अभिकलनात्मक वैद्युत चुंबकीय: Difference between revisions

Latest revision as of 12:04, 19 March 2023

परिमित-अनुरूपण समय-डोमेन विधि के माध्यम सेउप-तरंग दैर्ध्य अनुरूपण

कम्प्यूटेशनल विद्युत चुम्बकीय (सीईएम) या विद्युत चुम्बकीय मॉडल भौतिक वस्तुओं और पर्यावरण के साथ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के पारस्परिक प्रभाव को मॉडलिंग करने की प्रक्रिया है।

इसमें सामान्यतः ऐंटिना प्रदर्शन, विद्युत चुम्बकीय संगतता, रडार प्रतिनिधित्व और विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रसार की गणना करने के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के अनुमानित समाधानों की गणना करने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना सम्मिलित होता है जब मुक्त स्थान में न हो तब एक विस्तृत उपक्षेत्र ऐंटिना मॉडलिंग कंप्यूटर प्रोग्राम होता है जो रेडियो एंटेना के विकिरण विधि और विद्युत गुणों की गणना करता है तथा इसको विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए एंटेना डिजाइन मे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

संरचना

वास्तविक उपकरणों में पाई जाने वाली अनियमित ज्यामितीय समूह के लिए कई वास्तविक विद्युत चुम्बकीय समस्याएं जैसे विद्युत चुम्बकीय संरक्षण, विद्युत चुम्बकीय विकिरण, वेवगाइड्स (तरंग पथक) के मॉडलिंग आदि विश्लेषणात्मक रूप से गणना योग्य नहीं हैं। कम्प्यूटेशनल संख्यात्मक तकनीकें मीडिया के विभिन्न संवैधानिक संबंधों और सीमा स्थितियों के अंतर्गत मैक्सवेल के समीकरणों के विवृत समाधानों को प्राप्त करने में असमर्थता को दूर कर सकती हैं। यह कम्प्यूटेशनल विद्युत चुम्बकीय (सीईएम) को अन्य अनुप्रयोगों के बीच एंटीना, रडार, उपग्रह और अन्य संचार प्रणालियों, सूक्ष्म फोटोनिक उपकरणों और उच्च गति सिलिकॉन इलेक्ट्रॉनिक्स, चिकित्सीय प्रतिबिंबन, सेल-फोन एंटीना डिजाइन और मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण बनाता है।

सीईएम सामान्यतः समस्या डोमेन में ई (इलेक्ट्रिक) और एच (चुंबकीय) क्षेत्रों की गणना करने की समस्या को हल करता है उदाहरण के लिए, अपेक्षाकृत रूप से विभिन्न आकार वाली एंटीना संरचना के लिए एंटीना विकिरण डिजाइन की गणना करने के लिए विद्युत प्रवाह दिशा (पॉयंटिंग सदिश) की गणना एक तरंग पथक के सामान्य मोड, मीडिया-जनित तरंग प्रसारण और संरक्षण की गणना ई और एच क्षेत्रों से की जा सकती है। सीईएम मॉडल आदर्शीकृत सिलेंडरों, क्षेत्रों और अन्य नियमित ज्यामितीय वस्तुओं के लिए वास्तविक संरचनाओं को सरल बनाने, समरूपता ग्रहण कर सकते हैं या नहीं ग्रहण कर सकते हैं। सीईएम मॉडल विस्तृत पैमाने पर समरूपता का उपयोग करते हैं और 3 स्थानिक आयामों से 2डी और यहां तक कि 1डी तक कम आयाम के लिए हल करते हैं।

सीईएम की एक आइगेन मान समस्या सूत्रीकरण संरचना में निर्धारित स्थिति मे सामान्य मोड की गणना करने की स्वीकृति देता है। एफडीटीडी द्वारा समय डोमेन में सीईएम द्वारा क्षणिक प्रतिक्रिया और आवेग क्षेत्र प्रभाव अधिक उपयुक्त रूप से तैयार किए जाते हैं। घूर्णन ज्यामितीय वस्तुओं को परिमित तत्वों एफईएम या गैर-लंबकोणीय ग्रिड (विद्युत् प्रवाह जाल) के रूप में अधिक उपयुक्त रूप से सरलीकृत किया जाता है। बीम प्रसारण विधि (बीपीएम) तरंग में विद्युत प्रवाह के लिए हल कर सकती है। सीईएम अनुप्रयोग विशिष्ट होते है यद्यपि अलग-अलग तकनीकें एक ही क्षेत्र और मॉडल किए गए डोमेन में विद्युत प्रवाह के रूप मे प्रतिक्रिया करती हैं।

विधियों का अवलोकन

एक तरीका यह है कि समष्टि को विद्युत् प्रवाह जाल (लंबकोणीय और गैर-लंबकोणीय दोनों) के संदर्भ में विभाजित किया जाए और ग्रिड में प्रत्येक बिंदु पर मैक्सवेल के समीकरणों को हल किया जाए। जो कंप्यूटर मेमोरी का प्रयोग करता है और समीकरणों को हल करने में अपेक्षाकृत अधिक समय लगता है। बड़े पैमाने पर सीईएम समस्याओं का सामना मेमोरी और सीपीयू की सीमाओं से होता है। 2007 तक, सीईएम समस्याओं के लिए सुपर कंप्यूटर,^{[citation needed]} उच्च प्रदर्शन,^{[citation needed]} प्रसंस्करण या समानता की आवश्यकता होती है। विशिष्ट समीकरणों में समानता के लिए समस्त डोमेन पर समीकरणों के माध्यम से परिमित तत्व विधियों द्वारा मॉडलिंग किए जाने पर कार्यों के भार की गणना करने के लिए बैंडेड आव्यूह व्युत्क्रम के माध्यम से या आव्यूह उत्पाद स्थानांतरण आव्यूह विधियों का उपयोग करते समय या आघूर्ण की विधि (एमओएम) का उपयोग करते समय इंटीग्रल की गणना करना या विभाजन विधि या बीपीएम द्वारा गणना करते समय फूरियर रूपांतरण और समय पुनरावृत्तियों का उपयोग करना समय निर्धारण के साथ सम्मिलित होता है

विधियों का चयन

किसी समस्या को हल करने के लिए सही तकनीक का चयन करना महत्वपूर्ण होता है क्योंकि गलत विधि को चुनने से या तो गलत परिणाम हो सकते हैं या ऐसे परिणाम जिनकी गणना करने में अत्यधिक समय लगता है। हालांकि, एक तकनीक का नाम यह नहीं प्रदर्शित करता है कि इसे कैसे कार्यान्वित किया जाता है विशेष रूप से व्यावसायिक उपकरणों के लिए, जिसमें प्रायः एक से अधिक हल होते हैं। डेविडसन^[1] एफईएम, एमओएम और एफडीटीडी तकनीकों की तुलना को सामान्य रूप से प्रयुक्त करने के तरीके से दो तालिकाएँ है। एक तालिका विवृत क्षेत्र (विकिरण और संरक्षण की समस्या) दोनों के लिए है और दूसरी तालिका निर्देशित तरंग समस्याओं के लिए होती है।

