विशिष्ट ताप क्षमता

विशेष पदार्थों की विशिष्ट ताप क्षमता के लिए, विशिष्ट ताप क्षमता की तालिका देखें।

ऊष्मप्रवैगिकी में, विशिष्ट ताप क्षमता (प्रतीक c) किसी पदार्थ के प्रतिदर्श के द्रव्यमान द्वारा विभाजित पदार्थ के प्रतिदर्श की ताप क्षमता है, जिसे कभी-कभी सामूहिक ताप क्षमता भी कहा जाता है। अनौपचारिक रूप से, यह ऊष्मा की वह राशि है जिसे किसी पदार्थ के द्रव्यमान की एक इकाई में जोड़ा जाना चाहिए ताकि तापमान में एक इकाई की वृद्धि हो सके। विशिष्ट ताप क्षमता की इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली जूल प्रति केल्विन प्रति किलोग्राम J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ होती है। उदाहरण के लिए, 1 किलोग्राम पानी का तापमान 1 केल्विन बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा 4184 जूल होती है, इसलिए पानी की विशिष्ट ताप क्षमता 4184 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ होती है।

विशिष्ट ताप क्षमता प्रायः तापमान के साथ बदलती रहती है, और पदार्थ की प्रत्येक अवस्था के लिए भिन्न होती है। तरल पानी में सामान्य पदार्थों के बीच उच्चतम विशिष्ट ताप क्षमता होती है, लगभग 4184 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ 20 °C पर; लेकिन बर्फ का 0 °C के ठीक नीचे, केवल 2093 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ होती है। लोहे, ग्रेनाइट और हाइड्रोजन गैस की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता क्रमशः 449 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹, 790 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹, और 14300 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ होती है। जबकि पदार्थ एक प्रावस्था संक्रमण से गुजर रहा है, जैसे कि पिघलना या उबलना, इसकी विशिष्ट ताप क्षमता तकनीकी रूप से अपरिभाषित है, क्योंकि ऊष्मा अपना तापमान बढ़ाने के अतिरिक्त अपनी स्थिति को परिवर्तित करने में संचरित किया जाता है।

किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता, विशेष रूप से एक गैस अपेक्षाकृत अधिक हो सकती है जब इसे विस्तारित करने की स्वीकृति दी जाती है क्योंकि यह एक बंद पात्र में गर्म होने की तुलना में निरंतर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता को गर्म करती है जो विस्तृत विशिष्ट ताप क्षमता को स्थिर मात्रा में रोकती है। इन दो मानो को सामान्य रूप से क्रमशः $c_{p}$ और $c_{V}$ द्वारा दर्शाया जाता है; उनका अनुपात $\gamma =c_{p}/c_{V}$ताप क्षमता अनुपात है।

विशिष्ट ऊष्मा शब्द किसी दिए गए तापमान पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता और संदर्भ पदार्थ के संदर्भ तापमान जैसे 15 डिग्री सेल्सियस पर पानी के विशिष्ट गुरुत्व के व्यवहार के बीच के अनुपात को भी संदर्भित कर सकता है। विशिष्ट ताप क्षमता अन्य भाजक के साथ ऊष्मा क्षमता के अन्य विस्तृत मापों से भी संबंधित है। यदि पदार्थ की मात्रा को मोल्स की संख्या के रूप में मापा जाता है, तो इसके अतिरिक्त मोलीय ताप क्षमता प्राप्त होती है, जिसकी एसआई इकाई जौल प्रति केल्विन प्रति मोल, J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹ होती है। यदि मात्रा को प्रतिदर्श के आयतन (जैसा कि कभी-कभी अभियांत्रिकी में किया जाता है) के रूप में लिया जाता है, तो एक को आयतन ताप क्षमता मिलती है, जिसका एसआई मात्रक जूल प्रति केल्विन प्रति घन मीटर, J⋅m⁻³⋅K⁻¹ होती है।

अवधारणा का उपयोग करने वाले पहले वैज्ञानिकों में से एक जोसेफ ब्लैक, 18वीं सदी के चिकित्सक और ग्लासगो विश्वविद्यालय में चिकित्सा के प्रोफेसर थे। उन्होंने ऊष्मा के लिए शब्द क्षमता का उपयोग करते हुए, कई पदार्थों की विशिष्ट ताप क्षमता को मापा जाता है।

परिभाषा

किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता, जिसे सामान्य रूप से c या s द्वारा दर्शाया जाता है, पदार्थ के एक प्रतिदर्श की ऊष्मा क्षमता C होती है, जिसे प्रतिदर्श के द्रव्यमान M द्वारा विभाजित किया जाता है::

$c={\frac {C}{M}}={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} T}}$

जहां $\mathrm {d} Q$ प्रतिदर्श के तापमान को समान रूप से एक छोटी वृद्धि $\mathrm {d} T$ द्वारा समान रूप से बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी वस्तु की ऊष्मा क्षमता की तरह, किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता भिन्न हो सकती है, कभी-कभी प्रतिदर्श के प्रारम्भिक तापमान T और उस पर प्रयुक्त दबाव p के आधार पर अपेक्षाकृत अधिक तक भिन्न हो सकती है। इसलिए, इसे उन दो चर का एक फलन $c(p,T)$ माना जाना चाहिए।

किसी पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता देते समय ये पैरामीटर सामान्य रूप से निर्दिष्ट होते हैं। उदाहरण के लिए पानी (तरल) $c_{p}$ = 4187 J⋅kg⁻¹⋅K^-1 (15°C) जब विशिष्ट ताप क्षमता c के प्रकाशित मान निर्दिष्ट नहीं होते हैं तो सामान्य रूप से तापमान और दबाव के लिए कुछ मानक स्थितियों के लिए मान्य होते हैं।

हालांकि, प्रारम्भिक तापमान और दबाव पर c की निर्भरता को व्यावहारिक संदर्भों में प्रायः अपेक्षित किया जा सकता है। उदाहरण जब उन चरों की संकीर्ण श्रेणियों में काम कर रहे हों। उन संदर्भों में सामान्य रूप से विशेषण $(p,T)$ को छोड़ दिया जाता है, और उन श्रेणियों के लिए उपयुक्त स्थिर c द्वारा विशिष्ट ताप क्षमता का अनुमान लगाया जाता है।

विशिष्ट ताप क्षमता पदार्थ की एक विस्तृत गुण है, एक आंतरिक विशेषता है जो प्रतिफल राशि के आकार या आकृति पर निर्भर नहीं करती है। विस्तृत गुण के सामने "विशिष्ट" विशेषण प्रायः इससे प्राप्त एक विस्तृत गुण को प्रदर्शित करती है।

विविधताएं

किसी पदार्थ में उष्मा ऊर्जा का अंतःक्षेपण, इसके तापमान को बढ़ाने के अतिरिक्त, सामान्य रूप से इसकी मात्रा और/या इसके दबाव में वृद्धि का कारण बनता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिदर्श कैसे सीमित है। उत्तरार्द्ध के बारे में किए गए चयन समान प्रारम्भिक दबाव p और प्रारम्भिक तापमान T के लिए भी मापी गई विशिष्ट ताप क्षमता को प्रभावित करती है। दो विशेष विकल्प व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं:

