बहुपद एसओएस: Difference between revisions

Latest revision as of 07:13, 19 March 2023

गणित में, वास्तविक संख्या n आयामी सदिश x में बहुपद की घात 2m का एक सजातीय बहुपद h(x) के रूप (एसओएस) के वर्गों का योग होता है और यदि केवल घात एम के $g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)$ के रूप में उपस्थित होती है। जैसे कि,

h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.

एसओएस का हर रूप एक सकारात्मक बहुपद के रूप में होता है और चूंकि विलोम (तर्क) सदैव सत्य नहीं होता है, हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि n = 2, 2 n = 2 या n = 3 और 2 n = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह सकारात्मक होता है।^[1] सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य होता है।^[2]^[3]

चूंकि प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं।^[4]^[5] इसके अतिरिक्त, हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जाता है $l_{1}$ इसके गुणांक सदिश का मानदंड रूपों के अनुक्रम द्वारा $\{f_{\epsilon }\}$ एसओएस के रूप में हैं।^[6]

वर्ग मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर)

यह स्थापित करने के लिए कि क्या एक फॉर्म $h (x)$ उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एसओएस राशि के रूप में होती है। वास्तव में, इसे $h (x)$ के रूप में लिखा जा सकता है

h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}

जहाँ

x^{\{m\}}

एक सदिश होता है, जिसमें एक्स में घात एम के रूपों के आधार पर होता है, जैसे कि एक्स में घात एम के सभी एकपद, प्राइम, अभाज्य स्थानान्तरण को दर्शाता है, h कोई भी सममित मैट्रिक्स के रूप में संतोषजनक होता है,

h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}

और

L(\alpha )

सदिश स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण के रूप में होता है

{\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.

सदिश का आयाम

x^{\{m\}}

द्वारा दिया गया है

\sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},

जबकि सदिश

\alpha

अल्फा का आयाम द्वारा दिया गया है

\omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).

तब,

h (x)

एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि कोई सदिश उपस्थित

\alpha

है ऐसा है कि

H+L(\alpha )\geq 0,

मतलब कि मैट्रिक्स (गणित) $H+L(\alpha )$ धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स के रूप में होती है। यह एक रैखिक मैट्रिक्स असमानता एलएमआई व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या के रूप में है। व्यंजक $h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$ में प्रस्तुत किया गया है ^[7] वर्ग मैट्रिक प्रतिनिधित्व एसएमआर नाम के साथ यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है या नहीं। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।^[8]

उदाहरण

हमारे पास दो चरों $h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}$ . में घात 4 के रूप पर विचार करते है, $m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{2}^{2}\end{pmatrix}}\!,~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&-\alpha _{1}\\0&-1+2\alpha _{1}&0\\-\alpha _{1}&0&1\end{pmatrix}}\!.$ चूँकि वहाँ α उपस्थित है, जैसे कि $H+L(\alpha )\geq 0$ , अर्थात् $\alpha =1$ , यह इस प्रकार अनुसरण करता है कि h(x) एसओएस है।
हमारे पास तीन चरों $h(x)=2x_{1}^{4}-2.5x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}^{3}+5x_{2}^{4}+x_{3}^{4}$ . में घात 4 के रूप पर विचार करते है, $m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{1}x_{3}\\x_{2}^{2}\\x_{2}x_{3}\\x_{3}^{2}\end{pmatrix}},~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}2&-1.25&0&-\alpha _{1}&-\alpha _{2}&-\alpha _{3}\\-1.25&2\alpha _{1}&0.5+\alpha _{2}&0&-\alpha _{4}&-\alpha _{5}\\0&0.5+\alpha _{2}&2\alpha _{3}&\alpha _{4}&\alpha _{5}&-1\\-\alpha _{1}&0&\alpha _{4}&5&0&-\alpha _{6}\\-\alpha _{2}&-\alpha _{4}&\alpha _{5}&0&2\alpha _{6}&0\\-\alpha _{3}&-\alpha _{5}&-1&-\alpha _{6}&0&1\end{pmatrix}}.$ तब से $H+L(\alpha )\geq 0$ के लिए $\alpha =(1.18,-0.43,0.73,1.13,-0.37,0.57)$ , इससे पता चलता है कि $h (x)$ एसओएस के रूप में है।

सामान्यीकरण

मैट्रिक्स एसओएस

एक मैट्रिक्स रूप F(x) अर्थात, मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियाँ वास्तविक n आयामी सदिश x में आयाम r और घात 2m एसओएस के रूप में होती है यदि और केवल मैट्रिक्स रूप उपस्थित हैं

घात एम का $G_{1}(x),\ldots ,G_{k}(x)$ ऐसी है कि,

F(x)=\sum _{i=1}^{k}G_{i}(x)'G_{i}(x).

