लोरेंत्ज़ बल

लोरेंत्ज़ बल बुद्बुद् कक्ष में तीव्रता से चलने वाले आवेशित प्राथमिक कण पर कार्य करता है। धनात्मक और ऋणात्मक आवेश प्रक्षेपवक्र विपरीत दिशाओं में वक्र होते हैं।

भौतिकी में (विशेष रूप से विद्युत चुंबकत्व में) लोरेंत्ज़ बल (या विद्युत चुम्बकीय बल) विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के कारण बिंदु आवेश पर विद्युत और चुंबकीय बल का संयोजन है। विद्युत क्षेत्र E में और चुंबकीय क्षेत्र B में वेग v के साथ गतिमान q आवेश का एक कण

$$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}$$

के बल (SI इकाइयों में) का अनुभव करता है। इसमें कहा गया है कि आवेश q पर विद्युत चुम्बकीय बल (1) विद्युत क्षेत्र E की दिशा में एक बल (क्षेत्र के परिमाण और आवेश की मात्रा के आनुपातिक) का एक संयोजन है और (2) चुंबकीय क्षेत्र B और आवेश के वेग v दोनों के समकोण पर एक बल (क्षेत्र के परिमाण, आवेश और वेग के आनुपातिक)।

अतः इस मूल सूत्र पर भिन्नताएं एक विद्युत प्रवाहित तार कभी-कभी लाप्लास बल भी कहा जाता है) पर चुंबकीय बल, एक चुंबकीय क्षेत्र (फैराडे के प्रेरण के नियम का एक गुण) के माध्यम से घूमने वाले तार लूप में विद्युत वाहक बल और एक गतिशील आवेशित कण पर बल का वर्णन करती हैं।

इतिहासकारों का सुझाव है कि नियम 1865 में प्रकाशित जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के लेख में निहित है। ओलिवर हेविसाइड द्वारा चुंबकीय बल के योगदान की स्पष्ट रूप से पहचान करने के कुछ वर्षों बाद हेंड्रिक लोरेंत्ज़ 1895 में विद्युत बल के योगदान की पहचान करते हुए पूर्ण व्युत्पत्ति पर पहुंचे।

लोरेंत्ज़ बल नियम E और B की परिभाषा के रूप में

चुंबकीय क्षेत्र B के प्रभाव में धनात्मक या ऋणात्मक आवेश q वाले कण का प्रक्षेपवक्र, जो स्क्रीन से लंबवत निर्देशित होता है।

चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति के कारण इलेक्ट्रॉनों की किरणें एक वृत्त में घूम रही हैं। इस टेल्ट्रॉन नलिका में इलेक्ट्रॉन के पथ को प्रकट करने वाली बैंगनी प्रकाश इलेक्ट्रॉनों के गैस अणुओं से टकराने से बनती है।

आवेशित कण लोरेंत्ज़ बल का अनुभव कर रहा है।

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व के कई पाठ्यपुस्तक उपचारों में, लोरेंत्ज़ बल नियम का उपयोग विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र E तथा B की परिभाषा के रूप में किया जाता है। इस प्रकार से विशिष्ट होने के लिए, लोरेंत्ज़ बल को निम्नलिखित अनुभवजन्य कथन समझा जाता है:

विद्युत चुम्बकीय बल F किसी दिए गए बिंदु और समय पर परीक्षण आवेश पर इसके आवेश का निश्चित फलन होता है q और वेग v, जिसे ठीक दो वैक्टर द्वारा परिचालित किया जा सकता है E तथा B, कार्यात्मक रूप में:

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

यह प्रकाश की गति (अर्थात् v, |v| ≈ c) के निकट आने वाले कणों के लिए भी मान्य है। तो दो सदिश क्षेत्र E तथा B इस प्रकार पूर्ण समष्टि और समय में परिभाषित होते हैं, और इन्हें विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र कहा जाता है। क्षेत्र को समष्टि और समय में प्रत्येक स्थान परिभाषित किया जाता है, इस बात के संबंध में कि परीक्षण आवेश को कितना बल प्राप्त होगा, यद्यपि बल का अनुभव करने के लिए कोई आवेश स्थित हो या नहीं।

E तथा B की परिभाषा के रूप में, लोरेंत्ज़ बल सिद्धांत रूप में मात्र सैद्धांतिक रूप से एक परिभाषा है क्योंकि एक वास्तविक कण (अतिसूक्ष्म-छोटे द्रव्यमान और आवेश के काल्पनिक "परीक्षण आवेश" के विपरीत) अपने स्वयं के परिमित E तथा B उत्पन्न करेगा, जो यह अनुभव होने वाले विद्युत चुम्बकीय बल को परिवर्तित कर देगा। अतः इसके अतिरिक्त, यदि आवेश त्वरण का अनुभव करता है, जैसे कि घुमावदार प्रक्षेपवक्र में विवश किया जाता है, तो यह विकिरण का उत्सर्जन करता है जिससे यह गतिज ऊर्जा खो देता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए ब्रेम्सस्ट्रालंग और सिंक्रोट्रॉन प्रकाश देखें। ये प्रभाव प्रत्यक्ष प्रभाव (अब्राहम-लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है) और अप्रत्यक्ष रूप से (निकट के आवेशों और धाराओं की गति को प्रभावित करके) दोनों के माध्यम से होते हैं।

समीकरण

आवेशित कण

गति (तात्कालिक वेग v) में एक आवेशित कण (आवेश q का) पर लोरेंत्ज़ बल F। E क्षेत्र और B क्षेत्र समष्टि और समय में भिन्न होते हैं।