• यदि दबाव स्थिर (उदाहरण के लिए, परिवेशी वायुमंडलीय दबाव पर) रखा जाता है, और प्रतिदर्श को विस्तार करने की स्वीकृति दी जाती है, तो विस्तार कार्य (ऊष्मप्रवैगिकी) उत्पन्न करता है क्योंकि दबाव से बल से या आसपास के द्रव को विस्थापित करता है। वह कार्य प्रदान की गई ऊष्मा ऊर्जा से आना चाहिए। इस प्रकार प्राप्त विशिष्ट ताप क्षमता को निरंतर दबाव (या समदाबी) पर मापा जाता है, और इसे प्रायः $c_{p}$, $c_{\mathrm {p} }$,आदि से निरूपित किया जाता है।
• दूसरी ओर, यदि विस्तार को रोका जाता है - उदाहरण के लिए एक पर्याप्त रूप से कठोर अंतःक्षेत्र द्वारा, या आंतरिक एक का प्रतिकार करने के लिए बाहरी दबाव बढ़ाकर - कोई कार्य उत्पन्न नहीं होता है, और इसमें जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा को इसके अतिरिक्त योगदान देना चाहिए प्रतिदर्श की आंतरिक ऊर्जा, जिसमें अतिरिक्त मात्रा में इसका तापमान बढ़ाना सम्मिलित है। इस तरह से प्राप्त विशिष्ट ताप क्षमता को स्थिर आयतन (या सम-आयतनिक) पर मापा जाता है और $c_{V}$, $c_{v}$, $c_{\mathrm {v} }$, आदि को दर्शाया जाता है।

$c_{V}$ का मान सामान्य रूप से $c_{p}$ के मान से कम होता है। यह अंतर गैसों में विशेष रूप से उल्लेखनीय है जहां निरंतर दबाव के अंतर्गत मान स्थिर राशि में 30% से 66.7% अधिक होता है। इसलिए गैसों का ताप क्षमता अनुपात सामान्य रूप से 1.3 और 1.67 के बीच होता है।

प्रयोज्यता

विशिष्ट ताप क्षमता को अपेक्षाकृत सामान्य संरचना और आणविक संरचना के गैसों, तरल और ठोस के लिए परिभाषित और मापा जा सकता है। यदि पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर विचार किया जाए तो इनमें गैस मिश्रण, विलयन और मिश्र धातु, या विषम पदार्थ जैसे दूध, रेत, ग्रेनाइट और कंक्रीट सम्मिलित हैं।

विशिष्ट ताप क्षमता को उन पदार्थों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जो स्थिति या संरचना को तापमान और दबाव में परिवर्तन के रूप में बदलते हैं, जब तक परिवर्तन प्रतिवर्ती और क्रमिक होते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, अवधारणाओं को एक गैस या तरल के लिए परिभाषित किया जा सकता है जो तापमान बढ़ने पर अलग हो जाता है, जब तक कि पृथक्करण के उत्पाद तुरंत और पूरी तरह से पुन: संयोजित हो जाते हैं जब यह कम होता है।

यदि पदार्थ अपरिवर्तनीय रासायनिक परिवर्तनों से गुजरता है, या यदि कोई प्रावस्था परिवर्तन होता है, जैसे माप द्वारा प्रसारित तापमान की सीमा के अंदर तेज तापमान पर पिघलना या उबलना, विशिष्ट ताप क्षमता सार्थक नहीं है।

मापन

किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता सामान्य रूप से परिभाषा के अनुसार निर्धारित की जाती है, सामान्य रूप से पदार्थ के प्रतिदर्श की ऊष्मा क्षमता को सामान्य रूप से कैलोरीमीटर से मापकर और प्रतिदर्श के द्रव्यमान से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। किसी पदार्थ की ऊष्मा क्षमता का अनुमान लगाने के लिए कई तकनीकों को प्रयुक्त किया जा सकता है जैसे कि तेज़ विभेदक क्रमवीक्षण कैलोरी मिति होता है।

-100°C से 200°C तक गर्म किए गए पानी के चरणों के तापमान का ग्राफ - सतत रेखा का उदाहरण दिखाता है कि -50°C पर 1kg बर्फ को पिघलाने और गर्म करने के लिए 40°C पर पानी बनाने के लिए 600 kJ की आवश्यकता होती है।

कठोर कंटेनर में प्रतिदर्श संलग्न करके, गैसों की विशिष्ट ताप क्षमता को निरंतर मात्रा में मापा जा सकता है। दूसरी ओर, स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को मापना तरल और ठोस पदार्थों के लिए बहुत अधिक कठिन हो सकता है, क्योंकि तापमान में सामान्य वृद्धि के कारण होने वाले विस्तार को रोकने के लिए प्रायः अव्यावहारिक दबावों की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, सामान्य अभ्यास निरंतर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता (पदार्थ को इच्छानुसार विस्तारित या अनुबंधित करने की अनुमति देना) को मापना है, तापीय विस्तार के गुणांक और पदार्थ के विस्तृत मापांक को अलग से निर्धारित करना और ऊष्मप्रवैगिकी के नियमों के अनुसार इन आंकड़ों से निरंतर आयतन विशिष्ट ताप क्षमता की गणना की जाती है।

इकाइयां

अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली

विशिष्ट ऊष्मा धारिता के लिए SI मात्रक जूल प्रति केल्विन प्रति किलोग्राम J/kg⋅K, J⋅K⁻¹⋅kg⁻¹ होता है। चूंकि एक डिग्री सेल्सियस के तापमान में वृद्धि एक केल्विन की वृद्धि के समान है, जो जूल प्रति डिग्री सेल्सियस प्रति किलोग्राम J/(kg⋅°C) के समान है। कभी-कभी द्रव्यमान की इकाई 1 J⋅g⁻¹⋅K⁻¹ = 1000 J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ के लिए किलोग्राम के अतिरिक्त ग्राम का उपयोग किया जाता है। किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता (द्रव्यमान की प्रति इकाई) का आयाम L²⋅Θ⁻¹⋅T⁻², or (L/T)²/Θ होता है। इसलिए, एसआई इकाई J⋅kg⁻¹⋅K⁻¹ मीटर वर्ग प्रति सेकंड वर्ग प्रति केल्विन (m²⋅K⁻¹⋅s⁻²) के बराबर है।

इंपीरियल अभियांत्रिक इकाइयां

निर्माण, सिविल अभियांत्रिक, रसायन अभियांत्रिक और अन्य तकनीकी विषयों के व्यावसायिक, विशेष रूप से संयुक्त अवस्था अमेरिका में, अंग्रेजी अभियांत्रिक इकाइयों का उपयोग पाउंड (lb = 0.45359237 किग्रा) सहित द्रव्यमान की इकाई, डिग्री फ़ारेनहाइट या रैंकिन (°R =5/9 K, लगभग 0.555556 K) के रूप में या तापमान वृद्धि की इकाई और ब्रिटिश तापीय इकाई (BTU ≈ 1055.056 J) ताप की इकाई के रूप में कर सकते हैं।

