समाकलन का क्रम (गणना): Difference between revisions

Latest revision as of 16:33, 27 April 2023

गणना में, समाकलन के क्रम का अंतर्विनिमय एक ऐसी पद्धति है जो फलनों के पुनरावृत्त अभिन्न या फ़ुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई अभिन्नों को दूसरे में परिवर्तित कर देती है। कुछ स्तिथियों में, समाकलन के क्रम को वैध रूप से परिवर्तित किया जा सकता है; तथा कुछ स्तिथियों मे इसे परिवर्तित नहीं किया जा सकता।

समस्या कथन

परीक्षा के लिए समस्या रूप के अभिन्न अंगो का मूल्यांकन

\iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,

है।

जहाँ D, xy-तल में कोई द्विविमीय क्षेत्र है। कुछ फलनों के लिए सीधा समाकलन संभव है, परंतु जहां यह संभव नहीं है, समाकलन के क्रम को परिवर्तित कर अभिन्न को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस अंतर्विनिमय के साथ कठिनाई क्षेत्र डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण कर रही है।

यह विधि अन्य एकाधिक समाकलों पर भी लागू होती है।^[1]^[2]

कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या संभवतः एक संख्यात्मक समाकलन की आवश्यकता हो, किसी द्वि-अभिन्न को एक समाकलन में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल समाकलन में कमी एक संख्यात्मक समाकलन को अत्यधिक सरल और अधिक कुशल बनाती है।

भागों द्वारा समाकलन से संबंध

चित्र 1: पहले चरण के रूप में ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके त्रिकोणीय क्षेत्र पर समाकलन किया जा सकता है। यह एक ऊपरी दृश्य है, जो xy-प्लेन पर z-अक्ष को नीचे की ओर प्रदर्शित कर रहा है। ढलान वाली रेखा वक्र y = x है।

पुनरावृत्त अभिन्न पर विचार करें

\int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,

जिसे हम सामान्यतः भौतिकी में देखे जाने वाले उपसर्ग संकेतन का उपयोग करके लिखेंगे:

\int _{a}^{z}dx\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy.

इस अभिव्यक्ति में, दूसरे अभिन्न की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है—चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है तथा x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y के संबंध में एकीकृत किया जाता है जो y दिशा में परिवर्तनशील है। y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की अनंत मात्रा को युग्मित किया जाता है। यह x-अक्ष के साथ y=a से y=x तक y-अक्ष के साथ और z दिशा z=h(y) में एक त्रि-आयामी भाग dx को चौड़ा बनाता है। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx अपरिमेय है, तो x, भाग पर केवल अपरिमेय रूप से भिन्न होता है तथा हम मान सकते हैं कि x स्थिर है।^[3] यह समाकलन चित्र 1 के बाएं भाग में दिखाया गया है, परंतु विशेष रूप से जब फलन एच (वाई) सरलता से एकीकृत नहीं होता है तों यह प्रक्रिया असुविधाजनक हों जाती है । अभिन्न को समाकलन के क्रम को विपरीत करके एकल समाकलन में घटाया जा सकता है जैसा कि चित्र के दायें भाग में दिखाया गया है। चरों के इस अंतर्विनिमय को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले x = y से सीमा x = z तक एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम y = a से y = z तक एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप:

\int _{a}^{z}dx\ \int _{a}^{x}h(y)\ dy=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(z-y\right)h(y)\,dy.

इस परिणाम को भागों द्वारा समाकलन के सूत्र के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है:^[4]

\int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx

विकल्प:

f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ and }}~g'(x)=1.

जो परिणाम देता है।

मुख्य मान अभिन्न

कॉची मुख्य मान अभिन्न के अनुप्रयोगों के लिए, व्हिटेकर और वाटसन,^[5] गखोव,^[6] लू,^[7] या ज्विलिंगर देखें।^[8] ओबोलाश्विली में पोंकारे-बर्ट्रेंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें।^[9] एक उदाहरण जहां समाकलन के क्रम का अंतर्विनिमय नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय कंवल द्वारा दिया गया है:^[10]

{\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,

जबकि:

{\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .

समाकलन विस्तार में आंशिक अंशों का उपयोग करके दूसरे रूप का मूल्यांकन किया जाता है और सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है। सोखत्स्की-प्लेमेलज सूत्र निम्नलिखित है :^[11]

\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .

अंकन $\int _{L}^{*}$ प्रमुख मान को इंगित करता है।^[10]

मूल प्रमेय

समाकलन के क्रम को परिवर्तित करने के आधार की चर्चा टी.डब्ल्यू द्वारा फूरियर विश्लेषण पुस्तक में पाई गई है।^[12] वह एक उदाहरण के साथ अपनी चर्चा का परिचय देता है जहां समाकलन के अंतर्विनिमय से दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II को समर्थित नहीं करते हैं। यहाँ उदाहरण है:

\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .

\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .

\int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .

अंतर्विनिमय की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले चौधरी और जुबैर द्वारा दिए गए दो आधारभूत सिद्धांत नीचे उद्धृत किए गए हैं:^[13]

Theorem I — माना f(x;y) a ≤ x < ∞, c ≤ के लिए परिभाषित स्थिर चिन्ह का एक सतत कार्य है y < ∞, और मान लीजिए कि समाकल हैं

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

और

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

क्रमशः संबंधित पैरामीटर के कार्यों के रूप में माना जाता है, जो c ≤ y < ∞, a ≤ x < ∞ के सापेक्ष सतत है। फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy

and

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx

अभिसरित होता है तों अन्य समाकल भी अभिसरित होते हैं और उनके मान संपाती होते हैं।

Theorem II — माना f(x, y) a ≤ x < ∞, c ≤ y < ∞ के लिए सतत हो , और मान लीजिए की अभिन्न

J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx

और

J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy

क्रमशः, प्रत्येक परिमित अंतराल c ≤ y <C और प्रत्येक परिमित अंतराल a ≤ x <'A पर समान रूप से अभिसरित होते हों. फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy

and

\int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx

अभिसरित होते है , पुनरावृत्त अभिन्न

\int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy

और

\int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx

भी अभिसरित होते हैं और उनके मान बराबर होते हैं.

अनुप्रयोगों के लिए सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय प्रॉटर और मोरे से उद्धृत किया गया है:^[14]

Theorem — मान लीजिए 'एफ' द्वारा दिया गया एक क्षेत्र $F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,$ ;है जहाँ p(x) ≤ q(x) for a ≤ x ≤ b' के सापेक्ष p औ qसतत है। मान लीजिए कि f(x,;y) 'F' पर सतत है'. तों

\iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.

यदि बंद क्षेत्र F का प्रतिनिधित्व है, तो संगत परिणाम धारण करता है

F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}

; जहाँ r(y);≤;s(y) for c ≤ y ≤ d.; इन स्तिथियों मे,

\iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .

दूसरे शब्दों में कहे तों दोनों पुनरावृत्त अभिन्न, जब संगणनीय होते हैं, तों दोहरे अभिन्न के समान होते हैं और इसलिए एक दूसरे के समान होते हैं।

यह भी देखें

फ़ुबिनी की प्रमेय

संदर्भ और नोट्स

↑ Seán Dineen (2001). बहुभिन्नरूपी कलन और ज्यामिति. Springer. p. 162. ISBN 1-85233-472-X.
↑ Richard Courant & Fritz John (2000). Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics. Springer. p. 897. ISBN 3-540-66569-2.
↑ "डबल इंटीग्रल". Department of Mathematics, Oregon State University. 1996.
↑ The prime " ′ " denotes a derivative in Lagrange's notation.
↑ Edmund Taylor Whittaker; George Neville Watson (1927). A Course of Modern Analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (4th ed., repr ed.). Cambridge University Press. p. §4.51, p. 75. ISBN 0-521-58807-3.
↑ F. D. Gakhov (1990). सीमा मूल्य समस्याएं. Courier Dover Publications. p. 46. ISBN 0-486-66275-6.
↑ Jian-Ke Lu (1993). विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सीमा मूल्य समस्याएं. Singapore: World Scientific. p. 44. ISBN 981-02-1020-5.
↑ Daniel Zwillinger (1992). एकीकरण की पुस्तिका. AK Peters Ltd. p. 61. ISBN 0-86720-293-9.
↑ Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems. Birkhäuser. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2.
↑ ^10.0 ^10.1 Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. p. 194. ISBN 0-8176-3940-3.
↑ For a discussion of the Sokhotski-Plemelj formula see, for example, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross (2006). The Cauchy Transform. American Mathematical Society. p. 56. ISBN 0-8218-3871-7. or Rainer Kress (1999). Linear integral equations (2nd ed.). Springer. p. Theorem 7.6, p. 101. ISBN 0-387-98700-2.
↑ {{cite book |title=फूरियर विश्लेषण|author=Thomas William Körner |page=Chapters 47 & 48 |url=https://books.google.com/books?id=DZTDtXs4OQAC&q=Fourier+analysis+subject:%22Fourier+analysis%22 |isbn=0-521-38991-7 |publisher=Cambridge University Press |year=1988 }
↑ M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). अनुप्रयोगों के साथ अपूर्ण गामा कार्यों की एक कक्षा पर. CRC Press. p. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7.
↑ Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. (1985). इंटरमीडिएट कैलकुलस. Springer. p. 307. ISBN 0-387-96058-9.

बाहरी संबंध

Paul's Online Math Notes: Calculus III
Good 3D images showing the computation of "Double Integrals" using iterated integrals, the Department of Mathematics at Oregon State University.
Ron Miech's UCLA Calculus Problems More complex examples of changing the order of integration (see Problems 33, 35, 37, 39, 41 & 43)
Duane Nykamp's University of Minnesota website

[Dineen-1] Seán Dineen (2001). बहुभिन्नरूपी कलन और ज्यामिति. Springer. p. 162. ISBN 1-85233-472-X.