इस प्रकार से बाह्य विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B के कारण तात्कालिक वेग v के साथ विद्युत आवेश q के एक कण पर कार्य करने वाला बल F, (SI इकाइयों में) द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

जहां × सदिश अन्योन्य गुणन है (सभी स्थूलाक्षर मात्राएं सदिश हैं)। कार्तीय घटकों के संदर्भ में, हमारे निकट है:

$$F_{x}=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),$$

$$F_{y}=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),$$

$$F_{z}=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).$$

सामान्यतः, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्थिति और समय के फलन होते हैं। इसलिए, स्पष्ट रूप से, लोरेंत्ज़ बल को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]$$

जिसमें r आवेशित कण की स्थिति सदिश है, t समय है, और ओवरबिन्दु समय व्युत्पन्न है।

अतः एक धनात्मक आवेशित कण को ​​E क्षेत्र के समान रैखिक अभिविन्यास में त्वरित किया जाएगा, परंतु दाहिने हाथ के नियम के अनुसार तात्कालिक वेग सदिश v और B क्षेत्र दोनों के लंबवत वक्र होगा। (विस्तृत रूप से, यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को v की दिशा में इंगित करने के लिए बढ़ाया जाता है और फिर B की दिशा में इंगित करने के लिए मोड़ा जाता है, तो विस्तारित अंगूठा F की दिशा में इंगित करेगा)।

पद qE को विद्युत बल कहा जाता है, जबकि पद q(v × B) को चुंबकीय बल कहा जाता है। अतः कुछ परिभाषाओं के अनुसार, पद "लोरेंत्ज़ बल" विशेष रूप से चुंबकीय बल के सूत्र को संदर्भित करता है, जिसमें कुल विद्युत चुम्बकीय बल (विद्युत बल सहित) को कुछ अन्य (गैरमानक) नाम दिया गया है। यह लेख इस नामकरण का पालन नहीं करेगा: निम्नलिखित में, लोरेंत्ज़ बल पद कुल बल के लिए अभिव्यक्ति का उल्लेख करेगा।

लोरेंत्ज़ बल का चुंबकीय बल घटक स्वयं को उस बल के रूप में प्रकट करता है जो चुंबकीय क्षेत्र में विद्युत धारावाही तार पर कार्य करता है। उस सन्दर्भ में इसे धारावाही तार पर बल भी कहते हैं।

लोरेंत्ज़ बल विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र द्वारा आवेशित कण पर लगाया गया बल है, अर्थात यह वह दर है जिस पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से कण में रैखिक गति स्थानांतरित होती है। अतः इसके साथ संबद्ध वह सामर्थ्य है जो वह दर है जिस पर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से कण में ऊर्जा स्थानांतरित होती है। इस प्रकार से सामर्थ्य

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}$$

है।

अतः ध्यान दें कि चुंबकीय क्षेत्र सामर्थ्य में योगदान नहीं करता है क्योंकि चुंबकीय बल सदैव कण के वेग के लंबवत होता है।

सतत प्रभार वितरण

गति में निरंतर आवेश वितरण (आवेश घनत्व ρ) पर लोरेंत्ज़ बल (प्रति इकाई 3-आयतन) f। 3-धारा घनत्व J, आयतन तत्व dV में आवेश तत्व dq की गति से मेल खाता है और पूर्ण सातत्य में परिवर्तन करता रहता है।

इस प्रकार से गति में निरंतर आवेश वितरण के लिए, लोरेंत्ज़ बल समीकरण बन जाता है:

$$\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$$

जहां $\mathrm {d} \mathbf {F}$ $\mathrm {d} q$ के साथ आवेश वितरण के एक छोटे भाग पर लगने वाला बल है। इस प्रकार से यदि इस समीकरण के दोनों पक्षों को आवेश वितरण $\mathrm {d} V$ के इस छोटे भाग की मात्रा से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम है:

$$\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$$

जहां $\mathbf {f}$ बल घनत्व है (बल प्रति इकाई आयतन) तथा $\rho$ आवेश घनत्व (प्रति इकाई आयतन आवेश) है। अतः इसके पश्चात, आवेश सातत्य की गति के अनुरूप धारा घनत्व

$$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$$

इसलिए समीकरण का निरंतर एनालॉग निम्नलिखित है-

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$

इस प्रकार से कुल बल आवेश वितरण पर आयतन का अभिन्न अंग है:

$$\mathbf {F} =\iiint \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.$$

मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग करके, $\rho$ तथा $\mathbf {J}$ को हटाकर, और सदिश कलन के प्रमेयों का उपयोग करते हुए, समीकरण के इस रूप का उपयोग मैक्सवेल तनाव टेंसर ${\boldsymbol {\sigma }}$ प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, अतः इसके स्थान पर इसे सामान्य सापेक्षता में प्रयुक्त विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर T प्राप्त करने के लिए पोयंटिंग सदिश $\mathbf {S}$ के साथ जोड़ा जा सकता है।

${\boldsymbol {\sigma }}$ तथा $\mathbf {S}$ के संदर्भ में, लोरेंत्ज़ बल (प्रति इकाई आयतन) लिखने की दूसरी विधि

$$\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}$$

है जहां $c$ प्रकाश की गति है और नाबला प्रतीक (∇·) एक टेंसर क्षेत्र के विचलन को दर्शाता है। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में आवेश की मात्रा और उसके वेग के अतिरिक्त, यह समीकरण क्षेत्रों में ऊर्जा प्रवाह (ऊर्जा का प्रवाह प्रति इकाई समय प्रति इकाई दूरी) को आवेश वितरण पर लगाए गए बल से संबंधित करता है। अधिक विवरण के लिए शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व का सहसंयोजक सूत्रीकरण आवेश सातत्य देखें।