उन संदर्भों में, विशिष्ट ताप क्षमता की इकाई BTU/lb⋅°R या 1 BTU/lb⋅°R= 4186.68J/kg⋅K है। बीटीयू को मूल रूप से परिभाषित किया गया था ताकि पानी की औसत विशिष्ट ताप क्षमता 1 BTU/lb⋅°F हो। कैलोरी - 4187 J/kg⋅°C ≈ 4184 J/kg⋅°C (~.07%) के मान की समानता पर ध्यान दें - क्योंकि वे अनिवार्य रूप से उसी ऊर्जा को मापने के लिए पानी का उपयोग कर रहे हैं जो कि उनके प्रणाली संबंधित एलबीएस और डिग्री फ़ारेनहाइट या किलो और डिग्री सेल्सियस के लिए एक आधार संदर्भ के रूप में है।

कैलोरी

रसायन विज्ञान में, ऊष्मा की मात्रा को प्रायः कैलोरी में मापा जाता था। अस्पष्ट रूप से, उस नाम वाली दो इकाइयाँ, जिन्हें "केल" या "कैल" कहा जाता है, का उपयोग सामान्य रूप से ऊष्मा की मात्रा को मापने के लिए किया जाता है:

• "छोटा कैलोरी" (या "ग्राम-कैलोरी", "कैल") 4.184 जूल है। इसे मूल रूप से परिभाषित किया गया था ताकि तरल पानी की विशिष्ट ताप क्षमता 1 cal/°C⋅g हो।
• "वृहत कैलोरी" ("किलोकैलोरी", "किलोग्राम-कैलोरी", या "खाद्य कैलोरी"; "किलो कैलोरी" या "कैल") 1000 छोटी कैलोरी है, अर्थात 4184 जूल, है। इसे परिभाषित किया गया था ताकि पानी की विशिष्ट ताप क्षमता 1 Cal/°C⋅kg हो।

हालांकि इन इकाइयों का अभी भी कुछ संदर्भों में उपयोग किया जाता है (जैसे कि पोषण में किलोग्राम कैलोरी), अब तकनीकी और वैज्ञानिक क्षेत्रों में उनके उपयोग को हटा दिया गया है। जब इन इकाइयों में ऊष्मा को मापा जाता है, तो विशिष्ट ताप क्षमता की इकाई सामान्य रूप मे होती है

1 cal/°C⋅g ("लघु कैलोरी") = 1 Cal/°C⋅kg = 1 kcal/°C⋅kg ("वृहत कैलोरी") = 4184 J/kg⋅K = 4.184 kJ/kg⋅K.

ध्यान दें कि जबकि कैलोरी एक कैलोरी या किलो कैलोरी का 1/1000 है, यह किलोग्राम के अतिरिक्त प्रति ग्राम भी है: एर्गो, किसी भी इकाई में, पानी की विशिष्ट ताप क्षमता लगभग 1 है।

एक-परमाण्विक गैस

क्वांटम यांत्रिकी भविष्यवाणी करती है कि, कमरे के तापमान और सामान्य दबावों पर, गैस में एक पृथक परमाणु गतिज ऊर्जा के रूप में ऊर्जा की किसी भी महत्वपूर्ण मात्रा को संग्रहीत नहीं कर सकता है। इस प्रकार, सभी एक-परमाण्विक गैसों (जैसे उत्कृष्ट गैसों) के लिए प्रति मोल ताप क्षमता समान होती है। अधिक परिशुद्ध रूप से, ${\ce {\displaystyle c_{V,\mathrm {m} }=3R/2\approx \mathrm {12.5\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }}$ और ${\ce {\displaystyle c_{P,\mathrm {m} }=5R/2\approx \mathrm {21\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }}$, जहां ${\ce {\displaystyle R\approx \mathrm {8.31446\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }}$ एक आदर्श गैस इकाई है जो कि केल्विन सूक्ष्म ऊर्जा इकाई से बोल्ट्जमान रूपांतरण स्थिरांक का उत्पाद है स्थूल ऊर्जा इकाई जूल और आवोगाद्रो संख्या है। इसलिए, एक एक-परमाण्विक गैस की विशिष्ट ताप क्षमता (द्रव्यमान की प्रति इकाई, प्रति मोल नहीं) इसके (आयामी) परमाणु भार A के व्युत्क्रमानुपाती होगी। अर्थात, लगभग

${\ce {\displaystyle c_{V}\approx \mathrm {12470\,J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}} /A\quad \quad \quad c_{p}\approx \mathrm {20785\,J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}} /A}}$

उत्कृष्ट गैसों के लिए, हीलियम से जेनॉन तक, ये परिकलित मान हैं।

गैस	He	Ne	Ar	Kr	Xe
	4.00	20.17	39.95	83.80	131.29
(J⋅K−1⋅kg−1)	3118	618.3	312.2	148.8	94.99
(J⋅K−1⋅kg−1)	5197	1031	520.3	248.0	158.3

बहुपरमाणुक गैसें

दूसरी ओर, एक बहुपरमाणुक गैस अणु (दो या दो से अधिक परमाणु एक साथ बंधे होते हैं) अपनी गतिज ऊर्जा के अतिरिक्त अन्य रूपों में ऊष्मा ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं। इन रूपों में अणु का घूर्णन, और इसके द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष परमाणुओं का कंपन सम्मिलित है।

स्वतंत्रता की ये अतिरिक्त कोटि या "मोड" पदार्थ की विशिष्ट ताप क्षमता में योगदान करते हैं। अर्थात्, जब ऊष्मा ऊर्जा को बहुपरमाणुक अणुओं वाली गैस में अन्तः क्षिप्त किया जाता है, तो इसका केवल एक भाग उनकी गतिज ऊर्जा को बढ़ाने में जाएगा, और इसलिए तापमान; स्थिर भाग स्वतंत्रता की उन अन्य कोटि में जाएंगे। तापमान में समान वृद्धि को प्राप्त करने के लिए, उस पदार्थ के एक मोल को एक एक-परमाण्विक गैस के एक मोल की तुलना में अधिक ऊष्मा ऊर्जा प्रदान करनी होगी। इसलिए, एक बहुपरमाणुक गैस की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता न केवल इसके आणविक द्रव्यमान पर निर्भर करती है, बल्कि अणुओं की स्वतंत्रता की कोटि की संख्या पर भी निर्भर करती है।

क्वांटम यांत्रिकी आगे दर्शाती है कि प्रत्येक घूर्णी या कंपन मोड केवल निश्चित असतत मात्रा (क्वांटा) में ऊर्जा ले या नष्ट कर सकता है। तापमान के आधार पर, स्वतंत्रता की कुछ कोटि को सक्रिय करने के लिए आवश्यक क्वांटा की तुलना में प्रति अणु औसत ताप ऊर्जा बहुत कम हो सकती है। उन तरीकों को "फ्रोजन आउट (जमा हुआ)" कहा जाता है। उस स्थिति में, पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता तापमान के साथ बढ़ने वाली है, कभी-कभी चरणबद्ध तरीके से, क्योंकि अधिक मोड अनिर्दिष्ट हो जाते हैं और अंतर्गामी ऊष्मा ऊर्जा के भाग को अवशोषित करना प्रारंभ कर देते हैं।