[Courant-2] Richard Courant & Fritz John (2000). Introduction to Calculus and Analysis: Vol. II/1, II/2. Classics in mathematics. Springer. p. 897. ISBN 3-540-66569-2.

[OSU-3] "डबल इंटीग्रल". Department of Mathematics, Oregon State University. 1996.

[4] The prime " ′ " denotes a derivative in Lagrange's notation.

[Whittaker-5] Edmund Taylor Whittaker; George Neville Watson (1927). A Course of Modern Analysis: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions (4th ed., repr ed.). Cambridge University Press. p. §4.51, p. 75. ISBN 0-521-58807-3.

[Gakhov-6] F. D. Gakhov (1990). सीमा मूल्य समस्याएं. Courier Dover Publications. p. 46. ISBN 0-486-66275-6.

[Lu-7] Jian-Ke Lu (1993). विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सीमा मूल्य समस्याएं. Singapore: World Scientific. p. 44. ISBN 981-02-1020-5.

[Zwillinger-8] Daniel Zwillinger (1992). एकीकरण की पुस्तिका. AK Peters Ltd. p. 61. ISBN 0-86720-293-9.

[Obolashvili-9] Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems. Birkhäuser. p. 101. ISBN 0-8176-4286-2.

[Kanwal-10] 10.0 ^10.1 Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. p. 194. ISBN 0-8176-3940-3.

[Cima-11] For a discussion of the Sokhotski-Plemelj formula see, for example, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross (2006). The Cauchy Transform. American Mathematical Society. p. 56. ISBN 0-8218-3871-7. or Rainer Kress (1999). Linear integral equations (2nd ed.). Springer. p. Theorem 7.6, p. 101. ISBN 0-387-98700-2.

[Körner-12] {{cite book |title=फूरियर विश्लेषण|author=Thomas William Körner |page=Chapters 47 & 48 |url=https://books.google.com/books?id=DZTDtXs4OQAC&q=Fourier+analysis+subject:%22Fourier+analysis%22 |isbn=0-521-38991-7 |publisher=Cambridge University Press |year=1988 }

[Chaudry-13] M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair (2001). अनुप्रयोगों के साथ अपूर्ण गामा कार्यों की एक कक्षा पर. CRC Press. p. Appendix C. ISBN 1-58488-143-7.

[Protter-14] Murray H. Protter & Charles B. Morrey, Jr. (1985). इंटरमीडिएट कैलकुलस. Springer. p. 307. ISBN 0-387-96058-9.