अतिपरवलीय पीडीई विधि में मैक्सवेल के समीकरण

मैक्सवेल के समीकरणों को आंशिक अवकल समीकरणों की अतिपरवलीय प्रणाली के रूप में तैयार किया जा सकता है। यह संख्यात्मक हल के लिए महत्वपूर्ण तकनीकों तक समीकरणों को प्रदान करती है।

यह माना जाता है कि तरंगें (x, y) समतल अक्ष में विस्तृत होती हैं और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को z- अक्ष के समानांतर होने तक सीमित करती हैं और इस प्रकार विद्युत क्षेत्र (x, y) समतल अक्ष के समानांतर होता है। तरंग को अनुप्रस्थ चुंबकीय (टीएम) तरंग कहा जाता है। 2डी में और कोई ध्रुवणता सम्मिलित नहीं होती है तब मैक्सवेल के समीकरणों को इस प्रकार हल किया जा सकता है:

{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {u}}+A{\frac {\partial }{\partial x}}{\bar {u}}+B{\frac {\partial }{\partial y}}{\bar {u}}+C{\bar {u}}={\bar {g}}

जहां u, A, B और C को परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\right),\\[1ex]A&=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).\end{aligned}}

इस समीकरण में,

{\bar {g}}

प्रणोदन फलन या अवकलन समीकरण है और

{\bar {u}}

के समष्टि स्थान में है। इसका उपयोग बाहरी रूप से प्रयुक्त क्षेत्र को व्यक्त करने या अनुकूलन अवरोध (गणित) का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर दिया किया गया है:

{\bar {g}}=\left({\begin{matrix}E_{x,{\text{constraint}}}\\E_{y,{\text{constraint}}}\\H_{z,{\text{constraint}}}\end{matrix}}\right).

{\bar {g}}

कुछ समस्याओं को सरल बनाने के लिए या एक सामान्यीकृत समीकरण खोजने के लिए स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर परिभाषित किया जा सकता है जो प्रायः एक विशेष विषम हल को खोजने के लिए एक विधि में प्रयुक्त होने वाला समीकरण है।

समाकल समीकरण हल

असतत द्विध्रुवीय सन्निकटन

असतत द्विध्रुवीय सन्निकटन अपेक्षाकृत ज्यामिति के लक्ष्यों द्वारा प्रकीर्णन और अवशोषण की गणना के लिए एक सामान्य तकनीक है। जो सूत्रीकरण मैक्सवेल समीकरणों के अभिन्न रूप पर आधारित है। डीडीए ध्रुवणता योग्य बिंदुओं की एक परिमित सरणी द्वारा असतत लक्ष्य का एक अनुमान है। अंक स्थानीय विद्युत क्षेत्र की प्रतिक्रिया में द्विध्रुव आघूर्ण प्राप्त करते हैं। द्विध्रुवीय निश्चित रूप से अपने विद्युत क्षेत्रों के माध्यम से एक दूसरे के साथ पारस्परिक क्रिया करते हैं, इसलिए डीडीए को कभी-कभी युग्मित द्विध्रुवीय सन्निकटन के रूप में भी जाना जाता है। परिणामी समीकरणों की रैखिक प्रणाली को सामान्यतः संयुग्मी ढाल पुनरावृत्तियों का उपयोग करके हल किया जाता है। असंततकरण त्रुटि आव्यूह में समरूपता है मैक्सवेल समीकरणों का अभिन्न रूप है संयुग्म समाकलन पुनरावृत्तियों के समय आव्यूह सदिश को गुणा करने के लिए फूरियर रूपांतरण को सक्षम करता है।

आघूर्ण विधि और सीमा तत्व विधि

विद्युत चुम्बकीय आघूर्ण विधि (एमओएम)^[2] या सीमा तत्व विधि (बीईएम) रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने का एक संख्यात्मक कम्प्यूटेशनल तरीका है जिसे अभिन्न समीकरणों (अर्थात सीमा के अभिन्न रूप में) के रूप में तैयार किया गया है। यह इंजीनियरिंग और विज्ञान के कई क्षेत्रों में प्रयुक्त किया जा सकता है जिसमें द्रव यांत्रिकी, ध्वनिकी, विद्युत चुम्बकीय, विभाजन यांत्रिकी और प्लैस्टिक (भौतिकी) सम्मिलित हैं।

एमओएम 1980 के दशक से अधिक लोकप्रिय हो गया है। क्योंकि इसमें सम्पूर्ण समष्टि मान के अतिरिक्त केवल अवकल मान की गणना करने की आवश्यकता होती है, यह एक छोटी सतह/आयतन अनुपात वाली समस्याओं के लिए कम्प्यूटेशनल संसाधनों की स्थिति में अपेक्षाकृत अधिक कुशल है। सामान्य रूप से, यह प्रतिरूपित सतह पर "जाल" बनाकर कार्य करता है। हालांकि, कई समस्याओं के लिए, एमओएम आयतन- असंततकरण विधियों (परिमित तत्व विधि, परिमित अवकल विधि, परिमित आयतन विधि) की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से कम कुशल हैं। सीमा तत्व सूत्रीकरण सामान्यतः पूरी तरह से विस्तृत वाले आव्यूह को उत्पन्न करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि समस्या आकार के वर्ग के अनुसार भंडारण आवश्यकताओं और कम्प्यूटेशनल समय में वृद्धि होगी। इसके विपरीत, परिमित तत्व मेट्रिसेस सामान्यतः बैंडेड होते हैं (तत्व केवल स्थानीय रूप से सम्बद्ध होते हैं) और प्रणाली आव्यूह के लिए भंडारण आवश्यकताएं सामान्यतः समस्या के आकार के साथ रैखिक रूप से बढ़ती हैं। इन समस्याओं को सुधारने के लिए संपीड़न तकनीकों (जैसे बहुध्रुव विस्तार या अनुकूलनीय सन्निकटन/पदानुक्रमित आव्यूह) का उपयोग किया जा सकता है, हालांकि अतिरिक्त जटिलता की कीमत पर और सफलता-दर के साथ समस्या की प्रकृति और ज्यामिति पर बहुत अधिक निर्भर करता है।

एमओएम उन समस्याओं पर प्रयुक्त होता है जिनके लिए ग्रीन-फलन की गणना की जा सकती है। इनमें सामान्यतः रेखीय समरूपता (भौतिकी) मीडिया में क्षेत्र सम्मिलित होते हैं। यह सीमा तत्वों के लिए उपयुक्त समस्याओं की सीमा और व्यापकता पर प्रतिबंध लगाता है। गैर-रैखिकताओं को सूत्रीकरण में सम्मिलित किया जा सकता है, हालांकि वे सामान्यतः आयतन समाकल को प्रस्तुत करते हैं जिसके लिए एमओएम के प्रायः लाभ को नियोजित करते हुए आयतन को अवकल समीकरणों से पहले अलग करने की आवश्यकता होती है।

