चक्रीय क्रमपरिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 19:56, 17 April 2023

गणित में और विशेष रूप से समूह सिद्धांत में एक चक्रीय क्रमचय (या चक्र) कुछ [[सबसेट (गणित)]] X के तत्वों का क्रमचय है। जो X के कुछ उपसमुच्चय S के तत्वों को मैप करता है। एक्स के अन्य सभी तत्वों को ठीक करते हुए (अर्थात खुद को मैप करते हुए) एक चक्रीय फैशन में एक दूसरे के लिए यदि स में क तत्व हैं। तो चक्र को क-चक्र कहा जाता है। चक्रों को अक्सर उनके तत्वों की सूची द्वारा दर्शाया जाता है। जो कोष्ठकों के साथ संलग्न होते हैं। जिस क्रम में उन्हें अनुमति दी जाती है।

उदाहरण के लिए दिया गया X = {1, 2, 3, 4} क्रमपरिवर्तन (1, 3, 2, 4) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 4 और 4 से 1 भेजता है। (इसलिए S = X) एक 4-चक्र है, और क्रमचय (1, 3, 2) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 1 और 4 से 4 भेजता है। (इसलिए S = {1, 2, 3} और 4 एक निश्चित तत्व है)। एक 3-चक्र है। दूसरी ओर क्रमपरिवर्तन जो 1 से 3, 3 से 1, 2 से 4 और 4 से 2 भेजता है। वह चक्रीय क्रमचय नहीं है। क्योंकि यह जोड़े {1, 3} और {2, 4} को अलग से क्रमपरिवर्तन करता है।

समुच्चय S को चक्र की कक्षा (समूह सिद्धांत) कहा जाता है। परिमित रूप से कई तत्वों पर प्रत्येक क्रमचय को अलग-अलग कक्षाओं में चक्रों में विघटित किया जा सकता है।

एक क्रमचय के अलग-अलग चक्रीय भागों को चक्र और निश्चित बिंदु भी कहा जाता है। इस प्रकार दूसरा उदाहरण 3-चक्र और 1-चक्र (या 'निश्चित बिंदु) से बना है और तीसरा 2-चक्रों से बना है। और निरूपित (1, 3) (2, 4)।

परिभाषा

अपराइट=1.7 दो निश्चित बिंदुओं के साथ चक्रीय क्रमचय का आरेख एक 6-चक्र और दो 1-चक्र।

एक क्रमचय को चक्रीय क्रमचय कहा जाता है। यदि इसमें एक एकल गैर-तुच्छ चक्र (लंबाई का चक्र> 1) हो।^[1]

उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन क्रमचय#दो-पंक्ति संकेतन|टू-लाइन अंकन (दो तरीकों से) और चक्र संकेतन में लिखा गया है।

{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&2&7&6&5&8&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&8&3&7&2&5\\4&6&8&3&7&1&2&5\end{pmatrix}}=(1\ 4\ 6\ 8\ 3\ 7)(2)(5),

छह-चक्र है। इसका चक्र आरेख दाईं ओर दिखाया गया है।

कुछ लेखक परिभाषा को केवल उन क्रमपरिवर्तनों तक सीमित रखते हैं जिनमें एक गैर-तुच्छ चक्र होता है। (अर्थात कोई निश्चित बिंदु अनुमति नहीं है)।^[2]

बिना तुच्छ चक्रों के चक्रीय क्रमचय 8-चक्र।

उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन

{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&5&7&6&8&2&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&4&6&2&5&8&3&7\\4&6&2&5&8&3&7&1\end{pmatrix}}=(1\ 4\ 6\ 2\ 5\ 8\ 3\ 7)

इस अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा के तहत एक चक्रीय क्रमचय है। जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण नहीं है।

अधिक औपचारिक रूप से एक क्रमचय $\sigma$ एक सेट एक्स का आक्षेप के रूप में देखा गया $\sigma :X\to X$ को एक चक्र कहा जाता है। यदि उपसमूह के X पर क्रिया उत्पन्न होती है। $\sigma$ अधिकतम एक कक्षा में एक से अधिक तत्व होते हैं।^[3] इस धारणा का सबसे अधिक उपयोग तब किया जाता है जब X एक परिमित समुच्चय होता है। तो निश्चित रूप से सबसे बड़ी कक्षा S भी परिमित है। $s_{0}$ S का कोई भी अवयव हो और $s_{i}=\sigma ^{i}(s_{0})$ किसी के लिए $i\in \mathbf {Z}$ . यदि S परिमित है। तो एक न्यूनतम संख्या है $k\geq 1$ जिसके लिए $s_{k}=s_{0}$ . तब $S=\{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{k-1}\}$ और $\sigma$ द्वारा परिभाषित क्रमचय है।

\sigma (s_{i})=s_{i+1}

0 ≤ i <k के लिए

और $\sigma (x)=x$ के किसी भी तत्व के लिए $X\setminus S$ . द्वारा तय नहीं किए गए तत्व $\sigma$ रूप में चित्रित किया जा सकता है।

s_{0}\mapsto s_{1}\mapsto s_{2}\mapsto \cdots \mapsto s_{k-1}\mapsto s_{k}=s_{0}

.

