सजातीय बहुपद: Difference between revisions

Latest revision as of 17:05, 19 October 2023

गणित में, सजातीय बहुपद, जिसे पुराने ग्रंथों में मात्रा कहा जाता है: एक ऐसा बहुपद है जिसके शून्येतर पदों की सभी डिग्री समान होती है।^[1] उदाहरण के लिए, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ दो चरों में डिग्री 5 का सजातीय बहुपद है; प्रत्येक पद में डिग्रीांकों का योग सदैव 5 होता है। बहुपद $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ सजातीय नहीं है, क्योंकि डिग्रीांक का योग एक पद से दूसरे पद तक संयोग नहीं खाता है। सजातीय बहुपद के माध्यम से परिभाषित फलन सदैव सजातीय फलन होता है।

एक बीजगणितीय रूप एक ऐसी कार्य होता है जो सजातीय बहुपदी से परिभाषित होती है। एक बाइनरी फॉर्म दो वेरिएबल्स में एक फॉर्म है। रूप भी एक सदिश स्थल पर परिभाषित एक कार्य है, जो किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) पर निर्देशांक के एक सजातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

शून्यता डिग्री का बहुपद सदैव सजातीय होता है; यह साधारणतः गुणांकों के क्षेत्र (गणित) या वलय (गणित) का एक तत्व है, जिसे सामान्यतः स्थिर या अदिश कहा जाता है। डिग्री 1 का रूप एक रैखिक रूप है।^[2] डिग्री 2 का रूप द्विडिग्री रूप है। ज्यामिति में, यूक्लिडियन दूरी द्विडिग्री रूप का वर्गमूल है।

सजातीय बहुपद गणित और भौतिकी विज्ञान में सर्वव्यापी हैं।^[3] वे बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि प्रक्षेपी बीजगणितीय विविधता को सजातीय बहुपदों के समुच्चय के उभयनिष्ठ शून्यों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।

गुण

सजातीय बहुपद एक सजातीय कार्य को परिभाषित करता है। इसका अर्थ यह है कि, यदि एक बहुभिन्नरूपी बहुपद P, डिग्री d का सजातीय है, तो

P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,

दिए गए क्षेत्र में, हर एक लैम्बडा ( $\lambda$ ) के लिए पी के गुणांक होते हैं। अगर यह संबंध अनेकों के लिए सत्य होता है तो डिग्री d बहुपद और सजातीय होता है।

विशेष रूप से, यदि P सजातीय है तो

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,

हर एक के लिए $\lambda .$ यह गुण प्रक्षेपी किस्म की परिभाषा में मौलिक है।

किसी भी गैर-शून्य बहुपद को अलग-अलग डिग्री के सजातीय बहुपदों के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है, जिसे बहुपद के सजातीय घटक कहा जाता है।

एक बहुपद वलय दिया गया है $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, एक वलय (गणित)) K, डिग्री d रूप के सजातीय बहुपद एक सदिश स्थान (या एक मॉड्यूल (गणित) ), सामान्यतः निरूपित $R_{d}.$ उपरोक्त अद्वितीय अपघटन का अर्थ है कि $R$ का प्रत्यक्ष योग है $R_{d}$ (सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का योग)।

सदिश स्थान का आयाम (या मुक्त मॉड्यूल) $R_{d}$ n चर में डिग्री d के विभिन्न मोनोमियल की संख्या है (जो कि n चर में डिग्री d के एक सजातीय बहुपद में गैर-शून्य पदों की अधिकतम संख्या है)। यह द्विपद गुणांक के बराबर है

{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.

सजातीय बहुपद यूलर के सजातीय फलन प्रमेय को संतुष्ट करता है | सजातीय फलनों के लिए यूलर की पहचान। यानी अगर $P$ डिग्री का एक सजातीय बहुपद है $d$ अनिश्चित में $x_{1},\ldots ,x_{n},$ एक है, जो भी गुणांकों का क्रमविनिमेय वलय है,

dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},

यहाँ पे $\textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ के औपचारिक व्युत्पन्न को दर्शाता है $P$ इसके संबंध में $x_{i}.$

समरूपीकरण

एक गैर-सजातीय बहुपद P(x₁,...,x_n) को एक अतिरिक्त चर x₀ को प्रस्तुत करके और सजातीय बहुपद को कभी-कभी ^एचपी के रूप में परिभाषित करके समरूप बनाया जा सकता है। ^[4]

{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),

जहाँ d, P के बहुपद की डिग्री है। उदाहरण के लिए, यदि

P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,

तब

^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.

