁, ⋯, x_n R-संबंधित हैं" और पोलिश अंकन का उपयोग करके निरूपित हैं Rx₁⋯x_n द्वारा अंकन और x₁⋯x_nR द्वारा प्रतिलोम पोलिश अंकन का उपयोग करना । ऐसी स्थिति में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, उन कथनों को x₁Rx₂ द्वारा मध्यप्रत्यय अंकन का उपयोग करके भी निरूपित किया जाता है।

निम्नलिखित विचार या तो परिभाषा के अंतर्गत लागू होते हैं:

• समुच्चय X_i को R का iवां प्रांत कहा जाता है। प्रथम परिभाषा के अंतर्गत, संबंध विशिष्ट रूप से प्रांत के दिए गए अनुक्रम को निर्धारित नहीं करता है। ऐसी स्थिति में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, X₁ को मात्र R का प्रांत या प्रस्थान का समुच्चय भी कहा जाता है, और X₂ को R का सह प्रांत या गंतव्य का समुच्चय भी कहा जाता है।
• जब X_i के अवयव संबंध होते हैं, तो X_i को R का एक गैर-सरल प्रांत कहा जाता है।
• ∀x_i ∈ X_i का समुच्चय जिसके लिए (x₁, ⋯, x_{i − 1}, x_{i + 1}, ⋯, x_n) ∈ X₁ × ⋯ × X_{i − 1} × X_{i + 1} × ⋯ × X_n का अस्तित्व है जैसे कि Rx₁⋯x_{i − 1}x_ix_{i + 1}⋯x_n को परिभाषा का i वां प्रांत या R का सक्रिय प्रांत कहा जाता है। ऐसी स्थिति में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, इसकी परिभाषा के पूर्व प्रांत को मात्र द्विआधारी संबंध का प्रांत या R का सक्रिय प्रांत भी कहा जाता है, और इसकी परिभाषा के दूसरे प्रांत को द्विआधारी संबंध का सह प्रांत या R का सक्रिय सह प्रांत भी कहा जाता है।
• जब R की परिभाषा का iवां प्रांत X_i के बराबर होता है, तो R को X_i पर कुल कहा जाता है। ऐसी स्थिति में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, जब R, X₁ पर कुल है, इसे द्विआधारी संबंध या क्रमिक भी कहा जाता है, और जब R, X₂ पर कुल होता है तो इसे द्विआधारी संबंध या विशेषण भी कहा जाता है।
• जब ∀x ∀y ∈ X_i. ∀z ∈ X_j. xR_ijz ∧ yR_ijz ⇒ x = y, जहाँ i ∈ I, j ∈ J, R_ij = π_ij R, और {I, J} {1, ..., n} का विभाजन है, R को {X_i}_{i ∈ I} पर अद्वितीय कहा जाता है, और {X_i}_{i ∈ J} को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। ऐसी स्थिति में जहां R एक द्विआधारी संबंध है, जब R {X₁ } पर अद्वितीय है, तो इसे वाम-अद्वितीय या अंतःक्षेपी भी कहा जाता है, और जब R {X₂} पर अद्वितीय होता है, तो इसे दायां-अद्वितीय या कार्यात्मक भी कहा जाता है।
• जब सभी X_i समान समुच्चय X हों, तो R को X के ऊपर एक n-ऐरी संबंध के रूप में संदर्भित करना सरल होता है, जिसे सजातीय संबंध कहा जाता है। अन्यथा R को विषमांगी संबंध कहा जाता है।
• जब कोई X_i रिक्त है, परिभाषित कार्तीय गुणनफल रिक्त है, और प्रांत के ऐसे अनुक्रम पर एकमात्र संबंध रिक्त संबंध R = ∅ होता है। इसलिए यह सामान्यतः निर्धारित किया जाता है कि सभी प्रांत रिक्त नहीं हैं।