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-{{Short description|Order in which multiple or iterated integrals are computed}}
+{{Short description|Order in which multiple or iterated integrals are computed}}[[ गणना |गणना]] में, '''समाकलन के क्रम''' का अंतर्विनिमय एक ऐसी पद्धति है जो फलनों के [[पुनरावृत्त अभिन्न]] या फ़ुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई अभिन्नों को दूसरे में परिवर्तित कर देती है। कुछ स्तिथियों में, समाकलन के क्रम को वैध रूप से परिवर्तित किया जा सकता है; तथा कुछ स्तिथियों मे इसे परिवर्तित नहीं किया जा सकता।
-{{Calculus |Integral}}
-[[ गणना |गणना]] में, एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान एक ऐसी पद्धति है जो फलनों के [[पुनरावृत्त अभिन्न]] या फ़ुबिनी के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से कई अभिन्नों को दूसरे में परिवर्तित कर देती है। कुछ स्तिथियों में, एकीकरण के क्रम को वैध रूप से परिवर्तित किया जा सकता है; तथा कुछ स्तिथियों मे इसे परिवर्तित नहीं किया जा सकता।
 == समस्या कथन ==
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 :<math> \iint_D \ f(x,y ) \ dx \,dy , </math> है।
-जहाँ D, xy-तल में कोई द्विविमीय क्षेत्र है। कुछ फलनों के लिए सीधा एकीकरण संभव है, परंतु जहां यह संभव नहीं है, एकीकरण के क्रम को परिवर्तित कर अभिन्न को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस अंतर्विनिमय के साथ कठिनाई क्षेत्र डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण कर रही है।
+जहाँ D, xy-तल में कोई द्विविमीय क्षेत्र है। कुछ फलनों के लिए सीधा समाकलन संभव है, परंतु जहां यह संभव नहीं है, समाकलन के क्रम को परिवर्तित कर अभिन्न को कभी-कभी सरल रूप में कम किया जा सकता है। इस अंतर्विनिमय के साथ कठिनाई क्षेत्र डी के विवरण में परिवर्तन का निर्धारण कर रही है।
 यह विधि अन्य एकाधिक समाकलों पर भी लागू होती है।<ref name=Dineen>{{cite book |title=बहुभिन्नरूपी कलन और ज्यामिति|author=[[Seán Dineen]] |page=162 |url=https://books.google.com/books?id=1YNX3YAf1vMC&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA165
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 |page=897 |isbn=3-540-66569-2 |year=2000 |publisher=Springer   }}</ref>
-कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या संभवतः एक [[संख्यात्मक एकीकरण]] की आवश्यकता हो, किसी द्वि-अभिन्न को एक एकीकरण में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल एकीकरण में कमी एक संख्यात्मक एकीकरण को अत्यधिक सरल और अधिक कुशल बनाती है।
+कभी-कभी, भले ही एक पूर्ण मूल्यांकन कठिन हो, या संभवतः एक [[संख्यात्मक एकीकरण|संख्यात्मक समाकलन]] की आवश्यकता हो, किसी द्वि-अभिन्न को एक समाकलन में कम किया जा सकता है, जैसा कि आगे दिखाया गया है। एकल समाकलन में कमी एक संख्यात्मक समाकलन को अत्यधिक सरल और अधिक कुशल बनाती है।
-== भागों द्वारा एकीकरण से संबंध ==
+== भागों द्वारा समाकलन से संबंध ==
-[[File:Integration Order.svg|thumb|300px|left |चित्र 1: पहले चरण के रूप में ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके त्रिकोणीय क्षेत्र पर एकीकरण किया जा सकता है। यह एक ऊपरी दृश्य है, जो xy-प्लेन पर z-अक्ष को नीचे की ओर प्रदर्शित कर रहा है। ढलान वाली रेखा वक्र y = x है।]]पुनरावृत्त अभिन्न पर विचार करें
+[[File:Integration Order.svg|thumb|300px|left |चित्र 1: पहले चरण के रूप में ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करके त्रिकोणीय क्षेत्र पर समाकलन किया जा सकता है। यह एक ऊपरी दृश्य है, जो xy-प्लेन पर z-अक्ष को नीचे की ओर प्रदर्शित कर रहा है। ढलान वाली रेखा वक्र y = x है।]]पुनरावृत्त अभिन्न पर विचार करें
 :<math> \int_a^z \, \int_a^x \, h(y) \, dy \, dx ,</math>
 जिसे हम सामान्यतः भौतिकी में देखे जाने वाले उपसर्ग संकेतन का उपयोग करके लिखेंगे:
 :<math> \int_a^z dx \, \int_a^x \, h(y) \, dy .</math>
-इस अभिव्यक्ति में, दूसरे अभिन्न की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है—चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है तथा x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y के संबंध में एकीकृत किया जाता है जो y दिशा में परिवर्तनशील है। y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की अनंत मात्रा को युग्मित किया जाता है। यह x-अक्ष के साथ y=a से y=x तक y-अक्ष के साथ और z दिशा z=h(y) में एक त्रि-आयामी भाग dx को चौड़ा बनाता है। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx अपरिमेय है, तो x, भाग पर केवल अपरिमेय रूप से भिन्न होता है तथा हम मान सकते हैं कि x स्थिर है।