बहुध्रुव विधि

बहुध्रुव विधि (एफएमएम) एमओएम या एवाल्ड-संकलन का एक विकल्प है। यह एक संकलन तकनीक है और इसके लिए एमओएम की तुलना में कम मेमोरी और प्रसंस्करण ऊर्जा की आवश्यकता होती है। एफएमएम को सबसे पहले लेस्ली ग्रीनगार्ड और व्लादिमीर रोखलिन (अमेरिकी वैज्ञानिक) द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[3]^[4] यह बहुध्रुव विस्तार तकनीक पर आधारित है। कम्प्यूटेशनल विद्युत चुम्बकीय में एफएमएम का पहला अनुप्रयोग एंघेटा एटअल (1992) द्वारा किया गया था।^[5] एफएमएम का उपयोग एमओएम में तीव्रता लाने के लिए भी किया जा सकता है।

समतल तरंग समय-डोमेन

जबकि बहुध्रुव विधि स्थिर या आवृति-डोमेन दोलन कर्नेल के साथ समाकल समीकरणों के एमओएम समाधानों को गति देने के लिए उपयोगी है समतल तरंग समय-डोमेन (पीडब्ल्यूटीडी) एल्गोरिथ्म धीमी गति वाले समय-डोमेन समाकल समीकरणों के एमओएम समाधान को गति देने के लिए समान विचारों को नियोजित करता है। पीडब्ल्यूटीडी एल्गोरिथ्म को 1998 में एर्गिन, शंकर और मिचेलसेन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[6]

आंशिक तत्व समकक्ष परिपथ विधि

आंशिक तत्व समकक्ष परिपथ (पीईईसी) एक 3डी तरंग मॉडलिंग विधि है जो संयुक्त विद्युत चुंबकत्व और विद्युत परिपथ विश्लेषण के लिए उपयुक्त है। एमओएम के विपरीत, पीईईसी एक पूर्ण स्पेक्ट्रम विधि है जो दिष्‍ट धारा (डीसी) से मेशिंग द्वारा निर्धारित अधिकतम आवृत्ति तक मान्य है। पीईईसी विधि में, अविभाज्य समीकरण की व्याख्या किरचॉफ के वोल्टेज नियम के रूप में की जाती है जो मूल पीईईसी सेल पर प्रयुक्त होता है जिसके परिणामस्वरूप 3डी ज्यामिति के लिए एक पूर्ण परिपथ हल होता है। समतुल्य परिपथ सूत्रीकरण अतिरिक्त प्रकार के परिपथ तत्वों को आसानी से सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। इसके अतिरिक्त मॉडल और विश्लेषण दोनों समय और आवृत्ति डोमेन पर प्रयुक्त होते हैं।

पीईईसी मॉडल से उत्पन्न परिपथ समीकरण संशोधित लूप विश्लेषण (एमएलए) या संशोधित नोडल विश्लेषण (एमएनए) सूत्रीकरण का उपयोग करके आसानी से बनाए जाते हैं। प्रत्यक्ष धारा ऊर्जा प्रदान करने के अतिरिक्त, इस वर्ग की समस्याओं के लिए एमओएम विश्लेषण पर इसके कई अन्य लाभ हैं क्योंकि किसी भी प्रकार के परिपथ तत्व को उपयुक्त आव्यूह के साथ प्रत्यक्ष रूप से सम्मिलित किया जा सकता है। पीईईसी पद्धति को हाल ही में गैर-लंबकोणीय ज्यामितीयों को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित किया गया है। यह मॉडल विस्तार, जो लंबकोणीय सूत्रीकरण के अनुरूप है इसमे अधिक सामान्य चतुर्भुज और षट्फलकीय तत्वों के अतिरिक्त ज्यामिति का "मैनहट्टन प्रतिनिधित्व" सम्मिलित है। यह अज्ञात संख्या को कम से कम करने में सहायता करता है और इस प्रकार गैर-लंबकोणीय ज्यामिति के लिए कम्प्यूटेशनल समय को कम करता है।^[7]

आघूर्ण कैग्नियार्ड-डीहूप विधि

आघूर्ण कैग्नियार्ड डीहूप विधि (सीडीएच-एमओएम) एक 3डी तरंग समय-डोमेन अविभाज्य-समीकरण तकनीक है जिसे लोरेंत्ज़ पारस्परिकता प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है। चूँकि सीडीएच-एमओएम, कैग्नियार्ड डीहूप विधि पर बहुत अधिक निर्भर करता है, मूल रूप से पृथ्वी के भूपर्पटी मॉडल में भूकंपीय तरंग प्रसार के विश्लेषणात्मकता के लिए विकसित एक संयुक्त-परिवर्तन दृष्टिकोण, यह दृष्टिकोण समतलीय सतह के टीडी ईएम विश्लेषण के लिए अच्छी तरह से स्तरित संरचनाएं अनुकूल है।^[8] सीडीएच-एमओएम मूल रूप से बेलनाकार और समतलीय एंटेना के समय-डोमेन प्रदर्शन को हाल ही में, पतली परत की उपस्थिति में संचार लाइनों के टीडी ईएम प्रसार विश्लेषण के लिए विद्युत चुम्बकीय मेटा सतह के अध्ययन पर प्रयुक्त किया गया है।^[9]^[10]^[11]

अवकल समीकरण समाधानकर्ता

परिमित-असमान समय-डोमेन

परिमित असमान समय-डोमेन (एफडीटीडी) एक लोकप्रिय सीईएम तकनीक है। इसे समझना आसान है। पूर्ण तरंग समाधानकर्ता के लिए इसका असाधारण सरल कार्यान्वयन है। यह एफईएम या एमओएम समाधानकर्ता की तुलना में एक आधारिक एफडीटीडी समाधानकर्ता को प्रयुक्त करने के लिए कम से कम परिमाण को कम कार्य का एक अनुक्रम है। एफडीटीडी एकमात्र ऐसी तकनीक है जहां एक व्यक्ति उपयुक्त समय सीमा में वास्तविक रूप से स्वयं को प्रयुक्त कर सकता है लेकिन फिर भी, यह विशिष्ट समस्या के लिए होगा।^[1] चूंकि यह एक समय-डोमेन विधि है, इसलिए समाधान एकल अनुरूपण कार्यान्वयन के साथ एक व्यापक आवृत्ति दूरी को समाविष्ट करता हैं, इसके अतिरिक्त वांछित उच्चतम आवृत्ति के लिए निक्विस्ट-शैनन विश्लेषण प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए यह एक सामान्य समीकरण है। एफडीटीडी ग्रिड-आधारित अवकलन समय-डोमेन समीकरण मॉडलिंग विधियों के सामान्य वर्ग से संबंधित है। मैक्सवेल के समीकरण (आंशिक अवकलन समीकरण रूप में) को केंद्रीय-अवकलन समीकरण में संशोधित या अलग किया जाता है और सॉफ्टवेयर में प्रयुक्त किया जाता है। समीकरणों को चक्रीय तरीके से हल किया जाता है तथा विद्युत क्षेत्र को एक निश्चित समय पर हल किया जाता है, फिर चुंबकीय क्षेत्र को अगले समय में हल किया जाता है, और प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जाता है।