किसी भौतिक माध्यम में लोरेंत्ज़ बल से जुड़ी शक्ति का घनत्व

$$\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$$

है। यदि हम कुल आवेश और कुल धारा को उनके मुक्त और बाध्य भागों में अलग करते हैं, तो हम पाते हैं कि लोरेंत्ज़ बल का घनत्व

$$\mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .$$

है, जहां: $\rho _{f}$ मुक्त प्रभार का घनत्व है; $\mathbf {P}$ ध्रुवीकरण घनत्व है; $\mathbf {J} _{f}$ मुक्त धारा का घनत्व है; तथा $\mathbf {M}$ चुंबकीयकरण घनत्व है। इस प्रकार, लोरेंत्ज़ बल चुंबकीय क्षेत्र द्वारा स्थायी चुंबक पर लगाए गए बल आघूर्ण की व्याख्या कर सकता है। संबद्ध सामर्थ्य का घनत्व

$$\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E}$$

है।

सीजीएस इकाइयों में समीकरण

उपर्युक्त सूत्र एसआई इकाइयों का उपयोग करते हैं जो सबसे सामान्य हैं। सीजीएस-गॉसियन इकाइयों में, जो कुछ सैद्धांतिक भौतिकविदों के साथ-साथ संघनित पदार्थ प्रयोगवादियों के बीच कुछ अधिक सामान्य हैं, अतः इसके अतिरिक्त

$$\mathbf {F} =q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right).$$

है, जहाँ c प्रकाश की गति है। यद्यपि यह समीकरण थोड़ा अलग दिखता है, यह पूर्ण रूप से समतुल्य है, क्योंकि किसी के निम्नलिखित संबंध हैं:

$$q_{\mathrm {cgs} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.$$

जहां ε₀ निर्वात पारगम्यता है और μ₀ निर्वात पारगम्यता है। व्यवहार में, पादाक्षर "G" और "SI" को सदैव छोड़ दिया जाता है, और इकाई प्रणाली का मूल्यांकन संदर्भ से किया जाना चाहिए।

इतिहास

विद्युत चुम्बकीय बल का मात्रात्मक वर्णन करने के प्रारंभिक प्रयत्न 18वीं शताब्दी के मध्य में किए गए थे। यह प्रस्तावित किया गया था कि 1760 में जोहान टोबियास मेयर और अन्य द्वारा चुंबकीय ध्रुवों पर बल, और 1762 में हेनरी कैवेंडिश द्वारा विद्युत आवेशित वस्तुओं पर व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन किया जाता है। यद्यपि, दोनों ही स्थितियों में प्रायोगिक प्रमाण न तो पूर्ण था और न ही निर्णायक। यह 1784 तक नहीं था जब चार्ल्स-ऑगस्टिन d कूलम्ब, आघूर्ण बल संतुलन का उपयोग करते हुए, प्रयोग के माध्यम से निश्चित रूप से यह दिखाने में सक्षम थे कि यह सत्य था। 1820 में हैंस क्रिस्चियन ओर्स्टेड द्वारा खोज के तुरंत बाद कि चुंबकीय सुई वोल्टीय धारा, आंद्रे-मैरी एम्पीयर द्वारा कार्य करती है, उसी वर्ष प्रयोग के माध्यम से दो वर्तमान तत्वों के बीच बल की कोणीय निर्भरता के लिए सूत्र तैयार करने में सक्षम था। इन सभी विवरणों में, बल को सदैव सम्मिलित पदार्थ के गुणों और दो द्रव्यमानों या आवेशों के बीच की दूरी के संदर्भ में वर्णित किया गया था, न कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के संदर्भ में। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की आधुनिक अवधारणा पहले माइकल फैराडे के सिद्धांतों में उत्पन्न हुई, विशेष रूप से बल की रेखाओं के उनके विचार, बाद में विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन और जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा पूर्ण गणितीय विवरण दिया गया। आधुनिक दृष्टिकोण से मैक्सवेल के 1865 के अपने क्षेत्र समीकरणों के सूत्रीकरण में विद्युत धाराओं के संबंध में लोरेंत्ज़ बल समीकरण के रूप की पहचान करना संभव है, यद्यपि मैक्सवेल के समय में यह स्पष्ट नहीं था कि उनके समीकरण कैसे आवेशित वस्तुओं पर लगने वाले बलों से संबंधित हैं। जे जे थॉमसन ने मैक्सवेल के क्षेत्र समीकरणों से वस्तु के गुणों और बाह्य क्षेत्रों के संदर्भ में चलती आवेशित वस्तु पर विद्युत चुम्बकीय बलों को प्राप्त करने का प्रयत्न किया। कैथोड किरणों में आवेशित कणों के विद्युत चुम्बकीय व्यवहार को निर्धारित करने में रुचि रखते हैं, थॉमसन ने 1881 में एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के कारण कणों पर लगने वाले बल को निम्नलिखित बताया-

