रिकाटी समीकरण: Difference between revisions

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गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में एक रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों में, यह रूप का एक समीकरण है
गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों में, यह रूप का समीकरण है
:<math> y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x) </math>
:<math> y'(x) = q_0(x) + q_1(x) \, y(x) + q_2(x) \, y^2(x) </math>
कहाँ <math>q_0(x) \neq 0</math> और <math>q_2(x) \neq 0</math>. अगर <math>q_0(x) = 0</math> समीकरण [[ बरनौली अवकल समीकरण ]] में बदल जाता है, जबकि अगर <math>q_2(x) = 0</math> समीकरण प्रथम कोटि का रैखिक साधारण अवकल समीकरण बन जाता है।
जहाँ <math>q_0(x) \neq 0</math> और <math>q_2(x) \neq 0</math>. यदि <math>q_0(x) = 0</math> समीकरण [[ बरनौली अवकल समीकरण |बरनौली अवकल समीकरण]] में बदल जाता है, जबकि यदि <math>q_2(x) = 0</math> समीकरण प्रथम कोटि का रैखिक साधारण अवकल समीकरण बन जाता है।


समीकरण का नाम [[याकूब रिकाती]] (1676-1754) के नाम पर रखा गया है।<ref>Riccati, Jacopo (1724) [https://books.google.com/books?id=UjTw1w7tZsEC&pg=PA66#v=onepage&q&f=false "Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus"]  (Observations regarding differential equations of the second order), ''Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa'',  '''8''' : 66-73.  [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/rictr.pdf Translation of the original Latin into English] by Ian Bruce.</ref>
समीकरण का नाम [[याकूब रिकाती|जैकोपो रिकाती]] (1676-1754) के नाम पर रखा गया है।<ref>Riccati, Jacopo (1724) [https://books.google.com/books?id=UjTw1w7tZsEC&pg=PA66#v=onepage&q&f=false "Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus"]  (Observations regarding differential equations of the second order), ''Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa'',  '''8''' : 66-73.  [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/rictr.pdf Translation of the original Latin into English] by Ian Bruce.</ref>
अधिक आम तौर पर, रिकाटी समीकरण शब्द का उपयोग मैट्रिक्स अंतर समीकरण#नॉनलाइनियर मैट्रिक्स अंतर समीकरणों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: एक अनुरूप द्विघात शब्द के साथ रिकाटी समीकरण, जो निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण दोनों में होते हैं। इनके स्थिर-अवस्था (गैर-गतिशील) संस्करण को [[बीजगणितीय रिकाटी समीकरण]] कहा जाता है।


'''गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में एक रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों दूसरे शब्दों में, यह रूप का एक समीकरण है'''
अधिक सामान्यतः, रिकाटी समीकरण शब्द का उपयोग आव्यूह अंतर समीकरण या नॉनलाइनियर आव्यूह अंतर समीकरणों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: अनुरूप द्विघात शब्द के साथ रिकाटी समीकरण, जो निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण दोनों में होते हैं। इनके स्थिर-अवस्था (गैर-गतिशील) संस्करण को [[बीजगणितीय रिकाटी समीकरण]] कहा जाता है।
== दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण में रूपांतरण ==


== दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण में रूपांतरण ==
गैर-रैखिक रिकाटी समीकरण को सदैव दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) में परिवर्तित किया जा सकता है:<ref>{{citation|last=Ince|first=E. L.|title=Ordinary Differential Equations|year=1956|orig-year=1926|publisher=Dover Publications|location=New York|pages=23–25}}</ref>