एफडीटीडी एल्गोरिथम एंटेना और प्रसार पर इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में केनयी द्वारा 1966 के एक मौलिक स्थानांतरण का पता लगाता है। एलन टैफ्लोव ने इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में 1980 के पेपर में निरूपित "परिमित-अंतर समय-डोमेन" और इसके संबंधित "एफडीटीडी" परिवर्णी इलेक्ट्रोमैगन शब्द की उत्पत्ति की। लगभग 1990 के बाद से, एफडीटीडी तकनीक भौतिक संरचनाओं के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग अंतः क्रियाओं को संबोधित करने वाली कई वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं को मॉडल करने के प्राथमिक साधन के रूप में उभरी है। मोहम्मदियन एट अल द्वारा 1991 में समय-डोमेन परिमित समीकरण प्रक्रिया के आधार पर एक प्रभावी तकनीक प्रस्तुत की गई थी।।^[12] धारा एफडीटीडी मॉडलिंग अनुप्रयोगों में सूक्ष्म तरंग (रडार हस्ताक्षर प्रौद्योगिकी, एंटेना, वायरलेस संचार उपकरण, डिजिटल इंटरकनेक्ट, बायोमेडिकल चिकित्सा) के माध्यम से दृश्य प्रकाश (फोटोनिक क्रिस्टल, सूक्ष्म प्लाज्मोनिक्स, सॉलिटॉन्स और बायोफोटोनिक्स) लगभग 30 व्यावसायिक और विश्वविद्यालय-विकसित सॉफ़्टवेयर सूट उपलब्ध हैं।

असंतुलित समय-डोमेन विधि

कई समय डोमेन विधियों के बीच, असंतत गैलेरकिन समय डोमेन विधि (डीजीटीडी) हाल ही में लोकप्रिय हो गई है क्योंकि यह परिमित समय डोमेन विधि (एफवीटीडी) और परिमित तत्व समय डोमेन (एफईटीडी) विधि दोनों के लाभों को एकीकृत करती है। एफवीटीडी की तरह, इस संख्यात्मक प्रवाह का उपयोग तत्वों के बीच सूचनाओं के आदान-प्रदान के लिए किया जाता है, इस प्रकार डीजीटीडी के सभी संचालन स्थानीय और आसानी से समानांतर होते हैं। एफईटीडी के समान, डीजीटीडी असंरचित जाल को नियोजित करता है जो उच्च-क्रम सटीकता के लिए सक्षम है यदि उच्च-क्रम पदानुक्रमित आधार फलन को अपनाया जाता है। तब उपरोक्त विधि के अनुसार, बड़ी संख्या में अज्ञात लोगों से सम्बद्ध बहुस्तरीय समस्याओं के आघूर्ण विश्लेषण के लिए डीजीटीडी पद्धति व्यापक रूप से प्रयुक्त की जाती है।^[13]^[14]

बहु-विश्लेषण समय-डोमेन

एमआरटीडी तरंग विश्लेषण के आधार पर परिमित अंतर समय डोमेन विधि (एफडीटीडी) का एक अनुकूलनीय विकल्प है।

परिमित तत्व विधि

परिमित तत्व विधि (एफईएम) का उपयोग आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) और अभिन्न समीकरणों के अनुमानित हल को खोजने के लिए किया जाता है। समाधान दृष्टिकोण या तो समय व्युत्पन्न को पूरी तरह से समाप्त करने (स्थिर-स्थिति की समस्याओं) पर आधारित है या पीडीई को समकक्ष सामान्य अवकल समीकरण में प्रस्तुत करना है जिसे बाद में मानक तकनीकों जैसे परिमित अवकलन समीकरण आदि का उपयोग करके हल किया जाता है।

आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने में, प्राथमिक समीकरण बनाना आवश्यक है जो अध्ययन किए जाने वाले समीकरण का अनुमान लगाता है, लेकिन जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है, जिसका अर्थ है कि इनपुट आंकड़ा और मध्यवर्ती गणनाओं में त्रुटियां परिणामी आउटपुट के अर्थ को संचित और नष्ट नहीं करती हैं। ऐसा करने के कई तरीके हैं, विभिन्न लाभ और हानि के साथ समय डोमेन पर आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने के लिए परिमित तत्व विधि एक अच्छा विकल्प है क्योकि समय डोमेन में वांछित सूक्ष्मता भिन्न होती है।

परिमित एकीकरण तकनीक

परिमित एकीकरण तकनीक (एफआईटी) समय और आवृत्ति डोमेन में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की समस्याओं को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक स्थानिक विवेकीकरण योजना है। यह आवेश और ऊर्जा के संरक्षण जैसे निरंतर समीकरणों के आधारिक सामयिक गुणों को संरक्षित करता है। एफआईटी को 1977 में थॉमस वेइलैंड द्वारा प्रस्तावित किया गया था और वर्षों से इसे निरंतर विस्तृत किया गया है।^[15] यह विधि विद्युत चुम्बकीय (स्थैतिक से उच्च आवृत्ति तक) और प्रकाश संबंधी अनुप्रयोगों की पूरी श्रृंखला को समाविष्ट करती है और कंप्यूटर अनुरूपण प्रौद्योगिकी (सीएसटीएजी) द्वारा विकसित वाणिज्यिक अनुरूपण उपकरण सीएसटी स्टूडियो सूट और निम्बिक द्वारा विकसित विद्युत चुम्बकीय अनुरूपण समाधान का आधार है।

इस दृष्टिकोण का मूल विचार मैक्सवेल समीकरणों को एकत्र ग्रिड के एक समुच्चय पर अभिन्न रूप में प्रयुक्त करना है। यह विधि ज्यामितीय मॉडलिंग और सीमा में उच्च समीकरण के साथ-साथ अपेक्षाकृत आंकड़ा वितरण और असमदिग्वर्ती, गैर-रैखिकता और प्रसारण जैसे भौतिक गुणों को सम्मिलित करने के कारण सामने आती है। इसके अतिरिक्त, एक स्पष्ट समय एकीकरण योजना (जैसे मंडूक प्लुति योजना) के संयोजन के साथ एक सतत दोहरी लंबकोणीय ग्रिड (जैसे कार्तीय ग्रिड) का उपयोग गणना और मेमोरी-कुशल एल्गोरिदम की ओर किया जाता है जो विशेष रूप से रेडियो आवृत्ति (आरएफ) अनुप्रयोगों में आघूर्ण क्षेत्र विश्लेषण के लिए अनुकूल होते हैं।