अतिरिक्त चर x₀ = 1 सेट करके एक समरूप बहुपद को डीहोमोजेनाइज़ किया जा सकता है:

P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).

यह भी देखें

बहु-सजातीय बहुपद
अर्ध-सजातीय बहुपद
विकर्ण रूप
ग्रेडेड बीजगणित
हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद
बहुरेखीय रूप
बहुरेखीय नक्शा
बीजीय रूप का ध्रुवीकरण
शूर बहुपद
डिफरेंशियल ऑपरेटर का सिंबल

संदर्भ

↑ Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). बीजीय ज्यामिति का उपयोग करना. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 185 (2nd ed.). Springer. p. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.
↑ Linear forms are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from linear functionals, which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.
↑ Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of dimensional analysis, where measured quantities must match in real-world problems.
↑ Cox, Little & O'Shea 2005, p. 35

बाहरी संबंध

Media related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Homogeneous Polynomial". MathWorld.

[1] Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal (2005). बीजीय ज्यामिति का उपयोग करना. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 185 (2nd ed.). Springer. p. 2. ISBN 978-0-387-20733-9.

[2] Linear forms are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from linear functionals, which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.

[3] Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of dimensional analysis, where measured quantities must match in real-world problems.

[4] Cox, Little & O'Shea 2005, p. 35

[1]

[2]

[3]

[4]