कॉम्पैक्ट चक्र संकेतन का उपयोग करके एक चक्र लिखा जा सकता है। $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ (के-टुपल के साथ भ्रम से बचने के लिए इस अंकन में तत्वों के बीच कोई अल्पविराम नहीं हैं)। एक चक्र की लंबाई इसकी सबसे बड़ी कक्षा के तत्वों की संख्या है। लंबाई के चक्र को के-चक्र भी कहा जाता है।

1-चक्र की कक्षा को क्रमचय का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है। लेकिन क्रमचय के रूप में प्रत्येक 1-चक्र पहचान क्रमचय है।^[4] जब चक्र संकेतन का उपयोग किया जाता है। तो 1-चक्रों को अक्सर दबा दिया जाता है जब कोई भ्रम नहीं होगा।^[5]

मूल गुण

सममित समूहो पर मूल परिणामों में यह है कि किसी भी क्रमचय को अलग सेट चक्रों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। (अधिक सटीक अलग कक्षाओं के साथ चक्र) ऐसे चक्र एक दूसरे के साथ चलते हैं और क्रमचय की अभिव्यक्ति चक्रों के क्रम तक अद्वितीय होती है।^{[lower-alpha 1]} इस अभिव्यक्ति (चक्र प्रकार) में चक्रों की लंबाई का बहु सेट इसलिए विशिष्ट रूप से क्रमचय द्वारा निर्धारित किया जाता है। और सममित समूह में क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर और संयुग्मन वर्ग दोनों इसके द्वारा निर्धारित होते हैं।^[6]

सममित समूह S में k- चक्रों की संख्या_n के लिए दिया जाता है $1\leq k\leq n$ निम्नलिखित समकक्ष सूत्रों द्वारा

{\binom {n}{k}}(k-1)!={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k}}.

एक k-चक्र में क्रमचय (−1)^{k − 1} के हस्ताक्षर होते हैं।

एक चक्र का उलटा कार्य $\sigma =(s_{0}~s_{1}~\dots ~s_{k-1})$ प्रविष्टियों के क्रम को उलट कर दिया जाता है। $\sigma ^{-1}=(s_{k-1}~\dots ~s_{1}~s_{0})$ विशेष रूप से $(a~b)=(b~a)$ के बाद से हर दो-चक्र का अपना व्युत्क्रम होता है। चूंकि अलग-अलग चक्र चलते हैं। अलग-अलग चक्रों के उत्पाद का व्युत्क्रम अलग-अलग चक्रों में से प्रत्येक को उलटने का परिणाम है।

स्थानान्तरण

का क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स

\pi

केवल दो तत्वों वाले चक्र को ट्रांसपोजिशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}$ यह 2 और 4 की अदला-बदली करता है। चूंकि यह 2-चक्र है। इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $\pi =(2,4)$ .

गुण

किसी भी क्रमचय को ट्रांसपोजिशन के समारोह रचना (उत्पाद) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। औपचारिक रूप से वे समूह (गणित) के लिए एक समूह का सेट तैयार कर रहे हैं।^[7] वास्तव में जब सेट को अनुमति दी जा रही है। ${1, 2, ..., n}$ कुछ पूर्णांक के लिए $n$ तो किसी भी क्रमचय को के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आसन्न ट्रांसपोज़िशन $(1~2),(2~3),(3~4),$ और इसी तरह यह इस प्रकार है। क्योंकि एक मनमाना वाष्पोत्सर्जन को आसन्न परिवर्तनों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ठोस रूप से कोई वाष्पोत्सर्जन व्यक्त कर सकता है। $(k~~l)$ कहाँ $k<l$ चलते - चलते $k$ को $l$ एक समय में एक कदम फिर आगे बढ़ना $l$ वापस कहाँ $k$ था। जो इन दोनों का आदान-प्रदान करता है और कोई अन्य परिवर्तन नहीं करता है।

(k~~l)=(k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)\cdots (l-1~~l)\cdot (l-2~~l-1)\cdots (k~~k+1).

ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद में एक क्रमचय का अपघटन उदाहरण के लिए क्रमचय को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है और फिर लंबाई 3 के प्रत्येक चक्र और लंबे समय तक ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद और लंबाई के चक्र में विभाजित किया जाता है। कम:

(a~b~c~d~\ldots ~y~z)=(a~b)\cdot (b~c~d~\ldots ~y~z).

