सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित में, सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए प्रत्यक्ष और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित फलन सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का बड़ा क्षेत्र है।^[1]^[2]

सममित समूह S_n का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व को प्राचलिक करने का प्राकृतिक तरीका है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष नए आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को प्राचलिक करता है।

इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमसंचय पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); नए आरेख द्वारा दिए गए आकार के नए सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले नए समरूपताओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम $d_{\lambda }$ जो नए आरेख $\lambda$ से संबंधित हुक लंबाई सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व के लिए ρ हम अलघुकरणीय पद, χ^ρ को जोड़ सकते हैं। अतः χ^ρ(π) की गणना करने के लिए जहां π क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है।^{^[3] ध्यान दें कि χ^{ρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमसंचय σ के लिए χ^{ρ(π) = χ^{ρ(σ^{−1πσ) है।}}}}}

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K के पूर्णाश (बीजगणित) शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS_n अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के अतिरिक्त अनुखंड (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अलघुकरणीय नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए अनुखंड को स्पेकट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे अनुखंड के अंदर प्रत्येक अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय अनुखंड का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण संवृत समस्याओं में से एक माना जाता है।

निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व

सममित समूह

सममित समूहों के निम्नतम-आयामी प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से और यादृच्छिक क्षेत्रों पर वर्णित किया जा सकता है,^[4]^[5]^[6]^{[page needed]} विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो घात का वर्णन यहां किया गया है:

प्रत्येक सममित समूह का आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसे सामान्य प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, जिसे संकेत प्रतिनिधित्व या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमसंचय के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ आव्यूह द्वारा क्रमसंचय लेता है। ये सममित समूहों के केवल आयामी प्रतिनिधित्व हैं, क्योंकि एक आयामी प्रतिनिधित्व एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C₂ क्रम 2 का चक्रीय समूह है।

सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय प्रतिनिधित्व' कहा जाता है, जिसमें n निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वेक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वेक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब n ≥ 2 होते हैं, इस उप-समष्टि पर प्रतिनिधित्व (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। अन्य (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व चिह्न प्रतिनिधित्व के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक प्रतिनिधित्व $\Lambda ^{k}V$ की एक बाहरी घात $V$ अलघुकरणीय है, यदि $0\leq k\leq n-1$ हो। (फुल्टन एंड हैरिस 2004)

n ≥ 7 के लिए, ये S_n के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि n = 4, S₄ से S₃ तक प्रक्षेपण S₄ द्वि-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। n = 6 के लिए, S₅ का विशिष्‍ट संक्रमणीय अंत:स्थापन S₆ में पांच आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की अन्य युग्म का उत्पादन करता है।

$S_{n}$ का अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व	आयाम	$n$ आकार का नए आरेख
सामान्य प्रतिनिधित्व	$1$	$(n)$
संकेत प्रतिनिधित्व	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
मानक प्रतिनिधित्व $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
बाहरी घात $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

प्रत्यावर्ती समूह

पाँच चतुष्फलक का मेल, जिस पर A₅ कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।

प्रत्यावर्ती समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत प्रतिनिधित्व समाप्त हो जाता है। n ≥ 7 के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व आयाम एक में सामान्य प्रतिनिधित्व हैं, और (n − 1) क्रमचय प्रतिनिधित्व के अन्य योग से आयामी प्रतिनिधित्व, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।

n ≥ 5 के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, n = 3, 4 के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो 3 क्रम A₃ ≅ C₃ और A₄ → A₄/V ≅ C₃ के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।

n ≥ 7 के लिए, पद n − 1 का सिर्फ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, और यह गैर-सामान्य अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी घात है।
n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
n = 4 के लिए, केवल n − 1 अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, लेकिन आयाम 1 के विशिष्‍ट अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं।
N = 5 के लिए, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
N = 6 के लिए, A₅ में A₆ के विशिष्‍ट संक्रामक अंत:स्थापन के अनुरूप आयाम 5 का अतिरिक्त अखंडनीय प्रतिनिधित्व है।

प्रतिनिधित्व के प्रदिश गुणनफल

क्रोनकर गुणांक

नए आरेख $S_{n}$ के अनुरूप $\lambda ,\mu$ के दो निरूपणों का प्रदिश गुणनफल $S_{n}$ के अखंडनीय प्रतिनिधित्व का संयोजन है।

V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }

गुणांक $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना प्रतिनिधित्व के अंको से की जा सकती है (फुल्टन और हैरिस 2004):

C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })

योग $n$ के विभाजन $\rho$ से अधिक है, जिसमें $C_{\rho }$ संबंधित संयुग्मन वर्ग है। अंकों के मान $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ की गणना फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। गुणांक $z_{\rho }$ हैं

z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}

जहाँ $i_{j}$ मे $j$ के प्रकट होने की संख्या $\rho$ है, जिससे कि $\sum i_{j}j=n$ .