उदाहरण के लिए, नाइट्रोजन ${\ce {N2}}$ की मोलीय ताप क्षमता स्थिर आयतन पर ${\ce {\displaystyle c_{V,\mathrm {m} }=\mathrm {20.6\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }}$ (15 डिग्री सेल्सियस पर, 1 एटीएम), जो ${\ce {\displaystyle 2.49R}}$ है। यदि प्रत्येक अणु में स्वतंत्रता की 5 डिग्री होती है, तो यह सिद्धांत से अपेक्षित मान है। ये अणु के वेग सदिश की तीन डिग्री, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से एक धुरी के बारे में दो डिग्री और दो परमाणुओं की रेखा के लंबवत हो जाते हैं। स्वतंत्रता की उन दो अतिरिक्त डिग्री के कारण ${\ce {N2}}$ (736 J⋅K⁻¹⋅kg⁻¹) की विशिष्ट ताप क्षमता ${\ce {c_{V}}}$ समान आणविक द्रव्यमान 28 (445 J⋅K⁻¹⋅kg⁻¹) के ${\frac {5}{3}}$कारक द्वारा एक काल्पनिक एक-परमाण्विक गैस की तुलना में अधिक है।

नाइट्रोजन की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता के लिए यह मान -150 °C से लगभग 300 °C तक व्यावहारिक रूप से स्थिर है। उस तापमान सीमा में, स्वतंत्रता की दो अतिरिक्त कोटि जो परमाणुओं के कंपन से समतुल्य हैं, बंध को अपकर्षण करती और संकुचित करती हैं, अभी भी "जमे हुए" हैं। उस तापमान के बारे में, वे मोड "पिघलाना" प्रारंभ कर देते हैं, और परिणामस्वरूप ${\ce {c_{V}}}$ पहले तेजी से बढ़ना प्रारंभ हो जाता है, फिर मंद हो जाता है क्योंकि यह एक और स्थिर मान की ओर जाता है। यह 1500 °C पर 35.5 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹, 2500 °C पर 36.9 और 3500 °C पर 37.5 है। अंतिम मान प्रति अणु स्वतंत्रता के 7 डिग्री के अनुमानित मान के लगभग परिशुद्ध रूप से समान है।

ऊष्मा क्षमता की व्युत्पत्ति

विशिष्ट ताप क्षमता के बीच संबंध

मौलिक उष्मागतिक संबंध से प्रारंभ करके कोई दिखा सकता है,

${\ce {c_{p}-c_{v}={\frac {\alpha ^{2}T}{\rho \beta _{T}}}}}$

जहां,

• ${\ce {\alpha}}$ तापीय विस्तार का गुणांक है,
• ${\ce {\beta _{T}}}$ समतापी संपीड्यता है, और
• $\rho$ घनत्व है।

लेख में एक व्युत्पत्ति पर चर्चा की गई है विशिष्ट ऊष्मा के बीच संबंध है।

आदर्श गैस के लिए, यदि उपरोक्त समीकरण में मोलर घनत्व के रूप में $\rho$ व्यक्त किया जाता है, तो यह समीकरण केवल मेयर के संबंध में कम हो जाता है,

${\ce {C_{{p,m}}-C_{{v,m}}=R\!}}$

जहां ${\ce {\displaystyle C_{p,m}}}$ और ${\ce {\displaystyle C_{v,m}}}$ क्रमशः स्थिर दबाव और स्थिर आयतन पर प्रति मोल के आधार पर व्यक्त की जाने वाली विस्तृत गुण ताप क्षमताएं हैं।

विशिष्ट ऊष्मा क्षमता

प्रति द्रव्यमान के आधार पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता होती है

${\ce {\displaystyle c={\partial C \over \partial m},}}$

जो प्रावस्था संक्रमण की अनुपस्थिति में बराबर है

${\ce {\displaystyle c=E_{m}={C \over m}={C \over {\rho V}},}}$

जहां,

• C प्रश्न में पदार्थ से बने पिंड की ऊष्मा क्षमता है,
• m पिंड का द्रव्यमान है,
• V पिंड का आयतन है, और
• ${\ce {\rho ={\frac {m}{V}}}}$ पदार्थ का घनत्व है।

गैसों के लिए, और उच्च दबाव के अंतर्गत अन्य पदार्थों के लिए, प्रतिफल प्रक्रियाओं के लिए विभिन्न सीमा स्थितियों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है चूंकि मान अलग-अलग स्थितियों के बीच महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं। विशिष्ट प्रक्रियाएँ जिनके लिए ऊष्मा क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है, उनमें समदाबी स्थिर दबाव, ${\ce {\displaystyle dp=0}}$ या सम-आयतनिक स्थिर आयतन, dV=0 प्रक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसी विशिष्ट ताप क्षमता को व्यक्त किया जाता है

${\displaystyle c_{p}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{p},}$

$c_{V}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}.$

c से संबंधित पैरामीटर ${\displaystyle CV^{-1}}$ है, जो आयतनिक ताप क्षमता है। अभियांत्रिक अभ्यास में, ठोस या तरल पदार्थ के लिए $c_{V}$ प्रायः एक स्थिर-आयतन के अतिरिक्त एक आयतन ताप क्षमता का प्रतीक होता है। ऐसी स्थिति में, द्रव्यमान-विशिष्ट ताप क्षमता को प्रायः पदांक m के साथ $c_{m}$ के रूप में स्पष्ट रूप से लिखा जाता है। वस्तुतः, उपरोक्त संबंधों से, ठोस के लिए कोई अभिव्यक्ति है

${\displaystyle c_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {c_{V}}{\rho }}.}$

स्थापित आणविक या मोलीय द्रव्यमान या मोलीय मात्रा के साथ शुद्ध सजातीय रासायनिक यौगिकों के लिए, एक विस्तृत गुण के रूप में ताप क्षमता को प्रति द्रव्यमान के आधार पर प्रति द्रव्यमान के आधार पर प्रति द्रव्यमान समीकरणों के अनुरूप निम्नलिखित समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

${\displaystyle C_{p,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{p}={\text{molar heat capacity at constant pressure}}}$

${\displaystyle C_{V,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{V}={\text{molar heat capacity at constant volume}}}$

जहाँ n = निकाय या उष्मागतिकीय प्रणाली में मोल्स की संख्या है। प्रति द्रव्यमान के आधार पर विशिष्ट ताप क्षमता से इसे अलग करने के लिए मोलर ताप क्षमता के रूप में ऐसी प्रति मोल मात्रा का उल्लेख किया जा सकता है।

बहुदैशिक ऊष्माधारिता

यदि सभी उष्मागतिकीय गुण (दबाव, आयतन, तापमान) बदलते हैं, तो बहुदैशिक ताप क्षमता की गणना प्रक्रियाओं में की जाती है

${\displaystyle C_{i,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)={\text{molar heat capacity at polytropic process}}}$

स्थिरोष्म और समतापी वक्र फलन के बीच चलने वाली सबसे महत्वपूर्ण बहुदैशिक प्रक्रियाएं, बहुदैशिक सूचक 1 और स्थिरोष्म प्रतिनिधि (γ या κ) के बीच है।