<ref name=OSU>{{cite web |publisher=Department of Mathematics, Oregon State University |title=डबल इंटीग्रल|date=1996 |url=https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/255doub/255doub.html }}</ref> यह एकीकरण चित्र 1 के बाएं भाग में दिखाया गया है, परंतु विशेष रूप से जब फलन एच (वाई) सरलता से एकीकृत नहीं होता है तों यह प्रक्रिया असुविधाजनक हों जाती है । अभिन्न को एकीकरण के क्रम को विपरीत करके एकल एकीकरण में घटाया जा सकता है जैसा कि चित्र के दायें भाग में दिखाया गया है। चरों के इस आदान-प्रदान को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले x = y से सीमा x = z तक एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम y = a से y = z तक एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप:
+इस अभिव्यक्ति में, दूसरे अभिन्न की गणना पहले y के संबंध में की जाती है और x को स्थिर रखा जाता है—चौड़ाई dx की एक पट्टी को पहले y-दिशा में एकीकृत किया जाता है तथा x दिशा में चौड़ाई dx की एक पट्टी को y के संबंध में एकीकृत किया जाता है जो y दिशा में परिवर्तनशील है। y-अक्ष के साथ चौड़ाई dy के आयतों की अनंत मात्रा को युग्मित किया जाता है। यह x-अक्ष के साथ y=a से y=x तक y-अक्ष के साथ और z दिशा z=h(y) में एक त्रि-आयामी भाग dx को चौड़ा बनाता है। ध्यान दें कि यदि मोटाई dx अपरिमेय है, तो x, भाग पर केवल अपरिमेय रूप से भिन्न होता है तथा हम मान सकते हैं कि x स्थिर है।<ref name=OSU>{{cite web |publisher=Department of Mathematics, Oregon State University |title=डबल इंटीग्रल|date=1996 |url=https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/255doub/255doub.html }}</ref> यह समाकलन चित्र 1 के बाएं भाग में दिखाया गया है, परंतु विशेष रूप से जब फलन एच (वाई) सरलता से एकीकृत नहीं होता है तों यह प्रक्रिया असुविधाजनक हों जाती है । अभिन्न को समाकलन के क्रम को विपरीत करके एकल समाकलन में घटाया जा सकता है जैसा कि चित्र के दायें भाग में दिखाया गया है। चरों के इस अंतर्विनिमय को पूरा करने के लिए, चौड़ाई dy की पट्टी को पहले x = y से सीमा x = z तक एकीकृत किया जाता है, और फिर परिणाम y = a से y = z तक एकीकृत किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप:
 :<math> \int_a^z dx\ \int_a^x h(y) \ dy = \int_a^z  h(y)\ dy \   \int_y^z dx = \int_a^z \left(z-y\right) h(y)\, dy  .</math>
-इस परिणाम को [[भागों द्वारा एकीकरण]] के सूत्र के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है:<ref>The ''[[Prime (symbol)|prime]]'' "''' ′ '''" denotes a derivative in [[Lagrange's notation]].</ref>
+इस परिणाम को [[भागों द्वारा एकीकरण|भागों द्वारा समाकलन]] के सूत्र के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे बताया गया है:<ref>The ''[[Prime (symbol)|prime]]'' "''' ′ '''" denotes a derivative in [[Lagrange's notation]].</ref>
 :<math>\int_a^z f(x) g'(x)\, dx = \left[ f(x) g(x) \right]_a^z - \int_a^z  f'(x) g(x)\, dx</math>
 विकल्प:
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 जो परिणाम देता है।
-== प्रिंसिपल-वैल्यू अभिन्न ==
+== मुख्य मान अभिन्न ==
-[[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू]] | प्रिंसिपल-वैल्यू अभिन्न्स के लिए आवेदन के लिए, व्हिटेकर और वाटसन देखें,<ref name=Whittaker>{{cite book |title=[[A Course of Modern Analysis]]: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions |author1=Edmund Taylor Whittaker|authorlink1=E. T. Whittaker|author2=George Neville Watson|authorlink2=G. N. Watson |page= §4.51, p. 75
+[[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू|कॉची मुख्य मान]] अभिन्न के अनुप्रयोगों के लिए, व्हिटेकर और वाटसन,<ref name=Whittaker>{{cite book |title=[[A Course of Modern Analysis]]: an introduction to the general theory of infinite processes and of analytic functions, with an account of the principal transcendental functions |author1=Edmund Taylor Whittaker|authorlink1=E. T. Whittaker|author2=George Neville Watson|authorlink2=G. N. Watson |page= §4.51, p. 75
 |isbn=0-521-58807-3 |year=1927 |publisher=Cambridge University Press |edition=4th ed., repr   }}</ref> गखोव,<ref name=Gakhov>{{cite book |title=सीमा मूल्य समस्याएं|page=46 |author=F. D. Gakhov |url=https://books.google.com/books?id=9G7sfwTDv8QC&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA46 |isbn=0-486-66275-6 |publisher=Courier Dover Publications |year=1990}}</ref> लू,<ref name=Lu>{{cite book |title=विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सीमा मूल्य समस्याएं|author=Jian-Ke Lu |page= 44 |url=https://books.google.com/books?id=RFafUfgB1dAC&dq=principal+value+%22order+of++integration%22&pg=PA43