कुछ उदाहरण, नए आरेखों के संदर्भ में लिखे गए हैं (हमर्मेश 1989):

(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)

{\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}

किसी भी नए आरेख के लिए $\lambda$ (हमर्मेश 1989) $(n-1,1)\otimes \lambda$ की गणना करने का सरल नियम है : परिणाम उन सभी नए आरेखों का योग है जो $\lambda$ से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां गुणांक $\lambda$ को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक $\#\{\lambda _{i}\}-1$ है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ के अलघुकरणीय घटकों पर परिवद्ध है (जेम्स और कर्बर 1981)।

C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }

जहां मध्य $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ नए आरेख की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहले पदों से संबंधित नहीं हैं।

लघुकृत क्रोनकर गुणांक

$\lambda$ के लिए नए आरेख और $n\geq \lambda _{1}$ , $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ आकार $n$ का नए आरेख है, तब $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ $n$ पर परिबद्ध है, गैर-ह्रासमान फलन है, और

{\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}

लघुकृत क्रोनकर गुणांक ^[7] या स्थिर क्रोनकर गुणांक कहा जाता है।^[8] $n$ के मान पर ज्ञात सीमाएँ हैं जहाँ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ अपनी सीमा तक पहुँचता है।^[7] लघुकृत क्रोनकर गुणांकों $S_{n}$ के साथ $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$ के प्रतिनिधित्व की डेलिग्ने श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं।^[9]

क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को नए आरेखों के किसी भी त्रिक के लिए परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक नहीं कि समान आकार का हो। यदि $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$ , तब ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के साथ $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ समतुल्य है। ^[10] लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को सममित फलनों के समष्टि में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि ऐसे पदों को उत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से धनात्मक नहीं होते हुए भी प्रत्यक्ष रूप से अभिन्न हैं।^[8] लघुकृत क्रोनकर गुणांक को क्रोनकर और लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ के संदर्भ में लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से भी लिखा जा सकता है।^[11]^[12]

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$

इसके विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।^[7]

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली सेजमैथ में लघुकृत क्रोनकर गुणांक प्रयुक्त किए गए हैं।^[13]^[14]

जटिल प्रतिनिधित्व के आइगेनमान

चक्र-प्ररूप $w\in S_{n}$ का तत्व $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ दिया गया है और क्रम $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$ , के जटिल प्रतिनिधित्व में $w$ के आइगेनमान $S_{n}$ के साथ $\omega ^{e_{j}}$ प्ररूप के होते हैं जहां $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$ पूर्णांक $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ प्रतिनिधित्व के संबंध में $w$ के चक्रीय घातांक कहलाते हैं।^[15]

सममित समूह (और आच्छादित उसके गुणनफल) के चक्रीय घातांकों का संयोजन विवरण है।

परिभाषित $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$ है, मान लीजिए $\mu$ -सूचकांक के मानक नए सारणी $b_{\mu }$ के सारणी की उत्पत्ति पर ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$ मानों का योग है। तब नए आरेख $S_{n}$ द्वारा वर्णित $\lambda$ के प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक संगत नए सारणी के $\mu$ सूचकांक है।^[15]

विशेष रूप से, यदि $w$ क्रम $n$ का है, तब $b_{\mu }(k)=k$ , और ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ के प्रमुख सूचकांक $T$ (अवरोही का योग) के साथ समतुल्य होती है। अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $S_{n}$ के चक्रीय घातांक फिर वर्णन करते हैं कि कैसे यह चक्रीय समूह ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ के प्रतिनिधित्व में विघटित होता है, और $\omega ^{e_{j}}$ को $e_{j}$ द्वारा चित्रित (एक-आयामी) प्रतिनिधित्व में $w$ की छवि के रूप में व्याख्या किया जा रहा है।

यह भी देखें

प्रत्यावर्ती बहुपद
सममित बहुपद
शूर फलननिर्धारक
रॉबिन्सन-शेंस्टेड संगतता
शूर-वेइल द्वैत
जूसी-मर्फी तत्व
गरनिर संबंध

संदर्भ

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उद्धृत प्रकाशन

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[1] Philip R. Bunker and Per Jensen (1998) Molecular Symmetry and Spectroscopy, 2nd ed. NRC Research Press,Ottawa [1] pp.198-202.ISBN 9780660196282

[2] R.Pauncz (1995) The Symmetric Group in Quantum Chemistry, CRC Press, Boca Raton, Florida

[3] Richard Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol. 2

[4] Burnside, William (1955), Theory of groups of finite order, New York: Dover Publications, MR 0069818

[5] Rasala, Richard (1977), "On the minimal degrees of characters of Sn", Journal of Algebra, 45 (1): 132–181, doi:10.1016/0021-8693(77)90366-0, ISSN 0021-8693, MR 0427445

[FOOTNOTEJamesKerber1981-6] James & Kerber 1981.

