समाधेय समूह

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, समाधेय समूह या घुलनशील समूह एक ऐसा समूह है जिसे प्रसार का उपयोग करके विनिमेय समूहों से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक समाधेय समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ उपसमूह में समाप्त होती है।

प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, समाधेय समूह शब्द गाल्वा सिद्धांत से उत्पन्न हुआ है और क्विंटिक समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का गणितीय प्रमाण है। विशेष रूप से, एक बहुपद समीकरण को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह समाधेय है (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है $f\in F[x]$ छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है

$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$

ऐसे है कि

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ जहाँ $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, इसलिए $\alpha _{i}$ समीकरण का हल है $x^{m_{i}}-a$ जहाँ $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ के लिए एक विभाजन क्षेत्र सम्मलित है $f(x)$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q}$ तत्व युक्त है

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

यह एक समाधेय समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$

युक्त एक समाधेय समूह देता है $\mathbb {Z} /5$ (पर अभिनय $e^{2\pi i/5}$) और $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (अभिनय करता है ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$).

परिभाषा

एक समूह G को 'समाधेय' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके कारक समूह (गुणांक समूह) सभी विनिमेय समूह है, अर्थात, यदि उपसमूह 1 = G₀ है < G₁ < ⋅⋅⋅ < G_k= G ऐसा है कि G_j−1 G_j में सामान्य उपसमूह है, और G_j/G_j−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक विनिमेय समूह है।

या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला है

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,$

जहां हर उपसमूह पिछले का विनिमय उपसमूह होता है, अंततः G के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समूह H और H के प्रत्येक सामान्य उपसमूह n के लिए, भागफल H/n विनिमेय है यदि n में H के विनिमय उपसमूह सम्मलित होते है। कम से कम n ऐसा है कि G⁽ⁿ⁾ = 1 को समाधेय समूह G को 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।

परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक समाधेय समूह एक रचना श्रृंखला वाला एक समूह होता है, जिसके सभी कारक अभाज्य संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) के चक्रीय समूह होते है। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह विनिमेय समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देते है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह गुण होते है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह गुण होते है। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी क्षेत्र (गणित) पर नवे मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप होती है। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए नही होती है: उदाहरण के लिए, चूंकि पूर्णांक के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह है इसके अतिरिक्त 'Z' के लिए समूह समरूपता है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं होती है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए समरूप है, यह सिद्ध करता है कि यह वास्तव में समाधेय होता है।

उदाहरण

विनिमेय समूह

समाधेय समूहों का मूल उदाहरण विनिमेय समूह है। वे तुच्छ रूप से समाधेय होता है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा बनाई जाती है। लेकिन गैर-विनिमेय समूह समाधेय हो भी सकते है और नहीं भी हो सकते है।

निलपोटेंट समूह

अधिक सामान्यतः, सभी नीलपोटेंट समूह समाधेय होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह समाधेय होते है, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह शून्य होते है।

चतुष्कोण समूह

विशेष रूप से, चतुर्धातुक समूह विस्तार द्वारा दिया गया एक समाधेय समूह है

$1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1$

जहां मध्यभाग $\mathbb {Z} /2$ द्वारा उत्पन्न उपसमूह है $-1$.

समूह प्रसार

समूह प्रसार समाधेय समूहों के आद्य उदाहरण बनाते है। अर्थात यदि $G$ और $G'$ समाधेय समूह है

$1\to G\to G''\to G'\to 1$

एक समाधेय समूह को परिभाषित करता है $G''$. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी समाधेय समूह बनाए जाते है।

गैरविनिमेय समूह जो गैर-शून्य है

एक समाधेय, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण सममित समूह S₃ होता है। वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-विनिमेय समूह A₅ होता है, (डिग्री 5 का वैकल्पिक समूह) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।

विषम क्रम के परिमित समूह

फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह समाधेय होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल होता है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का होता है।

गैर उदाहरण

समूह S₅ समाधेय नहीं होते है - इसकी रचना श्रृंखला {E, A₅, S₅} है (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अन्य रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को A₅ और C₂ के लिए समरूपता देता है, और A₅ विनिमेय नही होता है। इस तर्क का सामान्यीकरण करते हुए, इस तथ्य के साथ मिलकर A_n, n> 4 के लिए S_n का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-विनिमेय सरल उपसमूह है, हम देखते है कि S_n n> 4 के लिए समाधेय नहीं है। यह प्रमाण एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 में डिग्री n के बहुपद होते है जो कण (विनिमेय-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं किया जाता है। इस गुण का उपयोग बैरिंगटन के प्रमेय के प्रमाण में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है।

Gl₂ के उपसमूह

उपसमूहों पर विचार करें

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}$

$GL_{2}(\mathbb {F} )$किसी क्षेत्र के लिए $\mathbb {F}$. फिर, समूह भागफल $B/U$ मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है $B,U$, उन्हें एक साथ गुणा करता है, और पता लगता है कि यह क्या संरचना देता है। तो

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}$

निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें $GL_{2}$ तात्पर्य $ac\neq 0$, इस तरह $\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B$ एक उपसमूह है (जो आव्यूह है जहां $b=0$). निश्चित के लिए $a,b$, रैखिक समीकरण $ad+b=0$ तात्पर्य $d=-b/a$, जो एक मनमाना तत्व है $\mathbb {F}$ तब से $b\in \mathbb {F}$. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते है $B$ और इसे आव्यूह से गुणा करते है

${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$

इसके साथ $d=-b/a$, हम एक विकर्ण आव्यूह प्राप्त कर सकते है $B$. यह भागफल समूह को दर्शाता है $B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$.