छद्म (प्सयूडो) वर्णक्रमीय समय डोमेन

मैक्सवेल के समीकरणों के लिए प्रस्तुत कम्प्यूटेशनल तकनीकों का यह वर्ग विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र मे सदिश घटकों के स्थानिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए असतत फूरियर या असतत चेबीशेवमॉडल रूपांतरण का उपयोग करता है जो 2-डी ग्रिड या 3-डी में यूनिट सेल से रूप मे व्यवस्थित होते हैं। पीएसटीडी एफडीटीडी के सापेक्ष नगण्य संख्यात्मक चरण वेग विषमदैशिकता त्रुटियों का कारण बनता है और इसलिए अत्यधिक विद्युत आकार की समस्याओं को प्रस्तुत करने की स्वीकृति देता है।^[16]

छद्म वर्णक्रमीय स्थानिक डोमेन

पीएसएसडी मैक्सवेल के समीकरणों को एक चयनित स्थानिक दिशा में आगे प्रचारित करके हल करता है। इसलिए चयनित स्थानिक दिशा को समय के कार्य के रूप में और (संभवतः) किसी भी अनुप्रस्थ स्थानिक आयाम के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। विधि छद्म वर्णक्रमीय है क्योंकि एफएफटी की सहायता से आवृत्ति डोमेन में अस्थायी व्युत्पन्न की गणना की जाती है। चूंकि समष्टि फलन के रूप में आयोजित किए जाते हैं यह प्रसार माध्यम में अपेक्षाकृत रूप से प्रसार को न्यूनतम प्रयास के साथ तीव्रता से और स्पष्ट रूप से तैयार करने में सक्षम बनाता है।^[17] हालांकि, स्थानिक दिशा में आगे बढ़ने का विकल्प (समय के अतिरिक्त) इसके साथ कुछ सूक्ष्मताएं प्रदान करता है यदि प्रतिबिंब महत्वपूर्ण होते हैं।^[18]

संचरण रैखिक आव्यूह

संचरण रैखिक आव्यूह विधि (टीएलएम) को कई तरीकों से तैयार किया जा सकता है, जैसे कि एक परिपथ समाधानकर्ता (एएलए एसपीआईसीई, एचएसपीआईसीई) द्वारा प्रत्यक्ष स्थानीकृत तत्वों के प्रत्यक्ष समुच्चय के रूप में तत्वों या प्रकीर्णी आव्यूह दृष्टिकोण के माध्यम से टीएलएम क्षमताओं में एफडीटीडी के समान एक बहुत ही नम्य विश्लेषण योजना है, हालांकि इसमे एफडीटीडी इंजन के साथ अधिक कोड उपलब्ध होते हैं।

स्थानीय एकल-विमीय पद्धति

यह एक निहित विधि है। इस पद्धति में, द्वि-आयामी स्थिति मे मैक्सवेल समीकरणों की गणना दो चरणों में की जाती है, जबकि त्रि-आयामी स्थिति में मैक्सवेल समीकरणों को तीन स्थानिक निर्देशांकों को दिशाओं में विभाजित किया जाता है। त्रि-आयामी एलओडी-एफडीटीडी विधि की स्थिरता और प्रसार विश्लेषण पर विस्तार से चर्चा की गई है।^[19]^[20]

अन्य तरीके

आइगेन मोड विस्तार

आइगेन मोड विस्तार (ईएमई) विद्युत चुम्बकीय प्रसार का अनुकरण करने के लिए एक कठोर द्वि-दिशात्मक तकनीक है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के स्थानीय आइगेन मोड आधार समूह में अपघटन पर निर्भर करता है। प्रत्येक स्थानीय विभाजन में मैक्सवेल के समीकरणों को हल करके आइगेन मोड पाए जाते हैं। आइगेन मोड विस्तार मैक्सवेल के समीकरणों को 2डी और 3डी में हल कर सकता है और एक पूर्ण सदिश समाधान प्रदान कर सकता है केवल कि मोड समाधानकर्ता सदिश हों। यह प्रकाश संबंधी वेवगाइड्स (तरंग पथक) के मॉडलिंग के लिए एफडीटीडी पद्धति की तुलना में अत्यधिक लाभ प्रदान करता है तथा यह तंतु प्रकाशिकी और सिलिकॉन फोटोनिक्स उपकरणों के मॉडलिंग के लिए एक लोकप्रिय उपकरण है।

भौतिक प्रकाशिकी

भौतिक प्रकाशिकी (पीओ) एक उच्च आवृत्ति सन्निकटन (लघु-तरंग दैर्ध्य सन्निकटन) का नाम है जो सामान्यतः प्रकाशिकी, विद्युत इंजीनियरिंग और अनुप्रयुक्त भौतिकी में उपयोग किया जाता है। यह ज्यामितीय प्रकाशिकी के बीच एक मध्यवर्ती विधि है, जो तरंग प्रभावों की उपेक्षा करती है और पूर्ण तरंग विद्युत चुंबकत्व, जो एक स्पष्टता सिद्धांत है। भौतिक शब्द का अर्थ है कि यह ज्यामितीय प्रकाशिकी की तुलना में अधिक भौतिक है और यह नहीं कि यह एक स्पष्ट भौतिक सिद्धांत है। सन्निकटन में सतह पर क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए किरण प्रकाशिकी का उपयोग करना और फिर संचरित या प्रकीर्ण क्षेत्र की गणना करने के लिए सतह पर उस क्षेत्र को एकीकृत करना सम्मिलित है। यह "बॉर्न सन्निकटन" से संबद्ध होता है जिसमें समस्या के विवरण को चॉस सिद्धांत के रूप में माना जाता है।

विवर्तन का एकरूपता सिद्धांत

विवर्तन का एकरूपता सिद्धांत (यूटीडी) एक ही बिंदु पर एक से अधिक आयामों में विद्युतीय रूप से छोटी असांतत्यता या विच्छिन्नता से विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन की समस्याओं को हल करने के लिए एक उच्च आवृत्ति विधि है।

विवर्तन का एकरूपता सिद्धांत निकट और दूर के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को अर्ध प्रकाश के रूप में अनुमानित करता है और प्रत्येक विवर्तक वस्तु-स्रोत संयोजन के लिए विवर्तन गुणांक निर्धारित करने के लिए किरण विवर्तन का उपयोग करता है। इन गुणांकों का उपयोग विवर्तन बिंदु से दूर प्रत्येक दिशा के लिए क्षेत्र की ऊर्जा और चरण (तरंगों) की गणना करने के लिए किया जाता है। ताकि कुल अनुमानित मान को प्राप्त किया जा सके। तत्पश्चात इन क्षेत्रों को विवर्तन और परावर्तित क्षेत्रों में सम्बद्ध किया जाता है।

सत्यापन

सत्यापन विद्युत चुम्बकीय अनुरूपण उपयोगकर्ताओं का सामना करने वाले प्रमुख कारकों में से एक है। उपयोगकर्ता को इसके अनुरूपण के डोमेन को समझना और प्राप्त करना चाहिए इसका उपाय यह है कि "परिणाम वास्तविकता से कितनी दूर हैं?"