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-{{more footnotes|date=April 2014}}
+गणित में, '''सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत''' परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए प्रत्यक्ष और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित फलन सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का बड़ा क्षेत्र है।<ref>Philip R. Bunker and Per Jensen (1998)
-गणित में, सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष मामला है, जिसके लिए एक ठोस और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है, सममित कार्य सिद्धांत से लेकर परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान के अध्ययन तक।<ref>Philip R. Bunker and Per Jensen (1998)
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-[[सममित समूह]] एस<sub>''n''</sub> आदेश n है!। इसके [[संयुग्मन वर्ग]]ों को n के [[पूर्णांक विभाजन]] द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, [[जटिल संख्या]]ओं के ऊपर, असमान अलघुकरणीय अभ्यावेदन की संख्या, n के विभाजनों की संख्या के बराबर है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में एक ही सेट द्वारा अपरिमेय अभ्यावेदन को पैरामीट्रिज़ करने का एक प्राकृतिक तरीका है जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज़ करता है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष [[युवा आरेख]]ों द्वारा।
-इस तरह के प्रत्येक अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व को वास्तव में पूर्णांकों पर महसूस किया जा सकता है (पूर्णांक गुणांक वाले मैट्रिक्स द्वारा अभिनय करने वाला प्रत्येक क्रमपरिवर्तन); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के युवा झांकी द्वारा उत्पन्न स्थान पर कार्य करने वाले [[युवा समरूपता]]ओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम <math>d_\lambda</math> यंग आरेख से संबंधित प्रतिनिधित्व का <math>\lambda</math> [[हुक लंबाई सूत्र]] द्वारा दिया जाता है।
+सममित समूह S<sub>''n''</sub> का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व को प्राचलिक करने का प्राकृतिक तरीका है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष नए आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को प्राचलिक करता है।
-प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के लिए ρ हम एक अलघुकरणीय वर्ण, χ जोड़ सकते हैं<sup>आर</सुप>.
+इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमसंचय पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); नए आरेख द्वारा दिए गए आकार के नए सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले [[युवा समरूपता|नए समरूपता]]ओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम <math>d_\lambda</math> जो नए आरेख <math>\lambda</math> से संबंधित [[हुक लंबाई सूत्र]] द्वारा दिया जाता है।
-गणना एक्स<sup>ρ</sup>(π) जहां π एक क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायमा नियम का उपयोग कर सकता है
-.<ref>Richard Stanley, ''Enumerative Combinatorics, Vol. 2''</ref> ध्यान दें कि χ<sup>ρ</sup> संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है,
-वह है, χ<sup>ρ</sup>(π) = x<sup>पी</sup>(प<sup>−1</sup>πσ) सभी क्रमपरिवर्तन σ के लिए।
-अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K की [[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के बराबर या n से अधिक है तो Maschke के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS<sub>''n''</sub> अर्धसरल है। इन मामलों में पूर्णांकों पर परिभाषित अलघुकरणीय अभ्यावेदन अलघुकरणीय निरूपणों का पूरा सेट देते हैं (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद)।
+प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व के लिए ρ हम  अलघुकरणीय पद, χ<sup>ρ</sup> को जोड़ सकते हैं। अतः χ<sup>ρ</sup>(π) की गणना करने के लिए जहां π  क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है।<sup><ref>Richard Stanley, ''Enumerative Combinatorics, Vol. 2''</ref> ध्यान दें कि χ<sup>ρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमसंचय σ के लिए χ<sup>ρ(π) = χ<sup>ρ(σ<sup>−1πσ) है।
-हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन मनमाना विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के बजाय [[मॉड्यूल (गणित)]] की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मॉडुलो को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए मॉड्यूल को स्पीच मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे मॉड्यूल के अंदर हर इर्रेड्यूबल उत्पन्न होता है। अब बहुत कम इरेड्यूसिबल हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक कि उनके आयाम (वेक्टर स्पेस) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।
+अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K के [[विशेषता (बीजगणित)|पूर्णाश (बीजगणित)]] शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS<sub>''n''</sub> अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।
