विद्युत विस्थापन क्षेत्र

भौतिकी में, विद्युत विस्थापन क्षेत्र (D द्वारा निरूपित) या विद्युत प्रेरण सदिश क्षेत्र है जो मैक्सवेल के समीकरणों में प्रकट होता है। यह पदार्थ के अंदर मुक्त और बाध्य आवेश के प्रभावों का लेखा-जोखा रखता है। D" का अर्थ विस्थापन है, जैसा कि डाइलेक्ट्रिक्स में विस्थापन धारा की संबंधित अवधारणा में है। मुक्त स्थान में, विद्युत विस्थापन क्षेत्र फ्लक्स घनत्व के समतुल्य है, एक अवधारणा जो गॉस के नियम को समझती है। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (एसआई) में, इसे कूलम्ब प्रति मीटर वर्ग (C⋅m^-2) की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।

परिभाषा

अचालक पदार्थ में, विद्युत क्षेत्र E की उपस्थिति पदार्थ (परमाणु परमाणु नाभिक और उनके इलेक्ट्रॉनों) में बाध्य आवेशों को थोड़ा अलग करने का कारण बनती है, जिससे स्थानीय विद्युत द्विध्रुवीय क्षण उत्पन्न होता है। विद्युत विस्थापन क्षेत्र D को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {D} \equiv \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,$$

जहाँ $\varepsilon _{0}$ निर्वात परावैद्युतांक (जिसे मुक्त स्थान की परावैद्युतांक भी कहा जाता है) है, और P पदार्थ में स्थायी और प्रेरित विद्युत द्विध्रुवीय क्षणों का (मैक्रोस्कोपिक) घनत्व है, जिसे ध्रुवीकरण घनत्व कहा जाता है।

विस्थापन क्षेत्र गॉस के नियम को अचालक में संतुष्ट करता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho -\rho _{\text{b}}=\rho _{\text{f}}$$

इस समीकरण में, $\rho _{\text{f}}$ प्रति यूनिट आयतन मुक्त प्रभारों की संख्या है। ये शुल्क वे हैं जिन्होंने आयतन को गैर-तटस्थ बना दिया है, और उन्हें कभी-कभी अंतरिक्ष प्रभार के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह समीकरण वास्तव में कहता है कि डी की प्रवाह रेखाएं मुक्त शुल्कों पर प्रारंभ और समाप्त होनी चाहिए। इसके विपरीत $\rho _{\text{b}}$ उन सभी आवेशों का घनत्व है जो एक द्विध्रुव का भाग हैं, जिनमें से प्रत्येक तटस्थ है। धातु संधारित्र प्लेटों के बीच एक इन्सुलेटिंग परावैद्युत के उदाहरण में, केवल मुक्त आवेश धातु की प्लेटों पर होते हैं और परावैद्युत में केवल द्विध्रुव होते हैं। यदि ढांकता हुआ को डोप्ड अर्धचालक या आयनित गैस आदि द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन आयनों के सापेक्ष गति करते हैं, और यदि प्रणाली परिमित है तो वे दोनों किनारों पर $\rho _{\text{f}}$ में योगदान करते हैं

Proof

कुल आयतन आवेश घनत्व को मुक्त और सीमित आवेश में अलग करें:

$$\rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}$$

घनत्व को ध्रुवीकरण P के कार्य के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$$\rho =\rho _{\text{f}}-\nabla \cdot \mathbf {P} .$$

ध्रुवीकरण P को एक सदिश क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका विचलन सामग्री में बंधे आवेशों ρ_b के घनत्व को उत्पन्न करता है। विद्युत क्षेत्र समीकरण को संतुष्ट करता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}(\rho _{\text{f}}-\nabla \cdot \mathbf {P} )$$

और इसलिए

$$\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} )=\rho _{\text{f}}$$

पदार्थ में आयनों या इलेक्ट्रॉनों पर स्थिर वैद्युत विक्षेप बलों को लोरेंत्ज़ बल के माध्यम से पदार्थ में विद्युत क्षेत्र ई द्वारा नियंत्रित किया जाता है। इसके अतिरिक्त, D विशेष रूप से मुफ्त शुल्क द्वारा निर्धारित नहीं किया जाता है। जैसा कि ई में स्थिर वैद्युत विक्षेप स्थितियों में शून्य का कर्ल होता है, यह उसी का अनुसरण करता है

$$\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P}$$

इस समीकरण के प्रभाव को वस्तु के स्थिति में देखा जा सकता है जो बार इलेक्ट्रेट, बार चुंबक के विद्युत एनालॉग जैसे ध्रुवीकरण में जमी हुई है। ऐसी पदार्थ में कोई मुक्त प्रभार नहीं है, किन्तु अंतर्निहित ध्रुवीकरण विद्युत क्षेत्र को उत्पन्न करता है, यह प्रदर्शित करता है कि डी क्षेत्र पूरी तरह से मुक्त प्रभार से निर्धारित नहीं होता है। विद्युत क्षेत्र का निर्धारण ध्रुवीकरण घनत्व पर अन्य सीमा स्थितियों के साथ उपरोक्त संबंध का उपयोग करके बाध्य आवेशों को उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, जो बदले में, विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।