इस प्रश्न का उत्तर देने में तीन चरण सम्मिलित हैं:

अनुरूपण परिणामों और विश्लेषणात्मक सूत्रीकरण के बीच तुलना।
कोड के बीच अनुरूपण-तुलना।
माप के साथ अनुरूपण परिणामों की तुलना।

अनुरूपण परिणाम और विश्लेषणात्मक सूत्रीकरण के बीच तुलना

उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक सूत्र के साथ विद्युत रडार के व्यापक प्रतिनिधित्व के मान का आकलन करना:

{\text{RCS}}_{\text{Plate}}={\frac {4\pi A^{2}}{\lambda ^{2}}},

जहां A विद्युत रडार की सतह है और

\lambda

तरंग दैर्ध्य है 35 गीगाहर्ट्ज पर गणना की गई प्लेट के आरसीएस को प्रस्तुत करने वाला अगला वक्र संदर्भ उदाहरण के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है।

कोड के बीच अनुरूपण तुलना

एक उदाहरण उनके समय डोमेन में आघूर्ण की विधि और स्पर्शोन्मुख विधियों से परिणामों की अनुरूपण तुलना है।^[21]

माप के साथ अनुरूपण परिणामों की तुलना

माप और अनुरूपण के बीच तुलना करके अंतिम सत्यापन चरण बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, आरसीएस गणना^[22] और माप^[23] 35 गीगाहर्ट्ज पर किसी जटिल धात्विक वस्तु की गणना के लिए जाओ, पीओ और पीटीडी को प्रयुक्त किया जा सकता है।

सत्यापन प्रक्रिया स्पष्ट रूप से यह प्रकट कर सकती है कि प्रायोगिक समूह और अनुरूपण वातावरण में इसके प्रजनन के बीच की तुलना के द्वारा कुछ अंतरों को समझाया जा सकता है।^[24]

प्रकाशीय प्रकीर्णन कोड

विद्युत चुम्बकीय प्रकीर्णन समस्याओं को हल करने के लिए कई कुशल कोड हैं। वे इस प्रकार सूचीबद्ध हैं:

समाधान जो विश्लेषणात्मक हैं, जैसे क्षेत्रों या सिलेंडरों द्वारा प्रकीर्णन एमआईई समाधान का उपयोग अधिक सम्मिलित तकनीकों को स्वीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

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↑ FGAN-FHR
↑ full article

अग्रिम पठन

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J. Jin (2002). The Finite Element Method in Electromagnetics, 2nd. ed. Wiley-IEEE Press. ISBN 978-0-471-43818-2.
Allen Taflove and Susan C. Hagness (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9.

बाहरी संबंध

Computational electromagnetics at the Open Directory Project
Computational electromagnetics: a review Archived 2016-03-15 at the Wayback Machine

[davidson-1] 1.0 ^1.1 David B. Davidson, Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering, Second Edition, Cambridge University Press, 2010

[2] Roger F. Harrington (1968). Field Computation by Moment Methods. Latest printing by IEEE Press in 1993, ISBN 0780310144.

[3] Greengard, L; Rokhlin, V (1987). "कण सिमुलेशन के लिए एक तेज़ एल्गोरिदम" (PDF). Journal of Computational Physics. Elsevier BV. 73 (2): 325–348. Bibcode:1987JCoPh..73..325G. doi:10.1016/0021-9991(87)90140-9. ISSN 0021-9991. Archived (PDF) from the original on August 1, 2019.

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[10] Stumpf, M: Metasurface Electromagnetics: The Cagniard-DeHoop Time-Domain Approach, London, UK: IET (2022).

[11] Stumpf, M. (2021). "Pulsed electromagnetic scattering by metasurfaces -- A numerical solution based on the Cagniard–DeHoop Method of Moments". IEEE Trans. Antennas Propag. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 69 (11): 7761–7770. Bibcode:2021ITAP...69.7761S. doi:10.1109/TAP.2021.3076342. ISSN 1558-2221. S2CID 235844966.

[12] Mohammadian, Alireza H.; Shankar, Vijaya; Hall, William F. (1991). "टाइम-डोमेन परिमित-मात्रा विवेकीकरण प्रक्रिया का उपयोग करके विद्युत चुम्बकीय बिखरने और विकिरण की गणना". Computer Physics Communications. Elsevier BV. 68 (1–3): 175–196. Bibcode:1991CoPhC..68..175M. doi:10.1016/0010-4655(91)90199-u. ISSN 0010-4655.

[13] Tobón, Luis E.; Ren, Qiang; Liu, Qing Huo (February 2015). "A new efficient 3D Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method for large and multiscale electromagnetic simulations". Journal of Computational Physics. 283: 374–387. Bibcode:2015JCoPh.283..374T. doi:10.1016/j.jcp.2014.12.008. ISSN 0021-9991.

[14] Mai, W.; Hu, J.; Li, P.; Zhao, H. (October 2017). "An Efficient and Stable 2-D/3-D Hybrid Discontinuous Galerkin Time-Domain Analysis With Adaptive Criterion for Arbitrarily Shaped Antipads in Dispersive Parallel-Plate Pair". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 65 (10): 3671–3681. Bibcode:2017ITMTT..65.3671M. doi:10.1109/TMTT.2017.2690286. ISSN 0018-9480. S2CID 43188111.

[15] Weiland, T. (1977). "छह-घटक क्षेत्रों के लिए मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान के लिए एक विवेक विधि". Archiv für Elektronik und Uebertragungstechnik (in Deutsch). 31 (3): 116–120. Bibcode:1977ArElU..31..116W.

[16] For a recent comprehensive summary of PSTD techniques for Maxwell's equations, see Q. Liu and G. Zhao "Advances in PSTD Techniques," Chapter 17 in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove and S. C. Hagness, eds., Boston: Artech House, 2005.

[17] Tyrrell, J. C. A.; Kinsler, P.; New, G. H. C. (2005-05-10). "Pseudospectral spatial-domain: a new method for nonlinear pulse propagation in the few-cycle regime with arbitrary dispersion". Journal of Modern Optics. Informa UK Limited. 52 (7): 973–986. Bibcode:2005JMOp...52..973T. doi:10.1080/09500340512331334086. ISSN 0950-0340. S2CID 121604760.

[18] Kinsler, Paul (2010-01-25). "न्यूनतम सन्निकटन के साथ ऑप्टिकल पल्स प्रसार". Physical Review A. 81 (1): 013819. arXiv:0810.5689. Bibcode:2010PhRvA..81a3819K. doi:10.1103/physreva.81.013819. ISSN 1050-2947.

