बहुपद एसओएस

गणित में, वास्तविक संख्या n आयामी सदिश x में बहुपद की घात 2m का एक सजातीय बहुपद h(x) के रूप (एसओएस) के वर्गों का योग होता है और यदि केवल घात एम के $g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)$ के रूप में उपस्थित होती है। जैसे कि,

$$h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.$$

एसओएस का हर रूप एक सकारात्मक बहुपद के रूप में होता है और चूंकि विलोम (तर्क) सदैव सत्य नहीं होता है, हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि n = 2, 2 n = 2 या n = 3 और 2 n = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह सकारात्मक होता है। सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य होता है।

चूंकि प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं। इसके अतिरिक्त, हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जाता है $l_{1}$इसके गुणांक सदिश का मानदंड रूपों के अनुक्रम द्वारा $\{f_{\epsilon }\}$ एसओएस के रूप में हैं।

वर्ग मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर)

यह स्थापित करने के लिए कि क्या एक फॉर्म h(x) उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एसओएस राशि के रूप में होती है। वास्तव में, इसे h(x) के रूप में लिखा जा सकता है

$$h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$$

जहाँ $x^{\{m\}}$ एक सदिश होता है, जिसमें एक्स में घात एम के रूपों के आधार पर होता है, जैसे कि एक्स में घात एम के सभी एकपद, प्राइम, अभाज्य स्थानान्तरण को दर्शाता है, h कोई भी सममित मैट्रिक्स के रूप में संतोषजनक होता है,

$$h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}$$

और $L(\alpha )$ सदिश स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण के रूप में होता है

$${\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.$$

सदिश का आयाम $x^{\{m\}}$ द्वारा दिया गया है

$$\sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},$$

जबकि सदिश $\alpha$ अल्फा का आयाम द्वारा दिया गया है

$$\omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).$$

तब, h(x) एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि कोई सदिश उपस्थित $\alpha$ है ऐसा है कि

$$H+L(\alpha )\geq 0,$$

मतलब कि मैट्रिक्स (गणित) $H+L(\alpha )$ धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स के रूप में होती है। यह एक रैखिक मैट्रिक्स असमानता एलएमआई व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या के रूप में है। व्यंजक $h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$ में प्रस्तुत किया गया है वर्ग मैट्रिक प्रतिनिधित्व एसएमआर नाम के साथ यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस के रूप में होता है या नहीं। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण

• हमारे पास दो चरों $h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}$. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,
  $$m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{2}^{2}\end{pmatrix}}\!,~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&-\alpha _{1}\\0&-1+2\alpha _{1}&0\\-\alpha _{1}&0&1\end{pmatrix}}\!.$$
  चूँकि वहाँ α उपस्थित है, जैसे कि $H+L(\alpha )\geq 0$, अर्थात् $\alpha =1$, यह इस प्रकार अनुसरण करता है कि h(x) एसओएस है।
• हमारे पास तीन चरों $h(x)=2x_{1}^{4}-2.5x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}-2x_{1}x_{3}^{3}+5x_{2}^{4}+x_{3}^{4}$. में घात 4 के रूप पर विचार करते है,
  $$m=2,~x^{\{m\}}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}\\x_{1}x_{2}\\x_{1}x_{3}\\x_{2}^{2}\\x_{2}x_{3}\\x_{3}^{2}\end{pmatrix}},~H+L(\alpha )={\begin{pmatrix}2&-1.25&0&-\alpha _{1}&-\alpha _{2}&-\alpha _{3}\\-1.25&2\alpha _{1}&0.5+\alpha _{2}&0&-\alpha _{4}&-\alpha _{5}\\0&0.5+\alpha _{2}&2\alpha _{3}&\alpha _{4}&\alpha _{5}&-1\\-\alpha _{1}&0&\alpha _{4}&5&0&-\alpha _{6}\\-\alpha _{2}&-\alpha _{4}&\alpha _{5}&0&2\alpha _{6}&0\\-\alpha _{3}&-\alpha _{5}&-1&-\alpha _{6}&0&1\end{pmatrix}}.$$
  तब से $H+L(\alpha )\geq 0$ के लिए $\alpha =(1.18,-0.43,0.73,1.13,-0.37,0.57)$, इससे पता चलता है कि h(x) एसओएस के रूप में है।