मैट्रिक्स एसएमआर

उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स रूप एफ (एक्स) एसओएस राशि के रूप में है या नहीं यह स्थापित करने के लिए होता है। दरअसल, अदिश केस के समान किसी भी एफ (एक्स) को एसएमआर के अनुसार लिखा जा सकता है

F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)

जहाँ

\otimes

आव्यूहों का क्रोनेकर गुणनफल है, H कोई सममित आव्यूह संतोषजनक रूप में होता है

F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'H\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)

और

L(\alpha )

रैखिक स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण होता है

{\mathcal {L}}=\left\{L=L':~\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'L\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)=0\right\}.

सदिश का आयाम

\alpha

द्वारा दिया गया है

\omega (n,2m,r)={\frac {1}{2}}r\left(\sigma (n,m)\left(r\sigma (n,m)+1\right)-(r+1)\sigma (n,2m)\right).

तब,

F (x)

एसओएस है यदि और केवल यदि कोई सदिश

\alpha

के रूप में उपस्थित है, जैसे कि एलएमआई निम्नलिखित स्वरूपों में होता है

H+L(\alpha )\geq 0.

अभिव्यक्ति

F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)

में प्रस्तुत किया गया था ^[9] यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से मैट्रिक्स स्वरूप एसओएस है या नहीं।

गैर अनुमेय बहुपद एसओएस

मुक्त बीजगणित R⟨X⟩ पर विचार करते है, जो एन गैर-आवर्ती अक्षर X = (X₁, ..., X_n) द्वारा उत्पन्न होता है और इनवोल्यूशन T से सुसज्जित होता है जैसे T, R और X1, ..., Xn को ठीक करता है और X1, ..., Xn द्वारा बनाए गए शब्दों को उलट देता है। क्रमविनिमेय स्थिति के साथ सादृश्य द्वारा गैर-अनुक्रमिक सममित बहुपद f, f = fT रूप के गैर-अनुक्रमिक बहुपद के रूप में होते है। जब किसी भी आयाम r × r के किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स का मूल्यांकन एक सममित गैर-अनुक्रमिक बहुपद f पर किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होता है, f को मैट्रिक्स-पॉजिटिव कहा जाता है।

एक गैर क्रमविनिमेय बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि वहां गैर क्रमविनिमेय बहुपद उपस्थित हैं $h_{1},\ldots ,h_{k}$ ऐसा है कि

f(X)=\sum _{i=1}^{k}h_{i}(X)^{T}h_{i}(X).

हैरानी की बात है कि गैर-अनुक्रमिक परिदृश्य में एक गैर-अनुक्रमिक बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह मैट्रिक्स-पॉजिटिव होता है।^[10] इसके अतिरिक्त, गैर-अनुमेय बहुपदों के वर्गों के योग में मैट्रिक्स-पॉजिटिव बहुपदों को विघटित करने के लिए उपलब्ध कलन विधि के रूप में उपस्थित होता है।^[11]

संदर्भ

↑ Hilbert, David (September 1888). "रूपों के वर्गों के योग के रूप में निश्चित रूपों के प्रतिनिधित्व के बारे में". Mathematische Annalen. 32 (3): 342–350. doi:10.1007/bf01443605. S2CID 177804714.
↑ Choi, M. D.; Lam, T. Y. (1977). "हिल्बर्ट का एक पुराना सवाल". Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics. 46: 385–405.
↑ Goel, Charu; Kuhlmann, Salma; Reznick, Bruce (May 2016). "On the Choi–Lam analogue of Hilbert's 1888 theorem for symmetric forms". Linear Algebra and Its Applications. 496: 114–120. arXiv:1505.08145. doi:10.1016/j.laa.2016.01.024. S2CID 17579200.
↑ Lasserre, Jean B. (2007). "एक वास्तविक बहुपद के वर्गों का योग होने के लिए पर्याप्त शर्तें". Archiv der Mathematik. 89 (5): 390–398. arXiv:math/0612358. CiteSeerX 10.1.1.240.4438. doi:10.1007/s00013-007-2251-y. S2CID 9319455.
↑ Powers, Victoria; Wörmann, Thorsten (1998). "वास्तविक बहुपदों के वर्गों के योग के लिए एल्गोरिद्म" (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra. 127 (1): 99–104. doi:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.
↑ Lasserre, Jean B. (2007). "गैर-ऋणात्मक बहुपदों के वर्ग सन्निकटन का योग". SIAM Review. 49 (4): 651–669. arXiv:math/0412398. Bibcode:2007SIAMR..49..651L. doi:10.1137/070693709.
↑ Chesi, G.; Tesi, A.; Vicino, A.; Genesio, R. (1999). "कुछ न्यूनतम दूरी की समस्याओं के उत्तलीकरण पर". Proceedings of the 5th European Control Conference. Karlsruhe, Germany: IEEE. pp. 1446–1451.
↑ Choi, M.; Lam, T.; Reznick, B. (1995). "वास्तविक बहुपदों के वर्गों का योग". Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. pp. 103–125.
↑ Chesi, G.; Garulli, A.; Tesi, A.; Vicino, A. (2003). "बहुपद पैरामीटर-निर्भर लायपुनोव कार्यों के माध्यम से पॉलीटोपिक प्रणालियों के लिए मजबूत स्थिरता". Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. Maui, Hawaii: IEEE. pp. 4670–4675. doi:10.1109/CDC.2003.1272307.
↑ Helton, J. William (September 2002). ""सकारात्मक" गैर-अनुसूचित बहुपद वर्गों का योग हैं". The Annals of Mathematics. 156 (2): 675–694. doi:10.2307/3597203. JSTOR 3597203.
↑ Burgdorf, Sabine; Cafuta, Kristijan; Klep, Igor; Povh, Janez (25 October 2012). "गैर-अनुविनिमेय बहुपदों के हर्मिटियन वर्गों के योग के एल्गोरिथम पहलू". Computational Optimization and Applications. 55 (1): 137–153. CiteSeerX 10.1.1.416.543. doi:10.1007/s10589-012-9513-8. S2CID 254416733.