इसका मतलब है कि प्रारंभिक अनुरोध स्थानांतरित करना है। $a$ को $b,$ $b$ को $c,$ $y$ को $z,$ और अंत में $z$ को $a.$ इसके बजाय कोई तत्वों को रखते हुए रोल कर सकता है। $a$ जहां यह पहले सही कारक को निष्पादित कर रहा है। (सामान्य रूप से ऑपरेटर नोटेशन में और क्रमचय # उत्पाद और उलटा लेख में सम्मेलन के बाद) यह स्थानांतरित हो गया है। $z$ की स्थिति के लिए $b,$ तो पहले क्रमचय के बाद तत्वों $a$ और $z$ अभी तक अपने अंतिम स्थान पर नहीं हैं। स्थानान्तरण $(a~b),$ उसके बाद निष्पादित फिर पते $z$ के सूचकांक द्वारा $b$ स्वैप करने के लिए जो शुरू में थे $a$ और $z.$

वास्तव में सममित समूह एक कॉक्सेटर समूह है। जिसका अर्थ है कि यह क्रम 2 (आसन्न स्थानान्तरण) के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और सभी संबंध एक निश्चित रूप के होते हैं।

सममित समूहों पर मुख्य परिणामों में से एक में कहा गया है कि ट्रांसपोज़िशन में दिए गए क्रमपरिवर्तन के सभी अपघटन में ट्रांसपोज़िशन की एक समान संख्या होती है। या उन सभी में ट्रांसपोज़िशन की एक विषम संख्या होती है।^[8] यह एक क्रमचय की समानता को एक अच्छी तरह से परिभाषित अवधारणा होने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

चक्र छँटाई - एक सॉर्टिंग एल्गोरिथम जो इस विचार पर आधारित है कि सॉर्ट किए जाने वाले क्रमचय को चक्रों में फैक्टर किया जा सकता है। जिसे क्रमबद्ध परिणाम देने के लिए व्यक्तिगत रूप से घुमाया जा सकता है।
चक्र और निश्चित बिंदु
पूर्णांक का चक्रीय क्रमपरिवर्तन
चक्र अंकन
प्रोटीन में परिपत्र क्रमपरिवर्तन
फिशर–येट्स फेरबदल

संदर्भ

↑ Bogart, Kenneth P. (1990), Introductory Combinatorics (2nd ed.), Harcourt, Brace, Jovanovich, p. 486, ISBN 0-15-541576-X
↑ Gross, Jonathan L. (2008), Combinatorial Methods with Computer Applications, Chapman & Hall/CRC, p. 29, ISBN 978-1-58488-743-0
↑ Fraleigh 1993, p. 103
↑ Rotman 2006, p. 108
↑ Sagan 1991, p. 2
↑ Rotman 2006, p. 117, 121
↑ Rotman 2006, p. 118, Prop. 2.35
↑ Rotman 2006, p. 122

स्रोत

एंडरसन, मार्लो और फील, टॉड (2005), सार बीजगणित में पहला कोर्स, चैपमैन और हॉल/सीआरसी; दूसरा संस्करण। ISBN 1-58488-515-7.
Fraleigh, John (1993), A first course in abstract algebra (5th ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
Sagan, Bruce E. (1991), The Symmetric Group / Representations, Combinatorial Algorithms & Symmetric Functions, Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-15540-7

बाहरी संबंध

This article incorporates material from cycle on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

[6] Note that the cycle notation is not unique: each k-cycle can itself be written in k different ways, depending on the choice of $s_{0}$ in its orbit.

[1] Bogart, Kenneth P. (1990), Introductory Combinatorics (2nd ed.), Harcourt, Brace, Jovanovich, p. 486, ISBN 0-15-541576-X

[2] Gross, Jonathan L. (2008), Combinatorial Methods with Computer Applications, Chapman & Hall/CRC, p. 29, ISBN 978-1-58488-743-0