आयाम रहित ताप क्षमता

किसी पदार्थ की आयाम रहित ऊष्मा क्षमता होती है

${\displaystyle C^{*}={\frac {C}{nR}}={\frac {C}{Nk_{\text{B}}}}}$

जहां,

• C प्रश्न में पदार्थ से बने पिंड की ताप क्षमता (J/K)है।
• n पिंड में पदार्थ की मात्रा (मोल) है
• R गैस स्थिरांक (J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹) है
• N निकाय में अणुओं की संख्या (आयाम रहित) है
• kB बोल्ट्जमैन स्थिरांक (J⋅K⁻¹) है

पुनः, एसआई इकाइयाँ उदाहरण के लिए दिखाई गई हैं।

बीआईपीएम में आयाम एक की मात्राओं के बारे में और पढ़ें

आदर्श गैस लेख में, आयामहीन ताप क्षमता ${\displaystyle C^{*}}$ को ${\hat {c}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

पूर्ण शून्य पर ताप क्षमता

एंट्रॉपी की परिभाषा से

${\displaystyle TdS=\delta Q}$

पूर्ण एन्ट्रापी की गणना शून्य केल्विन तापमान से अंतिम तापमान T_f तक एकीकृत करके की जा सकती है

$S(T_{f})=\int _{T=0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{dT}}{\frac {dT}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}C(T)\,{\frac {dT}{T}}$

उपरोक्त समाकल के लिए शून्य तापमान पर ताप क्षमता शून्य होनी चाहिए ताकि एक अनंत निरपेक्ष एन्ट्रापी न मिले, इस प्रकार ऊष्मप्रवैगिकी के तीसरे नियम का उल्लंघन होता है। डेबी मॉडल की ताकत में से एक यह है कि (पूर्व आइंस्टीन मॉडल के विपरीत) यह शून्य की ओर ताप क्षमता के दृष्टिकोण के उपयुक्त गणितीय रूप की भविष्यवाणी करता है, क्योंकि पूर्ण शून्य तापमान निकट आता है।

ठोस अवस्था

उच्च तापमान पर बड़े और बड़े बहु-परमाणु गैसों के लिए सैद्धांतिक अधिकतम ताप क्षमता भी 3R की डुलोंग-पेटिट सीमा तक पहुंच जाती है, जब तक कि इसकी गणना अणुओं के नहीं, परमाणुओं के प्रति मोल के रूप में की जाती है। इसका कारण यह है कि सिद्धांत रूप में बहुत बड़े अणुओं वाली गैसों में ठोस के समान उच्च तापमान ताप क्षमता होती है, जिसमें केवल (छोटी) ऊष्मा क्षमता का योगदान होता है जो स्थैतिज ऊर्जा से आता है जिसे गैस में अलग-अलग अणुओं के बीच संग्रहीत नहीं किया जा सकता है।

डुलोंग-पेटिट सीमा समविभाजन प्रमेय से उत्पन्न होती है, और इस तरह केवल एक सूक्ष्म-अवस्था सातत्य की उत्कृष्ट सीमा में प्रमाणिक है, जो एक उच्च तापमान सीमा है। प्रकाश और गैर-धात्विक तत्वों के साथ-साथ मानक परिवेश तापमान पर कार्बन यौगिकों पर आधारित अधिकांश सामान्य आणविक ठोस, क्वांटम प्रभाव भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा सकते हैं, जैसा कि वे बहु-परमाणु गैसों में करते हैं। ये प्रभाव सामान्य रूप से ठोस में परमाणुओं के 3R प्रति मोल से कम ताप क्षमता देने के लिए संयोजित होते हैं, हालांकि आणविक ठोस में, आणविक ठोस में अणुओं के प्रति मोल की गणना की गई ऊष्मा क्षमता 3R से अधिक हो सकती है। उदाहरण के लिए, गलनांक पर पानी की बर्फ की ताप क्षमता अणुओं के प्रति मोल लगभग 4.6R है, लेकिन परमाणुओं के प्रति मोल केवल 1.5R है। और 3R संख्या "प्रति परमाणु" से कम जैसा कि हीरे और बेरिलियम के स्थिति में है। प्रकाश परमाणुओं के लिए संभावित कंपन मोड के "जमे होने" के परिणामस्वरूप उपयुक्त रूप से कम तापमान पर होता है, तथापि उसी तरह जैसे तापमान कमरे में कई कम-द्रव्यमान-परमाणु गैसों में होता है। उच्च क्रिस्टल बाध्यकारी ऊर्जा के कारण, इन प्रभावों को तरल पदार्थों की तुलना में ठोस पदार्थों में अधिक बार देखा जाता है: उदाहरण के लिए तरल पानी की गर्मी क्षमता बर्फ की तुलना में दोगुनी होती है, और डुलोंग-पेटिट सैद्धांतिक अधिकतम परमाणुओं के 3R प्रति मोल के समीप होती है।

ठोस पदार्थों की ताप क्षमता के अधिक आधुनिक और परिशुद्ध विश्लेषण के लिए, विशेष रूप से कम तापमान पर, ध्वनि क्वान्टम के विचार का उपयोग करना उपयोगी होता है। डेबी मॉडल देखें।

सैद्धांतिक अनुमान

पथ समाकल मोंटे कार्लो विधि क्वांटम गतिशील सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मानो को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई अवस्थाओ में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-निम्नतापीय तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है। गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है। पानी (तरल): सीपी = 4185.5 4185.5 J⋅K⁻¹⋅kg⁻¹ (15 °C, 101.325 kPa) पानी (तरल): सीवीएच = 74.539 J⋅K⁻¹⋅mol⁻¹ (25 °C) तरल पदार्थों के लिए और गैसों के लिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि दिया गया ताप क्षमता आंकड़ा किस दबाव को संदर्भित करता है। हालांकि, तापमान और दबाव के लिए अलग-अलग मानक स्थितियों को विभिन्न संगठनों द्वारा परिभाषित किया गया है। शुद्ध और व्यावहारिक रसायन के अंतर्राष्ट्रीय संघ (आईयूपीएसी) ने अपनी सिफारिश को एक वायुमंडल से बदलकर 100 kPa (≈750.062 Torr) के गोल मान में बदल दिया।

प्रथम सिद्धांतों से गणना

पथ समाकल मोंटे कार्लो विधि क्वांटम गतिशील सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मानो को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई अवस्थाओ में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-निम्नतापीय तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है। . गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है। हालांकि, विचारित पदार्थ के लिए अवस्था के समीकरण के साथ उपयोग किए जाने पर इस तरह के प्रारंभिक विचारों की स्थिरता के लिए ध्यान दिया जाना चाहिए।

ताप क्षमता के बीच संबंध

मुख्य लेख: ताप क्षमता के बीच संबंध

स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को मापना तरल और ठोस पदार्थों के लिए बहुत अधिक कठिन हो सकता है। यही है, छोटे तापमान परिवर्तन के लिए सामान्य रूप से तरल या ठोस को स्थिर राशि में बनाए रखने के लिए बड़े दबाव की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि युक्त पात्र लगभग कठोर या कम से कम (तापीय विस्तार और संपीड्यता के गुणांक देखें) बहुत प्रबल होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, निरंतर दबाव पर ताप क्षमता को मापना आसान है, पदार्थ को स्वतंत्र रूप से विस्तार या अनुबंध करने की स्वीकृति देता है और मौलिक ऊष्मप्रवैगिकी नियमों से प्राप्त गणितीय संबंधों का उपयोग करके निरंतर आयतन पर ताप क्षमता के लिए संशोधित करना है।