यह भी देखें

योग-का-वर्ग अनुकूलन
सकारात्मक बहुपद
हिल्बर्ट की सत्रहवीं समस्या
एसओएस-उत्तलता

[1] Hilbert, David (September 1888). "रूपों के वर्गों के योग के रूप में निश्चित रूपों के प्रतिनिधित्व के बारे में". Mathematische Annalen. 32 (3): 342–350. doi:10.1007/bf01443605. S2CID 177804714.

[2] Choi, M. D.; Lam, T. Y. (1977). "हिल्बर्ट का एक पुराना सवाल". Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics. 46: 385–405.

[3] Goel, Charu; Kuhlmann, Salma; Reznick, Bruce (May 2016). "On the Choi–Lam analogue of Hilbert's 1888 theorem for symmetric forms". Linear Algebra and Its Applications. 496: 114–120. arXiv:1505.08145. doi:10.1016/j.laa.2016.01.024. S2CID 17579200.

[4] Lasserre, Jean B. (2007). "एक वास्तविक बहुपद के वर्गों का योग होने के लिए पर्याप्त शर्तें". Archiv der Mathematik. 89 (5): 390–398. arXiv:math/0612358. CiteSeerX 10.1.1.240.4438. doi:10.1007/s00013-007-2251-y. S2CID 9319455.

[5] Powers, Victoria; Wörmann, Thorsten (1998). "वास्तविक बहुपदों के वर्गों के योग के लिए एल्गोरिद्म" (PDF). Journal of Pure and Applied Algebra. 127 (1): 99–104. doi:10.1016/S0022-4049(97)83827-3.

[6] Lasserre, Jean B. (2007). "गैर-ऋणात्मक बहुपदों के वर्ग सन्निकटन का योग". SIAM Review. 49 (4): 651–669. arXiv:math/0412398. Bibcode:2007SIAMR..49..651L. doi:10.1137/070693709.

[7] Chesi, G.; Tesi, A.; Vicino, A.; Genesio, R. (1999). "कुछ न्यूनतम दूरी की समस्याओं के उत्तलीकरण पर". Proceedings of the 5th European Control Conference. Karlsruhe, Germany: IEEE. pp. 1446–1451.

[8] Choi, M.; Lam, T.; Reznick, B. (1995). "वास्तविक बहुपदों के वर्गों का योग". Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. pp. 103–125.

[9] Chesi, G.; Garulli, A.; Tesi, A.; Vicino, A. (2003). "बहुपद पैरामीटर-निर्भर लायपुनोव कार्यों के माध्यम से पॉलीटोपिक प्रणालियों के लिए मजबूत स्थिरता". Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. Maui, Hawaii: IEEE. pp. 4670–4675. doi:10.1109/CDC.2003.1272307.

[10] Helton, J. William (September 2002). ""सकारात्मक" गैर-अनुसूचित बहुपद वर्गों का योग हैं". The Annals of Mathematics. 156 (2): 675–694. doi:10.2307/3597203. JSTOR 3597203.

[11] Burgdorf, Sabine; Cafuta, Kristijan; Klep, Igor; Povh, Janez (25 October 2012). "गैर-अनुविनिमेय बहुपदों के हर्मिटियन वर्गों के योग के एल्गोरिथम पहलू". Computational Optimization and Applications. 55 (1): 137–153. CiteSeerX 10.1.1.416.543. doi:10.1007/s10589-012-9513-8. S2CID 254416733.