[3] Fraleigh 1993, p. 103

[4] Rotman 2006, p. 108

[5] Sagan 1991, p. 2

[7] Rotman 2006, p. 117, 121

[8] Rotman 2006, p. 118, Prop. 2.35

[9] Rotman 2006, p. 122

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 {{short description|Type of (mathematical) permutation with no fixed element}}{{About|समूह सिद्धांत|सजातीय बीजगणित में चक्र|चेन कॉम्प्लेक्स # मौलिक शब्दावली|ग्राफ सिद्धांत में चक्र|चक्र (ग्राफ सिद्धांत)|प्रोटीन में परिपत्र क्रमपरिवर्तन|प्रोटीन में परिपत्र क्रमपरिवर्तन}}
-गणित में, और विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, एक चक्रीय क्रमचय (या चक्र) कुछ [[[[सबसेट]] (गणित)]] ''X'' के तत्वों का क्रमचय है जो ''X'' के कुछ उपसमुच्चय ''S'' के तत्वों को मैप करता है। '' एक्स '' के अन्य सभी तत्वों को ठीक करते हुए (यानी खुद को मैप करते हुए) एक चक्रीय फैशन में एक दूसरे के लिए ''। यदि ''स'' में ''क'' तत्व हैं, तो चक्र को ''क''-चक्र कहा जाता है। चक्रों को अक्सर उनके तत्वों की सूची द्वारा दर्शाया जाता है जो कोष्ठकों के साथ संलग्न होते हैं, जिस क्रम में उन्हें अनुमति दी जाती है।
+गणित में और विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में एक चक्रीय क्रमचय (या चक्र) कुछ [[[[सबसेट]] (गणित)]] ''X'' के तत्वों का क्रमचय है। जो ''X'' के कुछ उपसमुच्चय ''S'' के तत्वों को मैप करता है। '' एक्स '' के अन्य सभी तत्वों को ठीक करते हुए (अर्थात खुद को मैप करते हुए) एक चक्रीय फैशन में एक दूसरे के लिए  ''यदि ''स'' में ''क'' तत्व हैं। तो चक्र को ''क''-चक्र कहा जाता है। चक्रों को अक्सर उनके तत्वों की सूची द्वारा दर्शाया जाता है। जो कोष्ठकों के साथ संलग्न होते हैं। जिस क्रम में उन्हें अनुमति दी जाती है।''
-उदाहरण के लिए, दिया गया ''X'' = {1, 2, 3, 4}, क्रम[[परिवर्तन]] (1, 3, 2, 4) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 4 और 4 से 1 भेजता है (इसलिए ''S'' = ''X'') एक 4-चक्र है, और क्रमचय (1, 3, 2) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 1 और 4 से 4 भेजता है (इसलिए ''S '' = {1, 2, 3} और 4 एक निश्चित तत्व है) एक 3-चक्र है। दूसरी ओर, क्रमपरिवर्तन जो 1 से 3, 3 से 1, 2 से 4 और 4 से 2 भेजता है वह चक्रीय क्रमचय नहीं है क्योंकि यह जोड़े {1, 3} और {2, 4} को अलग से क्रमपरिवर्तन करता है।
+उदाहरण के लिए दिया गया ''X'' = {1, 2, 3, 4} क्रम[[परिवर्तन]] (1, 3, 2, 4) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 4 और 4 से 1 भेजता है। (इसलिए ''S'' = ''X'') एक 4-चक्र है, और क्रमचय (1, 3, 2) जो 1 से 3, 3 से 2, 2 से 1 और 4 से 4 भेजता है। (इसलिए ''S '' = {1, 2, 3} और 4 एक निश्चित तत्व है)। एक 3-चक्र है। दूसरी ओर क्रमपरिवर्तन जो 1 से 3, 3 से 1, 2 से 4 और 4 से 2 भेजता है। वह चक्रीय क्रमचय नहीं है। क्योंकि यह जोड़े {1, 3} और {2, 4} को अलग से क्रमपरिवर्तन करता है।
 समुच्चय ''S'' को चक्र की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]] कहा जाता है। परिमित रूप से कई तत्वों पर प्रत्येक क्रमचय को अलग-अलग कक्षाओं में चक्रों में विघटित किया जा सकता है।
-एक क्रमचय के अलग-अलग चक्रीय भागों को [[चक्र और निश्चित बिंदु]] भी कहा जाता है, इस प्रकार दूसरा उदाहरण 3-चक्र और 1-चक्र (या 'निश्चित बिंदु'') से बना है और तीसरा दो 2-चक्रों से बना है , और निरूपित (1, 3) (2, 4)।
+एक क्रमचय के अलग-अलग चक्रीय भागों को [[चक्र और निश्चित बिंदु]] भी कहा जाता है। इस प्रकार दूसरा उदाहरण 3-चक्र और 1-चक्र (या 'निश्चित बिंदु'') से बना है और तीसरा  2-चक्रों से बना है।  और निरूपित (1, 3) (2, 4)।''
 == परिभाषा ==
-[[image:050712_perm_3.png|thumb|upright=1.7|दो निश्चित बिंदुओं के साथ चक्रीय क्रमचय का आरेख; एक 6-चक्र और दो 1-चक्र।
+अपराइट=1.7 दो निश्चित बिंदुओं के साथ चक्रीय क्रमचय का आरेख एक 6-चक्र और दो 1-चक्र।
-एक क्रमचय को चक्रीय क्रमचय कहा जाता है यदि और केवल यदि इसमें एक एकल गैर-तुच्छ चक्र (लंबाई का चक्र> 1) हो।<ref>{{citation|first=Kenneth P.|last=Bogart|title=Introductory Combinatorics|year=1990|edition=2nd|publisher=Harcourt, Brace, Jovanovich|isbn=0-15-541576-X|page=486}}</ref>
-उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन, Permutation#Two-line notation|to-line notation (दो तरीकों से) और चक्र संकेतन में लिखा गया है,