सामान्यीकरण

मैट्रिक्स एसओएस

एक मैट्रिक्स रूप F(x) अर्थात, मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टियाँ वास्तविक n आयामी सदिश x में आयाम r और घात 2m एसओएस के रूप में होती है यदि और केवल मैट्रिक्स रूप उपस्थित हैं

घात एम का $G_{1}(x),\ldots ,G_{k}(x)$ ऐसी है कि,

$$F(x)=\sum _{i=1}^{k}G_{i}(x)'G_{i}(x).$$

मैट्रिक्स एसएमआर

उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स रूप एफ (एक्स) एसओएस राशि के रूप में है या नहीं यह स्थापित करने के लिए होता है। दरअसल, अदिश केस के समान किसी भी एफ (एक्स) को एसएमआर के अनुसार लिखा जा सकता है

$$F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)$$

जहाँ $\otimes$ आव्यूहों का क्रोनेकर गुणनफल है, H कोई सममित आव्यूह संतोषजनक रूप में होता है

$$F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'H\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)$$

और $L(\alpha )$ रैखिक स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण होता है

$${\mathcal {L}}=\left\{L=L':~\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'L\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)=0\right\}.$$

सदिश का आयाम $\alpha$ द्वारा दिया गया है

$$\omega (n,2m,r)={\frac {1}{2}}r\left(\sigma (n,m)\left(r\sigma (n,m)+1\right)-(r+1)\sigma (n,2m)\right).$$

तब, F(x) एसओएस है यदि और केवल यदि कोई सदिश $\alpha$ के रूप में उपस्थित है, जैसे कि एलएमआई निम्नलिखित स्वरूपों में होता है

$$H+L(\alpha )\geq 0.$$

अभिव्यक्ति $F(x)=\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)'\left(H+L(\alpha )\right)\left(x^{\{m\}}\otimes I_{r}\right)$ में प्रस्तुत किया गया था यह स्थापित करने के लिए कि एलएमआई के माध्यम से मैट्रिक्स स्वरूप एसओएस है या नहीं।

गैर अनुमेय बहुपद एसओएस

मुक्त बीजगणित R⟨X⟩ पर विचार करते है, जो एन गैर-आवर्ती अक्षर X = (X₁, ..., X_n) द्वारा उत्पन्न होता है और इनवोल्यूशन T से सुसज्जित होता है जैसे T, R और X1, ..., Xn को ठीक करता है और X1, ..., Xn द्वारा बनाए गए शब्दों को उलट देता है। क्रमविनिमेय स्थिति के साथ सादृश्य द्वारा गैर-अनुक्रमिक सममित बहुपद f, f = fT रूप के गैर-अनुक्रमिक बहुपद के रूप में होते है। जब किसी भी आयाम r × r के किसी भी वास्तविक मैट्रिक्स का मूल्यांकन एक सममित गैर-अनुक्रमिक बहुपद f पर किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होता है, f को मैट्रिक्स-पॉजिटिव कहा जाता है।

एक गैर क्रमविनिमेय बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि वहां गैर क्रमविनिमेय बहुपद उपस्थित हैं $h_{1},\ldots ,h_{k}$ ऐसा है कि

$$f(X)=\sum _{i=1}^{k}h_{i}(X)^{T}h_{i}(X).$$

हैरानी की बात है कि गैर-अनुक्रमिक परिदृश्य में एक गैर-अनुक्रमिक बहुपद एसओएस के रूप में होता है, यदि और केवल यदि यह मैट्रिक्स-पॉजिटिव होता है। इसके अतिरिक्त, गैर-अनुमेय बहुपदों के वर्गों के योग में मैट्रिक्स-पॉजिटिव बहुपदों को विघटित करने के लिए उपलब्ध कलन विधि के रूप में उपस्थित होता है।

यह भी देखें

• योग-का-वर्ग अनुकूलन
• सकारात्मक बहुपद
• हिल्बर्ट की सत्रहवीं समस्या
• एसओएस-उत्तलता