गैर-रैखिक रिकाटी समीकरण को हमेशा दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण (ODE) में परिवर्तित किया जा सकता है:<ref>{{citation|last=Ince|first=E. L.|title=Ordinary Differential Equations|year=1956|orig-year=1926|publisher=Dover Publications|location=New York|pages=23–25}}</ref>
यदि
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:<math>y'=q_0(x) + q_1(x)y + q_2(x)y^2\!</math>
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फिर, कहीं भी <math>q_2</math> शून्येतर और अवकलनीय है, <math>v=yq_2</math> रूप के रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है
फिर, कहीं भी <math>q_2</math> शून्येतर और अवकलनीय है, <math>v=yq_2</math> रूप के रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है
:<math>v'=v^2 + R(x)v +S(x),\!</math>
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कहाँ <math>S=q_2q_0</math> और <math>R=q_1+\frac{q_2'}{q_2}</math>, क्योंकि
जहाँ <math>S=q_2q_0</math> और <math>R=q_1+\frac{q_2'}{q_2}</math>, क्योंकि
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:<math>v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2  +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2.\!</math>
स्थानापन्न <math>v=-u'/u</math>, यह इस प्रकार है कि <math>u</math> रैखिक द्वितीय क्रम ODE को संतुष्ट करता है
स्थानापन्न <math>v=-u'/u</math>, यह इस प्रकार है कि <math>u</math> रैखिक द्वितीय क्रम ओडीई को संतुष्ट करता है
:<math>u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!</math>
:<math>u''-R(x)u' +S(x)u=0 \!</math>
तब से
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:<math>v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2\!</math>
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:<math>u''/u= v^2 -v'=-S -Rv=-S +Ru'/u\!</math>
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== श्वार्जियन समीकरण के लिए आवेदन ==
== श्वार्जियन समीकरण के लिए आवेदन ==


  रिकाटी समीकरण का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के [[ श्वार्जियन व्युत्पन्न ]] के लिए है
  रिकाटी समीकरण का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के [[ श्वार्जियन व्युत्पन्न |श्वार्जियन व्युत्पन्न]] के लिए है
:<math>S(w):=(w''/w')' - (w''/w')^2/2 =f</math>
:<math>S(w):=(w''/w')' - (w''/w')^2/2 =f</math>
जो अनुरूप मानचित्रण और असमान कार्य के सिद्धांत में होता है। इस मामले में ओडीई जटिल डोमेन में हैं और भेदभाव एक जटिल चर के संबंध में है। (श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न <math>S(w)</math> उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के तहत अपरिवर्तनीय है, यानी <math>S((aw+b)/(cw+d))=S(w)</math> जब कभी भी <math>ad-bc</math> गैर-शून्य है।) कार्य <math>y=w''/w'</math>
जो अनुरूप मानचित्रण और असमान कार्य के सिद्धांत में होता है। इस स्थिति में ओडीई जटिल डोमेन में हैं और भेदभाव जटिल चर के संबंध में है। (श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न <math>S(w)</math> उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह मोबियस परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, अर्थात <math>S((aw+b)/(cw+d))=S(w)</math> जब कभी भी <math>ad-bc</math> गैर-शून्य है।) कार्य <math>y=w''/w'</math> रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है
रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है
:<math>y'=y^2/2 +f.</math>
:<math>y'=y^2/2 +f.</math>
उपरोक्त द्वारा <math>y=-2u'/u</math> कहाँ <math>u</math> रैखिक ODE का एक समाधान है
उपरोक्त द्वारा <math>y=-2u'/u</math> जहाँ <math>u</math> रैखिक ओडीई का समाधान है
:<math>u''+ (1/2) fu=0.</math>
:<math>u''+ (1/2) fu=0.</math>
तब से <math> w''/w'=-2u'/u</math>, एकीकरण देता है <math>w'=C /u^2</math>
जब से <math> w''/w'=-2u'/u</math>, एकीकरण देता है <math>w'=C /u^2</math> कुछ स्थिर के लिए <math>C</math>. दूसरी ओर कोई अन्य स्वतंत्र समाधान <math>U</math> रैखिक ओडीई का निरंतर गैर-शून्य व्रोनस्कियन है <math>U'u-Uu'</math> जिसे माना जा सकता है <math>C</math> स्केलिंग के बाद।
कुछ स्थिर के लिए <math>C</math>. दूसरी ओर कोई अन्य स्वतंत्र समाधान <math>U</math> रैखिक ODE का
 