$$\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B}$$

थॉमसन ने सूत्र का स्पष्ट मूल रूप प्राप्त किया, परंतु, कुछ त्रुटिपूर्ण गणनाओं और विस्थापन धारा के अपूर्ण विवरण के कारण, सूत्र के सामने आधे का त्रुटिपूर्ण माप-कारक सम्मिलित किया। ओलिवर हीविसाइड ने आधुनिक सदिश संकेतन का आविष्कार किया और इसे मैक्सवेल के क्षेत्र समीकरणों पर लागू किया; उन्होंने भी (1885 और 1889 में) थॉमसन की व्युत्पत्ति की त्रुटियों को ठीक किया था और गतिमान आवेशित वस्तु पर चुंबकीय बल के स्पष्ट रूप पर पहुंचे। अंत में, 1895 में, हेंड्रिक लोरेंत्ज़ ने विद्युत चुम्बकीय बल के सूत्र का आधुनिक रूप प्राप्त किया जिसमें विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों से कुल बल में योगदान सम्मिलित है। लोरेंत्ज़ ने ईथर और चालन के मैक्सवेलियन विवरणों को त्यागकर प्रारंभ किया। अतः इसके अतिरिक्त, लोरेंत्ज़ ने पदार्थ और प्रकाशिक ईथर के बीच अंतर किया और सूक्ष्म पैमाने पर मैक्सवेल समीकरणों को लागू करने की मांग की। स्थिर ईथर के लिए मैक्सवेल समीकरणों के हेविसाइड के संस्करण का उपयोग करते हुए और लैग्रेंजियन यांत्रिकी (नीचे देखें) को लागू करते हुए, लोरेंत्ज़ ने बल नियम के स्पष्ट और पूर्ण रूप पर पहुंचे जो अब उसका नाम रखता है।

लोरेंत्ज़ बल के कारण कणों के प्रक्षेप पथ

Main article: निर्देशक केंद्र

आवेशित कण एक सजातीय चुंबकीय क्षेत्र में प्रवाहित होता है। (A) कोई विक्षुब्ध बल नहीं (B) एक विद्युत क्षेत्र के साथ, E (C) एक स्वतंत्र बल के साथ, F (जैसे गुरुत्वाकर्षण) (D) एक असमांगी चुंबकीय क्षेत्र में, ग्रेड H

व्यावहारिक रुचि की कई स्थितियों में, विद्युत आवेशित कण (जैसे प्लाज्मा में एक इलेक्ट्रॉन या आयन) के चुंबकीय क्षेत्र में गति को निर्देशक केंद्र कहे जाने वाले बिंदु के चारों ओर अपेक्षाकृत तीव्र गोलाकार गति के अध्यारोपण और इस बिंदु के अपेक्षाकृत मंद अपवाह के रूप में माना जा सकता है। विभिन्न प्रजातियों के लिए उनके आवेश अवस्थाओं, द्रव्यमान या तापमान के आधार पर अपवाह की गति भिन्न हो सकती है, जिसके परिणामस्वरूप विद्युत धाराएं या रासायनिक पृथक्करण हो सकता है।

लोरेंत्ज़ बल का महत्व

जबकि आधुनिक मैक्सवेल के समीकरण बताते हैं कि कैसे विद्युत आवेशित कण और धाराएँ या गतिमान आवेशित कण विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को जन्म देते हैं, लोरेंत्ज़ बल नियम विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों की उपस्थिति में गतिमान बिंदु आवेश q पर कार्य करने वाले बल का वर्णन करके उस प्रतिचित्र को पूर्ण करता है। लोरेंत्ज़ बल नियम बिंदु आवेश पर E और B के प्रभाव का वर्णन करता है, परंतु ऐसे विद्युत चुम्बकीय बल सम्पूर्ण प्रतिचित्र नहीं हैं। आवेशित कण संभवतः अन्य बलों, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण और परमाणु बलों से जुड़े होते हैं। इस प्रकार, मैक्सवेल के समीकरण अन्य भौतिक नियमों से अलग नहीं हैं, परंतु आवेश और धारा घनत्व के माध्यम से उनके साथ जुड़े हुए हैं। लोरेंत्ज़ नियम पर एक बिंदु आवेश की प्रतिक्रिया एक गुण है; धाराओं और आवेशों द्वारा E और B की उत्पत्ति दूसरी बात है।

वास्तविक पदार्थ में लोरेंत्ज़ बल आवेशित कणों के सामूहिक व्यवहार का वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है, सिद्धांत रूप में और गणना की स्थिति में। भौतिक माध्यम में आवेशित कण न मात्र E और B क्षेत्रों पर प्रतिक्रिया करते हैं जबकि इन क्षेत्रों को भी उत्पन्न करते हैं। आवेश के समय और स्थानिक प्रतिक्रिया को निर्धारित करने के लिए जटिल परिवहन समीकरणों को हल किया जाना चाहिए, इस प्रकार से उदाहरण के लिए, बोल्ट्ज़मान समीकरण या फोककर-प्लैंक समीकरण या नेवियर-स्टोक्स समीकरण। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, चुंबक द्रवगतिकी, द्रव गतिकी, विद्युत द्रवगतिकी, अतिचालकता, तारकीय विकास देखें। इन स्थितियों से निपटने के लिए संपूर्ण भौतिक उपकरण विकसित किया गया है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए देखें, ग्रीन-कुबो संबंध और ग्रीन का फलन (कई-शरीर सिद्धांत)।

धारावाही तार पर बल

चुंबकीय क्षेत्र में धारा प्रवाहित तार के लिए दाएँ हाथ का नियम B

जब विद्युत प्रवाह को ले जाने वाले तार को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो प्रत्येक गतिमान आवेश, जिसमें धारा सम्मिलित होती है, लोरेंत्ज़ बल का अनुभव करता है, और साथ में वे तार पर मैक्रोस्कोपिक बल (कभी-कभी लाप्लास बल कहा जाता है) बना सकते हैं। इस प्रकार से विद्युत धारा की परिभाषा के साथ उपरोक्त लोरेंत्ज़ बल नियम को जोड़कर, प्रत्यक्षतः, स्थिर तार की स्थिति में निम्नलिखित समीकरण का परिणाम होता है:

$$\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}$$

जहां ℓ सदिश है जिसका परिमाण तार की लंबाई है, और जिसकी दिशा तार के अनुदिश है, पारंपरिक धारा I की दिशा के साथ संरेखित है।

