केंद्र (ज्यामिति): Difference between revisions

Latest revision as of 18:42, 8 April 2023

वृत्त चित्रण

परिधि C

व्यास D

त्रिज्या R

केंद्र या उत्पत्ति O

ज्यामिति में, एक केंद्र (ब्रिटिश अंग्रेजी) या केंद्र (अमेरिकी अंग्रेजी); (प्राचीन ग्रीक κέντρον (केंट्रोन) 'पॉइंटी वस्तु' से) किसी आकृति की वस्तु के मध्य में किसी अर्थ में बिंदु (ज्यामिति) है। ध्यान में रखे गए केंद्र की विशिष्ट परिभाषा के अनुसार, किसी वस्तु का कोई केंद्र नहीं हो सकता है। यदि ज्यामिति को आइसोमेट्री समूहों के अध्ययन के रूप में माना जाता है, तो केंद्र सभी आइसोमेट्री का एक नियत बिंदु होता है जो वस्तु को स्वयं पर ले जाता हैं।

वृत्त, गोले और खंड

एक वृत्त का केंद्र किनारे पर बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु है। इसी प्रकार एक गोले का केंद्र सतह पर स्थित बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु होता है, और एक रेखा खंड का केंद्र दो सिरों का मध्य बिंदु होता है।

सममित वस्तुएं

कई समानताएं वाली वस्तुओं के लिए, समरूपता का केंद्र सममित क्रियाओं द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया गया बिंदु है। तो एक वर्ग, आयत, समचतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज का केंद्र वह है जहाँ विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, यह (अन्य गुणों के मध्य) घूर्णी समरूपता का नियत बिंदु है। इसी प्रकार दीर्घवृत्त या अतिपरवलय का केंद्र वह होता है जहां अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज

त्रिभुज के कई विशेष बिंदुओं को प्रायः त्रिभुज केंद्र के रूप में वर्णित किया जाता है:

परिकेन्द्र, जो उस वृत्त का केंद्र है जो तीनों शीर्षों (ज्यामिति) से होकर जाता है;
केन्द्रक या द्रव्यमान का केंद्र, वह बिंदु जिस पर त्रिभुज संतुलित होगा यदि उसमें एकसमान घनत्व हो;
अंतः केंद्र, उस वृत्त का केंद्र जो आंतरिक रूप से त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है;
लम्बकेन्द्र, त्रिभुज की तीन तुंगता का प्रतिच्छेदन; और
नौ-बिंदु केंद्र, वृत्त का केंद्र जो त्रिभुज के नौ प्रमुख बिंदुओं से होकर जाता है।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, ये वही बिंदु होते हैं, जो त्रिभुज के सममिति के तीन अक्षों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है, जो इसके आधार से शीर्ष तक की दूरी का एक तिहाई होता है।

एक त्रिभुज केंद्र की एक निश्चित परिभाषा एक बिंदु है जिसका त्रिरेखीय निर्देशांक f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b) है जहां f की लंबाई का एक फलन है त्रिभुज की तीन भुजाएँ, a, b, c इस प्रकार हैं कि:

f a, b, c में सजातीय है; अर्थात, f(ta,tb,tc)=t^hf(a,b,c) कुछ वास्तविक शक्ति h के लिए; इस प्रकार केंद्र की स्थिति मापक से स्वतंत्र होती है।
f अपने अंतिम दो तर्कों में सममित है; अर्थात, f(a,b,c)= f(a,c,b); इस प्रकार एक दर्पण-प्रतिबिंब त्रिभुज में एक केंद्र की स्थिति मूल त्रिभुज में इसकी स्थिति का दर्पण-प्रतिबिंब है।^[1]

इस निश्चित परिभाषा में ब्रोकार्ड बिंदुओं (जो एक दर्पण-छवि प्रतिबिंब द्वारा आपस में जुड़े हुए हैं) जैसे द्विकेंद्रित बिंदुओं के युग्म सम्मिलित नहीं हैं। 2020 तक, त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश 39,000 से अधिक विभिन्न त्रिभुज केंद्रों को सूचीबद्ध करता है।^[2]