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-{{about|यह लेख गैर-ऋणात्मक बहुपद को बहुपदों के वर्गों के योग के रूप में प्रस्तुत करने के बारे में है।|तर्कसंगत कार्यों के वर्गों के योग के रूप में बहुपद का प्रतिनिधित्व करने के लिए है|हिल्बर्ट की सत्रहवीं समस्या|लगातार पूर्णांकों के वर्गों का योग|वर्ग पिरामिड संख्या|पूर्णांकों के वर्गों के योग के रूप में एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करना है।|लैग्रेंज का चार वर्ग प्रमेय}}
+गणित में, [[वास्तविक संख्या]] n आयामी सदिश x में [[एक बहुपद की डिग्री|बहुपद की]] घात 2m का एक [[सजातीय बहुपद]] h(x) के रूप (एसओएस) के वर्गों का योग होता है और यदि केवल घात एम के <math>g_1(x),\ldots,g_k(x)</math> के रूप में उपस्थित होती है। जैसे कि,
-गणित में, [[वास्तविक संख्या]] n आयामी सदिश x में [[एक बहुपद की डिग्री|बहुपद की]] घात 2m का एक [[सजातीय बहुपद]] h(x) के रूप (एसओएस)  के वर्गों का योग होता है और यदि केवल घात एम के <math>g_1(x),\ldots,g_k(x)</math> के रूप में उपस्थित होती है। जैसे कि,
 <math display="block">h(x) = \sum_{i=1}^k g_i(x)^2 .</math>
-एसओएस का हर रूप एक [[सकारात्मक बहुपद]]  के रूप में होता है और चूंकि  विलोम (तर्क) हमेशा सत्य नहीं होता है, [[हिल्बर्ट]] ने सिद्ध  किया कि एन = 2, 2 एम = 2 या एन = 3 और 2 एम = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है, यदि  और केवल यदि  यह सकारात्मक होता है।<ref>{{cite journal|last1=Hilbert|first1=David|title=रूपों के वर्गों के योग के रूप में निश्चित रूपों के प्रतिनिधित्व के बारे में|journal=Mathematische Annalen|date=September 1888|volume=32|issue=3|pages=342–350|doi=10.1007/bf01443605|s2cid=177804714 |url=https://zenodo.org/record/1428214}}</ref> सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य होता है।<ref>{{cite journal|last1=Choi|first1=M. D.|last2=Lam|first2=T. Y.|title=हिल्बर्ट का एक पुराना सवाल|journal=Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics|date=1977|volume=46|pages=385–405}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Goel|first1=Charu|last2=Kuhlmann|first2=Salma|last3=Reznick|first3=Bruce|title=On the Choi–Lam analogue of Hilbert's 1888 theorem for symmetric forms|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=May 2016|volume=496|pages=114–120|doi=10.1016/j.laa.2016.01.024|arxiv=1505.08145|s2cid=17579200 |author3-link=Bruce Reznick}}</ref>
+एसओएस का हर रूप एक [[सकारात्मक बहुपद]] के रूप में होता है और चूंकि विलोम (तर्क) सदैव सत्य नहीं होता है, [[हिल्बर्ट]] ने सिद्ध किया कि n = 2, 2 n = 2 या n = 3 और 2 n = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह सकारात्मक होता है।<ref>{{cite journal|last1=Hilbert|first1=David|title=रूपों के वर्गों के योग के रूप में निश्चित रूपों के प्रतिनिधित्व के बारे में|journal=Mathematische Annalen|date=September 1888|volume=32|issue=3|pages=342–350|doi=10.1007/bf01443605|s2cid=177804714 |url=https://zenodo.org/record/1428214}}</ref> सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य होता है।<ref>{{cite journal|last1=Choi|first1=M. D.|last2=Lam|first2=T. Y.|title=हिल्बर्ट का एक पुराना सवाल|journal=Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics|date=1977|volume=46|pages=385–405}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Goel|first1=Charu|last2=Kuhlmann|first2=Salma|last3=Reznick|first3=Bruce|title=On the Choi–Lam analogue of Hilbert's 1888 theorem for symmetric forms|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=May 2016|volume=496|pages=114–120|doi=10.1016/j.laa.2016.01.024|arxiv=1505.08145|s2cid=17579200 |author3-link=Bruce Reznick}}</ref>