यदि तार प्रत्यक्ष नहीं है, तो उस पर लगने वाले बल की गणना इस सूत्र को तार के प्रत्येक अतिसूक्ष्म खंड $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$ पर लागू करके, फिर समाकलन (कलन) द्वारा इन सभी बलों को जोड़कर की जा सकती है। इसका परिणाम वही औपचारिक अभिव्यक्ति है, परंतु I को अब पारंपरिक धारा के आरंभ से अंत बिंदु तक की दिशा के साथ घुमावदार तार के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश के रूप में समझा जाना चाहिए। सामान्यतः, एक शुद्ध टॉर्क भी होगा।

यदि, अतः इसके अतिरिक्त, चुंबकीय क्षेत्र असमांगी है, तो एक स्थिर धारा I ले जाने वाले स्थिर दृढ़ तार पर शुद्ध बल तार के साथ समाकलन द्वारा दिया जाता है,

$$\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B}$$

इसका एक अनुप्रयोग एम्पीयर का बल नियम है, जो बताता है कि कैसे दो विद्युत प्रवाहित तार एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित कर सकते हैं, क्योंकि प्रत्येक तार दूसरे के चुंबकीय क्षेत्र से लोरेंत्ज़ बल का अनुभव करता है।

EMF

लोरेंत्ज़ बल का चुंबकीय बल (qv × B) घटक प्रेरक विद्युत वाहक बल (या प्रेरक ईएमएफ) के लिए उत्तरदायी है, जो कई विद्युत जनित्र में अंतर्निहित घटना है। जब चालक को चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से ले जाया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र तार में इलेक्ट्रॉनों और नाभिक पर विपरीत बल लगाता है, और यह ईएमएफ बनाता है। इस घटना के लिए प्रेरक ईएमएफ पद लागू होता है, क्योंकि ईएमएफ तार की गति के कारण होता है।

अन्य विद्युत जनित्र में, चुंबक चलते हैं, जबकि चालक नहीं चलते हैं। इस स्थिति में, ईएमएफ लोरेंत्ज़ बल समीकरण में विद्युत बल (qE) पद के कारण है। प्रश्न में विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन करते चुंबकीय क्षेत्र द्वारा बनाया गया है, जिसके परिणामस्वरूप प्रेरित ईएमएफ होता है, जैसा कि मैक्सवेल-फैराडे समीकरण (चार आधुनिक मैक्सवेल के समीकरणों में से एक) द्वारा वर्णित है।

इन दोनों ईएमएफ, उनके स्पष्ट रूप से अलग मूल के अतिरिक्त, एक ही समीकरण द्वारा वर्णित हैं, अर्थात्, ईएमएफ तार के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की दर है। (यह फैराडे का प्रेरण का नियम है, लोरेंत्ज़ बल और फैराडे, प्रेरण का 27 का नियम देखें।) आइंस्टीन का सापेक्षता का विशेष सिद्धांत आंशिक रूप से दो प्रभावों के बीच इस श्रंखला को ठीक रूप से समझने की इच्छा से प्रेरित था। वस्तुतः, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र ही विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विभिन्न गुण हैं, और जड़त्वीय संरचना से दूसरे में जाने पर, E-क्षेत्र का परिनालिकीय सदिश क्षेत्र भाग पूर्ण या आंशिक रूप से B-क्षेत्र में परिवर्तन कर सकता है या विपरीतता से।

लोरेंत्ज़ बल और फैराडे का प्रेरण का नियम

लोरेंत्ज़ बल - लीडेन में दीवार पर प्रतिचित्र

Main article: फैराडे का प्रेरण का नियम

इस प्रकार से चुंबकीय क्षेत्र में तार के लूप को देखते हुए, फैराडे का प्रेरण का नियम बताता है कि तार में प्रेरित विद्युत वाहक बल (EMF) है:

$${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$$

जहां

$$\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$$

लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह है, B चुंबकीय क्षेत्र है, Σ(t) संवृत समोच्च ∂Σ(t) से घिरी एक सतह है, समय t पर, dA Σ(t) का एक अनंत सदिश क्षेत्र तत्व है (परिमाण सतह के एक अत्यंत छोटे भाग का क्षेत्रफल है, दिशा उस सतह के भाग का लंबकोणीय है)।

EMF का चिह्न लेन्ज के नियम से निर्धारित होता है। ध्यान दें कि यह न मात्र स्थिर तार के लिए मान्य है – परंतु चलती तार के लिए भी।

फैराडे के प्रेरण के नियम (जो चलती तार के लिए मान्य है, इस प्रकार से उदाहरण के लिए मोटर में) और मैक्सवेल समीकरणों से, लोरेंत्ज़ बल को घटाया जा सकता है। अतः इसके विपरीत भी सत्य है, लोरेंत्ज़ बल और मैक्सवेल समीकरणों का उपयोग फैराडे के प्रेरण के नियम को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