स्पर्शरेखा बहुभुज और चक्रीय बहुभुज

एक स्पर्शरेखा बहुभुज की प्रत्येक भुजा विशेष वृत्त की स्पर्शरेखा होती है, जिसे अंतर्वृत्त या अंकित वृत्त कहा जाता है। अंतर्वृत्त का केंद्र, जिसे अंत:केन्द्र कहा जाता है, को बहुभुज का केंद्र माना जा सकता है।

एक चक्रीय बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष एक विशेष वृत्त पर होता है, जिसे परिवृत्त या परिबद्ध वृत्त कहा जाता है। परिवृत्त का केंद्र, जिसे परिकेन्द्र कहा जाता है, को बहुभुज का केंद्र माना जा सकता है।

यदि एक बहुभुज स्पर्शरेखा और चक्रीय दोनों है, तो इसे द्विकेंद्रित बहुभुज कहा जाता है। (उदाहरण के लिए, सभी त्रिभुज द्विकेन्द्रित होते हैं।) एक द्विकेन्द्रीय बहुभुज का अंतःकेन्द्र और परिकेन्द्र सामान्यतः समान बिंदु नहीं होते हैं।

सामान्य बहुभुज

एक सामान्य बहुभुज के केंद्र को कई अलग-अलग प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है। ''शीर्ष केंद्रक'' बहुभुज के खाली होने पर विचार करने से आता है, लेकिन इसके शीर्ष पर समान द्रव्यमान होता है। ''पार्श्व केन्द्रक'' भुजा पर विचार करने से प्रति इकाई लंबाई में स्थिर द्रव्यमान होता है। सामान्य केंद्र, जिसे केवल केंद्रक (क्षेत्र का केंद्र) कहा जाता है, बहुभुज की सतह को निरंतर घनत्व के रूप में मानने से आता है। ये तीन बिंदु सामान्य रूप से सभी समान बिंदु नहीं हैं।

प्रक्षेपी शंकु

प्रक्षेपी ज्यामिति में प्रत्येक रेखा में अनंत या ''आलंकारिक बिंदु'' पर एक बिंदु होता है जहां यह सभी समानांतर रेखाओं को रेखित करता है। यूक्लिडीय ज्यामिति के दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय को प्रक्षेपी ज्यामिति में शांक्व कहा जाता है और एक प्रक्षेप्यता से स्टेनर शंकु के रूप में निर्मित किया जा सकता है जो एक परिप्रेक्ष्य नहीं है। किसी दिए गए शंकु के साथ प्रक्षेप्य तल की समरूपता प्रत्येक बिंदु या ध्रुव को एक रेखा से संबंधित करती है जिसे उसका ध्रुवीय कहा जाता है। प्रक्षेपी ज्यामिति में केंद्र की अवधारणा इस संबंध का उपयोग करती है। निम्नलिखित अभिकथन जी.बी. हैलस्टेड के हैं।^[3]

किसी परिमित मत के अंत बिंदुओं के संबंध में अनंत पर एक बिंदु का प्रक्षेप्य हरात्मक संयुग्मन उस मत का 'केंद्र' है।

किसी नियत शांक्व के संबंध में अनंत पर सीधे का ध्रुव शांकव का 'केंद्र' है।

किसी भी आलंकारिक बिंदु का ध्रुवीय शंकु के केंद्र पर होता है और इसे 'व्यास' कहा जाता है।

किसी भी दीर्घवृत्त का केंद्र उसके अंतर्गत होता है, क्योंकि उसका ध्रुवीय वक्र से नहीं मिलता है, और इसलिए इससे वक्र पर कोई स्पर्श रेखा नहीं होती है। एक परवलय का केंद्र आलंकारिक सीधे का संपर्क बिंदु है।

अतिपरवलय का केंद्र वक्र के बिना स्थित है, क्योंकि आलंकारिक सीधे वक्र को रेखित करता है। केंद्र से अतिपरवलय तक की स्पर्श रेखाओं को 'अनंतस्पर्शी' कहा जाता है। उनके संपर्क बिंदु वक्र पर अनंत पर दो बिंदु हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Algebraic Highways in Triangle Geometry Archived January 19, 2008, at the Wayback Machine
↑ Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.
↑ G. B. Halsted (1903) Synthetic Projective Geometry, #130, #131, #132, #139

[1] Algebraic Highways in Triangle Geometry Archived January 19, 2008, at the Wayback Machine

[2] Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.