निरंतर गैर-शून्य व्रोनस्कियन है <math>U'u-Uu'</math> जिसे माना जा सकता है <math>C</math> स्केलिंग के बाद।
इस प्रकार
इस प्रकार
:<math>w'=(U'u-Uu')/u^2=(U/u)'</math>
:<math>w'=(U'u-Uu')/u^2=(U/u)'</math>
ताकि श्वार्जियन समीकरण का हल हो <math>w=U/u.</math>
जिससे श्वार्जियन समीकरण का हल हो <math>w=U/u.</math>
== चतुर्भुज द्वारा समाधान प्राप्त करना ==
== चतुर्भुज द्वारा समाधान प्राप्त करना ==


रिकाटी समीकरणों और दूसरे क्रम के रैखिक ODEs के बीच पत्राचार के अन्य परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, यदि दूसरे क्रम के ODE का एक समाधान ज्ञात है, तो यह ज्ञात है कि एक अन्य समाधान चतुर्भुज, यानी एक साधारण एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। रिकाटी समीकरण के लिए भी यही सच है। वास्तव में, यदि एक विशेष समाधान <math>y_1</math> पाया जा सकता है, सामान्य समाधान के रूप में प्राप्त किया जाता है
रिकाटी समीकरणों और दूसरे क्रम के रैखिक ODEs के बीच पत्राचार के अन्य परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, यदि दूसरे क्रम के ओडीई का समाधान ज्ञात है, तो यह ज्ञात है कि अन्य समाधान चतुर्भुज, अर्थात साधारण एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। रिकाटी समीकरण के लिए भी यही सत्य है। वास्तव में, यदि विशेष समाधान <math>y_1</math> पाया जा सकता है, सामान्य समाधान के रूप में प्राप्त किया जाता है
:<math> y = y_1 + u </math>
:<math> y = y_1 + u </math>
स्थानापन्न
स्थानापन्न
:<math> y_1 + u </math>
:<math> y_1 + u </math>
रिकाटी समीकरण में पैदावार होती है
रिकाटी समीकरण में उत्पादन होता है
:<math> y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,</math>
:<math> y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,</math>
और तबसे
और जबसे
:<math> y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2,</math>
:<math> y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2,</math>
यह इस प्रकार है कि
यह इस प्रकार है कि
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या
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:<math> u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2, </math>
:<math> u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2, </math>
जो एक बरनौली अवकल समीकरण है। इस बरनौली समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक प्रतिस्थापन है
जो बरनौली अवकल समीकरण है। इस बरनौली समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक प्रतिस्थापन है
:<math> z =\frac{1}{u} </math>
:<math> z =\frac{1}{u} </math>
स्थानापन्न
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सीधे रिकाटी समीकरण में रैखिक समीकरण प्राप्त होता है
सीधे रिकाटी समीकरण में रैखिक समीकरण प्राप्त होता है
:<math> z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2 </math>
:<math> z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2 </math>
रिकाटी समीकरण के समाधान का एक सेट इसके द्वारा दिया गया है
रिकाटी समीकरण के समाधान का सेट इसके द्वारा दिया गया है
:<math> y = y_1 + \frac{1}{z} </math>
:<math> y = y_1 + \frac{1}{z} </math>
जहाँ z पूर्वोक्त रैखिक समीकरण का सामान्य हल है।
जहाँ z पूर्वोक्त रैखिक समीकरण का सामान्य हल है।
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* [[रैखिक-द्विघात नियामक]]
* [[रैखिक-द्विघात नियामक]]
* बीजगणितीय रिकाटी समीकरण
* बीजगणितीय रिकाटी समीकरण
* रेखीय-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण#समस्या और समाधान का गणितीय विवरण|रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण
* रेखीय-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण
 
== संदर्भ ==
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== अग्रिम पठन ==
== अग्रिम पठन ==
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* [http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/care.html MATLAB function] for solving continuous-time algebraic Riccati equation.
* [http://www.mathworks.com/help/toolbox/control/ref/care.html MATLAB function] for solving continuous-time algebraic Riccati equation.
* [[SciPy]] has functions for solving the [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.solve_continuous_are.html continuous algebraic Riccati equation] and the [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.solve_discrete_are.html discrete algebraic Riccati equation].
* [[SciPy]] has functions for solving the [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.solve_continuous_are.html continuous algebraic Riccati equation] and the [http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.solve_discrete_are.html discrete algebraic Riccati equation].
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Latest revision as of 17:31, 17 April 2023

गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों में, यह रूप का समीकरण है

जहाँ और . यदि समीकरण बरनौली अवकल समीकरण में बदल जाता है, जबकि यदि समीकरण प्रथम कोटि का रैखिक साधारण अवकल समीकरण बन जाता है।

समीकरण का नाम जैकोपो रिकाती (1676-1754) के नाम पर रखा गया है।[1]

अधिक सामान्यतः, रिकाटी समीकरण शब्द का उपयोग आव्यूह अंतर समीकरण या नॉनलाइनियर आव्यूह अंतर समीकरणों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: अनुरूप द्विघात शब्द के साथ रिकाटी समीकरण, जो निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण दोनों में होते हैं। इनके स्थिर-अवस्था (गैर-गतिशील) संस्करण को बीजगणितीय रिकाटी समीकरण कहा जाता है।

दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण में रूपांतरण

गैर-रैखिक रिकाटी समीकरण को सदैव दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) में परिवर्तित किया जा सकता है:[2]

यदि

फिर, कहीं भी शून्येतर और अवकलनीय है, रूप के रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है

जहाँ और , क्योंकि

स्थानापन्न , यह इस प्रकार है कि रैखिक द्वितीय क्रम ओडीई को संतुष्ट करता है

जबसे

जिससे

और इसलिए

इस समीकरण के हल से समाधान निकलेगा मूल रिकाटी समीकरण का।

श्वार्जियन समीकरण के लिए आवेदन

 रिकाटी समीकरण का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तीसरे क्रम के श्वार्जियन व्युत्पन्न के लिए है

जो अनुरूप मानचित्रण और असमान कार्य के सिद्धांत में होता है। इस स्थिति में ओडीई जटिल डोमेन में हैं और भेदभाव जटिल चर के संबंध में है। (श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह मोबियस परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, अर्थात जब कभी भी गैर-शून्य है।) कार्य रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है

उपरोक्त द्वारा जहाँ रैखिक ओडीई का समाधान है

जब से , एकीकरण देता है कुछ स्थिर के लिए . दूसरी ओर कोई अन्य स्वतंत्र समाधान रैखिक ओडीई का निरंतर गैर-शून्य व्रोनस्कियन है जिसे माना जा सकता है स्केलिंग के बाद।

इस प्रकार

जिससे श्वार्जियन समीकरण का हल हो

चतुर्भुज द्वारा समाधान प्राप्त करना

रिकाटी समीकरणों और दूसरे क्रम के रैखिक ODEs के बीच पत्राचार के अन्य परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, यदि दूसरे क्रम के ओडीई का समाधान ज्ञात है, तो यह ज्ञात है कि अन्य समाधान चतुर्भुज, अर्थात साधारण एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। रिकाटी समीकरण के लिए भी यही सत्य है। वास्तव में, यदि विशेष समाधान पाया जा सकता है, सामान्य समाधान के रूप में प्राप्त किया जाता है

स्थानापन्न

रिकाटी समीकरण में उत्पादन होता है

और जबसे

यह इस प्रकार है कि

या

जो बरनौली अवकल समीकरण है। इस बरनौली समीकरण को हल करने के लिए आवश्यक प्रतिस्थापन है

स्थानापन्न

सीधे रिकाटी समीकरण में रैखिक समीकरण प्राप्त होता है

रिकाटी समीकरण के समाधान का सेट इसके द्वारा दिया गया है

जहाँ z पूर्वोक्त रैखिक समीकरण का सामान्य हल है।

यह भी देखें

  1. Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus" (Observations regarding differential equations of the second order), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa, 8 : 66-73. Translation of the original Latin into English by Ian Bruce.
  2. Ince, E. L. (1956) [1926], Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, pp. 23–25

अग्रिम पठन

  • Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
  • Nehari, Zeev (1975) [1952], Conformal Mapping, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
  • Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003), Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Boca Raton, Fla.: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
  • Zelikin, Mikhail I. (2000), Homogeneous Spaces and the Riccati Equation in the Calculus of Variations, Berlin: Springer-Verlag
  • Reid, William T. (1972), Riccati Differential Equations, London: Academic Press

बाहरी संबंध