टिप्पणी

ध्यान दें कि यह विवरण का अपघटन देता है $B$ जैसा $\mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$ जहाँ $(a,c)$ पर कार्य करता है $b$ द्वारा $(a,c)(b)=ab$. यह संकेत करता है $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$. साथ ही, फॉर्म का एक आव्यूह है

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}$

यह तत्व से मेल खाता है $(b)\times (a,c)$ समूह मे होता है।

बोरेल उपसमूह

एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए $G$ इसके बोरेल उपसमूह को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और समाधेय है $G$, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह होता है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, $GL_{n}$ और $SL_{n}$ ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो होते है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह $B$ में $GL_{2}$ बोरेल उपसमूह होता है।

Gl₃ में बोरेल उपसमूह

$GL_{3}$ उपसमूह है

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

सूचना $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$, इसलिए बोरेल समूह का रूप है

$U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$

साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह

उत्पाद समूह में $GL_{n}\times GL_{m}$ बोरेल उपसमूह को फॉर्म के आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है

${\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}$

जहाँ $T$ एक $n\times n$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है और $S$ एक $m\times m$ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।

जेड-समूह

कोई भी परिमित समूह जिसका पी-साइलो उपसमूह चक्रीय होता है, दो चक्रीय समूहों का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद होता है, विशेष रूप से समाधेय होता है। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।

ओईआईएस मान

क्रम n के साथ समाधेय समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (sequence A201733 in the OEIS)

अघुलनशील समूहों के आदेश है

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092 , 1140 , 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (sequence A056866 in the OEIS)

गुण

समाधेय कई संचालनों के अनुसार बंद होता है।

• यदि G समाधेय है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H समाधेय होता है।
• यदि G समाधेय है, और G आक्षेप H से एक समूह समरूपता है, तो H समाधेय होता है, समकक्ष रूप से (समरूपता प्रमेय द्वारा), यदि G समाधेय है, और n G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/n समाधेय होता है।
• दो गुण विशेष रूप से, यदि G और H समाधेय है, तो समूह G × H का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय होता है।

हल समूह प्रसार के अनुसार बंद होता है:

• यदि H और G/H समाधेय है, तो G भी समाधेय है, विशेष रूप से, यदि n और H समाधेय है, तो उनका अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद भी समाधेय होता है।

यह पुष्पांजलि उत्पाद के अनुसार भी बंद होता है:

• यदि G और H समाधेय है, और x एक G-सेट है, तो x के संबंध में G और H का पुष्पांजलि उत्पाद भी समाधेय होता है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर व्युत्पन्न लंबाई के समाधेय समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक विविधता बनाते है, क्योंकि वे समरूपता छवियों, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुसार बंद होते है। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ समाधेय समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय नहीं होता है, इसलिए सभी समाधेय समूहों का वर्ग विविधता नहीं होता है।

बर्नसाइड प्रमेय

Main article: बर्नसाइड प्रमेय

बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G आदेश (समूह सिद्धांत) p का एक परिमित समूह होता है जहां p और q अभाज्य संख्याएं है, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो G समाधेय होता है।

संबंधित अवधारणाएं

सुपर समाधेय समूह

Main article: सुपर समाधेय ग्रुप

विलेयता के प्रबल के रूप में, एक समूह G को सुपर समाधेय कहा जाता है, इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते है। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, असंख्य समूह सुपर समाधेय नहीं होते है। वास्तव में, सभी सुपर समाधेय समूह अंतिम रूप से उत्पन्न होते है, और एक विनिमेय समूह सुपर समाधेय होता है और केवल यह अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। वैकल्पिक समूह A₄ एक परिमित समाधेय समूह का एक उदाहरण है जो सुपर समाधेय नहीं होता है।

यदि हम अपने आप को अंतिम रूप से उत्पन्न समूहों तक सीमित रखते है, तो हम समूहों के वर्गों की निम्नलिखित व्यवस्था पर विचार कर सकते है:

चक्रीय समूह <विनिमेय समूह <शून्यक्षम समूह <सुपरसमाधेय समूह <पॉलीसाइक्लिक समूह <विलय करने योग्य <परिमित रूप से उत्पन्न समूह।

वस्तुतः समाधेय समूह

एक समूह G को 'वस्तुतः समाधेय' कहा जाता है यदि उसके पास परिमित सूचकांक का एक समाधेय उपसमूह होता है। यह वस्तुतः विनिमेय के समान होता है। स्पष्ट रूप से सभी समाधेय समूह वास्तव में समाधेय होते है, क्योंकि केवल समूह को ही चुना जा सकता है, जिसका अनुक्रमणिका 1 होता है।

हाइपोबेलियन

एक समाधेय समूह वह होता है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला एक परिमित अवस्था में तुच्छ उपसमूह तक पहुँचती है। एक अनंत समूह के लिए, परिमित व्युत्पन्न श्रृंखला स्थिर नही होती है, लेकिन व्युत्पन्न श्रृंखला हमेशा स्थिर होती है। एक समूह जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ समूह तक पहुँचती है, उसे हाइपोबेलियन कहा जाता है, और प्रत्येक समाधेय समूह एक हाइपोबेलियन समूह होता है। पहला क्रमसूचक α ऐसा है कि G^(α) = G^(α+1) को समूह G की व्युत्पन्न लंबाई कहा जाता है, और यह दिखाता है कि प्रत्येक क्रमसूचक समूह की व्युत्पन्न लंबाई होती है।

यह भी देखें

• समाधेय समूह
• परवलयिक उपसमूह

संदर्भ

• Malcev, A. I. (1949), "Generalized nilpotent algebras and their associated groups", Mat. Sbornik, New Series, 25 (67): 347–366, MR 0032644
• Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 148 (4 ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

बाहरी संबंध

• OEIS sequence A056866 (Orders of non-solvable groups)
• Solvable groups as iterated extensions