सामान्य बंद (समूह सिद्धांत)

समूह सिद्धांत में, समूह की (गणित) $G$ उपसमुच्चय $S$ का सामान्य संवरण $G$ युक्त $S.$

का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है ।

गुण और विवरण

औपचारिक रूप से, यदि $G$ समूह है और $S$, $G$का उपसमुच्चय है, तो सामान्य समापन$\operatorname {ncl} _{G}(S)$ का $S$ के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $G$ युक्त $S$:

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.$$

सामान्य बंद $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है $G$ युक्त $S,$इस अर्थ में कि $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ के प्रत्येक सामान्य उपसमूह का उपसमुच्चय है $G$ उसमें सम्मिलित है $S.$

उपसमूह $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ समुच्चय के माध्यम से समूह का समुच्चय उत्पन्न कर रहा है $S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ के तत्वों के सभी संयुग्मन वर्ग की $S$ में $G.$

इसलिए इसे ऐसी भी लिखा जा सकता है :

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.$$

कोई भी सामान्य उपसमूह उसके सामान्य बंद होने के समान होता है। खाली समुच्चय का संयुग्म बंद होना $\varnothing$ तुच्छ उपसमूह है।

साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मलित हैं $\langle S^{G}\rangle ,$ $\langle S\rangle ^{G},$ $\langle \langle S\rangle \rangle _{G},$ और $\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.$

सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है सामान्य इंटीरियर या सामान्य कोर, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के सम्मलित होने के रूप में परिभाषित किया गया है $S.$

समूह प्रस्तुतियाँ

एक समूह के लिए $G$ एक समूह की प्रस्तुति के माध्यम से दिया गया $G=\langle S\mid R\rangle$ जनरेटर के साथ $S$ और रिपोर्टर्स को परिभाषित करना $R,$ प्रेजेंटेशन नोटेशन का अर्थ है कि $G$ भागफल समूह है $G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),$ जहाँ $F(S)$ पर $S.$ निःशुल्क समूह है