-चूंकि  प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं।<ref>{{cite journal|last1=Lasserre|first1=Jean B.|title=एक वास्तविक बहुपद के वर्गों का योग होने के लिए पर्याप्त शर्तें| journal=Archiv der Mathematik|volume=89|issue=5|pages=390–398|doi=10.1007/s00013-007-2251-y|url=http://www.optimization-online.org/DB_HTML/2007/02/1587.html|arxiv=math/0612358|year=2007|citeseerx=10.1.1.240.4438|s2cid=9319455 }}</ref><ref>{{cite journal| last1=Powers|first1=Victoria|author1-link=Victoria Powers|last2=Wörmann|first2=Thorsten|title=वास्तविक बहुपदों के वर्गों के योग के लिए एल्गोरिद्म|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|date=1998|volume=127|issue=1|pages=99–104| doi=10.1016/S0022-4049(97)83827-3| url=http://www.mathcs.emory.edu/~vicki/pub/sos.pdf|doi-access=free}}</ref> इसके अतिरिक्त, हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जाता है  <math>l_1</math>इसके गुणांक वेक्टर का मानदंड रूपों के अनुक्रम द्वारा <math>\{f_\epsilon\}</math> एसओएस के रूप में हैं।<ref>{{cite journal|last1=Lasserre|first1=Jean B.|title=गैर-ऋणात्मक बहुपदों के वर्ग सन्निकटन का योग|journal=SIAM Review|date=2007|volume=49|issue=4|pages=651–669|doi=10.1137/070693709|arxiv=math/0412398|bibcode=2007SIAMR..49..651L}}</ref>
+चूंकि प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं।<ref>{{cite journal|last1=Lasserre|first1=Jean B.|title=एक वास्तविक बहुपद के वर्गों का योग होने के लिए पर्याप्त शर्तें| journal=Archiv der Mathematik|volume=89|issue=5|pages=390–398|doi=10.1007/s00013-007-2251-y|url=http://www.optimization-online.org/DB_HTML/2007/02/1587.html|arxiv=math/0612358|year=2007|citeseerx=10.1.1.240.4438|s2cid=9319455 }}</ref><ref>{{cite journal| last1=Powers|first1=Victoria|author1-link=Victoria Powers|last2=Wörmann|first2=Thorsten|title=वास्तविक बहुपदों के वर्गों के योग के लिए एल्गोरिद्म|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|date=1998|volume=127|issue=1|pages=99–104| doi=10.1016/S0022-4049(97)83827-3| url=http://www.mathcs.emory.edu/~vicki/pub/sos.pdf|doi-access=free}}</ref> इसके अतिरिक्त, हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जाता है <math>l_1</math>इसके गुणांक सदिश का मानदंड रूपों के अनुक्रम द्वारा <math>\{f_\epsilon\}</math> एसओएस के रूप में हैं।<ref>{{cite journal|last1=Lasserre|first1=Jean B.|title=गैर-ऋणात्मक बहुपदों के वर्ग सन्निकटन का योग|journal=SIAM Review|date=2007|volume=49|issue=4|pages=651–669|doi=10.1137/070693709|arxiv=math/0412398|bibcode=2007SIAMR..49..651L}}</ref>
 == वर्ग मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर) ==
 यह स्थापित करने के लिए कि क्या एक फॉर्म {{math|''h''(''x'')}} [[उत्तल अनुकूलन]] समस्या को हल करने के लिए एसओएस राशि के रूप में होती है। वास्तव में, इसे {{math|''h''(''x'')}} के रूप में लिखा जा सकता है
 <math display="block">h(x) = x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha)\right)x^{\{m\}}</math>
-जहाँ  <math>x^{\{m\}}</math> एक वेक्टर होता है, जिसमें एक्स में घात एम के रूपों के आधार पर होता है, जैसे कि एक्स में घात एम के सभी [[ एकपद ]],  प्राइम, अभाज्य  [[स्थानान्तरण]] को दर्शाता है, एच कोई भी [[सममित मैट्रिक्स]] के रूप में संतोषजनक होता है,
+जहाँ <math>x^{\{m\}}</math> एक सदिश होता है, जिसमें एक्स में घात एम के रूपों के आधार पर होता है, जैसे कि एक्स में घात एम के सभी [[ एकपद |एकपद]], प्राइम, अभाज्य [[स्थानान्तरण]] को दर्शाता है, h कोई भी [[सममित मैट्रिक्स]] के रूप में संतोषजनक होता है,
 <math display="block">h(x) = x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}</math>
 और <math>L(\alpha)</math> सदिश स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण के रूप में होता है
 <math display="block">\mathcal{L} = \left\{L=L':~x^{\{m\}'} L x^{\{m\}}=0\right\}.</math>
-वेक्टर का आयाम <math>x^{\{m\}}</math> द्वारा दिया गया है
+सदिश का आयाम <math>x^{\{m\}}</math> द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\sigma(n,m) = \binom{n+m-1}{m},</math>
-जबकि वेक्टर <math>\alpha</math> अल्फा का आयाम द्वारा दिया गया है<math display="block">\omega(n,2m) = \frac{1}{2}\sigma(n,m)\left(1+\sigma(n,m)\right)-\sigma(n,2m).</math>
+जबकि सदिश <math>\alpha</math> अल्फा का आयाम द्वारा दिया गया है<math display="block">\omega(n,2m) = \frac{1}{2}\sigma(n,m)\left(1+\sigma(n,m)\right)-\sigma(n,2m).</math><br />तब, {{math|''h''(''x'')}} एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि कोई सदिश उपस्थित <math>\alpha</math> है ऐसा है कि
+<math display="block">H + L(\alpha) \ge 0,</math>
-तब, {{math|''h''(''x'')}} एसओएस के रूप में होता है, यदि  और केवल यदि  कोई वेक्टर उपस्थित  <math>\alpha</math> है ऐसा है कि