-एक मनमाना क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय मॉड्यूल का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक माना जाता है।
+हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के अतिरिक्त [[मॉड्यूल (गणित)|अनुखंड (गणित)]] की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अलघुकरणीय नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए अनुखंड को स्पेकट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे अनुखंड के अंदर प्रत्येक अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।
+यादृच्छिक क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय अनुखंड का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण संवृत समस्याओं में से एक माना जाता है।
 == निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व ==
 === सममित समूह ===
-सममित समूहों के निम्नतम-आयामी प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है,<ref>{{Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside
+सममित समूहों के निम्नतम-आयामी प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से और यादृच्छिक क्षेत्रों पर वर्णित किया जा सकता है,<ref>{{Citation | last1=Burnside | first1=William | author1-link=William Burnside
 | title=Theory of groups of finite order | publisher=[[Dover Publications]]
 | location=New York |mr=0069818 | year=1955}}</ref><ref>{{Citation | last1=Rasala | first1=Richard | title=On the minimal degrees of characters of Sn | doi=10.1016/0021-8693(77)90366-0 |mr=0427445 | year=1977| journal=Journal of Algebra | issn=0021-8693 | volume=45 | issue=1 | pages=132–181
-| doi-access=free }}</ref> और मनमाने क्षेत्रों पर।{{sfn|James|Kerber|1981}}{{pn|date=April 2022}} विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो डिग्री यहाँ वर्णित हैं:
+| doi-access=free }}</ref>{{sfn|James|Kerber|1981}}{{pn|date=April 2022}} विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो घात का वर्णन यहां किया गया है:
-प्रत्येक सममित समूह का एक आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसे तुच्छ प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक पहचान मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है। के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 2}}, डिग्री 1 का एक और अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है, जिसे संकेत प्रतिनिधित्व या वैकल्पिक चरित्र कहा जाता है, जो क्रमपरिवर्तन के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ एक मैट्रिक्स द्वारा एक क्रमचय लेता है। ये सममित समूहों के केवल एक आयामी निरूपण हैं, क्योंकि एक आयामी निरूपण एबेलियन हैं, और सममित समूह का [[ abelianization ]] सी है<sub>2</sub>, ऑर्डर 2 का [[चक्रीय समूह]]।
+प्रत्येक सममित समूह का आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसे सामान्य प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, जिसे संकेत प्रतिनिधित्व या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमसंचय के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ  आव्यूह द्वारा क्रमसंचय लेता है। ये सममित समूहों के केवल आयामी प्रतिनिधित्व हैं, क्योंकि एक आयामी प्रतिनिधित्व एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C<sub>2</sub> क्रम 2 का चक्रीय समूह है।
-सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-विम निरूपण है, जिसे '{{visible anchor|natural permutation representation}}, जिसमें ''n'' निर्देशांकों की अनुमति शामिल है। इसमें तुच्छ उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर शामिल हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। ऑर्थोगोनल पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब होते हैं {{nowrap|''n'' ≥ 2}}, इस उप-स्थान पर प्रतिनिधित्व एक है {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। एक और {{nowrap|(''n'' − 1)}}-डायमेंशनल इर्रेड्यूबल रिप्रेजेंटेशन साइन रिप्रेजेंटेशन के साथ टेंसरिंग द्वारा पाया जाता है। एक [[बाहरी शक्ति]] <math>\Lambda^k V</math> मानक प्रतिनिधित्व का <math>V</math> अपरिवर्तनीय प्रदान किया गया है <math>0\leq k\leq n-1</math> {{harv|Fulton|Harris|2004}}.
+सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय प्रतिनिधित्व' कहा जाता है, जिसमें ''n'' निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वेक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वेक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब {{nowrap|''n'' ≥ 2}} होते हैं, इस उप-समष्टि पर प्रतिनिधित्व {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। अन्य {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व चिह्न प्रतिनिधित्व के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक प्रतिनिधित्व <math>\Lambda^k V</math> की एक बाहरी घात <math>V</math> अलघुकरणीय है, यदि <math>0\leq k\leq n-1</math> हो। {{harv|फुल्टन एंड हैरिस 2004}}