[19] Ahmed, I. (2008). "तीन आयामी बिना शर्त स्थिर LOD-FDTD विधि का विकास". IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 56 (11): 3596–3600. Bibcode:2008ITAP...56.3596A. doi:10.1109/tap.2008.2005544. ISSN 0018-926X. S2CID 31351974.

[20] Ahmed, Iftikhar; Chua, Eng-Kee; Li, Er-Ping (2010). "बिना शर्त स्थिर तीन आयामी LOD-FDTD विधि का संख्यात्मक फैलाव विश्लेषण". IEEE Transactions on Antennas and Propagation. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 58 (12): 3983–3989. Bibcode:2010ITAP...58.3983A. doi:10.1109/tap.2010.2078481. ISSN 0018-926X. S2CID 9987649.

[21] As an illustration, the company OKTAL-SE made common development and cross comparison with the French research institute ONERA, comparing Method of Moment and Asymptotic methods. The cross comparison helped the validation process of the SE-RAY-EM code of OKTAL-SE. Illustration^{[dead link]} of the comparison between the SE-RAY-EM code and the ONERA reference code (right image).

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@@ Line 40: / Line 40: @@
 [[क्षणों की विधि (विद्युत चुम्बकीय)|विद्युत चुम्बकीय आघूर्ण विधि]] (एमओएम)<ref>[[Roger F. Harrington]] (1968). Field Computation by Moment Methods. Latest printing by IEEE Press in 1993, {{ISBN|0780310144}}.</ref> या सीमा तत्व विधि (बीईएम) रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने का एक संख्यात्मक कम्प्यूटेशनल तरीका है जिसे [[अभिन्न समीकरण|अभिन्न]] समीकरणों (अर्थात सीमा के अभिन्न रूप में) के रूप में तैयार किया गया है। यह इंजीनियरिंग और विज्ञान के कई क्षेत्रों में प्रयुक्त किया जा सकता है जिसमें [[द्रव यांत्रिकी]], ध्वनिकी, [[विद्युत चुम्बकीय]], [[फ्रैक्चर यांत्रिकी|विभाजन यांत्रिकी]] और [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)|प्लैस्टिक (भौतिकी)]] सम्मिलित हैं।
-एमओएम 1980 के दशक से अधिक लोकप्रिय हो गया है। क्योंकि इसमें सम्पूर्ण समष्टि मान के अतिरिक्त केवल अवकल मान की गणना करने की आवश्यकता होती है, यह एक छोटी सतह/आयतन अनुपात वाली समस्याओं के लिए कम्प्यूटेशनल संसाधनों की स्थिति में अपेक्षाकृत अधिक कुशल है। सामान्य रूप से, यह प्रतिरूपित सतह पर "जाल" बनाकर कार्य करता है। हालांकि, कई समस्याओं के लिए, एमओएम वॉल्यूम- असंततकरण विधियों (परिमित तत्व विधि, [[परिमित अंतर विधि|परिमित अवकल विधि]], [[परिमित मात्रा विधि|परिमित आयतन विधि]]) की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से कम कुशल हैं। सीमा तत्व सूत्रीकरण सामान्यतः पूरी तरह से विस्तृत वाले आव्यूह को उत्पन्न करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि समस्या आकार के वर्ग के अनुसार भंडारण आवश्यकताओं और कम्प्यूटेशनल समय में वृद्धि होगी। इसके विपरीत, परिमित तत्व मेट्रिसेस सामान्यतः बैंडेड होते हैं (तत्व केवल स्थानीय रूप से सम्बद्ध होते हैं) और प्रणाली आव्यूह के लिए भंडारण आवश्यकताएं सामान्यतः समस्या के आकार के साथ रैखिक रूप से बढ़ती हैं। इन समस्याओं को सुधारने के लिए संपीड़न तकनीकों (जैसे बहुध्रुव विस्तार या अनुकूलनीय सन्निकटन/पदानुक्रमित आव्यूह) का उपयोग किया जा सकता है, हालांकि अतिरिक्त जटिलता की कीमत पर और सफलता-दर के साथ समस्या की प्रकृति और ज्यामिति पर बहुत अधिक निर्भर करता है।
+एमओएम 1980 के दशक से अधिक लोकप्रिय हो गया है। क्योंकि इसमें सम्पूर्ण समष्टि मान के अतिरिक्त केवल अवकल मान की गणना करने की आवश्यकता होती है, यह एक छोटी सतह/आयतन अनुपात वाली समस्याओं के लिए कम्प्यूटेशनल संसाधनों की स्थिति में अपेक्षाकृत अधिक कुशल है। सामान्य रूप से, यह प्रतिरूपित सतह पर "जाल" बनाकर कार्य करता है। हालांकि, कई समस्याओं के लिए, एमओएम आयतन- असंततकरण विधियों (परिमित तत्व विधि, [[परिमित अंतर विधि|परिमित अवकल विधि]], [[परिमित मात्रा विधि|परिमित आयतन विधि]]) की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से कम कुशल हैं। सीमा तत्व सूत्रीकरण सामान्यतः पूरी तरह से विस्तृत वाले आव्यूह को उत्पन्न करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि समस्या आकार के वर्ग के अनुसार भंडारण आवश्यकताओं और कम्प्यूटेशनल समय में वृद्धि होगी। इसके विपरीत, परिमित तत्व मेट्रिसेस सामान्यतः बैंडेड होते हैं (तत्व केवल स्थानीय रूप से सम्बद्ध होते हैं) और प्रणाली आव्यूह के लिए भंडारण आवश्यकताएं सामान्यतः समस्या के आकार के साथ रैखिक रूप से बढ़ती हैं। इन समस्याओं को सुधारने के लिए संपीड़न तकनीकों (जैसे बहुध्रुव विस्तार या अनुकूलनीय सन्निकटन/पदानुक्रमित आव्यूह) का उपयोग किया जा सकता है, हालांकि अतिरिक्त जटिलता की कीमत पर और सफलता-दर के साथ समस्या की प्रकृति और ज्यामिति पर बहुत अधिक निर्भर करता है।
 एमओएम उन समस्याओं पर प्रयुक्त होता है जिनके लिए ग्रीन-फलन की गणना की जा सकती है। इनमें सामान्यतः [[रेखीय]] [[समरूपता (भौतिकी)]] मीडिया में क्षेत्र सम्मिलित होते हैं। यह सीमा तत्वों के लिए उपयुक्त समस्याओं की सीमा और व्यापकता पर प्रतिबंध लगाता है। गैर-रैखिकताओं को सूत्रीकरण में सम्मिलित किया जा सकता है, हालांकि वे सामान्यतः आयतन समाकल को प्रस्तुत करते हैं जिसके लिए एमओएम के प्रायः लाभ को नियोजित करते हुए आयतन को अवकल समीकरणों से पहले अलग करने की आवश्यकता होती है।