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-{{short description|Polynomial whose all nonzero terms have the same degree}}गणित में, एक सजातीय [[ बहुपद ]], जिसे पुराने ग्रंथों में मात्रा कहा जाता है: एक बहुपद होता  है जिसके गैर-शून्य शब्दों में बहुपद की समान डिग्री होती है।<ref>{{cite book |first=David A. |last=Cox |first2=John |last2=Little |first3=Donal |last3=O'Shea |title=बीजीय ज्यामिति का उपयोग करना|url=https://books.google.com/books?id=QFFpepgQgT0C&pg=PP1 |edition=2nd |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-20733-9 |page=2 |volume=185 |series=Graduate Texts in Mathematics }}</ref> उदाहरण के लिए, <math>x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4</math> दो चरों में घात 5 का एक समांगी बहुपद है; प्रत्येक पद में घातांकों का योग हमेशा 5 होता है। बहुपद <math>x^3 + 3 x^2 y + z^7</math> सजातीय नहीं है, क्योंकि घातांक का योग एक पद से दूसरे पद पर मेल नहीं खाता है। एक समांगी बहुपद द्वारा परिभाषित फलन हमेशा एक समांगी फलन होता है।
+{{short description|Polynomial whose all nonzero terms have the same degree}}गणित में, '''सजातीय [[बहुपद]]''', जिसे पुराने ग्रंथों में मात्रा कहा जाता है: एक ऐसा बहुपद है जिसके शून्येतर पदों की सभी डिग्री समान होती है।<ref>{{cite book |first=David A. |last=Cox |first2=John |last2=Little |first3=Donal |last3=O'Shea |title=बीजीय ज्यामिति का उपयोग करना|url=https://books.google.com/books?id=QFFpepgQgT0C&pg=PP1 |edition=2nd |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-20733-9 |page=2 |volume=185 |series=Graduate Texts in Mathematics }}</ref> उदाहरण के लिए, <math>x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4</math> दो चरों में डिग्री 5 का सजातीय  बहुपद है; प्रत्येक पद में डिग्रीांकों का योग सदैव 5 होता है। बहुपद <math>x^3 + 3 x^2 y + z^7</math> सजातीय नहीं है, क्योंकि डिग्रीांक का योग एक पद से दूसरे पद तक संयोग नहीं खाता है। सजातीय  बहुपद के माध्यम से परिभाषित फलन सदैव सजातीय  फलन होता है।
-एक बीजी फार्म एक ऐसी फ़ंक्शन होती है जो एक सजातीय बहुपदी से परिभाषित होती है। दो चरण वाली एक फार्म सजातीय बहुपदी होती है जो दो चरणों में होती है। एक ''फॉर्म''  भी एक [[ सदिश स्थल ]] पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है, जो किसी भी [[ आधार (रैखिक बीजगणित) ]] पर निर्देशांक के एक सजातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+एक बीजगणितीय रूप एक ऐसी कार्य होता है जो सजातीय बहुपदी से परिभाषित होती है। एक बाइनरी फॉर्म दो वेरिएबल्स में एक फॉर्म है। रूप भी एक सदिश स्थल पर परिभाषित एक कार्य है, जो किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित)  पर निर्देशांक के एक सजातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-शून्यता डिग्री का बहुपद हमेशा समरूपी होता है; यह साधारणतः गुणांकों के [[ क्षेत्र (गणित) ]] या वलय (गणित) का एक तत्व है, जिसे सामान्यतः स्थिर या अदिश कहा जाता है। डिग्री 1 का एक रूप एक रैखिक रूप है।<ref>''Linear forms'' are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from ''[[linear functional]]s'', which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.</ref> डिग्री 2 का एक रूप [[ द्विघात रूप ]] है। [[ ज्यामिति ]] में, [[ यूक्लिडियन दूरी ]] द्विघात रूप का [[ वर्गमूल ]] है।
+शून्यता डिग्री का बहुपद सदैव सजातीय होता है; यह साधारणतः गुणांकों के क्षेत्र (गणित) या वलय (गणित) का एक तत्व है, जिसे सामान्यतः स्थिर या अदिश कहा जाता है। डिग्री 1 का रूप एक रैखिक रूप है।<ref>''Linear forms'' are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from ''[[linear functional]]s'', which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.</ref> डिग्री 2 का रूप [[ द्विघात रूप | द्विडिग्री रूप]] है। [[ ज्यामिति ]] में, [[ यूक्लिडियन दूरी ]] द्विडिग्री रूप का [[ वर्गमूल ]]है।
-सजातीय बहुपद गणित और भौतिकी विज्ञान में सर्वव्यापी हैं।<ref>Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of [[dimensional analysis]], where measured quantities must match in real-world problems.</ref> वे बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि एक प्रक्षेपी बीजगणितीय किस्म को सजातीय बहुपदों के समुच्चय के उभयनिष्ठ शून्यों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+सजातीय बहुपद गणित और भौतिकी विज्ञान में सर्वव्यापी हैं।<ref>Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of [[dimensional analysis]], where measured quantities must match in real-world problems.</ref> वे बीजगणितीय ज्यामिति में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, क्योंकि प्रक्षेपी बीजगणितीय विविधता को सजातीय बहुपदों के समुच्चय के उभयनिष्ठ शून्यों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है।