-के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 7}}, ये एस के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं<sub>''n''</sub> - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का आयाम कम से कम n है। हालांकि के लिए {{nowrap|1=''n'' = 4}}, एस से प्रक्षेपण<sub>4</sub> एस के लिए<sub>3</sub> एस की अनुमति देता है<sub>4</sub> एक द्वि-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए। के लिए {{nowrap|1=''n'' = 6}}, एस का असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग<sub>5</sub> एस में<sub>6</sub> पांच आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन की एक और जोड़ी पैदा करता है।
+{{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, ये S<sub>''n''</sub> के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि {{nowrap|1=''n'' = 4}}, S<sub>4</sub> से S<sub>3</sub> तक प्रक्षेपण S<sub>4</sub> द्वि-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। {{nowrap|1=''n'' = 6}} के लिए, S<sub>5</sub> का विशिष्‍ट संक्रमणीय अंत:स्थापन S<sub>6</sub> में पांच आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की अन्य युग्म का उत्पादन करता है।
 {| class="wikitable" style="font-size:small; text-align:center;"
 |-
-! Irreducible representation of <math>S_n</math>
+! <math>S_n</math> का अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व
-! Dimension
+! आयाम
-! [[Young diagram]] of size <math>n</math>
+! <math>n</math> आकार का नए आरेख
 |-
-| Trivial representation
+| सामान्य प्रतिनिधित्व
 | <math>1</math>
 | <math>(n)</math>
 |-
-| Sign representation
+| संकेत प्रतिनिधित्व
 | <math>1</math>
 | <math>(1^n)=(1,1,\dots,1)</math>
 |-
-| Standard representation <math>V</math>
+| मानक प्रतिनिधित्व <math>V</math>
 | <math>n-1</math>
 | <math>(n-1, 1)</math>
 |-
-| Exterior power <math>\Lambda^k V</math>
+| बाहरी घात <math>\Lambda^k V</math>
 | <math>\binom{n-1}{k}</math>
 | <math>(n-k, 1^k)</math>
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-=== वैकल्पिक समूह ===
+=== प्रत्यावर्ती समूह ===
-[[File:Compound of five tetrahedra.png|thumb|[[पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक]], जिस पर A<sub>5</sub> कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।]][[वैकल्पिक समूह]]ों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत प्रतिनिधित्व गायब हो जाता है। के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 7}}, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन आयाम एक में तुच्छ प्रतिनिधित्व हैं, और {{nowrap|(''n'' − 1)}क्रमचय प्रतिनिधित्व के अन्य योग से }-आयामी प्रतिनिधित्व, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए अपवाद हैं।
+[[File:Compound of five tetrahedra.png|thumb|[[पाँच टेट्राहेड्रा का यौगिक|पाँच चतुष्फलक का मेल]], जिस पर A<sub>5</sub> कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।]][[वैकल्पिक समूह|प्रत्यावर्ती समूह]] का प्रतिनिधित्व सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत प्रतिनिधित्व समाप्त हो जाता है। {{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व आयाम एक में सामान्य प्रतिनिधित्व हैं, और (''n'' − 1) क्रमचय प्रतिनिधित्व के अन्य योग से आयामी प्रतिनिधित्व, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।
-के लिए वैकल्पिक समूह {{nowrap|''n'' ≥ 5}} में केवल एक आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, तुच्छ प्रतिनिधित्व। के लिए {{nowrap|1=''n'' = 3, 4}} ऑर्डर 3 के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप दो अतिरिक्त एक-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व हैं: {{nowrap|A<sub>3</sub> ≅ C<sub>3</sub>}} और {{nowrap|A<sub>4</sub> → A<sub>4</sub>/''V'' ≅ C<sub>3</sub>}}.
+{{nowrap|''n'' ≥ 5}} के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल  आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, {{nowrap|1=''n'' = 3, 4}} के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो 3 क्रम {{nowrap|A<sub>3</sub> ≅ C<sub>3</sub>}} और {{nowrap|A<sub>4</sub> → A<sub>4</sub>/''V'' ≅ C<sub>3</sub>}} के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।
-* के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 7}}, डिग्री का सिर्फ एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है {{nowrap|''n'' − 1}}, और यह एक गैर-तुच्छ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी डिग्री है।
+* {{nowrap|''n'' ≥ 7}} के लिए, पद {{nowrap|''n'' − 1}} का सिर्फ  अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, और यह गैर-सामान्य अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी घात है।
