सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

गणित में, सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए प्रत्यक्ष और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित फलन सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का बड़ा क्षेत्र है।

सममित समूह S_n का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए परिमित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय प्रतिनिधित्व को प्राचलिक करने का प्राकृतिक तरीका है, अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष नए आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को प्राचलिक करता है।

इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमसंचय पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); नए आरेख द्वारा दिए गए आकार के नए सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले नए समरूपताओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम $d_{\lambda }$ जो नए आरेख $\lambda$ से संबंधित हुक लंबाई सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक अखंडनीय प्रतिनिधित्व के लिए ρ हम अलघुकरणीय पद, χ^ρ को जोड़ सकते हैं। अतः χ^ρ(π) की गणना करने के लिए जहां π क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है। ^{ध्यान दें कि χρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमसंचय σ के लिए χρ(π) = χρ(σ−1πσ) है।}

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक जटिल हो सकती है। यदि क्षेत्र K के पूर्णाश (बीजगणित) शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS_n अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में प्रतिनिधित्व के अतिरिक्त अनुखंड (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व से प्राप्त प्रतिनिधित्व सामान्य रूप से अलघुकरणीय नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए अनुखंड को स्पेकट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे अनुखंड के अंदर प्रत्येक अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय अनुखंड का निर्धारण व्यापक रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण संवृत समस्याओं में से एक माना जाता है।

निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व

सममित समूह

सममित समूहों के निम्नतम-आयामी प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से और यादृच्छिक क्षेत्रों पर वर्णित किया जा सकता है, विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो घात का वर्णन यहां किया गया है:

प्रत्येक सममित समूह का आयामी प्रतिनिधित्व होता है जिसे सामान्य प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, जिसे संकेत प्रतिनिधित्व या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमसंचय के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ आव्यूह द्वारा क्रमसंचय लेता है। ये सममित समूहों के केवल आयामी प्रतिनिधित्व हैं, क्योंकि एक आयामी प्रतिनिधित्व एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C₂ क्रम 2 का चक्रीय समूह है।

सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय प्रतिनिधित्व' कहा जाता है, जिसमें n निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वेक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वेक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब n ≥ 2 होते हैं, इस उप-समष्टि पर प्रतिनिधित्व (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, मानक प्रतिनिधित्व कहा जाता है। अन्य (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व चिह्न प्रतिनिधित्व के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक प्रतिनिधित्व $\Lambda ^{k}V$ की एक बाहरी घात $V$ अलघुकरणीय है, यदि $0\leq k\leq n-1$ हो। (फुल्टन एंड हैरिस 2004)

n ≥ 7 के लिए, ये S_n के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि n = 4, S₄ से S₃ तक प्रक्षेपण S₄ द्वि-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। n = 6 के लिए, S₅ का विशिष्‍ट संक्रमणीय अंत:स्थापन S₆ में पांच आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की अन्य युग्म का उत्पादन करता है।

$S_{n}$ का अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व	आयाम	$n$ आकार का नए आरेख
सामान्य प्रतिनिधित्व	$1$	$(n)$
संकेत प्रतिनिधित्व	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
मानक प्रतिनिधित्व $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
बाहरी घात $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

प्रत्यावर्ती समूह

पाँच चतुष्फलक का मेल, जिस पर A₅ कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।

प्रत्यावर्ती समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत प्रतिनिधित्व समाप्त हो जाता है। n ≥ 7 के लिए, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व आयाम एक में सामान्य प्रतिनिधित्व हैं, और (n − 1) क्रमचय प्रतिनिधित्व के अन्य योग से आयामी प्रतिनिधित्व, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए असामान्य हैं।

n ≥ 5 के लिए प्रत्यावर्ती समूह में केवल आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, n = 3, 4 के लिए दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो 3 क्रम A₃ ≅ C₃ और A₄ → A₄/V ≅ C₃ के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप हैं।

• n ≥ 7 के लिए, पद n − 1 का सिर्फ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है, और यह गैर-सामान्य अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की सबसे छोटी घात है।
• n = 3 के लिए (n - 1)-आयामी प्रतिनिधित्व का स्पष्ट एनालॉग कम हो जाता है क्रमचय प्रतिनिधित्व नियमित प्रतिनिधित्व के साथ समतुल्य होती है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्व में विभाजन हो जाता है, क्योंकि A3 ≅ C3 एबेलियन है; चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
• n = 4 के लिए, केवल n − 1 अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व, लेकिन आयाम 1 के विशिष्‍ट अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं।
• N = 5 के लिए, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व हैं, जो कि विंशफलकीय समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप है।
• N = 6 के लिए, A₅ में A₆ के विशिष्‍ट संक्रामक अंत:स्थापन के अनुरूप आयाम 5 का अतिरिक्त अखंडनीय प्रतिनिधित्व है।

प्रतिनिधित्व के प्रदिश गुणनफल

क्रोनकर गुणांक

नए आरेख $S_{n}$ के अनुरूप $\lambda ,\mu$ के दो निरूपणों का प्रदिश गुणनफल $S_{n}$ के अखंडनीय प्रतिनिधित्व का संयोजन है।

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }$

गुणांक $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ को सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहा जाता है। उनकी गणना प्रतिनिधित्व के अंको से की जा सकती है (फुल्टन और हैरिस 2004):

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })$

योग $n$ के विभाजन $\rho$ से अधिक है, जिसमें $C_{\rho }$ संबंधित संयुग्मन वर्ग है। अंकों के मान $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ की गणना फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। गुणांक $z_{\rho }$ हैं

$z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}$

जहाँ $i_{j}$ मे $j$ के प्रकट होने की संख्या $\rho$ है, जिससे कि $\sum i_{j}j=n$.