बूलियन प्रांत B को दो-अवयव समुच्चय होने दें, कहें, B = {0, 1}, जिनके अवयवों को तार्किक मानों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, सामान्यतः 0 = false और 1 = true। χ_R द्वारा निरूपित R का विशिष्ट चर, बूलियन-मानित चर χ_R है : X₁ × ⋯ × X_n → B, χ_R((x₁, ⋯, x_n)) = 1 द्वारा परिभाषित यदि Rx₁⋯x_n और χ_R((x₁, ⋯, x_n)) = 0 अन्यथा।

अनुप्रयुक्त गणित, कंप्यूटर विज्ञान और सांख्यिकी में, बूलियन-मानित चर को n-एरी विधेय(गणित) के रूप में संदर्भित करना सामान्य है। औपचारिक तर्क और मॉडल सिद्धांत के अधिक संक्षेप दृष्टिकोण से, संबंध R एक तार्किक मॉडल या एक संबंधपरक संरचना का गठन करता है, जो कुछ n-एरी विशेषण प्रतीक के कई संभावित व्याख्याओं(तर्क) में से एक के रूप में कार्य करता है।

क्योंकि कई वैज्ञानिक विषयों के साथ-साथ गणित और तर्क की कई शाखाओं में संबंध उत्पन्न होते हैं, इसलिए शब्दावली में पर्याप्त भिन्नता है। एक संबंधपरक अवधारणा या शब्द के समुच्चय -सैद्धांतिक विस्तार(शब्दार्थ) के अतिरिक्त, शब्द संबंध का उपयोग संबंधित तार्किक इकाई, या तो धारणा(तर्क) को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है, जो कि उत्कटता या संक्षेप का गुण है। संबंध में सभी अवयवों द्वारा साझा किए गए गुण, या फिर इन अवयवों और संक्षेप को दर्शाने वाले प्रतीक हैं। इसके अतिरिक्त, बाद की धारणा के कुछ लेखक अधिक ठोस अर्थों के साथ शब्दों का परिचय देते हैं(जैसे किसी दिए गए संबंधपरक अवधारणा के समुच्चय-सैद्धांतिक विस्तार के लिए संबंधपरक संरचना)।

इतिहास

See also: बीजगणितीय तर्क § इतिहास

तर्कशास्त्री ऑगस्टस डी मॉर्गन, 1860 के समीप प्रकाशित अपने काम में, अपने वर्तमान अर्थों के जैसे किसी भी वास्तु में संबंध की धारणा को स्पष्ट करने वाले पूर्व व्यक्ति थे। उन्होंने संबंधों के सिद्धांत में प्रथम औपचारिक परिणाम भी बताया(डी मॉर्गन और संबंधों पर, मेरिल 1990 देखें)।

चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, गोटलॉब फ्रेज, जॉर्ज कैंटर, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य ने संबंधों के सिद्धांत को आगे बढ़ाया। उनके कई विचार, विशेष रूप से अनुक्रम सिद्धांत कहे जाने वाले संबंधों पर, गणित के सिद्धांत(1903) में संक्षेपित किए गए थे जहां बर्ट्रेंड रसेल ने इन परिणामों का निःशुल्क उपयोग किया था।

1970 में, एडगर कॉड ने डेटाबेस के लिए एक संबंधपरक मॉडल प्रस्तावित किया, इस प्रकार डेटा बेस प्रबंधन प्रणालियों के विकास की आशा की।

यह भी देखें

• आपतन संरचना
• हाइपरग्राफ
• सम्बंधों का तर्क
• तार्किक आव्यूह
• आंशिक क्रम
• विधेय(गणितीय तर्क)
• प्रक्षेपण(समुच्चय सिद्धांत)
• प्रतिवर्त संबंध
• संबंध बीजगणित
• संबंधपरक बीजगणित
• संबंधपरक मॉडल
• संबंध(दर्शन)

ग्रन्थसूची

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