ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन: Difference between revisions

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[[ज्यामिति]] में, एक ऑर्थोसेन्ट्रिक [[ चतुर्पाश्वीय ]] एक टेट्राहेड्रॉन होता है जहां विपरीत किनारों के सभी तीन जोड़े लंबवत होते हैं। इसे ऑर्थोगोनल टेट्राहेड्रॉन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऑर्थोगोनल का मतलब [[सीधा]] होता है। यह पहली बार 1782 में साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा अध्ययन किया गया था, और गैस्टन अल्बर्ट गोहिरे डी लॉन्गचैम्प्स द्वारा ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन नाम दिया गया था। 1890 में डी लॉन्गचैम्प्स।<ref name=Court>{{citation|last=Court|first=N. A.|authorlink=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
[[ज्यामिति]] में, '''ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन''' में विपरीत कोर के तीन युग्मक लंबवत होते हैं। इसे ऑर्थोगोनल टेट्राहेड्रॉन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऑर्थोगोनल का अर्थ [[सीधा|समकोण]] होता है। सर्वप्रथम इसका अध्ययन 1782 में साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा किया गया था और 1890 में जी डी लॉन्गचैम्प्स द्वारा ओर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉन नाम दिया गया था।<ref name=Court>{{citation|last=Court|first=N. A.|authorlink=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>
एक ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में चार ऊँचाई [[समवर्ती रेखाएँ]] हैं। इस सामान्य बिंदु को ऑर्थोसेंटर कहा जाता है, और इसकी संपत्ति है कि यह [[केन्द्रक]] के संबंध में परिचालित क्षेत्र के केंद्र का सममित बिंदु है।<ref name=Court/>इसलिए लम्बकेन्द्र चतुष्फलक के त्रिभुज के अनुरूप चतुष्फलक#गुणों के साथ मेल खाता है।
 
ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में चार [[समवर्ती रेखाएँ]] होती हैं। यह सामान्य बिंदु ऑर्थोसेंटर कहलाता है और यह [[केन्द्रक]] के संबंध में परिचालित क्षेत्र के केंद्र का सममित बिंदु है।<ref name="Court" />इसलिए ऑर्थोसेंटर चतुष्फलक के मोंज बिंदु के समरूप होता है।


== लक्षण वर्णन ==
== लक्षण वर्णन ==
सभी टेट्राहेड्रा को समांतर चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है। एक टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है [[अगर और केवल अगर]] इसके परिचालित समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। वास्तव में, किसी भी चतुष्फलक में, विपरीत किनारों की एक जोड़ी लंबवत होती है यदि और केवल यदि परिबद्ध समांतर चतुर्भुज के संगत फलक समचतुर्भुज हों। यदि एक समांतर चतुर्भुज के चार फलक समचतुर्भुज हैं, तो सभी किनारों की लंबाई समान होती है और सभी छह फलक समचतुर्भुज होते हैं; यह इस प्रकार है कि यदि टेट्राहेड्रॉन में विपरीत किनारों के दो जोड़े लंबवत हैं, तो तीसरी जोड़ी भी है, और टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है।<ref name=Court/>
सभी टेट्राहेड्रा को समान्तरषटफलक में अंकित किया जा सकता है। टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है [[अगर और केवल अगर|यदि]] इसके परिबद्ध समान्तरषटफलक, समचतुर्भुज है। टेट्राहेड्रॉन में, विपरीत कोर युग्मक लंबवत होता है यदि परिबद्ध समान्तरषटफलक के संगत फलक समचतुर्भुज हैं। यदि समान्तरषटफलक के चार फलक समचतुर्भुज हैं, तो सभी कोरों की लंबाई समान होती है और सभी छह फलक समचतुर्भुज होते हैं| इस प्रकार टेट्राहेड्रॉन में विपरीत कोर के दो युग्मक लंबवत हैं और टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है।<ref name=Court/>


एक चतुष्फलक {{mvar|ABCD}} ऑर्थोसेन्ट्रिक है अगर और केवल अगर विपरीत किनारों के वर्गों का योग विपरीत किनारों के तीन जोड़े के लिए समान है:<ref>Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.</ref><ref name=Hazewinkel/>
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वास्तव में, टेट्राहेड्रोन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए इस शर्त को पूरा करने के लिए विपरीत किनारों के केवल दो जोड़े के लिए पर्याप्त है।
वास्तव में, टेट्राहेड्रोन ऑर्थोसेन्ट्रिक हो इसलिए विपरीत कोर के मात्र दो युग्मक ही पर्याप्त होते है।