+एक क्रमचय को चक्रीय क्रमचय कहा जाता है। यदि इसमें एक एकल गैर-तुच्छ चक्र (लंबाई का चक्र> 1) हो।<ref>{{citation|first=Kenneth P.|last=Bogart|title=Introductory Combinatorics|year=1990|edition=2nd|publisher=Harcourt, Brace, Jovanovich|isbn=0-15-541576-X|page=486}}</ref>
+उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन क्रमचय#दो-पंक्ति संकेतन|टू-लाइन अंकन (दो तरीकों से) और चक्र संकेतन में लिखा गया है।
 :<math>
@@ Line 17: / Line 19: @@
 \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 8 & 3 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 6 & 8 & 3 & 7 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} =
 (1\ 4\ 6\ 8\ 3\ 7)(2)(5),</math>
-छह-चक्र है; इसका चक्र आरेख दाईं ओर दिखाया गया है।
+छह-चक्र है। इसका चक्र आरेख दाईं ओर दिखाया गया है।
+कुछ लेखक परिभाषा को केवल उन क्रमपरिवर्तनों तक सीमित रखते हैं जिनमें एक गैर-तुच्छ चक्र होता है। (अर्थात कोई निश्चित बिंदु अनुमति  नहीं है)।<ref>{{citation|first=Jonathan L.|last=Gross|title=Combinatorial Methods with Computer Applications|publisher=Chapman & Hall/CRC|year=2008|isbn=978-1-58488-743-0|page=29}}</ref>
+बिना तुच्छ चक्रों के चक्रीय क्रमचय 8-चक्र।
-कुछ लेखक परिभाषा को केवल उन क्रमपरिवर्तनों तक सीमित रखते हैं जिनमें एक गैर-तुच्छ चक्र होता है (अर्थात, कोई निश्चित बिंदु अनुमत नहीं है)।<ref>{{citation|first=Jonathan L.|last=Gross|title=Combinatorial Methods with Computer Applications|publisher=Chapman & Hall/CRC|year=2008|isbn=978-1-58488-743-0|page=29}}</ref>
+उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन
-[[image:050712_perm_2.png| बिना तुच्छ चक्रों के चक्रीय क्रमचय; एक 8-चक्र।
-उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन
 :<math>
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 \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 & 1 \end{pmatrix} =
 (1\ 4\ 6\ 2\ 5\ 8\ 3\ 7)</math>
-इस अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा के तहत एक चक्रीय क्रमचय है, जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण नहीं है।
+इस अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा के तहत एक चक्रीय क्रमचय है। जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण नहीं है।
-अधिक औपचारिक रूप से, एक क्रमचय <math>\sigma</math> एक सेट एक्स का, एक आक्षेप के रूप में देखा गया <math>\sigma:X\to X</math>, को एक चक्र कहा जाता है यदि उपसमूह के X पर क्रिया उत्पन्न होती है <math>\sigma</math> अधिकतम एक कक्षा में एक से अधिक तत्व होते हैं।<ref>{{harvnb|Fraleigh|1993|loc=p. 103}}</ref> इस धारणा का सबसे अधिक उपयोग तब किया जाता है जब X एक परिमित समुच्चय होता है; तो निश्चित रूप से सबसे बड़ी कक्षा, S, भी परिमित है। होने देना <math>s_0</math> S का कोई भी अवयव हो, और रख दें <math>s_i=\sigma^i(s_0)</math> किसी के लिए <math>i\in\mathbf{Z}</math>. यदि S परिमित है, तो एक न्यूनतम संख्या है <math>k \geq 1</math> जिसके लिए <math>s_k=s_0</math>. तब <math>S=\{ s_0, s_1, \ldots, s_{k-1}\}</math>, और <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित क्रमचय है
+अधिक औपचारिक रूप से एक क्रमचय <math>\sigma</math> एक सेट एक्स का आक्षेप के रूप में देखा गया <math>\sigma:X\to X</math> को एक चक्र कहा जाता है। यदि उपसमूह के X पर क्रिया उत्पन्न होती है। <math>\sigma</math> अधिकतम एक कक्षा में एक से अधिक तत्व होते हैं।<ref>{{harvnb|Fraleigh|1993|loc=p. 103}}</ref> इस धारणा का सबसे अधिक उपयोग तब किया जाता है जब X एक परिमित समुच्चय होता है। तो निश्चित रूप से सबसे बड़ी कक्षा S भी परिमित है। <math>s_0</math> S का कोई भी अवयव हो और  <math>s_i=\sigma^i(s_0)</math> किसी के लिए <math>i\in\mathbf{Z}</math>. यदि S परिमित है। तो एक न्यूनतम संख्या है <math>k \geq 1</math> जिसके लिए <math>s_k=s_0</math>. तब <math>S=\{ s_0, s_1, \ldots, s_{k-1}\}</math> और <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित क्रमचय है।
 :<math>\sigma(s_i) = s_{i+1}</math> 0 ≤ i <k के लिए
-और <math>\sigma(x)=x</math> के किसी भी तत्व के लिए <math>X\setminus S</math>. द्वारा तय नहीं किए गए तत्व <math>\sigma</math> रूप में चित्रित किया जा सकता है
+और <math>\sigma(x)=x</math> के किसी भी तत्व के लिए <math>X\setminus S</math>. द्वारा तय नहीं किए गए तत्व <math>\sigma</math> रूप में चित्रित किया जा सकता है।