ताप क्षमता अनुपात, या रुद्धोष्म सूचकांक, स्थिर दाब पर ताप क्षमता और स्थिर आयतन पर ऊष्मा क्षमता का अनुपात है। इसे कभी-कभी समऐन्ट्रॉपिक प्रसार कारक के रूप में भी जाना जाता है

विशिष्ट ऊष्मा क्षमता

प्रति द्रव्यमान के आधार पर किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता होती है

${\displaystyle c={\frac {\partial C}{\partial m}},}$

जो प्रावस्था संक्रमण की अनुपस्थिति में बराबर है

${\displaystyle c=E_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {C}{\rho V}},}$

जहां,

• C प्रश्न में पदार्थ से बने पिंड की ऊष्मा क्षमता है,
• m पिंड का द्रव्यमान है,
• V पिंड का आयतन है,
• $\rho ={\frac {m}{V}}$ पदार्थ का घनत्व है।

गैसों के लिए, और उच्च दबाव के अंतर्गत अन्य पदार्थों के लिए, प्रतिफल प्रक्रियाओं के लिए विभिन्न सीमा स्थितियों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है चूंकि मान अलग-अलग स्थितियों के बीच महत्वपूर्ण रूप से भिन्न होते हैं। विशिष्ट प्रक्रियाएँ जिनके लिए ऊष्मा क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है, उनमें समदाबी (निरंतर दबाव ${\text{d}}P=0$, ) या सम-आयतनिक (निरंतर आयतन ${\text{d}}V=0$) प्रक्रियाएँ सम्मिलित है। इसी विशिष्ट ताप क्षमता को व्यक्त किया जाता है

$c_{P}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{P}$

$c_{V}=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}$

पूर्व अनुभाग के परिणामों से, द्रव्यमान से भाग देने पर संबंध प्राप्त होता है

$c_{P}-c_{V}={\frac {\alpha ^{2}T}{\rho \beta _{T}}}$

c से संबंधित पैरामीटर ${\displaystyle CV^{-1}}$ है, जो आयतनिक ताप क्षमता है। अभियांत्रिक अभ्यास में, ठोस या तरल पदार्थ के लिए $c_{V}$ प्रायः एक स्थिर-आयतन के अतिरिक्त एक आयतन ताप क्षमता का प्रतीक होता है। ऐसी स्थिति में, द्रव्यमान-विशिष्ट ताप क्षमता को प्रायः पदांक m के साथ $c_{m}$ के रूप में स्पष्ट रूप से लिखा जाता है। वस्तुतः, उपरोक्त संबंधों से, ठोस के लिए कोई लिखता है

${\displaystyle c_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {c_{\text{volumetric}}}{\rho }}.}$

स्थापित आणविक या मोलीय द्रव्यमान, या एक मोल मात्रा के साथ शुद्ध सजातीय रासायनिक यौगिकों के लिए, एक विस्तृत गुण के रूप में ताप क्षमता को प्रति द्रव्यमान के आधार पर प्रति द्रव्यमान के आधार पर प्रति द्रव्यमान समीकरणों के अनुरूप निम्नलिखित समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

${\displaystyle C_{P,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{P}={\text{molar heat capacity at constant pressure,}}}$

${\displaystyle C_{V,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{V}={\text{molar heat capacity at constant volume,}}}$

जहाँ n पिंड या ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली में मोल्स की संख्या है। प्रति-द्रव्यमान के आधार पर इसे विशिष्ट ताप क्षमता से अलग करने के लिए मोलीय ताप क्षमता के रूप में ऐसी प्रति-मोल मात्रा का उल्लेख किया जा सकता है।

बहुदैशिक ताप क्षमता

यदि सभी ऊष्मप्रवैगिकी गुण (दबाव, आयतन, तापमान) बदलते हैं, तो बहुदैशिक ताप क्षमता की गणना प्रक्रियाओं में की जाती है:

${\displaystyle C_{i,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)={\text{molar heat capacity at polytropic process.}}}$

स्थिरोष्म और समतापी वक्र फलन के बीच चलने वाली सबसे महत्वपूर्ण बहुदैशिक प्रक्रियाएं, बहुदैशिक सूचक 1 और स्थिरोष्म प्रतिनिधि (γ या κ) के बीच है।

आयाम रहित ताप क्षमता

किसी पदार्थ की आयाम रहित ऊष्मा क्षमता होती है

${\displaystyle C^{*}={\frac {C}{nR}}={\frac {C}{Nk_{\text{B}}}},}$

जहाँ

• C प्रश्न में पदार्थ (J/K) से बने पिंड की ताप क्षमता है,
• n पिंड में पदार्थ की मात्रा (मोल) है,
• R गैस स्थिरांक (J/(K⋅mol)) है,
• N पिंड में अणुओं की संख्या (आयाम रहित) है,
• kB बोल्ट्जमैन स्थिरांक (J/(K⋅अणु)) है।

आदर्श गैस लेख में, आयामहीन ताप क्षमता ${\displaystyle C^{*}}$ को ${\hat {c}}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। और वहां प्रति कण स्वतंत्रता की कोटि की आधी संख्या से सीधे संबंधित है। यह स्वतंत्रता की द्विघात डिग्री के लिए सही है, समविभाजन प्रमेय का एक परिणाम है।

अधिक सामान्य रूप से, आयामहीन ताप क्षमता तापमान में लघुगणकीय वृद्धि को प्रति कण आयाम रहित एंट्रॉपी में वृद्धि से संबंधित करती है

${\displaystyle S^{*}=S/Nk_{\text{B}}}$ जिसे नाट्स में मापा जाता है।

${\displaystyle C^{*}={\frac {{\text{d}}S^{*}}{{\text{d}}(\ln T)}}.}$

वैकल्पिक रूप से, आधार-2 लघुगणकों का उपयोग करके $C^{*}$ तापमान में आधार-2 लघुगणकीय वृद्धि को बिट्स में मापी गई आयामहीन एन्ट्रापी में वृद्धि से संबंधित करता है।

पूर्ण शून्य पर ताप क्षमता

एन्ट्रापी की परिभाषा से

${\displaystyle T\,{\text{d}}S=\delta Q,}$

पूर्ण एन्ट्रॉपी की गणना शून्य से अंतिम तापमान Tf में समाकलन करके की जा सकती है:

${\displaystyle S(T_{\text{f}})=\int _{T=0}^{T_{\text{f}}}{\frac {\delta Q}{T}}=\int _{0}^{T_{\text{f}}}{\frac {\delta Q}{{\text{d}}T}}{\frac {{\text{d}}T}{T}}=\int _{0}^{T_{\text{f}}}C(T)\,{\frac {{\text{d}}T}{T}}.}$

उष्मागतिक व्युत्पत्ति

सिद्धांत रूप में, किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा क्षमता को उसके अमूर्त उष्मागतिक मॉडलिंग से अवस्था के समीकरण और एक आंतरिक ऊर्जा फलन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