टेट्राहेड्रॉन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि इसके तीन टेट्राहेड्रॉन#Properties_analogous_to_those_of_a_triangle की लंबाई समान है।<ref name=Hazewinkel>[[Hazewinkel, Michiel]], "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.</ref>
टेट्राहेड्रॉन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए अन्य आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि इसके तीन टेट्राहेड्रॉन की लंबाई समान होती है।<ref name=Hazewinkel>[[Hazewinkel, Michiel]], "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.</ref>




== मात्रा ==
== आयतन ==
किनारों के बारे में लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि यदि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन के छह किनारों में से केवल चार ही ज्ञात हैं, तो शेष दो की गणना तब तक की जा सकती है जब तक कि वे एक दूसरे के विपरीत न हों। इसलिए ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन का [[आयतन]] चार किनारों ए, बी, सी, डी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सूत्र है<ref name=Andreescu>Andreescu, Titu and Gelca, Razvan, "Mathematical Olympiad Challenges", Birkhäuser, second edition, 2009, pp. 30-31, 159.</ref>
कोर के सम्बन्ध में लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि यदि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन के छ: कोर में से मात्र चार ही ज्ञात हैं, तो शेष दो की गणना की जा सकती है यदि वे परस्पर विपरीत न हों। इसलिए ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन का [[आयतन]] चार कोरों ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|<ref name=Andreescu>Andreescu, Titu and Gelca, Razvan, "Mathematical Olympiad Challenges", Birkhäuser, second edition, 2009, pp. 30-31, 159.</ref>
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== यह भी देखें ==
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*[[ डिफेनोइड ]]
*डिफेनोइड  
* तिकोना चतुर्भुज
* त्रिआयताकार चतुर्भुज


== संदर्भ ==
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Latest revision as of 14:59, 30 October 2023

ज्यामिति में, ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में विपरीत कोर के तीन युग्मक लंबवत होते हैं। इसे ऑर्थोगोनल टेट्राहेड्रॉन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऑर्थोगोनल का अर्थ समकोण होता है। सर्वप्रथम इसका अध्ययन 1782 में साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा किया गया था और 1890 में जी डी लॉन्गचैम्प्स द्वारा ओर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉन नाम दिया गया था।[1]

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में चार समवर्ती रेखाएँ होती हैं। यह सामान्य बिंदु ऑर्थोसेंटर कहलाता है और यह केन्द्रक के संबंध में परिचालित क्षेत्र के केंद्र का सममित बिंदु है।[1]इसलिए ऑर्थोसेंटर चतुष्फलक के मोंज बिंदु के समरूप होता है।

लक्षण वर्णन

सभी टेट्राहेड्रा को समान्तरषटफलक में अंकित किया जा सकता है। टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है यदि इसके परिबद्ध समान्तरषटफलक, समचतुर्भुज है। टेट्राहेड्रॉन में, विपरीत कोर युग्मक लंबवत होता है यदि परिबद्ध समान्तरषटफलक के संगत फलक समचतुर्भुज हैं। यदि समान्तरषटफलक के चार फलक समचतुर्भुज हैं, तो सभी कोरों की लंबाई समान होती है और सभी छह फलक समचतुर्भुज होते हैं| इस प्रकार टेट्राहेड्रॉन में विपरीत कोर के दो युग्मक लंबवत हैं और टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है।[1]

टेट्राहेड्रॉन ABCD ऑर्थोसेन्ट्रिक है यदि विपरीत कोर के वर्गों का योग विपरीत कोर के तीन युग्मकों के लिए समान है-[2][3]

वास्तव में, टेट्राहेड्रोन ऑर्थोसेन्ट्रिक हो इसलिए विपरीत कोर के मात्र दो युग्मक ही पर्याप्त होते है।

टेट्राहेड्रॉन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए अन्य आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि इसके तीन टेट्राहेड्रॉन की लंबाई समान होती है।[3]


आयतन

कोर के सम्बन्ध में लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि यदि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन के छ: कोर में से मात्र चार ही ज्ञात हैं, तो शेष दो की गणना की जा सकती है यदि वे परस्पर विपरीत न हों। इसलिए ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन का आयतन चार कोरों a, b, c, d, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|[4]

जहाँ c और d विपरीत कोर हैं, और है|

यह भी देखें

  • डिफेनोइड
  • त्रिआयताकार चतुर्भुज

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Court, N. A. (October 1934), "Notes on the orthocentric tetrahedron", American Mathematical Monthly, 41 (8): 499–502, doi:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
  2. ↑ Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.
  3. ↑ 3.0 3.1 Hazewinkel, Michiel, "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.
  4. ↑ Andreescu, Titu and Gelca, Razvan, "Mathematical Olympiad Challenges", Birkhäuser, second edition, 2009, pp. 30-31, 159.
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