-* के लिए {{nowrap|1=''n'' = 3}} का स्पष्ट अनुरूप {{nowrap|(''n'' − 1)}}-आयामी प्रतिनिधित्व कम हो जाता है - क्रमपरिवर्तन प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ मेल खाता है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्वों में टूट जाता है, जैसा कि {{nowrap|A<sub>3</sub> ≅ C<sub>3</sub>}} एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए [[असतत फूरियर रूपांतरण]] देखें।
+* n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
-* के लिए {{nowrap|1=''n'' = 4}}, सिर्फ एक है {{nowrap|''n'' − 1}} अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, लेकिन आयाम 1 के असाधारण अलघुकरणीय निरूपण हैं।
+* n = 4 के लिए, केवल n − 1 अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, लेकिन आयाम 1 के विशिष्‍ट अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं।
-* के लिए {{nowrap|1=''n'' = 5}}, [[आइकोसाहेड्रल समरूपता]] के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं।
+* N = 5 के लिए, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
-* के लिए {{nowrap|1=''n'' = 6}}, ए के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है<sub>5</sub> में एक<sub>6</sub>.
+* N = 6 के लिए, ''A''<sub>5</sub> में ''A''<sub>6</sub> के विशिष्‍ट संक्रामक अंत:स्थापन के अनुरूप आयाम 5 का अतिरिक्त अखंडनीय प्रतिनिधित्व है।
-== अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद ==
+== प्रतिनिधित्व के प्रदिश गुणनफल ==
 === क्रोनकर गुणांक ===
-के दो अभ्यावेदन के अभ्यावेदन का टेन्सर उत्पाद <math>S_n</math> यंग डायग्राम के अनुरूप <math>\lambda,\mu</math> के अलघुकरणीय अभ्यावेदन का संयोजन है <math>S_n</math>,
+नए आरेख <math>S_n</math> के अनुरूप <math>\lambda,\mu</math> के दो निरूपणों का प्रदिश गुणनफल <math>S_n</math> के अखंडनीय प्रतिनिधित्व का संयोजन है।
 :<math>
 V_\lambda\otimes V_\mu \cong \sum_\nu C_{\lambda,\mu,\nu} V_\nu
 </math>
-गुणांक <math>C_{\lambda\mu\nu}\in\mathbb{N}</math> सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहलाते हैं।
+गुणांक <math>C_{\lambda\mu\nu}\in\mathbb{N}</math> को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना प्रतिनिधित्व के [[चरित्र सिद्धांत|अंको]] से की जा सकती है {{harv|फुल्टन और हैरिस 2004}}:
-उनकी गणना अभ्यावेदन के [[चरित्र सिद्धांत]] से की जा सकती है {{harv|Fulton|Harris|2004}}:
 :<math>
 C_{\lambda,\mu,\nu} = \sum_\rho \frac{1}{z_\rho} \chi_\lambda(C_\rho)\chi_\mu(C_\rho)\chi_\nu(C_\rho)
 </math>
-योग विभाजन खत्म हो गया है <math>\rho</math> का <math>n</math>, साथ <math>C_\rho</math> संगत संयुग्मन वर्ग। पात्रों का मान <math>\chi_\lambda(C_\rho)</math> [[फ्रोबेनियस सूत्र]] का उपयोग करके गणना की जा सकती है। गुणांक <math>z_\rho</math> हैं
+योग <math>n</math> के विभाजन <math>\rho</math> से अधिक है, जिसमें <math>C_\rho</math> संबंधित संयुग्मन वर्ग है। अंकों के मान <math>\chi_\lambda(C_\rho)</math> की गणना फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। गुणांक <math>z_\rho</math> हैं
 :<math>
 z_\rho = \prod_{j=0}^n j^{i_j}i_j! = \frac{n!}{|C_\rho|}
 </math>
-कहाँ <math>i_j</math> बार की संख्या है <math>j</math> प्रकट होता है <math>\rho</math>, ताकि <math>\sum i_jj = n</math>.
+जहाँ <math>i_j</math> मे <math>j</math> के प्रकट होने की संख्या <math>\rho</math> है, जिससे कि <math>\sum i_jj = n</math>.
-यंग डायग्राम के संदर्भ में लिखे गए कुछ उदाहरण {{harv|Hamermesh|1989}}:
+कुछ उदाहरण, नए आरेखों के संदर्भ में लिखे गए हैं (हमर्मेश 1989):
 :<math>
 (n - 1, 1) \otimes (n - 1, 1) \cong (n) + (n - 1, 1) + (n - 2, 2)
@@ Line 112: / Line 108: @@
 \end{align}
 </math>
-कंप्यूटिंग के लिए एक सरल नियम है <math>(n-1,1)\otimes \lambda</math> किसी भी यंग आरेख के लिए <math>\lambda</math> {{harv|Hamermesh|1989}}: परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो इससे प्राप्त किए गए हैं <math>\lambda</math> एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां को छोड़कर गुणांक एक हैं <math>\lambda</math> स्वयं, जिसका गुणांक है <math>\#\{\lambda_i\}-1</math>, यानी, अलग-अलग पंक्तियों की लंबाई में से एक घटाकर संख्या।
+किसी भी नए आरेख के लिए <math>\lambda</math> {{harv|हमर्मेश 1989}} <math>(n-1,1)\otimes \lambda</math> की गणना करने का सरल नियम है : परिणाम उन सभी नए आरेखों का योग है जो <math>\lambda</math> से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां गुणांक <math>\lambda</math> को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक <math>\#\{\lambda_i\}-1</math> है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।
-के अलघुकरणीय घटकों पर एक बाधा <math>V_\lambda\otimes V_\mu</math> है {{harv|James|Kerber|1981}}
+<math>V_\lambda\otimes V_\mu</math> के अलघुकरणीय घटकों पर परिवद्ध है {{harv|जेम्स और कर्बर 1981}}।
 :<math>