-|isbn=981-02-1020-5 |year=1993 |publisher=World Scientific |location=Singapore  }}</ref> या जुड़वाँ।<ref name=Zwillinger>{{cite book |title=एकीकरण की पुस्तिका|author=Daniel Zwillinger |page=61 |url=https://books.google.com/books?id=DQd4wfV7fo0C&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA61  |isbn=0-86720-293-9 |year=1992 |publisher=AK Peters Ltd.}}</ref> ओबोलाश्विली में पोंकारे-बर्ट्रेंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें।<ref name= Obolashvili>{{cite book |title=Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems |publisher=Birkhäuser |year=2003  |isbn=0-8176-4286-2 |author=Elena Irodionovna Obolashvili |url=https://books.google.com/books?id=HmvmB6NCyEAC&dq=principal+value+%22order+of++integration%22&pg=PA101
+|isbn=981-02-1020-5 |year=1993 |publisher=World Scientific |location=Singapore  }}</ref> या ज्विलिंगर देखें।<ref name=Zwillinger>{{cite book |title=एकीकरण की पुस्तिका|author=Daniel Zwillinger |page=61 |url=https://books.google.com/books?id=DQd4wfV7fo0C&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA61  |isbn=0-86720-293-9 |year=1992 |publisher=AK Peters Ltd.}}</ref> ओबोलाश्विली में पोंकारे-बर्ट्रेंड परिवर्तन की चर्चा भी देखें।<ref name= Obolashvili>{{cite book |title=Higher order partial differential equations in Clifford analysis: effective solutions to problems |publisher=Birkhäuser |year=2003  |isbn=0-8176-4286-2 |author=Elena Irodionovna Obolashvili |url=https://books.google.com/books?id=HmvmB6NCyEAC&dq=principal+value+%22order+of++integration%22&pg=PA101
-|page=101  }}</ref> एक उदाहरण जहां एकीकरण के क्रम का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है कंवल द्वारा दिया गया है:<ref name=Kanwal>{{cite book |author= Ram P. Kanwal |title=Linear Integral Equations: theory and technique |page= 194 |url =https://books.google.com/books?id=-bV9Qn8NpCYC&dq=+%22Poincar%C3%A9-Bertrand+transformation%22&pg=PA194
+|page=101  }}</ref> एक उदाहरण जहां समाकलन के क्रम का अंतर्विनिमय नहीं किया जा सकता है। यह प्रमेय कंवल द्वारा दिया गया है:<ref name=Kanwal>{{cite book |author= Ram P. Kanwal |title=Linear Integral Equations: theory and technique |page= 194 |url =https://books.google.com/books?id=-bV9Qn8NpCYC&dq=+%22Poincar%C3%A9-Bertrand+transformation%22&pg=PA194
 |isbn=0-8176-3940-3 |year=1996 |publisher=Birkhäuser |location=Boston |edition=2nd}}</ref>
 :<math>\frac {1}{(2\pi i )^2} \int_L^* \frac{d{\tau}_1}{{\tau}_1 - t}\ \int_L^*\ g(\tau)\frac{d \tau}{\tau-\tau_1} = \frac{1}{4} g(t) \ , </math>
@@ Line 42: / Line 39: @@
 :<math>\frac {1}{(2\pi i )^2} \int_L^* g( \tau ) \ d \tau  \left(  \int_L^* \frac{d \tau_1 } {\left( \tau_1 - t\right) \left( \tau-\tau_1 \right)} \right) = 0 \ . </math>
-एकीकरण विस्तार में आंशिक अंशों का उपयोग करके दूसरे रूप का मूल्यांकन किया जाता है और सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है। सोखत्स्की-प्लेमेलज फॉर्मूला:<ref name=Cima>For a discussion of the Sokhotski-Plemelj formula see, for example, {{cite book |title=The Cauchy Transform |author=Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross |page= 56 |url=https://books.google.com/books?id=1sVLg512ffIC&dq=%22Plemelj+formula%22&pg=PA56
+समाकलन विस्तार में आंशिक अंशों का उपयोग करके दूसरे रूप का मूल्यांकन किया जाता है और सोखत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जाता है। सोखत्स्की-प्लेमेलज सूत्र निम्नलिखित है :<ref name=Cima>For a discussion of the Sokhotski-Plemelj formula see, for example, {{cite book |title=The Cauchy Transform |author=Joseph A. Cima, Alec L. Matheson & William T. Ross |page= 56 |url=https://books.google.com/books?id=1sVLg512ffIC&dq=%22Plemelj+formula%22&pg=PA56
 |isbn=0-8218-3871-7 |year=2006 |publisher=American Mathematical Society  }} or {{cite book |title=Linear integral equations |author=Rainer Kress |page= Theorem 7.6, p. 101 |url=https://books.google.com/books?id=R3BIOfKssQ4C&dq=%22Plemelj+formula%22&pg=PA115
 |isbn=0-387-98700-2 |year=1999 |publisher=Springer |edition=2nd  }}</ref>