कुछ उदाहरण, नए आरेखों के संदर्भ में लिखे गए हैं (हमर्मेश 1989):

$(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)$

${\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}$

किसी भी नए आरेख के लिए $\lambda$ (हमर्मेश 1989) $(n-1,1)\otimes \lambda$ की गणना करने का सरल नियम है : परिणाम उन सभी नए आरेखों का योग है जो $\lambda$ से प्राप्त किए गए हैं एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां गुणांक $\lambda$ को छोड़कर एक हैं, जिसका गुणांक $\#\{\lambda _{i}\}-1$ है, अर्थात, विभिन्न पदो की लंबाई की संख्या -1 है।

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ के अलघुकरणीय घटकों पर परिवद्ध है (जेम्स और कर्बर 1981)।

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }$

जहां मध्य $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ नए आरेख की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहले पदों से संबंधित नहीं हैं।

लघुकृत क्रोनकर गुणांक

$\lambda$ के लिए नए आरेख और $n\geq \lambda _{1}$, $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ आकार $n$ का नए आरेख है, तब $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ $n$ पर परिबद्ध है, गैर-ह्रासमान फलन है, और

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$

लघुकृत क्रोनकर गुणांक या स्थिर क्रोनकर गुणांक कहा जाता है। $n$ के मान पर ज्ञात सीमाएँ हैं जहाँ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ अपनी सीमा तक पहुँचता है। लघुकृत क्रोनकर गुणांकों $S_{n}$ के साथ $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$ के प्रतिनिधित्व की डेलिग्ने श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं।

क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को नए आरेखों के किसी भी त्रिक के लिए परिभाषित किया गया है, यह आवश्यक नहीं कि समान आकार का हो। यदि $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$, तब ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के साथ $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ समतुल्य है। लघुकृत क्रोनकर गुणांकों को सममित फलनों के समष्टि में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, हालांकि ऐसे पदों को उत्पन्न करता है, जो स्पष्ट रूप से धनात्मक नहीं होते हुए भी प्रत्यक्ष रूप से अभिन्न हैं। लघुकृत क्रोनकर गुणांक को क्रोनकर और लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ के संदर्भ में लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से भी लिखा जा सकता है।

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$

इसके विपरीत, लघुकृत क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली सेजमैथ में लघुकृत क्रोनकर गुणांक प्रयुक्त किए गए हैं।

जटिल प्रतिनिधित्व के आइगेनमान

चक्र-प्ररूप $w\in S_{n}$ का तत्व $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ दिया गया है और क्रम $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$, के जटिल प्रतिनिधित्व में $w$ के आइगेनमान $S_{n}$ के साथ $\omega ^{e_{j}}$ प्ररूप के होते हैं जहां $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$ पूर्णांक $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ प्रतिनिधित्व के संबंध में $w$ के चक्रीय घातांक कहलाते हैं।

सममित समूह (और आच्छादित उसके गुणनफल) के चक्रीय घातांकों का संयोजन विवरण है।

परिभाषित $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$है, मान लीजिए $\mu$-सूचकांक के मानक नए सारणी $b_{\mu }$के सारणी की उत्पत्ति पर ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$ मानों का योग है। तब नए आरेख $S_{n}$ द्वारा वर्णित $\lambda$ के प्रतिनिधित्व के चक्रीय घातांक संगत नए सारणी के $\mu$ सूचकांक है।

विशेष रूप से, यदि $w$ क्रम $n$ का है, तब $b_{\mu }(k)=k$, और ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ के प्रमुख सूचकांक $T$ (अवरोही का योग) के साथ समतुल्य होती है। अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व $S_{n}$ के चक्रीय घातांक फिर वर्णन करते हैं कि कैसे यह चक्रीय समूह ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ के प्रतिनिधित्व में विघटित होता है, और $\omega ^{e_{j}}$ को $e_{j}$ द्वारा चित्रित (एक-आयामी) प्रतिनिधित्व में $w$ की छवि के रूप में व्याख्या किया जा रहा है।

यह भी देखें

• प्रत्यावर्ती बहुपद
• सममित बहुपद
• शूर फलननिर्धारक
• रॉबिन्सन-शेंस्टेड संगतता
• शूर-वेइल द्वैत
• जूसी-मर्फी तत्व
• गरनिर संबंध

उद्धृत प्रकाशन

• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Representation Theory". गणित में स्नातक ग्रंथ. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). समूह सिद्धांत और शारीरिक समस्याओं के लिए इसका अनुप्रयोग. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471.
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), The representation theory of the symmetric group, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
• James, G. D. (1983), "On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 94 (3): 417–424, Bibcode:1983MPCPS..94..417J, doi:10.1017/S0305004100000803, ISSN 0305-0041, MR 0720791