 :<math>s_0\mapsto s_1\mapsto s_2\mapsto\cdots\mapsto s_{k-1}\mapsto s_k=s_0</math>.
-कॉम्पैक्ट चक्र संकेतन का उपयोग करके एक चक्र लिखा जा सकता है <math>\sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1})</math> (के-टुपल के साथ भ्रम से बचने के लिए, इस अंकन में तत्वों के बीच कोई अल्पविराम नहीं हैं)। एक चक्र की लंबाई इसकी सबसे बड़ी कक्षा के तत्वों की संख्या है। लंबाई के चक्र को के-चक्र भी कहा जाता है।
+कॉम्पैक्ट चक्र संकेतन का उपयोग करके एक चक्र लिखा जा सकता है। <math>\sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1})</math> (के-टुपल के साथ भ्रम से बचने के लिए इस अंकन में तत्वों के बीच कोई अल्पविराम नहीं हैं)। एक चक्र की लंबाई इसकी सबसे बड़ी कक्षा के तत्वों की संख्या है। लंबाई के चक्र को के-चक्र भी कहा जाता है।
--चक्र की कक्षा को क्रमचय का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है, लेकिन क्रमचय के रूप में प्रत्येक 1-चक्र पहचान क्रमचय है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 108}}</ref> जब चक्र संकेतन का उपयोग किया जाता है, तो 1-चक्रों को अक्सर दबा दिया जाता है जब कोई भ्रम नहीं होगा।<ref>{{harvnb|Sagan|1991|loc=p. 2}}</ref>
+-चक्र की कक्षा को क्रमचय का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है। लेकिन क्रमचय के रूप में प्रत्येक 1-चक्र पहचान क्रमचय है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 108}}</ref> जब चक्र संकेतन का उपयोग किया जाता है। तो 1-चक्रों को अक्सर दबा दिया जाता है जब कोई भ्रम नहीं होगा।<ref>{{harvnb|Sagan|1991|loc=p. 2}}</ref>
 == मूल गुण ==
-[[सममित समूह]]ों पर मूल परिणामों में से एक यह है कि किसी भी क्रमचय को अलग सेट चक्रों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (अधिक सटीक: अलग कक्षाओं के साथ चक्र); ऐसे चक्र एक दूसरे के साथ चलते हैं, और क्रमचय की अभिव्यक्ति चक्रों के क्रम तक अद्वितीय होती है।{{efn|Note that the cycle notation is not unique: each ''k''-cycle can itself be written in ''k'' different ways, depending on the choice of <math>s_0</math> in its orbit.}} इस अभिव्यक्ति ([[चक्र प्रकार]]) में चक्रों की लंबाई का [[ multiset ]] इसलिए विशिष्ट रूप से क्रमचय द्वारा निर्धारित किया जाता है, और सममित समूह में क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर और [[संयुग्मन वर्ग]] दोनों इसके द्वारा निर्धारित होते हैं।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 117, 121}}</ref>
+[[सममित समूह|सममित समू]]हो पर मूल परिणामों में यह है कि किसी भी क्रमचय को अलग सेट चक्रों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। (अधिक सटीक अलग कक्षाओं के साथ चक्र) ऐसे चक्र एक दूसरे के साथ चलते हैं और क्रमचय की अभिव्यक्ति चक्रों के क्रम तक अद्वितीय होती है।{{efn|Note that the cycle notation is not unique: each ''k''-cycle can itself be written in ''k'' different ways, depending on the choice of <math>s_0</math> in its orbit.}} इस अभिव्यक्ति ([[चक्र प्रकार]]) में चक्रों की लंबाई का [[ multiset |  बहु सेट]] इसलिए विशिष्ट रूप से क्रमचय द्वारा निर्धारित किया जाता है। और सममित समूह में क्रमपरिवर्तन के हस्ताक्षर और [[संयुग्मन वर्ग]] दोनों इसके द्वारा निर्धारित होते हैं।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 117, 121}}</ref>
-सममित समूह S में k- चक्रों की संख्या<sub>''n''</sub> के लिए दिया जाता है <math>1\leq k\leq n</math>, निम्नलिखित समकक्ष सूत्रों द्वारा:
+सममित समूह S में k- चक्रों की संख्या<sub>''n''</sub> के लिए दिया जाता है <math>1\leq k\leq n</math> निम्नलिखित समकक्ष सूत्रों द्वारा
 <math display="block">\binom nk(k-1)!=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k}.</math>
-एक k-चक्र में क्रमचय (-1) के हस्ताक्षर होते हैं<sup>के − 1</sup>.
+एक k-चक्र में क्रमचय (−1)<sup>''k'' − 1</sup> के हस्ताक्षर होते हैं।
-एक चक्र का उलटा कार्य <math>\sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1})</math> प्रविष्टियों के क्रम को उलट कर दिया जाता है: <math>\sigma^{-1} = (s_{k - 1}~\dots~s_1~s_{0})</math>. विशेष रूप से, के बाद से <math>(a ~ b) = (b ~ a)</math>, हर दो-चक्र का अपना व्युत्क्रम होता है। चूंकि अलग-अलग चक्र चलते हैं, अलग-अलग चक्रों के उत्पाद का व्युत्क्रम अलग-अलग चक्रों में से प्रत्येक को उलटने का परिणाम है।