 C_{\lambda,\mu,\nu}>0 \implies  |d_\lambda-d_\mu| \leq d_\nu \leq d_\lambda+d_\mu
 </math>
-जहां गहराई <math>d_\lambda=n-\lambda_1</math> यंग डायग्राम की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहली पंक्ति से संबंधित नहीं हैं।
+जहां मध्य <math>d_\lambda=n-\lambda_1</math> नए आरेख की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहले पदों से संबंधित नहीं हैं।
-=== कम क्रोनकर गुणांक ===
+=== लघुकृत क्रोनकर गुणांक ===
-के लिए <math>\lambda</math> एक युवा आरेख और <math>n\geq \lambda_1</math>, <math>\lambda[n]=(n-|\lambda|,\lambda)</math> आकार का एक युवा आरेख है <math>n</math>. तब <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> का एक बंधा हुआ, गैर-घटता कार्य है <math>n</math>, और
+<math>\lambda</math> के लिए नए आरेख और <math>n\geq \lambda_1</math>, <math>\lambda[n]=(n-|\lambda|,\lambda)</math> आकार <math>n</math> का नए आरेख है, तब <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> <math>n</math> पर परिबद्ध है, गैर-ह्रासमान फलन है, और
 :<math>
 \bar{C}_{\lambda,\mu,\nu} = \lim_{n\to\infty} C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}
 </math>
-एक कम क्रोनकर गुणांक कहा जाता है<ref name="bor09"/>या स्थिर क्रोनकर गुणांक।<ref name="as18"/>के मूल्य पर ज्ञात सीमाएँ हैं <math>n</math> कहाँ <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> अपनी सीमा तक पहुँचता है।<ref name="bor09"/>घटे हुए क्रोनकर गुणांकों के प्रतिनिधित्व की Deligne श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं <math>S_n</math> साथ <math>n\in \mathbb{C}-\mathbb{N}</math>.<ref name="ent14"/>
+लघुकृत क्रोनकर गुणांक <ref name="bor09"/> या स्थिर क्रोनकर गुणांक कहा जाता है।<ref name="as18"/> <math>n</math> के मान पर ज्ञात सीमाएँ हैं जहाँ <math>C_{\lambda[n],\mu[n],\nu[n]}</math> अपनी सीमा तक पहुँचता है।<ref name="bor09"/> लघुकृत क्रोनकर गुणांकों <math>S_n</math> के साथ <math>n\in \mathbb{C}-\mathbb{N}</math> के प्रतिनिधित्व की डेलिग्ने श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं।<ref name="ent14"/>
-क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को युवा आरेखों के किसी भी ट्रिपल के लिए परिभाषित किया गया है, जरूरी नहीं कि समान आकार का हो। अगर <math>|\nu|=|\lambda|+|\mu|</math>, तब <math>\bar{C}_{\lambda,\mu,\nu}</math> [[लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक]] के साथ मेल खाता है <math>c_{\lambda,\mu}^\nu</math>.<ref name="Dvir91"/>कम क्रोनकर गुणांकों को सममित कार्यों के स्थान में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, जो अभिव्यक्तियों को जन्म देते हैं जो स्पष्ट रूप से अभिन्न हैं, हालांकि प्रकट रूप से सकारात्मक नहीं हैं।<ref name="as18"/>घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को क्रोनकर और लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रूप में भी लिखा जा सकता है। <math>c^\lambda_{\alpha\beta\gamma}</math> लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से<ref name="lit58"/><ref name="oz17"/>:<math>
+क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को नए आरेखों के किसी भी त्रिक के लिए परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक नहीं कि समान आकार का हो। यदि <math>|\nu|=|\lambda|+|\mu|</math>, तब <math>\bar{C}_{\lambda,\mu,\nu}</math> [[लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक]] के साथ <math>c_{\lambda,\mu}^\nu</math> समतुल्य है। <ref name="Dvir91" /> लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को सममित फलनों के समष्टि में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि ऐसे पदों को उत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से धनात्मक नहीं होते हुए भी प्रत्यक्ष रूप से अभिन्न हैं।<ref name="as18" /> लघुकृत क्रोनकर गुणांक को क्रोनकर और लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक <math>c^\lambda_{\alpha\beta\gamma}</math> के संदर्भ में लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से भी लिखा जा सकता है।<ref name="lit58" /><ref name="oz17" />
+<math>
 \bar{C}_{\lambda,\mu,\nu} = \sum_{\lambda',\mu',\nu',\alpha,\beta,\gamma} C_{\lambda',\mu',\nu'} c^{\lambda}_{\lambda'\beta\gamma} c^{\mu}_{\mu'\alpha\gamma} c^\nu_{\nu'\alpha\beta}
 </math>
-इसके विपरीत, कम क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।<ref name="bor09"/>
-कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली [[SageMath]] में घटे हुए क्रोनकर गुणांक लागू किए गए हैं।<ref name="oz15"/><ref name="sage"/>
+इसके विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।<ref name="bor09" />
+कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली [[SageMath|सेजमैथ]] में लघुकृत क्रोनकर गुणांक प्रयुक्त किए गए हैं।<ref name="oz15" /><ref name="sage" />
+== जटिल प्रतिनिधित्व के आइगेनमान ==