सजातीय प्रतिदर्श में पदार्थ की अवस्था

सिद्धांत को प्रयुक्त करने के लिए, व्यक्ति पदार्थ (ठोस, तरल या गैस) के प्रतिदर्श पर विचार करता है जिसके लिए विशिष्ट ताप क्षमता को परिभाषित किया जा सकता है; विशेष रूप से, इसकी सजातीय संरचना और निश्चित द्रव्यमान M है। मान लें कि आंतरिक दबाव P और तापमान T के लिए प्रणाली का विकास सदैव मंद होता है, जिसे पूरे एक समान माना जाता है। दबाव P पात्र या कुछ आसपास के तरल पदार्थ, जैसे हवा द्वारा उस पर लगाए गए दबाव के समतुल्य होगा।

तब पदार्थ की स्थिति को तीन मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है: इसका तापमान T, दबाव P, और इसका विशिष्ट आयतन ${\displaystyle \nu =V/M}$, जहाँ V प्रतिदर्श का आयतन है। यह मात्रा पदार्थ के घनत्व $1/\rho$ का व्युत्क्रम ${\displaystyle \rho =M/V}$ है। अतः T और P की तरह, विशिष्ट आयतन $\nu$ पदार्थ और उसकी अवस्था का एक विस्तारित गुण है, जो प्रतिदर्श में पदार्थ की मात्रा पर निर्भर नहीं करता है।

वे चर स्वतंत्र नहीं हैं। अनुमत स्थितियों को उन तीन चरों से संबंधित अवस्था के समीकरण ${\displaystyle F(T,P,\nu )=0}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।फलन F विशिष्ट पदार्थ पर निर्भर करता है। द्रव्यमान की प्रति इकाई, प्रतिदर्श में आंतरिक रूप से संग्रहीत विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा, फिर इन अवस्था चरों का एक अन्य फलन ${\displaystyle U(T,P,\nu )}$ होगा, जो पदार्थ के लिए भी विशिष्ट है। तब प्रतिदर्श में कुल आंतरिक ऊर्जा ${\displaystyle M\,U(T,P,\nu )}$ होगी।

कुछ सरल पदार्थ के लिए, एक आदर्श गैस की तरह, कोई भी मूल सिद्धांत से स्थिति F = 0 के समीकरण और यहां तक कि विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा U से प्राप्त कर सकता है। सामान्य रूप से, इन फलनों को प्रत्येक पदार्थ के लिए प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए।

ऊर्जा संरक्षण

इस मात्रा का पूर्ण मान अपरिभाषित है, और (ऊष्मप्रवैगिकी के प्रयोजनों के लिए) "शून्य आंतरिक ऊर्जा" की स्थिति को व्यवस्थित रूप से चयन किया जा सकता है। हालांकि, ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल आंतरिक ऊर्जा ${\displaystyle MU}$ में कोई भी अतिसूक्ष्म वृद्धि ${\displaystyle M\,\mathrm {d} U}$ ऊष्मा ऊर्जा के शुद्ध प्रवाह से समतुल्य होना चाहिए। ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ प्रतिदर्श में और किसी भी शुद्ध यांत्रिक ऊर्जा को संलग्नक या उस पर प्रतिवेश के माध्यम से प्रदान किया जाता है। और बाद मे ${\displaystyle -P\,\mathrm {d} V}$ के माध्यम से प्रदान किया जाता है, जहां ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ उस अतिसूक्ष्म प्रावस्था में प्रतिदर्श के आयतन में परिवर्तन है। इसलिए

${\displaystyle \mathrm {d} Q-P\,\mathrm {d} V=M\,\mathrm {d} U}$

अतः

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M}}-P\,\mathrm {d} \nu =\mathrm {d} U}$

यदि प्रतिदर्श का आयतन (इसलिए प्रतिदर्श का विशिष्ट आयतन पदार्थ) ऊष्मा की मात्रा के अन्तः क्षिप्त के समय स्थिर ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ रखा जाता है, तो पद ${\displaystyle P\,\mathrm {d} \nu }$ शून्य होता है कोई यांत्रिक कार्य नहीं किया जाता है। तब, ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ से भाग देने पर,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M\,\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} T}}}$

जहां

${\displaystyle \mathrm {d} T}$ तापमान में परिवर्तन है जो ऊष्मा निर्दिष्ट के परिणामस्वरूप होता है। बाईं ओर पदार्थ की स्थिर मात्रा $c_{V}$ पर विशिष्ट ताप क्षमता है।

निरंतर दबाव पर ताप क्षमता के लिए, प्रणाली की विशिष्ट एन्थैल्पी को योग के ${\displaystyle h(T,P,\nu )=U(T,P,\nu )+P\nu }$ रूप में परिभाषित करना उपयोगी होता है। तब विशिष्ट एन्थैल्पी में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन होगा

${\displaystyle \mathrm {d} h=\mathrm {d} U+V\,\mathrm {d} P+P\,\mathrm {d} V}$

इसलिए

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M}}+V\,\mathrm {d} P=\mathrm {d} h}$

यदि दबाव स्थिर रखा जाता है, तो बाईं ओर का दूसरा पद शून्य होता है, और

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M\,\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} T}}}$

बाईं ओर पदार्थ के निरंतर दबाव $c_{P}$ पर विशिष्ट ताप क्षमता है।

अवस्था के समीकरण से संबंध

सामान्य रूप से, अतिसूक्ष्म राशि ${\displaystyle \mathrm {d} T,\mathrm {d} P,\mathrm {d} V,\mathrm {d} U}$ अवस्था के समीकरण और विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा फलन द्वारा निरुद्ध हैं

अर्थात,

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \mathrm {d} T{\frac {\partial F}{\partial T}}(T,P,V)+\mathrm {d} P{\frac {\partial F}{\partial P}}(T,P,V)+\mathrm {d} V{\frac {\partial F}{\partial V}}(T,P,V)&=&0\\[2ex]\displaystyle \mathrm {d} T{\frac {\partial U}{\partial T}}(T,P,V)+\mathrm {d} P{\frac {\partial U}{\partial P}}(T,P,V)+\mathrm {d} V{\frac {\partial U}{\partial V}}(T,P,V)&=&\mathrm {d} U\end{cases}}}$

अवस्था ${\displaystyle (\partial F/\partial T)(T,P,V)}$ के समीकरण F के (आंशिक) व्युत्पन्न को इसके T तर्क के संबंध में दर्शाता है, अन्य दो तर्कों को स्थिर रखते हुए, अवस्था में मूल्यांकन ${\displaystyle (T,P,V)}$ किया जाता है। अन्य आंशिक अवकल उसी तरह परिभाषित किए गए हैं। चार अतिसूक्ष्म राशि वृद्धि पर ये दो समीकरण सामान्य रूप से उन्हें संभावित अतिसूक्ष्म अवस्था परिवर्तनों के द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान पर निरूद्ध करते हैं, जो पदार्थ और स्थिति पर निर्भर करता है। इस अंतरिक्ष में निरंतर-आयतन और निरंतर-दबाव परिवर्तन केवल दो विशेष दिशाएँ हैं।