 == गुण ==
-एक समांगी बहुपद एक समांगी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। इसका अर्थ यह है कि, यदि एक [[ बहुभिन्नरूपी बहुपद ]] P, घात d का समांगी है, तो
+सजातीय  बहुपद एक सजातीय  कार्य को परिभाषित करता है। इसका अर्थ यह है कि, यदि एक बहुभिन्नरूपी बहुपद P, डिग्री d का सजातीय  है, तो
 :<math>P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)\,,</math>
-हर एक के लिए <math>\lambda</math> P के गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) में। इसके विपरीत, यदि उपरोक्त संबंध अपरिमित रूप से अनेकों के लिए सत्य है  <math>\lambda</math> तब बहुपद घात d का समांगी है।
+दिए गए क्षेत्र में, हर एक लैम्बडा (<math>\lambda</math>) के लिए पी के गुणांक होते हैं। अगर यह संबंध अनेकों के लिए सत्य होता है तो डिग्री d बहुपद और सजातीय होता है।
 विशेष रूप से, यदि P सजातीय है तो
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 :<math>\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}.</math>
-समांगी बहुपद यूलर के समांगी फलन प्रमेय को संतुष्ट करता है | समांगी फलनों के लिए यूलर की पहचान। यानी अगर {{math|''P''}} घात का एक समांगी बहुपद है {{math|''d''}} अनिश्चित में <math>x_1, \ldots, x_n,</math> एक है, जो भी गुणांकों का क्रमविनिमेय वलय है,
+सजातीय  बहुपद यूलर के सजातीय  फलन प्रमेय को संतुष्ट करता है | सजातीय  फलनों के लिए यूलर की पहचान। यानी अगर {{math|''P''}} डिग्री का एक सजातीय  बहुपद है {{math|''d''}} अनिश्चित में <math>x_1, \ldots, x_n,</math> एक है, जो भी गुणांकों का क्रमविनिमेय वलय है,
 :<math>dP=\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial P}{\partial x_i},</math>
 यहाँ पे <math>\textstyle \frac{\partial P}{\partial x_i}</math> के [[ औपचारिक व्युत्पन्न ]] को दर्शाता है {{math|''P''}} इसके संबंध में <math>x_i.</math>
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 == समरूपीकरण ==
-एक गैर-सजातीय बहुपद P(x .)<sub>''1''</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) एक अतिरिक्त चर x . को पेश करके समरूप बनाया जा सकता है<sub>0</sub> और कभी-कभी निरूपित सजातीय बहुपद को परिभाषित करना <sup>एच</sup>पी:<ref>{{harvnb|Cox|Little|O'Shea|2005|p=35}}</ref>
+एक गैर-सजातीय बहुपद P(x<sub>''1''</sub>,...,x<sub>''n''</sub>) को  एक अतिरिक्त चर x<sub>0</sub> को प्रस्तुत करके और सजातीय बहुपद को कभी-कभी <sup>एच</sup>पी के रूप में परिभाषित करके समरूप बनाया जा सकता है। <ref>{{harvnb|Cox|Little|O'Shea|2005|p=35}}</ref>
 :<math>{^h\!P}(x_0,x_1,\dots, x_n) = x_0^d P \left (\frac{x_1}{x_0},\dots, \frac{x_n}{x_0} \right ),</math>
-जहाँ d, P के बहुपद की घात है। उदाहरण के लिए, यदि
+जहाँ d, P के बहुपद की डिग्री है। उदाहरण के लिए, यदि
 :<math>P=x_3^3 + x_1 x_2+7,</math>
-फिर
+तब
 :<math>^h\!P=x_3^3 + x_0 x_1x_2 + 7 x_0^3.</math>
-अतिरिक्त चर x . को सेट करके एक समरूप बहुपद को डीहोमोजेनाइज़ किया जा सकता है<sub>0</sub> = 1. वह है
+अतिरिक्त चर x<sub>0</sub>  = 1 सेट करके एक समरूप बहुपद को डीहोमोजेनाइज़ किया जा सकता है:
 :<math>P(x_1,\dots, x_n)={^h\!P}(1,x_1,\dots, x_n).</math>
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 ==यह भी देखें==
-*[[ बहु-सजातीय बहुपद ]]
+*बहु-सजातीय बहुपद
-*[[ अर्ध-सजातीय बहुपद ]]
+*अर्ध-सजातीय बहुपद
-*[[ विकर्ण रूप ]]
+*विकर्ण रूप
 *ग्रेडेड बीजगणित
-*[[ हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद ]]
+*[[हिल्बर्ट श्रृंखला और हिल्बर्ट बहुपद]]
-*[[ बहुरेखीय रूप ]]
+*[[बहुरेखीय रूप]]
-*[[ बहुरेखीय नक्शा ]]
+*बहुरेखीय नक्शा
-*[[ बीजीय रूप का ध्रुवीकरण ]]
+*बीजीय रूप का ध्रुवीकरण
 *[[ शूर बहुपद ]]
 *डिफरेंशियल ऑपरेटर का सिंबल
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 {{Polynomials}}
-[[Category: सजातीय बहुपद| ]]
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+[[Category:बहुरेखीय बीजगणित]]
+[[Category:बीजगणितीय ज्यामिति]]
+[[Category:सजातीय बहुपद| ]]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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