रैखिक, सजातीय स्थान में, विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन के लिए तात्कालिक प्रतिक्रिया के साथ समदैशिक अचालक, P विद्युत क्षेत्र पर रैखिक रूप से निर्भर करता है,

$$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} ,$$

जहां आनुपातिकता का स्थिरांक $\chi$ पदार्थ की विद्युत संवेदनशीलता कहा जाता है। इस प्रकार

$$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E}$$

जहां ε = ε₀ ε_r परावैद्युतांक है, और ε_r = 1 + χ पदार्थ की सापेक्ष परावैद्युतांक हैं।

रैखिक, सजातीय, आइसोट्रोपिक मीडिया में, ε स्थिरांक है। हालांकि, रैखिक एनिस्ट्रोपिक मीडिया में यह टेन्सर है, और गैर-समरूप मीडिया में यह माध्यम के अंदर स्थिति का कार्य है। यह विद्युत क्षेत्र (गैर-रैखिक पदार्थ) पर भी निर्भर हो सकता है और समय पर निर्भर प्रतिक्रिया हो सकती है। स्पष्ट समय निर्भरता तब उत्पन्न हो सकती है जब पदार्थ भौतिक रूप से गतिमान हो या समय में बदल रही हो (उदाहरण के लिए गतिशील इंटरफ़ेस से प्रतिबिंब डॉपलर शिफ्ट को उत्पन्न करताहैं)। समय-अपरिवर्तनीय माध्यम में समय पर निर्भरता का अलग रूप उत्पन्न हो सकता है, क्योंकि विद्युत क्षेत्र के आरोपण और पदार्थ के परिणामी ध्रुवीकरण के बीच समय की देरी हो सकती है। इस स्थिति में, 'P' आवेग प्रतिक्रिया संवेदनशीलता χ और विद्युत क्षेत्र 'e' का संयोजन है। ऐसा संवलन आवृत्ति डोमेन में सरल रूप लेता है: फूरियर द्वारा संबंध को बदलने और संवलन प्रमेय को प्रायुक्त करने से, रैखिक समय-अपरिवर्तनीय माध्यम के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होता है:

$$\mathbf {D(\omega )} =\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega ),$$

जहाँ $\omega$ प्रायुक्त क्षेत्र की आवृत्ति है। कार्य-कारण की बाधा क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों की ओर ले जाती है, जो आवृत्ति निर्भरता के रूप पर सीमाएं लगाती हैं। आवृत्ति-निर्भर परावैद्युतांक की घटना प्रसार संबंध का उदाहरण है। वास्तविक में, सभी भौतिक पदार्थों में कुछ भौतिक प्रसार होता है क्योंकि वे प्रायुक्त क्षेत्रों में तत्काल प्रतिक्रिया नहीं दे सकते हैं, किन्तु कई समस्याओं के लिए (जो एक संकीर्ण पर्याप्त बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) से संबंधित हैं) ε की आवृत्ति-निर्भरता को उपेक्षित किया जा सकता है।

सीमा पर, $(\mathbf {D_{1}} -\mathbf {D_{2}} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }=\sigma _{\text{f}}$, जहां σ_f मुक्त आवेश घनत्व और इकाई सामान्य है $\mathbf {\hat {n}}$ मध्यम 2 से मध्यम 1 की दिशा में निरुपित करता है।

इतिहास

गॉस का नियम 1835 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा तैयार किया गया था, किन्तु इसे 1867 तक प्रकाशित नहीं किया गया था। जिसका अर्थ है कि D का सूत्रीकरण और उपयोग 1835 से पहले नहीं था, और संभवतः 1860 के दशक से पहले नहीं था।

शब्द का सबसे पहला ज्ञात उपयोग वर्ष 1864 से जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के पेपर ए डायनेमिकल थ्योरी ऑफ द इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड में है। मैक्सवेल ने माइकल फैराडे के सिद्धांत को प्रदर्शित करने के लिए कलन का उपयोग किया, कि प्रकाश विद्युत चुम्बकीय घटना है। मैक्सवेल ने शब्द डी, इलेक्ट्रिक इंडक्शन की विशिष्ट क्षमता, को आधुनिक और परिचित नोटेशन से अलग रूप में प्रस्तुत किया था।