यह विश्लेषण इस बात पर भी कोई फर्क नहीं पड़ता है कि ऊर्जा वृद्धि ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ को प्रतिदर्श में, अर्थात् ऊष्मा चालन, विकिरण, विद्युत चुम्बकीय प्रेरण, रेडियोधर्मी क्षय, आदि द्वारा अन्तःक्षिप्त किया जाता है।

ताप क्षमता के बीच संबंध

किसी विशिष्ट आयतन $\nu$ के लिए, ${\displaystyle p_{\nu }(T)}$ फलन को निरूपित करें जो वर्णन करता है कि तापमान T के साथ दबाव कैसे बदलता है, जैसा कि अवस्था के समीकरण द्वारा अनुमत है, जब पदार्थ की विशिष्ट मात्रा बलपूर्वक $\nu$ पर स्थिर रखा जाता है। तुलनात्मक रूप से, किसी भी दबाव P के लिए, ${\displaystyle \nu _{P}(T)}$ को ऐसा कार्य होने दें जो यह वर्णन करता है कि तापमान के साथ विशिष्ट आयतन कैसे परिवर्तन करता है, जब दबाव P पर स्थिर रखा जाता है। अर्थात, वे फलन इस प्रकार है कि

${\displaystyle F(T,p_{\nu }(T),\nu )=0}$

और

${\displaystyle F(T,P,\nu _{P}(T))=0}$

के किसी भी मान ${\displaystyle T,P,\nu }$ के लिए है। दूसरे शब्दों में, ${\displaystyle p_{\nu }(T)}$ और ${\displaystyle \nu _{P}(T)}$ के रेखाचित्र सतह के भाग हैं जो क्रमशः स्थिर $\nu$ और स्थिर P तल द्वारा प्रतिच्छेद किए गए अवस्था समीकरण द्वारा परिभाषित हैं। फिर, मौलिक उष्मागतिक संबंध से यह इस प्रकार है

${\displaystyle c_{P}(T,P,\nu )-c_{V}(T,P,\nu )=T\left[{\frac {\mathrm {d} p_{\nu }}{\mathrm {d} T}}(T)\right]\left[{\frac {\mathrm {d} \nu _{P}}{\mathrm {d} T}}(T)\right]}$

इस समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

${\displaystyle c_{P}(T,P,\nu )-c_{V}(T,P,\nu )=\nu T{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}},}$

जहाँ

• $\alpha$ तापीय विस्तार का गुणांक है,
• $\beta _{T}$ समतापी संपीडयता है,

दोनों स्थिति ${\displaystyle (T,P,\nu )}$ पर निर्भर करती है।

ताप क्षमता अनुपात, या रूद्धोष्म सूचकांक, स्थिर दाब पर ताप क्षमता और स्थिर आयतन पर ऊष्मा क्षमता का अनुपात ${\displaystyle c_{P}/c_{V}}$ है। इसे कभी-कभी समऐन्ट्रॉपिक प्रसार कारक के रूप में भी जाना जाता है।

प्रथम सिद्धांतों से गणना

पाथ समाकल मोंटे कार्लो विधि क्वांटम गतिशील सिद्धांतों के आधार पर ऊष्मा क्षमता के मानो को निर्धारित करने के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण है। हालांकि, नीचे उल्लिखित सरल विधियों का उपयोग करके कई अवस्थाओ में गैसों के लिए अच्छा अनुमान लगाया जा सकता है। गैर-निम्नतापी तापमान पर अपेक्षाकृत भारी परमाणुओं (परमाणु संख्या> लोहा) से बने कई ठोस पदार्थों के लिए, कमरे के तापमान पर ताप क्षमता 3R = 24.94 जूल प्रति केल्विन प्रति मोल परमाणु (डुलोंग-पेटिट नियम, R गैस स्थिरांक है) तक पहुंचती है। गैसों और ठोसों दोनों के लिए कम तापमान सन्निकटन उनके विशिष्ट आइंस्टीन तापमान या डेबी तापमान से कम तापमान पर आइंस्टीन और डेबी के नीचे चर्चा की गई विधियों द्वारा किया जा सकता है। हालांकि, विचारित पदार्थ के लिए अवस्था के समीकरण के साथ उपयोग किए जाने पर इस तरह के प्रारंभिक विचारों की निरंतरता पर ध्यान दिया जाना चाहिए।

आदर्श गैस

आदर्श गैस के लिए, अवस्था के समीकरण के अनुसार उपरोक्त आंशिक अवकल का मूल्यांकन करना, जहां R एक आदर्श गैस के लिए गैस स्थिरांक है।

${\displaystyle PV=nRT,}$

${\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n},}$

${\displaystyle P={\frac {nRT}{V}}\Rightarrow \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}={\frac {nR}{V}},}$

प्रतिस्थापन

${\displaystyle T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n}=T{\frac {nR}{V}}{\frac {nR}{P}}={\frac {nRT}{V}}{\frac {nR}{P}}=P{\frac {nR}{P}}=nR,}$

यह समीकरण केवल मेयर के संबंध को कम करता है:

${\displaystyle C_{P,m}-C_{V,m}=R.}$

उपरोक्त मेयर संबंध द्वारा परिभाषित ताप क्षमता में अंतर केवल एक आदर्श गैस के लिए परिशुद् है और किसी भी वास्तविक गैस के लिए अलग होगा।

यह भी देखें

• संलयन की तापीय धारिता (संलयन की तापीय धारिता)
• वाष्पीकरण की तापीय धारिता (वाष्पीकरण की तापीय धारिता)
• फ्रेनकेल लाइन
• ताप क्षमता अनुपात
• ऊष्मा समीकरण
• गर्मी हस्तांतरण गुणांक
• ऊष्मप्रवैगिकी का इतिहास
• जॉबबैक विधि (ताप क्षमता का अनुमान)
• अव्यक्त ऊष्मा
• भौतिक गुण (ऊष्मप्रवैगिकी)
• [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]]
• R-मान ( विद्युतरोधन)
• वाष्पीकरण की तापीय धारिता
• संलयन की तापीय धारिता
• सांख्यिकीय यांत्रिकी
• विशिष्ट ताप क्षमता की तालिका
• तापीय द्रव्यमान
• शुद्ध पदार्थों के लिए ऊष्मप्रवैगिकी आंकडा संचय
• ऊष्मप्रवैगिकी समीकरण
• आयतनमितीय ताप क्षमता

अग्रिम पठन

• Emmerich Wilhelm & Trevor M. Letcher, Eds., 2010, Heat Capacities: Liquids, Solutions and Vapours, Cambridge, U.K.:Royal Society of Chemistry, ISBN 0-85404-176-1. A very recent outline of selected traditional aspects of the title subject, including a recent specialist introduction to its theory, Emmerich Wilhelm, "Heat Capacities: Introduction, Concepts, and Selected Applications" (Chapter 1, pp. 1–27), chapters on traditional and more contemporary experimental methods such as photoacoustic methods, e.g., Jan Thoen & Christ Glorieux, "Photothermal Techniques for Heat Capacities," and chapters on newer research interests, including on the heat capacities of proteins and other polymeric systems (Chs. 16, 15), of liquid crystals (Ch. 17), etc.

बाहरी संबंध

• (2012-05may-24) Phonon theory sheds light on liquid thermodynamics, heat capacity – Physics World The phonon theory of liquid thermodynamics | Scientific Reports