@@ Line 61: / Line 61: @@
 परिमित असमान समय-डोमेन (एफडीटीडी) एक लोकप्रिय सीईएम तकनीक है। इसे समझना आसान है। पूर्ण तरंग समाधानकर्ता के लिए इसका असाधारण सरल कार्यान्वयन है। यह एफईएम या एमओएम समाधानकर्ता की तुलना में एक आधारिक एफडीटीडी समाधानकर्ता को प्रयुक्त करने के लिए कम से कम परिमाण को कम कार्य का एक अनुक्रम है। एफडीटीडी एकमात्र ऐसी तकनीक है जहां एक व्यक्ति उपयुक्त समय सीमा में वास्तविक रूप से स्वयं को प्रयुक्त कर सकता है लेकिन फिर भी, यह विशिष्ट समस्या के लिए होगा।<ref name="davidson" /> चूंकि यह एक समय-डोमेन विधि है, इसलिए समाधान एकल अनुरूपण कार्यान्वयन के साथ एक व्यापक आवृत्ति दूरी को समाविष्ट करता हैं, इसके अतिरिक्त वांछित उच्चतम आवृत्ति के लिए निक्विस्ट-शैनन विश्लेषण प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए यह एक सामान्य समीकरण है। एफडीटीडी ग्रिड-आधारित अवकलन समय-डोमेन समीकरण मॉडलिंग विधियों के सामान्य वर्ग से संबंधित है। मैक्सवेल के समीकरण (आंशिक अवकलन समीकरण रूप में) को केंद्रीय-अवकलन समीकरण में संशोधित या अलग किया जाता है और सॉफ्टवेयर में प्रयुक्त किया जाता है। समीकरणों को चक्रीय तरीके से हल किया जाता है तथा [[विद्युत क्षेत्र]] को एक निश्चित समय पर हल किया जाता है, फिर [[चुंबकीय क्षेत्र]] को अगले समय में हल किया जाता है, और प्रक्रिया को बार-बार दोहराया जाता है।
-एफडीटीडी एल्गोरिथम एंटेना और प्रसार पर इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में केनयी द्वारा 1966 के एक मौलिक स्थानांतरण का पता लगाता है। [[एलन टैफ्लोव]] ने इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में 1980 के पेपर में निरूपित "परिमित-अंतर समय-डोमेन" और इसके संबंधित "एफडीटीडी" परिवर्णी इलेक्ट्रोमैगन शब्द की उत्पत्ति की। लगभग 1990 के बाद से, एफडीटीडी तकनीक भौतिक संरचनाओं के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग अंतःक्रियाओं को संबोधित करने वाली कई वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं को मॉडल करने के प्राथमिक साधन के रूप में उभरी है। मोहम्मदियन एट अल द्वारा 1991 में समय-डोमेन परिमित समीकरण प्रक्रिया के आधार पर एक प्रभावी तकनीक प्रस्तुत की गई थी।।<ref>{{cite journal | last1=Mohammadian | first1=Alireza H. | last2=Shankar | first2=Vijaya | last3=Hall | first3=William F. | title=टाइम-डोमेन परिमित-मात्रा विवेकीकरण प्रक्रिया का उपयोग करके विद्युत चुम्बकीय बिखरने और विकिरण की गणना| journal=Computer Physics Communications | publisher=Elsevier BV | volume=68 | issue=1–3 | year=1991 | issn=0010-4655 | doi=10.1016/0010-4655(91)90199-u | pages=175–196| bibcode=1991CoPhC..68..175M }}</ref> धारा एफडीटीडी मॉडलिंग अनुप्रयोगों में [[माइक्रोवेव|सूक्ष्म तरंग]] (रडार हस्ताक्षर प्रौद्योगिकी, एंटेना, वायरलेस संचार उपकरण, डिजिटल इंटरकनेक्ट, बायोमेडिकल चिकित्सा) के माध्यम से दृश्य प्रकाश ([[फोटोनिक क्रिस्टल]], सूक्ष्म प्लाज्मोनिक्स, सॉलिटॉन्स और [[बायोफोटोनिक्स]]) लगभग 30 व्यावसायिक और विश्वविद्यालय-विकसित सॉफ़्टवेयर सूट उपलब्ध हैं।
+एफडीटीडी एल्गोरिथम एंटेना और प्रसार पर इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में केनयी द्वारा 1966 के एक मौलिक स्थानांतरण का पता लगाता है। [[एलन टैफ्लोव]] ने इलेक्ट्रिकल और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियर संस्थान में 1980 के पेपर में निरूपित "परिमित-अंतर समय-डोमेन" और इसके संबंधित "एफडीटीडी" परिवर्णी इलेक्ट्रोमैगन शब्द की उत्पत्ति की। लगभग 1990 के बाद से, एफडीटीडी तकनीक भौतिक संरचनाओं के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग अंतः क्रियाओं को संबोधित करने वाली कई वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं को मॉडल करने के प्राथमिक साधन के रूप में उभरी है। मोहम्मदियन एट अल द्वारा 1991 में समय-डोमेन परिमित समीकरण प्रक्रिया के आधार पर एक प्रभावी तकनीक प्रस्तुत की गई थी।।<ref>{{cite journal | last1=Mohammadian | first1=Alireza H. | last2=Shankar | first2=Vijaya | last3=Hall | first3=William F. | title=टाइम-डोमेन परिमित-मात्रा विवेकीकरण प्रक्रिया का उपयोग करके विद्युत चुम्बकीय बिखरने और विकिरण की गणना| journal=Computer Physics Communications | publisher=Elsevier BV | volume=68 | issue=1–3 | year=1991 | issn=0010-4655 | doi=10.1016/0010-4655(91)90199-u | pages=175–196| bibcode=1991CoPhC..68..175M }}</ref> धारा एफडीटीडी मॉडलिंग अनुप्रयोगों में [[माइक्रोवेव|सूक्ष्म तरंग]] (रडार हस्ताक्षर प्रौद्योगिकी, एंटेना, वायरलेस संचार उपकरण, डिजिटल इंटरकनेक्ट, बायोमेडिकल चिकित्सा) के माध्यम से दृश्य प्रकाश ([[फोटोनिक क्रिस्टल]], सूक्ष्म प्लाज्मोनिक्स, सॉलिटॉन्स और [[बायोफोटोनिक्स]]) लगभग 30 व्यावसायिक और विश्वविद्यालय-विकसित सॉफ़्टवेयर सूट उपलब्ध हैं।
 === असंतुलित समय-डोमेन विधि ===
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 *[http://www.iisc.ernet.in/~currsci/nov25/articles24.htm Computational electromagnetics: a review] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160315122139/http://www.iisc.ernet.in/~currsci/nov25/articles24.htm |date=2016-03-15 }}
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