-हेन, एच (एक्स) एसओएस है अगर और और केवल अगर वहां एक वेक्टर मौजूद है,
+मतलब कि [[मैट्रिक्स (गणित)]] <math>H + L(\alpha)</math> धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स के रूप में होती है। यह एक [[रैखिक मैट्रिक्स असमानता]] एलएमआई व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या के रूप में है। व्यंजक <math>h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha)\right)x^{\{m\}}</math> में प्रस्तुत किया गया है <ref>{{cite conference |url=https://ieeexplore.ieee.org/document/7099515 |title=कुछ न्यूनतम दूरी की समस्याओं के उत्तलीकरण पर|last1=Chesi |first1=G. |last2=Tesi |first2=A. |last3=Vicino |first3=A. |last4=Genesio |first4=R.  |date=1999 |publisher=IEEE |book-title=Proceedings of the 5th European Control Conference |pages=1446–1451 |location=Karlsruhe, Germany}}</ref> वर्ग मैट्रिक प्रतिनिधित्व एसएमआर नाम के साथ यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है या नहीं। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite conference |title=वास्तविक बहुपदों के वर्गों का योग|last1=Choi |first1=M. |last2=Lam |first2=T. |last3=Reznick |first3=B. |date=1995 |book-title=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics |pages=103–125 |url=https://www.researchgate.net/publication/240268385}}</ref>
-<math display="block">H + L(\alpha) \ge 0,</math>
-मतलब कि [[मैट्रिक्स (गणित)]] <math>H + L(\alpha)</math> धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स के रूप में होती है। यह एक [[रैखिक मैट्रिक्स असमानता]] एलएमआई व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या के रूप में है।  व्यंजक <math>h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha)\right)x^{\{m\}}</math> में प्रस्तुत  किया गया है <ref>{{cite conference |url=https://ieeexplore.ieee.org/document/7099515 |title=कुछ न्यूनतम दूरी की समस्याओं के उत्तलीकरण पर|last1=Chesi |first1=G. |last2=Tesi |first2=A. |last3=Vicino |first3=A. |last4=Genesio |first4=R.  |date=1999 |publisher=IEEE |book-title=Proceedings of the 5th European Control Conference |pages=1446–1451 |location=Karlsruhe, Germany}}</ref> वर्ग मैट्रिक प्रतिनिधित्व एसएमआर नाम के साथ यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है या नहीं। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite conference |title=वास्तविक बहुपदों के वर्गों का योग|last1=Choi |first1=M. |last2=Lam |first2=T. |last3=Reznick |first3=B. |date=1995 |book-title=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics |pages=103–125 |url=https://www.researchgate.net/publication/240268385}}</ref>
 === उदाहरण ===
-*हमारे पास दो चरों  <math>h(x)=x_1^4-x_1^2x_2^2+x_2^4</math>. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,<math display="block">m = 2,~x^{\{m\}} = \begin{pmatrix} x_1^2\\x_1x_2\\x_2^2\end{pmatrix}\!,
+*हमारे पास दो चरों <math>h(x)=x_1^4-x_1^2x_2^2+x_2^4</math>. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,<math display="block">m = 2,~x^{\{m\}} = \begin{pmatrix} x_1^2\\x_1x_2\\x_2^2\end{pmatrix}\!,
 ~H+L(\alpha) = \begin{pmatrix}
 &0&-\alpha_1\\0&-1+2\alpha_1&0\\-\alpha_1&0&1
-\end{pmatrix}\!.</math> चूँकि वहाँ α उपस्थित है, जैसे कि <math>H+L(\alpha)\ge 0</math>, अर्थात् <math>\alpha=1</math>, यह इस प्रकार अनुसरण करता है कि h(x) एसओएस  है।
+\end{pmatrix}\!.</math>चूँकि वहाँ α उपस्थित है, जैसे कि <math>H+L(\alpha)\ge 0</math>, अर्थात् <math>\alpha=1</math>, यह इस प्रकार अनुसरण करता है कि h(x) एसओएस है।
-*हमारे पास तीन चरों  <math>h(x)=2x_1^4-2.5x_1^3x_2+x_1^2x_2x_3-2x_1x_3^3+5x_2^4+x_3^4</math>. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,<math display="block">m=2,~x^{\{m\}}=\begin{pmatrix}x_1^2\\x_1x_2\\x_1x_3\\x_2^2\\x_2x_3\\x_3^2\end{pmatrix},
+*हमारे पास तीन चरों <math>h(x)=2x_1^4-2.5x_1^3x_2+x_1^2x_2x_3-2x_1x_3^3+5x_2^4+x_3^4</math>. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,<math display="block">m=2,~x^{\{m\}}=\begin{pmatrix}x_1^2\\x_1x_2\\x_1x_3\\x_2^2\\x_2x_3\\x_3^2\end{pmatrix},
 ~H+L(\alpha) = \begin{pmatrix}
 &-1.25&0&-\alpha_1&-\alpha_2&-\alpha_3\\