मान लीजिए Σ(t) गतिमान तार है, जो बिना घूर्णन के और स्थिर वेग v के साथ एक साथ घूम रहा है और Σ(t) तार की आंतरिक सतह है। इस प्रकार से संवृत पथ ∂Σ(t) के निकट EMF द्वारा दिया गया है:

$${\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q$$

जहां

$$\mathbf {E} =\mathbf {F} /q$$

विद्युत क्षेत्र है और dℓ समोच्च ∂Σ(t) का एक अत्यंत छोटा सदिश तत्व है।

अतः ध्यान दें: dℓ और dA दोनों में संकेत अस्पष्टता है; स्पष्ट चिन्ह प्राप्त करने के लिए, दाएँ हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है, जैसा कि लेख केल्विन-स्टोक्स प्रमेय में बताया गया है।

इस प्रकार से उपरोक्त परिणाम की तुलना फैराडे के प्रेरण के नियम के संस्करण से की जा सकती है जो आधुनिक मैक्सवेल के समीकरणों में प्रकट होता है, जिसे यहां मैक्सवेल-फैराडे समीकरण कहा जाता है:

$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.$$

अतः मैक्सवेल-फैराडे समीकरण को केल्विन-स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करके अभिन्न रूप में भी लिखा जा सकता है।

तो हमारे निकट मैक्सवेल फैराडे समीकरण है:

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t}$$

और फैराडे नियम,

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).$$

यदि तार गतिमान नहीं है तो दोनों समतुल्य हैं। लीबनिज़ समाकलन नियम और उस div B = 0 का उपयोग करने पर, परिणाम मिलता है,

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$$

और मैक्सवेल फैराडे समीकरण,

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$$

का उपयोग करते हुए, क्योंकि यह किसी भी तार की स्थिति के लिए मान्य है, इसका तात्पर्य यह है कि,

$$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).$$

फैराडे के प्रेरण का नियम यह मानता है कि तार का लूप दृढ़ और स्थिर है, या गति में है या विरूपण की प्रक्रिया में है, और यह मानता है कि चुंबकीय क्षेत्र समय में स्थिर है या परिवर्तन कर रहा है। यद्यपि, ऐसी स्थिति हैं जहां फैराडे का नियम या तो अपर्याप्त है या उपयोग में जटिल है, और अंतर्निहित लोरेंत्ज़ बल नियम के अनुप्रयोग आवश्यक है। देखें फैराडे विरोधाभास फैराडे के नियम की अनुप्रयोज्यता फैराडे के नियम की अनुप्रयोज्यता।

यदि चुंबकीय क्षेत्र समय पर स्थिर हो जाता है और चालक लूप क्षेत्र से होकर गुजरता है, तो चुंबकीय प्रवाह Φ_B लूप को जोड़ना कई रूप से परिवर्तन कर सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यदि B-क्षेत्र स्थिति के साथ परिवर्तन करता रहता है, और लूप अलग-अलग स्थान पर चला जाता है B-खेत, Φ_B परिवर्तित हो जाएगा। अतः वैकल्पिक रूप से, यदि लूप B-क्षेत्र के संबंध में अभिविन्यास परिवर्तन करता है, तो B तथा dA के बीच अलग कोण के कारण B ⋅ dA अंतर तत्व परिवर्तित हो जाएगा, साथ ही Φ_B भी परिवर्तित हो जाएगा। तीसरे उदाहरण के रूप में, यदि परिपथ का भाग एक समान, समय-स्वतंत्र B-क्षेत्र,के माध्यम से बह जाता है, और परिपथ का दूसरा भाग स्थिर रखा जाता है, पूर्ण संवृत परिपथ को जोड़ने वाला फ्लक्स समय के साथ परिपथ के घटक भागों की सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन (सतह ∂Σ(t) समय पर निर्भर) के कारण परिवर्तन कर सकता है। तीनों स्थितियों में, फैराडे का प्रेरण का नियम Φ_B में परिवर्तन से उत्पन्न ईएमएफ की भविष्यवाणी करता है।

अतः ध्यान दें कि मैक्सवेल फैराडे के समीकरण का तात्पर्य है कि विद्युत क्षेत्र E गैर संरक्षी है जब चुंबकीय क्षेत्र B समय के साथ परिवर्तन करता रहता है, और अदिश क्षेत्र के प्रवणता के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और प्रवणता प्रमेय के अधीन नहीं है क्योंकि इसका घूर्णन शून्य नहीं है।

लोरेंत्ज़ बल विभव के संदर्भ में

See also: विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण, मैक्सवेल के समीकरण, and हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन

E तथा B क्षेत्रों को चुंबकीय सदिश क्षमता A और (अदिश (गणित)) स्थिरवैद्युत विभव ϕ को

$$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$$

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$$

द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जहां ∇ प्रवणता है, ∇⋅ विचलन है, और ∇× कर्ल (गणित) है।

बल

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]$$

बन जाता है।

त्रिक गुणनफल के लिए एक पहचान का उपयोग करके इसे

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]$$

के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

(ध्यान दें कि निर्देशांक और वेग घटकों को स्वतंत्र चर के रूप में माना जाना चाहिए, इसलिए डेल संक्रियक मात्र $\mathbf {A}$ पर क्रिया करता है, $\mathbf {v}$ पर नहीं; इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण में फेनमैन के पादाक्षर संकेतन का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है)। इस प्रकार से श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, $\mathbf {A}$ का कुल व्युत्पन्न है:

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}$$

ताकि उपरोक्त अभिव्यक्ति बन जाए:

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].$$

v = ẋ के साथ, हम समीकरण को सुविधाजनक यूलर-लैग्रेंज रूप

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

में रख सकते हैं, जहां

$$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}$$

तथा

$$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.$$

लोरेंत्ज़ बल और विश्लेषणात्मक यांत्रिकी

See also: वेग

अतः द्रव्यमान के आवेशित कण के लिए लैग्रैन्जियन यांत्रिकी m और आवेश q विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में कण की गतिकी को उसकी ऊर्जा के संदर्भ में समान रूप से वर्णित करता है, न कि उस पर लगाए गए बल के रूप में। इस प्रकार से शास्त्रीय अभिव्यक्ति इस प्रकार दी गई है:

$$L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$$

जहां A तथा ϕ उपरोक्त संभावित क्षेत्र हैं। मात्रा $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )$ को वेग-निर्भर संभावित फलन के रूप में माना जाता है। इस प्रकार से लैग्रेंजियन यांत्रिकी का उपयोग करते हुए, ऊपर दिए गए लोरेंत्ज़ बल के समीकरण को फिर से प्राप्त किया जा सकता है।

शास्त्रीय लैग्रेंजियन (एसआई इकाइयां) से लोरेंत्ज़ बल की व्युत्पत्ति

एक A फ़ील्ड के लिए, v = ṙ वेग से गतिमान एक कण में संभावित गति $q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$, इसलिए इसकी संभावित ऊर्जा $q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}}$. ϕ क्षेत्र के लिए, कण की संभावित ऊर्जा $q\phi (\mathbf {r} ,t)$ है।

तब कुल स्थितिज ऊर्जा है:

$$V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}}$$

और गतिज ऊर्जा है:

$$T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}$$

इसलिए लग्रांगियन:

$$L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$$

$$L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+q({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z})-q\phi$$

लैग्रेंज के समीकरण हैं:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}$$

(उसी के लिए y तथा z) तो आंशिक डेरिवेटिव की गणना:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right)\\&=m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)\\\end{aligned}}$$

$${\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$$

समानता और सरलीकरण:

$$m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$$

$${\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}$$

और इसी तरह के लिए y तथा z निर्देश। इसलिए बल समीकरण है:

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )$$

संभावित ऊर्जा कण के वेग पर निर्भर करती है, इसलिए बल वेग पर निर्भर है, इसलिए यह संरक्षी नहीं है।

सापेक्षतावादी लैग्रेंजियन है-

$$L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )$$

क्रिया दिक्काल में कण के पथ के सापेक्षिक चाप की लंबाई है, संभावित ऊर्जा योगदान को घटाकर, साथ ही अतिरिक्त योगदान जो क्वांटम यांत्रिकी अतिरिक्त चरण (तरंगे) है जो आवेशित कण को ​​​​होता है जब यह सदिश विभव के साथ आगे बढ़ रहा होता है।

Derivation of Lorentz force from relativistic Lagrangian (SI units)

The equations of motion derived by extremizing the action (see matrix calculus for the notation):

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }$$

$$\mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}$$

हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समान हैं

लोरेंत्ज़ बल का सापेक्षिक रूप

लोरेंत्ज़ बल का सहसंयोजक रूप

क्षेत्र टेंसर

Main articles: शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व का सहसंयोजक सूत्रीकरण and विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का गणितीय विवरण

इस प्रकार से मीट्रिक हस्ताक्षर (1, −1, −1, −1) का उपयोग करके, आवेश q के लिए लोरेंत्ज़ बल को सहसंयोजक रूप में लिखा जा सकता है:

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

जहां p^α चार-गति है, जिसे कण के उचित समय

$$p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),$$

τ के रूप में परिभाषित किया गया है, F^αβ विपरीत विद्युत चुम्बकीय टेंसर

$$F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$$

है और U कण का सहसंयोजक 4-वेग है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),$$

जिसमें

$$\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}$$

लोरेंत्ज़ कारक है।

इस प्रकार से क्षेत्र को निरंतर सापेक्ष वेग के साथ चलते हुए एक संरचना में परिवर्तित कर दिया जाता है:

$$F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,$$

जहां Λ^μ_α लोरेंत्ज़ परिवर्तन टेंसर है।

सदिश संकेतन में अनुवाद

अतः बल का α = 1 घटक (x-घटक)

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right)$$

है।

इस प्रकार से सहसंयोजक विद्युतचुंबकीय टेंसर F के घटकों को प्रतिस्थापित करने पर

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right]$$

प्राप्त होता है।

सहसंयोजक चार-वेग के घटकों का उपयोग करने से

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,$$

प्राप्त होता है।

अतः α = 2, 3 (y तथा z दिशाओं में बल घटक) के लिए गणना समान परिणाम देती है, इसलिए 3 समीकरणों को एक में एकत्रित करना:

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),$$

और चूंकि समन्वय समय dt और उचित समय dτ में अंतर लोरेंत्ज़ कारक,

$$dt=\gamma (v)\,d\tau ,$$

से संबंधित हैं, इसलिए हम

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$$

पर पहुंचते हैं।

इस प्रकार से यह ठीक लोरेंत्ज़ बल नियम है, यद्यपि, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि p सापेक्षवादी अभिव्यक्ति है,

$$\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.$$

दिक्काल बीजगणित (एसटीए) में लोरेंत्ज़ बल

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र प्रेक्षक के वेग पर निर्भर होते हैं, इसलिए लोरेंत्ज़ बल कानून के सापेक्षतावादी रूप को विद्युत चुम्बकीय और चुंबकीय क्षेत्र ${\mathcal {F}}$ के लिए एक समन्वय-स्वतंत्र अभिव्यक्ति और एक यादृच्छिक समय-दिशा, $\gamma _{0}$ से प्रारंभ करके सर्वोत्तम रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। इसे दिक्काल बीजगणित (या दिक्काल के ज्यामितीय बीजगणित) के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है, एक प्रकार का क्लिफोर्ड बीजगणित जिसे छद्म-यूक्लिडियन समष्टि पर

