रिकाटी समीकरण

गणित में, सबसे संकीर्ण अर्थ में रिकाटी समीकरण किसी भी प्रथम-क्रम का सामान्य अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन में द्विघात फलन है। दूसरे शब्दों में, यह रूप का समीकरण है

$y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)$

जहाँ $q_{0}(x)\neq 0$ और $q_{2}(x)\neq 0$. यदि $q_{0}(x)=0$ समीकरण बरनौली अवकल समीकरण में बदल जाता है, जबकि यदि $q_{2}(x)=0$ समीकरण प्रथम कोटि का रैखिक साधारण अवकल समीकरण बन जाता है।

समीकरण का नाम जैकोपो रिकाती (1676-1754) के नाम पर रखा गया है।

अधिक सामान्यतः, रिकाटी समीकरण शब्द का उपयोग आव्यूह अंतर समीकरण या नॉनलाइनियर आव्यूह अंतर समीकरणों को संदर्भित करने के लिए किया जाता है: अनुरूप द्विघात शब्द के साथ रिकाटी समीकरण, जो निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण दोनों में होते हैं। इनके स्थिर-अवस्था (गैर-गतिशील) संस्करण को बीजगणितीय रिकाटी समीकरण कहा जाता है।

दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण में रूपांतरण

गैर-रैखिक रिकाटी समीकरण को सदैव दूसरे क्रम के रैखिक साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) में परिवर्तित किया जा सकता है:

यदि

$y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!$

फिर, कहीं भी $q_{2}$ शून्येतर और अवकलनीय है, $v=yq_{2}$ रूप के रिकाटी समीकरण को संतुष्ट करता है

$v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!$

जहाँ $S=q_{2}q_{0}$ और $R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}$, क्योंकि

$v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!$

स्थानापन्न $v=-u'/u$, यह इस प्रकार है कि $u$ रैखिक द्वितीय क्रम ओडीई को संतुष्ट करता है

$u''-R(x)u'+S(x)u=0\!$

जबसे

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!$

जिससे

$$