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 == सामान्यीकरण ==
-=== मैट्रिक्स मुसीबत का इशारा ===
+=== मैट्रिक्स एसओएस ===
-वास्तविक n-आयामी सदिश x में आयाम r और घात 2m का एक मैट्रिक्स रूप F(x) (अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियाँ रूप हैं) एसओएस  है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स रूप उपस्थित  हैं <math>G_1(x),\ldots,G_k(x)</math> घात एम की ऐसी है कि
+एक मैट्रिक्स रूप F(x) अर्थात, मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियाँ वास्तविक n आयामी सदिश x में आयाम r और घात 2m एसओएस के रूप में होती है यदि और केवल मैट्रिक्स रूप उपस्थित हैं
-<math display="block">F(x)=\sum_{i=1}^k G_i(x)'G_i(x) .</math>
+घात एम का <math>G_1(x),\ldots,G_k(x)</math> ऐसी है कि,<math display="block">F(x)=\sum_{i=1}^k G_i(x)'G_i(x) .</math>
 ==== मैट्रिक्स एसएमआर ====
-उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स फॉर्म एफ (एक्स) एसओएस राशि है या नहीं यह स्थापित करने के लिए। दरअसल, स्केलर केस के समान किसी भी एफ (एक्स) को एसएमआर के अनुसार लिखा जा सकता है
+उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स रूप एफ (एक्स) एसओएस राशि के रूप में है या नहीं यह स्थापित करने के लिए होता है। दरअसल, अदिश केस के समान किसी भी एफ (एक्स) को एसएमआर के अनुसार लिखा जा सकता है
 <math display="block">F(x) = \left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)'\left(H+L(\alpha)\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)</math>
-जहाँ  <math>\otimes</math> आव्यूहों का क्रोनेकर गुणनफल है, H कोई सममित आव्यूह संतोषजनक है
+जहाँ <math>\otimes</math> आव्यूहों का क्रोनेकर गुणनफल है, H कोई सममित आव्यूह संतोषजनक रूप में होता है
 <math display="block">F(x) = \left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)'H\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)</math>
-और <math>L(\alpha)</math> रैखिक स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण है
+और <math>L(\alpha)</math> रैखिक स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण होता है
 <math display="block">\mathcal{L}=\left\{L=L':~\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)'L\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)=0\right\}.</math>
-वेक्टर का आयाम <math>\alpha</math> द्वारा दिया गया है
+सदिश का आयाम <math>\alpha</math> द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\omega(n,2m,r)=\frac{1}{2}r\left(\sigma(n,m)\left(r\sigma(n,m)+1\right)-(r+1)\sigma(n,2m)\right).</math>
-तब, {{math|''F''(''x'')}} एसओएस है यदि  और केवल यदि  कोई वेक्टर उपस्थित  है <math>\alpha</math> जैसे कि निम्नलिखित LMI धारण करता है:
+तब, {{math|''F''(''x'')}} एसओएस है यदि और केवल यदि कोई सदिश <math>\alpha</math> के रूप में उपस्थित है, जैसे कि एलएमआई निम्नलिखित स्वरूपों में होता है
 <math display="block">H+L(\alpha) \ge 0.</math>
-इजहार <math>F(x) = \left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)'\left(H+L(\alpha)\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)</math> में प्रस्तुत  किया गया था <ref>{{cite conference |title=बहुपद पैरामीटर-निर्भर लायपुनोव कार्यों के माध्यम से पॉलीटोपिक प्रणालियों के लिए मजबूत स्थिरता|last1=Chesi |first1=G. |last2=Garulli |first2=A. |last3=Tesi |first3=A. |last4=Vicino |first4=A. |date=2003 |publisher=IEEE |book-title=Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control |pages=4670–4675 |location=Maui, Hawaii | doi=10.1109/CDC.2003.1272307 }}</ref> यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से मैट्रिक्स फॉर्म एसओएस है या नहीं।
+अभिव्यक्ति <math>F(x) = \left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)'\left(H+L(\alpha)\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_r\right)</math> में प्रस्तुत किया गया था <ref>{{cite conference |title=बहुपद पैरामीटर-निर्भर लायपुनोव कार्यों के माध्यम से पॉलीटोपिक प्रणालियों के लिए मजबूत स्थिरता|last1=Chesi |first1=G. |last2=Garulli |first2=A. |last3=Tesi |first3=A. |last4=Vicino |first4=A. |date=2003 |publisher=IEEE |book-title=Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control |pages=4670–4675 |location=Maui, Hawaii | doi=10.1109/CDC.2003.1272307 }}</ref> यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से मैट्रिक्स स्वरूप एसओएस है या नहीं।