यह ओलिवर हीविसाइड था जिसने जटिल मैक्सवेल के समीकरणों को आधुनिक रूप में सुधारा था। 1884 तक यह नहीं था कि हीविसाइड, समवर्ती रूप से विलार्ड गिब्स और हेनरिक हर्ट्ज़ के साथ समीकरणों को एक अलग सेट में समूहीकृत किया था। चार समीकरणों के इस समूह को हर्ट्ज़-हेविसाइड समीकरणों और मैक्सवेल-हर्ट्ज़ समीकरणों के रूप में जाना जाता था, और कभी-कभी मैक्सवेल-हेविसाइड समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है; इसलिए, यह संभवतः हीविसाइड था जिसने D को वर्तमान महत्व दिया था जो अब है।

उदाहरण: संधारित्र में विस्थापन क्षेत्र

समानांतर प्लेट संधारित्र। काल्पनिक बॉक्स का उपयोग करके, विद्युत विस्थापन और मुक्त आवेश के बीच संबंध को समझाने के लिए गॉस के नियम का उपयोग करना संभव है।

अनंत समानांतर प्लेट संधारित्र पर विचार करें जहां प्लेटों के बीच का स्थान खाली है या तटस्थ, रोधक माध्यम है। इस स्थिति में धातु संधारित्र प्लेटों को छोड़कर कोई मुक्त शुल्क उपस्थित नहीं है। चूँकि फ्लक्स रेखाएँ D मुक्त आवेशों पर समाप्त होती हैं, और दोनों प्लेटों पर विपरीत चिन्ह के समान रूप से वितरित आवेशों की समान संख्या होती है, तो फ्लक्स रेखाओं को केवल संधारित्र को एक तरफ से दूसरी तरफ |D| = 0 संधारित्र के बाहर ले जाना चाहिए, और एसआई इकाइयों में, प्लेटों पर आवेश घनत्व प्लेटों के बीच D क्षेत्र के मान के बराबर होता है। यह संधारित्र की प्लेट को फैलाकर छोटे से आयताकार बॉक्स पर एकीकृत करके, गॉस के नियम से और सीधे अनुसरण करता है:

$\scriptstyle _{A}$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{\text{free}}$

बॉक्स के किनारों पर, dA क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए इस खंड पर अभिन्न शून्य है, जैसा कि चेहरे पर अभिन्न है जो संधारित्र के बाहर है जहां D शून्य है। इंटीग्रल में योगदान देने वाली एकमात्र सतह इसलिए संधारित्र के अंदर बॉक्स की सतह है, और इसलिए

$$|\mathbf {D} |A=|Q_{\text{free}}|,$$

जहां ए बॉक्स के शीर्ष चेहरे का सतह क्षेत्र है और $Q_{\text{free}}/A=\rho _{\text{f}}$ धनात्मक प्लेट पर मुक्त पृष्ठीय आवेश घनत्व है। यदि संधारित्र प्लेटों के बीच का स्थान परावैद्युतांक $\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$ के साथ रैखिक सजातीय आइसोट्रोपिक अचालक से भरी हुई है, तो माध्यम में ध्रुवीकरण प्रेरित होता है, $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon \mathbf {E}$ और इसलिए प्लेटों के बीच वोल्टेज का अंतर है

$$V=|\mathbf {E} |d={\frac {|\mathbf {D} |d}{\varepsilon }}={\frac {|Q_{\text{free}}|d}{\varepsilon A}}$$

जहाँ d उनका पृथक्करण है।

अचालक परिचय एक कारक $\varepsilon _{r}$ द्वारा ε बढ़ता है और या तो प्लेटों के बीच वोल्टेज का अंतर इस कारक से छोटा होगा, या चार्ज अधिक होना चाहिए। अचालक क्षेत्रों के आंशिक निरस्कतीरण से संधारित्र की दो प्लेटों पर प्रति यूनिट संभावित गिरावट की तुलना में बड़ी मात्रा में मुफ्त चार्ज की अनुमति मिलती है, यदि प्लेटों को निर्वात से अलग किया जाता हैं।

यदि परिमित समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच की दूरी उसके पार्श्व आयामों की तुलना में बहुत कम है, तो हम इसे अनंत स्थिति का उपयोग करके अनुमानित कर सकते हैं और इसकी संधारित प्राप्त कर सकते हैं

$$C={\frac {Q_{\text{free}}}{V}}\approx {\frac {Q_{\text{free}}}{|\mathbf {E} |d}}={\frac {A}{d}}\varepsilon ,$$

यह भी देखें

• मैक्सवेल के समीकरणों का इतिहास § मैक्सवेल के समीकरण शब्द
• ध्रुवीकरण घनत्व
• विद्युत संवेदनशीलता
• चुम्बकीय क्षेत्र
• विद्युत द्विध्रुवीय क्षण