+एक चक्र का उलटा कार्य <math>\sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1})</math> प्रविष्टियों के क्रम को उलट कर दिया जाता है। <math>\sigma^{-1} = (s_{k - 1}~\dots~s_1~s_{0})</math> विशेष रूप से <math>(a ~ b) = (b ~ a)</math> के बाद से हर दो-चक्र का अपना व्युत्क्रम होता है। चूंकि अलग-अलग चक्र चलते हैं। अलग-अलग चक्रों के उत्पाद का व्युत्क्रम अलग-अलग चक्रों में से प्रत्येक को उलटने का परिणाम है।
 == स्थानान्तरण ==
-{{redirect|Transposition (mathematics)|matrix transposition|Transpose}}
+{{redirect|स्थानान्तरण (गणित)|मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन|खिसकाना}}
-[[File:4-el perm matrix 14.svg|thumb|120px|का [[क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स]] <math>\pi</math>]]केवल दो तत्वों वाले चक्र को ट्रांसपोजिशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}</math> यह 2 और 4 की अदला-बदली करता है। चूंकि यह 2-चक्र है, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\pi = (2,4)</math>.
+[[File:4-el perm matrix 14.svg|thumb|120px|का [[क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स]] <math>\pi</math>]]केवल दो तत्वों वाले चक्र को ट्रांसपोजिशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए क्रमपरिवर्तन <math>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}</math> यह 2 और 4 की अदला-बदली करता है। चूंकि यह 2-चक्र है। इसे इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\pi = (2,4)</math>.
 === गुण ===
-किसी भी क्रमचय को ट्रांसपोजिशन के [[ समारोह रचना ]] (उत्पाद) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है - औपचारिक रूप से, वे [[समूह (गणित)]] के लिए एक समूह का सेट तैयार कर रहे हैं।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 118, Prop. 2.35}}</ref> वास्तव में, जब सेट को अनुमति दी जा रही है {{math|{{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}}, तो किसी भी क्रमचय को के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है{{visible anchor|adjacent transpositions}} <math>(1~2), (2~3), (3~4),</math> और इसी तरह। यह इस प्रकार है क्योंकि एक मनमाना वाष्पोत्सर्जन को आसन्न परिवर्तनों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ठोस रूप से, कोई वाष्पोत्सर्जन व्यक्त कर सकता है <math>(k~~l)</math> कहाँ <math>k < l</math> चलते - चलते {{math|''k''}} को {{math|''l''}} एक समय में एक कदम, फिर आगे बढ़ना {{math|''l''}} वापस कहाँ {{math|''k''}} था, जो इन दोनों का आदान-प्रदान करता है और कोई अन्य परिवर्तन नहीं करता है:
+किसी भी क्रमचय को ट्रांसपोजिशन के [[ समारोह रचना ]] (उत्पाद) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। औपचारिक रूप से वे [[समूह (गणित)]] के लिए एक समूह का सेट तैयार कर रहे हैं।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 118, Prop. 2.35}}</ref> वास्तव में जब सेट को अनुमति दी जा रही है। {{math|{{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|''n''}} तो किसी भी क्रमचय को के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। {{visible anchor|आसन्न ट्रांसपोज़िशन}} <math>(1~2), (2~3), (3~4),</math> और इसी तरह यह इस प्रकार है। क्योंकि एक मनमाना वाष्पोत्सर्जन को आसन्न परिवर्तनों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ठोस रूप से कोई वाष्पोत्सर्जन व्यक्त कर सकता है। <math>(k~~l)</math> कहाँ <math>k < l</math> चलते - चलते {{math|''k''}} को {{math|''l''}} एक समय में एक कदम फिर आगे बढ़ना {{math|''l''}} वापस कहाँ {{math|''k''}} था। जो इन दोनों का आदान-प्रदान करता है और कोई अन्य परिवर्तन नहीं करता है।
 :<math>(k~~l) = (k~~k+1)\cdot(k+1~~k+2)\cdots(l-1~~l)\cdot(l-2~~l-1)\cdots(k~~k+1).</math>
-ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद में एक क्रमचय का अपघटन, उदाहरण के लिए, क्रमचय को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है, और फिर लंबाई 3 के प्रत्येक चक्र और लंबे समय तक ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद और एक लंबाई के चक्र में विभाजित किया जाता है। कम:
+ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद में एक क्रमचय का अपघटन उदाहरण के लिए क्रमचय को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखकर प्राप्त किया जाता है और फिर लंबाई 3 के प्रत्येक चक्र और लंबे समय तक ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद और  लंबाई के चक्र में विभाजित किया जाता है। कम:
 :<math>(a~b~c~d~\ldots~y~z) = (a~b)\cdot (b~c~d~\ldots~y~z).</math>
-इसका मतलब है कि प्रारंभिक अनुरोध स्थानांतरित करना है <math>a</math> को <math>b,</math> <math>b</math> को <math>c,</math> <math>y</math> को <math>z,</math> और अंत में <math>z</math> को <math>a.</math> इसके बजाय कोई तत्वों को रखते हुए रोल कर सकता है <math>a</math> जहां यह पहले सही कारक को निष्पादित कर रहा है (सामान्य रूप से ऑपरेटर नोटेशन में, और क्रमचय # उत्पाद और उलटा लेख में सम्मेलन के बाद)। यह स्थानांतरित हो गया है <math>z</math> की स्थिति के लिए <math>b,</math> तो पहले क्रमचय के बाद, Elements <math>a</math> और <math>z</math> अभी तक अपने अंतिम स्थान पर नहीं हैं। स्थानान्तरण <math>(a~b),</math> उसके बाद निष्पादित, फिर पते <math>z</math> के सूचकांक द्वारा <math>b</math> स्वैप करने के लिए जो शुरू में थे <math>a</math> और <math>z.</math>
+इसका मतलब है कि प्रारंभिक अनुरोध स्थानांतरित करना है। <math>a</math> को <math>b,</math> <math>b</math> को <math>c,</math> <math>y</math> को <math>z,</math> और अंत में <math>z</math> को <math>a.</math> इसके बजाय कोई तत्वों को रखते हुए रोल कर सकता है। <math>a</math> जहां यह पहले सही कारक को निष्पादित कर रहा है। (सामान्य रूप से ऑपरेटर नोटेशन में और क्रमचय # उत्पाद और उलटा लेख में सम्मेलन के बाद) यह स्थानांतरित हो गया है। <math>z</math> की स्थिति के लिए <math>b,</math> तो पहले क्रमचय के बाद तत्वों <math>a</math> और <math>z</math> अभी तक अपने अंतिम स्थान पर नहीं हैं। स्थानान्तरण <math>(a~b),</math> उसके बाद निष्पादित फिर पते <math>z</math> के सूचकांक द्वारा <math>b</math> स्वैप करने के लिए जो शुरू में थे <math>a</math> और <math>z.</math>
-वास्तव में, सममित समूह एक [[कॉक्सेटर समूह]] है, जिसका अर्थ है कि यह क्रम 2 (आसन्न स्थानान्तरण) के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, और सभी संबंध एक निश्चित रूप के होते हैं।
+वास्तव में सममित समूह एक [[कॉक्सेटर समूह]] है। जिसका अर्थ है कि यह क्रम 2 (आसन्न स्थानान्तरण) के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और सभी संबंध एक निश्चित रूप के होते हैं।
-सममित समूहों पर मुख्य परिणामों में से एक में कहा गया है कि या तो ट्रांसपोज़िशन में दिए गए क्रमपरिवर्तन के सभी अपघटन में ट्रांसपोज़िशन की एक समान संख्या होती है, या उन सभी में ट्रांसपोज़िशन की एक विषम संख्या होती है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 122}}</ref> यह [[एक क्रमचय की समानता]] को एक [[अच्छी तरह से परिभाषित]] अवधारणा होने की अनुमति देता है।
+सममित समूहों पर मुख्य परिणामों में से एक में कहा गया है कि  ट्रांसपोज़िशन में दिए गए क्रमपरिवर्तन के सभी अपघटन में ट्रांसपोज़िशन की एक समान संख्या होती है। या उन सभी में ट्रांसपोज़िशन की एक विषम संख्या होती है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 122}}</ref> यह [[एक क्रमचय की समानता]] को एक [[अच्छी तरह से परिभाषित]] अवधारणा होने की अनुमति देता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[ चक्र छँटाई ]] - एक सॉर्टिंग एल्गोरिथम जो इस विचार पर आधारित है कि सॉर्ट किए जाने वाले क्रमचय को चक्रों में फैक्टर किया जा सकता है, जिसे क्रमबद्ध परिणाम देने के लिए व्यक्तिगत रूप से घुमाया जा सकता है
+* [[ चक्र छँटाई ]] - एक सॉर्टिंग एल्गोरिथम जो इस विचार पर आधारित है कि सॉर्ट किए जाने वाले क्रमचय को चक्रों में फैक्टर किया जा सकता है। जिसे क्रमबद्ध परिणाम देने के लिए व्यक्तिगत रूप से घुमाया जा सकता है।
 * चक्र और निश्चित बिंदु
 * [[पूर्णांक का चक्रीय क्रमपरिवर्तन]]
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 {{PlanetMath attribution|id=2262|title=cycle}}
-{{DEFAULTSORT:Cycle (Mathematics)}}[[Category: क्रमपरिवर्तन]]
+{{DEFAULTSORT:Cycle (Mathematics)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Cycle (Mathematics)]]
-[[Category:Created On 21/03/2023]]
+[[Category:Created On 21/03/2023|Cycle (Mathematics)]]
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