 :<math>\int_L^*\frac{d \tau_1}{\tau_1-t} = \int_L^* \frac {d\tau_1}{\tau_1-t} = \pi\ i \ . </math>
-अंकन <math>\int_L^*</math> प्रमुख प्रमुख मूल्य को इंगित करता है। सी कंवल।<ref name=Kanwal/>
+अंकन <math>\int_L^*</math> प्रमुख मान को इंगित करता है।<ref name=Kanwal/>
 == मूल प्रमेय ==
-एकीकरण के क्रम को उलटने के आधार की चर्चा टी.डब्ल्यू द्वारा फूरियर विश्लेषण पुस्तक में पाई गई है। कोर्नर।<ref name="Körner">{{cite book |title=फूरियर विश्लेषण|author=Thomas William Körner |page=Chapters 47 & 48 |url=https://books.google.com/books?id=DZTDtXs4OQAC&q=Fourier+analysis+subject:%22Fourier+analysis%22
+समाकलन के क्रम को परिवर्तित करने के आधार की चर्चा टी.डब्ल्यू द्वारा फूरियर विश्लेषण पुस्तक में पाई गई है।<ref name="Körner">{{cite book |title=फूरियर विश्लेषण|author=Thomas William Körner |page=Chapters 47 & 48 |url=https://books.google.com/books?id=DZTDtXs4OQAC&q=Fourier+analysis+subject:%22Fourier+analysis%22
-|isbn=0-521-38991-7 |publisher=Cambridge University Press |year=1988  }</ref> वह एक उदाहरण के साथ अपनी चर्चा का परिचय देता है जहां एकीकरण के आदान-प्रदान से दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं। यहाँ उदाहरण है:
+|isbn=0-521-38991-7 |publisher=Cambridge University Press |year=1988  }</ref> वह एक उदाहरण के साथ अपनी चर्चा का परिचय देता है जहां समाकलन के अंतर्विनिमय से दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं क्योंकि नीचे दिए गए प्रमेय II को समर्थित नहीं करते हैं। यहाँ उदाहरण है:
 :<math>\int_1^{\infty} \frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dy = \left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]_1^{\infty} = -\frac{1}{1+x^2} \ \left[x \ge 1 \right]\ .</math>
 :::<math>\int_1^{\infty} \left( \int_1^{\infty}\frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dy \right)\ dx = -\frac{\pi}{4} \ .</math>
 :::<math>\int_1^{\infty} \left( \int_1^{\infty}\frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dx \right)\ dy = \frac{\pi}{4} \ .</math>
-इंटरचेंज की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले दो बुनियादी सिद्धांत चौधरी और जुबैर से नीचे उद्धृत किए गए हैं:<ref name=Chaudry>{{cite book |title=अनुप्रयोगों के साथ अपूर्ण गामा कार्यों की एक कक्षा पर|author=M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair |page=Appendix C |url=https://books.google.com/books?id=Edf4KrG_vlYC&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA458 |isbn=1-58488-143-7 |publisher=CRC Press |year=2001}}</ref>
+अंतर्विनिमय की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने वाले चौधरी और जुबैर द्वारा दिए गए दो आधारभूत सिद्धांत नीचे उद्धृत किए गए हैं:<ref name=Chaudry>{{cite book |title=अनुप्रयोगों के साथ अपूर्ण गामा कार्यों की एक कक्षा पर|author=M. Aslam Chaudhry & Syed M. Zubair |page=Appendix C |url=https://books.google.com/books?id=Edf4KrG_vlYC&dq=%22order+of+integration%22&pg=PA458 |isbn=1-58488-143-7 |publisher=CRC Press |year=2001}}</ref>
 {{math_theorem
 |name=Theorem I
-|math_statement= Let ''f''(''x'',&nbsp;''y'') be a continuous function of constant sign defined for ''a'' ≤ ''x'' < ∞, ''c'' ≤ ''y'' < ∞, and let the integrals
+|math_statement= माना ''f''(''x'';''y'') ''a'' ≤ ''x'' < ∞, ''c'' ≤ के लिए परिभाषित स्थिर चिन्ह का एक सतत कार्य है ''y'' < ∞, और मान लीजिए कि समाकल हैं
-{{Center|<math>J(y):= \int_a^\infty f(x,\ y) \, dx</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>J^*(x) = \int_c^\infty  f(x, \ y) \, dy</math>}} regarded as functions of the corresponding parameter be, respectively, continuous for ''c'' ≤ ''y'' < ∞, ''a'' ≤ ''x'' < ∞. Then if at least one of the iterated integrals
+{{Center|<math>J(y):= \int_a^\infty f(x,\ y) \, dx</math>{{space|10}} और {{space|10}}<math>J^*(x) = \int_c^\infty  f(x, \ y) \, dy</math>}} क्रमशः संबंधित पैरामीटर के कार्यों के रूप में माना जाता है, जो  ''c'' ≤ ''y'' < ∞, ''a'' ≤ ''x'' < ∞ के सापेक्ष सतत है। फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक
-{{Center|<math>\int_c^\infty \left(\int_a^\infty \ f(x,\ y) dx\right ) dy</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>\int_a^\infty \ \left(\int_c^\infty \ f(x,\ y) dy\right ) dx</math>}} converges, the other integral also converges and their values coincide.