[3] G. B. Halsted (1903) Synthetic Projective Geometry, #130, #131, #132, #139

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 == वृत्त, गोले और खंड ==
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 == सममित वस्तुएं ==
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+कई समानताएं वाली वस्तुओं के लिए, [[समरूपता का केंद्र]] सममित क्रियाओं द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया गया बिंदु है। तो एक [[वर्ग (ज्यामिति)|वर्ग]], [[आयत]], [[ विषमकोण |समचतुर्भुज]] या समांतर [[चतुर्भुज]] का केंद्र वह है जहाँ विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, यह (अन्य गुणों के मध्य) घूर्णी समरूपता का नियत बिंदु है। इसी प्रकार दीर्घवृत्त या अतिपरवलय का केंद्र वह होता है जहां अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं।
 == त्रिभुज ==
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+# ''f'' ''a'', ''b'', ''c'' में सजातीय है; अर्थात, ''f''(''ta'',''tb'',''tc'')=''t<sup>h</sup>f''(''a'',''b'',''c'') कुछ वास्तविक शक्ति ''h'' के लिए; इस प्रकार केंद्र की स्थिति मापक से स्वतंत्र होती है।
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+# ''f'' अपने अंतिम दो तर्कों में सममित है; अर्थात, ''f''(''a'',''b'',''c'')= ''f''(''a'',''c'',''b''); इस प्रकार एक दर्पण-प्रतिबिंब त्रिभुज में एक केंद्र की स्थिति मूल त्रिभुज में इसकी स्थिति का दर्पण-प्रतिबिंब है।<ref>[http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/roads.html Algebraic Highways in Triangle Geometry] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20080119140931/http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/roads.html |date=January 19, 2008 }}</ref>
-इस निश्चित परिभाषा में द्विकेंद्रिक बिंदुओं (जो एक दर्पण-छवि प्रतिबिंब द्वारा आपस में जुड़े हुए हैं) जैसे द्विकेंद्रित बिंदुओं के युग्म सम्मिलित नहीं हैं। 2020 तक, [[त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश]] 39,000 से अधिक विभिन्न त्रिभुज केंद्रों को सूचीबद्ध करता है।<ref>{{Cite web |last=Kimberling |first=Clark |authorlink=Clark Kimberling |title=This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart20.html |website=[[Encyclopedia of Triangle Centers]]}}</ref>
+इस निश्चित परिभाषा में ब्रोकार्ड बिंदुओं (जो एक दर्पण-छवि प्रतिबिंब द्वारा आपस में जुड़े हुए हैं) जैसे द्विकेंद्रित बिंदुओं के युग्म सम्मिलित नहीं हैं। 2020 तक, [[त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश]] 39,000 से अधिक विभिन्न त्रिभुज केंद्रों को सूचीबद्ध करता है।<ref>{{Cite web |last=Kimberling |first=Clark |authorlink=Clark Kimberling |title=This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart20.html |website=[[Encyclopedia of Triangle Centers]]}}</ref>
 == स्पर्शरेखा बहुभुज और चक्रीय बहुभुज ==
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 * किसी परिमित मत के अंत बिंदुओं के संबंध में अनंत पर एक बिंदु का प्रक्षेप्य हरात्मक संयुग्मन उस मत का 'केंद्र' है।
-* किसी नियत शांक्व के संबंध में अनंत पर सीधे का पोल शंकु का 'केंद्र' है।
+* किसी नियत शांक्व के संबंध में अनंत पर सीधे का ध्रुव शांकव का 'केंद्र' है।
 * किसी भी आलंकारिक बिंदु का ध्रुवीय शंकु के केंद्र पर होता है और इसे 'व्यास' कहा जाता है।
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वृत्त, गोले और खंड

सममित वस्तुएं

त्रिभुज

स्पर्शरेखा बहुभुज और चक्रीय बहुभुज

सामान्य बहुभुज

प्रक्षेपी शंकु

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