 === गैर अनुमेय बहुपद एसओएस ===
-नि: शुल्क बीजगणित R⟨X⟩ पर विचार करें जो एन नॉनकम्यूटिंग अक्षर एक्स = (एक्स) द्वारा उत्पन्न होता है<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>) और सम्मलित  होने से लैस है <sup>टी</sup>, ऐसा कि <sup>T</sup> R और X को ठीक करता है<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> और X द्वारा बनाए गए शब्दों को उलट देता है<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>.
+मुक्त बीजगणित R⟨X⟩ पर विचार करते है, जो एन गैर-आवर्ती अक्षर ''X'' = (''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'') द्वारा उत्पन्न होता है और इनवोल्यूशन T से सुसज्जित होता है जैसे T, R और X1, ..., Xn को ठीक करता है और X1, ..., Xn द्वारा बनाए गए शब्दों को उलट देता है। क्रमविनिमेय स्थिति के साथ सादृश्य द्वारा गैर-अनुक्रमिक [[सममित बहुपद]] f, f = fT रूप के गैर-अनुक्रमिक बहुपद के रूप में होते है। जब किसी भी आयाम r × r के किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स का मूल्यांकन एक सममित गैर-अनुक्रमिक बहुपद f पर किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होता है, f को मैट्रिक्स-पॉजिटिव कहा जाता है।
-कम्यूटेटिव स्थिति के अनुरूप, गैर-अनुक्रमिक [[सममित बहुपद]] f फॉर्म के गैर-अनुक्रमिक बहुपद हैं {{math|1=''f'' = ''f''<sup>''T''</sup>}}. जब किसी भी आयाम r × r के किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स का मूल्यांकन एक सममित गैर-अनुक्रमिक बहुपद f पर किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होता है, f को मैट्रिक्स-पॉजिटिव कहा जाता है।
-एक गैर क्रमविनिमेय बहुपद एसओएस  है यदि वहां गैर क्रमविनिमेय बहुपद उपस्थित  हैं <math>h_1,\ldots,h_k</math> ऐसा है कि
+एक गैर क्रमविनिमेय बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि वहां गैर क्रमविनिमेय बहुपद उपस्थित हैं <math>h_1,\ldots,h_k</math> ऐसा है कि<math display="block">f(X) = \sum_{i=1}^{k} h_i(X)^T h_i(X).</math>
-<math display="block">f(X) = \sum_{i=1}^{k} h_i(X)^T h_i(X).</math>
+हैरानी की बात है कि गैर-अनुक्रमिक परिदृश्य में एक गैर-अनुक्रमिक बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह मैट्रिक्स-पॉजिटिव होता है।<ref>{{cite journal|last1=Helton|first1=J. William|title="सकारात्मक" गैर-अनुसूचित बहुपद वर्गों का योग हैं|journal=The Annals of Mathematics|date=September 2002|volume=156|issue=2|pages=675–694|doi=10.2307/3597203|jstor=3597203}}</ref> इसके अतिरिक्त, गैर-अनुमेय बहुपदों के वर्गों के योग में मैट्रिक्स-पॉजिटिव बहुपदों को विघटित करने के लिए उपलब्ध कलन विधि के रूप में उपस्थित होता है।<ref>{{cite journal | last1=Burgdorf|first1=Sabine|last2=Cafuta|first2=Kristijan|last3=Klep|first3=Igor|last4=Povh|first4=Janez|title=गैर-अनुविनिमेय बहुपदों के हर्मिटियन वर्गों के योग के एल्गोरिथम पहलू|journal=Computational Optimization and Applications|date=25 October 2012|volume=55|issue=1|pages=137–153|doi=10.1007/s10589-012-9513-8|citeseerx=10.1.1.416.543|s2cid=254416733 }}</ref>
-हैरानी की बात है कि गैर-अनुक्रमिक परिदृश्य में एक गैर-अनुक्रमिक बहुपद एसओएस है यदि  और केवल यदि  यह मैट्रिक्स-पॉजिटिव है।<ref>{{cite journal|last1=Helton|first1=J. William|title="सकारात्मक" गैर-अनुसूचित बहुपद वर्गों का योग हैं|journal=The Annals of Mathematics|date=September 2002|volume=156|issue=2|pages=675–694|doi=10.2307/3597203|jstor=3597203}}</ref> इसके अतिरिक्त , गैर-अनुमेय बहुपदों के वर्गों के योग में मैट्रिक्स-पॉजिटिव बहुपदों को विघटित करने के लिए उपलब्ध एल्गोरिदम उपस्थित  हैं।<ref>{{cite journal | last1=Burgdorf|first1=Sabine|last2=Cafuta|first2=Kristijan|last3=Klep|first3=Igor|last4=Povh|first4=Janez|title=गैर-अनुविनिमेय बहुपदों के हर्मिटियन वर्गों के योग के एल्गोरिथम पहलू|journal=Computational Optimization and Applications|date=25 October 2012|volume=55|issue=1|pages=137–153|doi=10.1007/s10589-012-9513-8|citeseerx=10.1.1.416.543|s2cid=254416733 }}</ref>
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 * एसओएस-उत्तलता
-श्रेणी:सजातीय बहुपद
-श्रेणी:वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति
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