+{{Center|<math>\int_c^\infty \left(\int_a^\infty \ f(x,\ y) dx\right ) dy</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>\int_a^\infty \ \left(\int_c^\infty \ f(x,\ y) dy\right ) dx</math>}} अभिसरित होता है तों अन्य समाकल भी अभिसरित होते हैं और उनके मान संपाती होते हैं।
 }}
 {{math_theorem
 |name=Theorem II
-|math_statement= Let ''f''(''x'',&nbsp;''y'') be continuous for ''a'' ≤ ''x'' < ∞, ''c'' ≤ ''y'' < ∞, and let the integrals
+|math_statement= माना  ''f''(''x'',&nbsp;''y'') ''a'' ≤ ''x'' < ∞, ''c'' ≤ ''y'' < ∞ के लिए सतत हो , और मान लीजिए की अभिन्न
-{{Center|<math>J(y):= \int_a^\infty f(x,\ y)\, dx</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>J^*(x) = \int_c^\infty  f(x, \ y) \, dy</math>}} be respectively, uniformly convergent on every finite interval ''c'' ≤ ''y'' < ''C'' and on every finite interval ''a'' ≤ ''x'' < ''A''. Then if at least one of the iterated integrals
+{{Center|<math>J(y):= \int_a^\infty f(x,\ y)\, dx</math>{{space|10}} और {{space|10}}<math>J^*(x) = \int_c^\infty  f(x, \ y) \, dy</math>}} क्रमशः, प्रत्येक परिमित अंतराल ''c'' ≤ ''y'' <''C'' और प्रत्येक परिमित अंतराल  ''a'' ≤ ''x'' <'A'' पर समान रूप से अभिसरित होते हों. फिर यदि पुनरावृत्त अभिन्न में से कम से कम एक
-{{Center|<math>\int_c^\infty \left( \int_a^\infty |f(x,\ y)| dx \right) dy</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>\int_a^\infty \ \left(\int_c^\infty |f(x,\ y)| dy \right ) dx</math>}} converges, the iterated integrals
+{{Center|<math>\int_c^\infty \left( \int_a^\infty |f(x,\ y)| dx \right) dy</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>\int_a^\infty \ \left(\int_c^\infty |f(x,\ y)| dy \right ) dx</math>}} अभिसरित होते है , पुनरावृत्त अभिन्न
-{{Center|<math>\int_c^\infty \left( \int_a^{\infty} f(x,\ y) dx \right) dy</math>{{space|10}} and {{space|10}}<math>\int_a^\infty \left(\int_c^\infty f(x,\ y) dy\right) dx</math>}} also converge and their values are equal.
+{{Center|<math>\int_c^\infty \left( \int_a^{\infty} f(x,\ y) dx \right) dy</math>{{space|10}} और {{space|10}}<math>\int_a^\infty \left(\int_c^\infty f(x,\ y) dy\right) dx</math>}} भी अभिसरित होते हैं और उनके मान बराबर होते हैं.
 }}
@@ Line 75: / Line 72: @@
 {{math_theorem
 |name=
-|math_statement=Suppose ''F'' is a region given by <math>F=\left\{(x,\ y):a \le x \le b, p(x) \le y \le q(x) \right\} \,</math>&emsp; where ''p'' and ''q'' are continuous and ''p''(''x'') ≤ ''q''(''x'') for ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. Suppose that ''f''(''x'',&nbsp;''y'') is continuous on ''F''. Then
+|math_statement=मान लीजिए 'एफ' द्वारा दिया गया एक क्षेत्र  <math>F=\left\{(x,\ y):a \le x \le b, p(x) \le y \le q(x) \right\} \,</math>;है जहाँ ''p''(''x'') ≤ ''q''(''x'') for ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b' के सापेक्ष ''p'' औ ''q''सतत है। मान लीजिए कि ''f''(''x'',;''y'') 'F' पर सतत है'. तों
-{{Center|<math> \iint_F f(x,y) \,dA = \int_a^b \int_{p(x)}^{q(x)} f(x,\ y)\,dy\ dx .</math>}} The corresponding result holds if the closed region ''F'' has the representation <math>F=\left\{(x,\ y):c\le y \le d,\ r(y) \le x \le s(y)\right\}</math>&emsp; where ''r''(''y'')&nbsp;≤&nbsp;''s''(''y'') for ''c'' ≤ ''y'' ≤ ''d''.&emsp;  In such a case,
+{{Center|<math> \iint_F f(x,y) \,dA = \int_a^b \int_{p(x)}^{q(x)} f(x,\ y)\,dy\ dx .</math>}} यदि बंद क्षेत्र ''F'' का प्रतिनिधित्व है, तो संगत परिणाम धारण करता है <math>F=\left\{(x,\ y):c\le y \le d,\ r(y) \le x \le s(y)\right\}</math>; जहाँ ''r''(''y'');≤;''s''(''y'') for ''c'' ≤ ''y'' ≤ ''d''.;  इन स्तिथियों मे,
 : <math> \iint_F f(x,\ y) dA = \int_c^d  \int_{r(y)}^{s(y)} f(x,\ y)\, dx\ dy \ . </math>
-In other words, both iterated integrals, when computable, are equal to the double integral and therefore equal to each other.
+दूसरे शब्दों में कहे तों दोनों पुनरावृत्त अभिन्न, जब संगणनीय होते हैं, तों दोहरे अभिन्न के समान होते हैं और इसलिए एक दूसरे के समान होते हैं।
 }}
@@ Line 96: / Line 94: @@
 *[http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/doubleintchange/ Duane Nykamp's University of Minnesota website]
-{{Integrals}}
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