$$\mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}$$

तथा

$$i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}$$

के रूप में परिभाषित किया गया है। ${\mathcal {F}}$ एक दिक्काल द्विसदिश (एक उन्मुख समतल खंड, जैसे एक सदिश एक उन्मुख रेखा खंड है) है, जिसमें बूस्ट के अनुरूप छह डिग्री की स्वतंत्रता है (समष्टि-समय के समतलों में घूर्णन) और घूर्णन (समष्टि-समष्टि समतलों में घूर्णन)। अतः सदिश $\gamma _{0}$ वाला बिन्दु गुणन अनुवादक भाग से एक सदिश (समष्टि बीजगणित में) खींचता है, जबकि वेज-गुणन त्रिसदिश (समष्टि बीजगणित में) बनाता है जो एक सदिश से दोगुना होता है जो सामान्य चुंबकीय क्षेत्र सदिश होता है।

सापेक्षिक वेग समय-स्थिति सदिश $v={\dot {x}}$ में (समय-सदृश) परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है, जहां

$$v^{2}=1,$$

(जो मीट्रिक के लिए हमारे चयन को दर्शाता है) और वेग

$$\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0})$$

है।

इस प्रकार से लोरेंत्ज़ बल नियम का उचित (अपरिवर्तनीय अपर्याप्त एक अपर्याप्त पद है क्योंकि कोई परिवर्तन परिभाषित नहीं किया गया है) मात्र

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

है। अतः ध्यान दें कि क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि द्विभाजक और सदिश के बीच बिन्दु गुणन सममित विरोधी है। दिक्काल स्प्लिट पर जैसे कोई वेग प्राप्त कर सकता है, और ऊपर के रूप में क्षेत्र सामान्य अभिव्यक्ति प्रदान करते हैं।

सामान्य सापेक्षता में लोरेंत्ज़ बल

सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में द्रव्यमान $m$ और आवेश $e$ वाले एक कण के लिए गति का समीकरण, जो मीट्रिक टेंसर $g_{ab}$ और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र $F_{ab}$, के साथ समष्टि में घूम रहा है, को

$$m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},$$

के रूप में दिया गया है, जहां $u^{a}=dx^{a}/ds$ ($dx^{a}$ को प्रक्षेपवक्र के साथ लिया जाता है), $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$, तथा $ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}$।

इस प्रकार से समीकरण को

$$m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},$$

के रूप में भी लिखा जा सकता है जहां $\Gamma _{abc}$ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक है (सामान्य सापेक्षता में आघूर्ण बल-मुक्त मीट्रिक संधि का), या

$$m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},$$

के रूप में, जहां $D$ सामान्य सापेक्षता (मीट्रिक, आघूर्ण बल-मुक्त) में सहसंयोजक अंतर है।

अनुप्रयोग

इस प्रकार से लोरेंत्ज़ बल कई उपकरणों में होता है, जिनमें सम्मिलित हैं:

• साइक्लोट्रॉन और अन्य वृत्ताकार पथ कण त्वरक
• द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमीटर
• वेग निस्यंदक
• मैग्नेट्रोन
• लोरेंत्ज़ बल वेलोसिमेट्री

इस प्रकार से एक चालक में विद्युत प्रवाह पर लाप्लास बल के रूप में इसकी अभिव्यक्ति में, यह बल कई उपकरणों में होता है जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:

• विद्युत मोटर्स
• रेलगन
• रैखिक मोटर्स
• लाउडस्पीकर
• मैग्नेटोप्लाज्मागतिक प्रणोदक
• विद्युत जनित्र
• समध्रुवीय जनित्र
• रैखिक आवर्तित्र

यह भी देखें

• हॉल प्रभाव
• विद्युत चुंबकत्व*
• गुरुत्वाकर्षण चुंबकत्व*
• एम्पीयर का बल नियम*
• हेंड्रिक लोरेंत्ज़
• मैक्सवेल के समीकरण
• विशेष सापेक्षता में मैक्सवेल के समीकरणों का निरूपण
• गतिमान चुंबक और चालक समस्या
• अब्राहम-लोरेंत्ज़ बल
• लार्मर सूत्र
• साइक्लोट्रॉन विकिरण
• चुंबकीय प्रतिरोध
• अदिश क्षमता
• हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
• निर्देशक केंद्र
• क्षेत्र रेखा
• कूलम्ब का नियम*
• विद्युत चुम्बकीय उत्प्लावकता*

फुटनोट

संदर्भ

The numbered references refer in part to the list immediately below.

• Feynman, Richard Phillips; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew L. (2006). The Feynman lectures on physics (3 vol.). Pearson / Addison-Wesley. ISBN 0-8053-9047-2.: volume 2.
• Griffiths, David J. (1999). Introduction to electrodynamics (3rd ed.). Upper Saddle River, [NJ.]: Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Jackson, John David (1999). Classical electrodynamics (3rd ed.). New York, [NY.]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Jr. (2004). Physics for scientists and engineers, with modern physics. Belmont, [CA.]: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-40846-X.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Srednicki, Mark A. (2007). Quantum field theory. Cambridge, [England] ; New York [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

बाह्य संबंध

• Lorentz force (demonstration)
• Faraday's law: Tankersley and Mosca
• Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University; see also home page
• Interactive Java applet on the magnetic deflection of a particle beam in a homogeneous magnetic field Archived 2011-08-13 at the Wayback Machine by Wolfgang Bauer
• The Lorentz force formula on a wall directly opposite Lorentz's home in downtown Leiden Archived 2020-10-17 at the Wayback Machine