-== जटिल अभ्यावेदन के आइगेनवेल्यू ==
+चक्र-प्ररूप <math>w\in S_n</math>   का तत्व <math>\mu=(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_k)</math> दिया गया है और क्रम <math>m=\text{lcm}(\mu_i)</math>, के जटिल प्रतिनिधित्व में <math>w</math> के आइगेनमान <math>S_n</math> के साथ <math>\omega^{e_j}</math> प्ररूप के होते हैं जहां <math>\omega=e^{\frac{2\pi i}{m}}</math> पूर्णांक <math>e_j\in \frac{\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}}</math>   प्रतिनिधित्व के संबंध में <math>w</math> के चक्रीय घातांक कहलाते हैं।<ref name="ste89"/>
-एक तत्व दिया <math>w\in S_n</math> चक्र-प्रकार का <math>\mu=(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_k)</math> और आदेश <math>m=\text{lcm}(\mu_i)</math>, के eigenvalues <math>w</math> के एक जटिल प्रतिनिधित्व में <math>S_n</math> प्रकार के हैं <math>\omega^{e_j}</math> साथ <math>\omega=e^{\frac{2\pi i}{m}}</math>, जहां पूर्णांक <math>e_j\in \frac{\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}}</math> के चक्रीय घातांक कहलाते हैं <math>w</math> प्रतिनिधित्व के संबंध में।<ref name="ste89"/>
+सममित समूह (और आच्छादित उसके गुणनफल) के चक्रीय घातांकों का संयोजन विवरण है।
-सममित समूह (और [[पुष्पांजलि उत्पाद]]ों) के चक्रीय प्रतिपादकों का एक संयोजी विवरण है। परिभाषित <math>\left(b_\mu(1),\dots,b_\mu(n)\right) = \left(\frac{m}{\mu_1},2\frac{m}{\mu_1},\dots, m, \frac{m}{\mu_2},2\frac{m}{\mu_2},\dots, m,\dots\right)</math>, होने दें <math>\mu</math>-इंडेक्स ऑफ ए यंग_टेबलाऊ#टेबलॉक्स के मानों का योग हो <math>b_\mu</math> झांकी के अवतरण पर, <math>\text{ind}_\mu(T) = \sum_{k\in \{\text{descents}(T)\}} b_\mu(k)\bmod m</math>.
+परिभाषित <math>\left(b_\mu(1),\dots,b_\mu(n)\right) = \left(\frac{m}{\mu_1},2\frac{m}{\mu_1},\dots, m, \frac{m}{\mu_2},2\frac{m}{\mu_2},\dots, m,\dots\right)</math>है, मान लीजिए <math>\mu</math>-सूचकांक के मानक नए सारणी <math>b_\mu</math>के सारणी की उत्पत्ति पर <math>\text{ind}_\mu(T) = \sum_{k\in \{\text{descents}(T)\}} b_\mu(k)\bmod m</math> मानों का योग है। तब नए आरेख <math>S_n</math> द्वारा वर्णित <math>\lambda</math> के प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक संगत नए सारणी के <math>\mu</math>   सूचकांक है।<ref name="ste89" />
-फिर के प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक <math>S_n</math> यंग आरेख द्वारा वर्णित <math>\lambda</math> हैं <math>\mu</math>इसी युवा झांकी के सूचकांक।<ref name="ste89"/>
-विशेष रूप से, अगर <math> w </math> आदेश का है <math>n</math>, तब <math>b_\mu(k)=k</math>, और <math>\text{ind}_\mu(T)</math> के प्रमुख सूचकांक के साथ मेल खाता है <math>T</math> (अवरोही का योग)। एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक <math>S_n</math> फिर चक्रीय समूह के अभ्यावेदन में प्रतिबंधित_प्रतिनिधित्व का वर्णन करें <math> \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math>, साथ <math>\omega^{e_j}</math> की छवि के रूप में व्याख्या की जा रही है <math>w</math> द्वारा विशेषता (एक आयामी) प्रतिनिधित्व में <math>e_j</math>.
+विशेष रूप से, यदि <math> w </math> क्रम <math>n</math> का है, तब <math>b_\mu(k)=k</math>, और <math>\text{ind}_\mu(T)</math> के प्रमुख सूचकांक <math>T</math> (अवरोही का योग) के साथ समतुल्य होती है। अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व <math>S_n</math> के चक्रीय घातांक फिर वर्णन करते हैं कि कैसे यह चक्रीय समूह <math> \frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}</math> के प्रतिनिधित्व में विघटित होता है, और <math>\omega^{e_j}</math> को <math>e_j</math> द्वारा चित्रित (एक-आयामी) प्रतिनिधित्व में <math>w</math> की छवि के रूप में व्याख्या किया जा रहा है।
 == यह भी देखें ==
-* वैकल्पिक बहुपद
+* प्रत्यावर्ती बहुपद
 * [[सममित बहुपद]]
-* [[मैं काम कर रहा हूं]]
+* शूर [[मैं काम कर रहा हूं|फलननिर्धारक]]
-*रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार
+*रॉबिन्सन-शेंस्टेड संगतता
 * शूर-वेइल द्वैत
 *जूसी-मर्फी तत्व
@@ Line 171: / Line 174: @@
 * {{Citation | last1=James | first1=G. D. | title=On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups | doi=10.1017/S0305004100000803 |mr=720791 | year=1983 | journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | issn=0305-0041 | volume=94 | issue=3 | pages=417–424| bibcode=1983MPCPS..94..417J }}
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
-श्रेणी:परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
-श्रेणी:क्रमपरिवर्तन
-श्रेणी:पूर्णांक विभाजन
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सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत: Difference between revisions

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