आंशिक आदर्श

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, आंशिक आदर्श की अवधारणा को अभिन्न डोमेन के संदर्भ में प्रस्तुत किया जाता है और डेडेकिंड डोमेन के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। कुछ अर्थों में, एक अभिन्न डोमेन के आंशिक आदर्श आदर्श (रिंग सिद्धांत) की तरह होते हैं जहां भाजक की अनुमति होती है। संदर्भों में जहां भिन्नात्मक आदर्श और साधारण रिंग आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

परिभाषा और मूल परिणाम

मान लें कि $R$ एक अभिन्न डोमेन है, और $K=\operatorname {Frac} R$ इसके भिन्नों का क्षेत्र है।

$R$ का एक आंशिक आदर्श $K$ का एक $R$-उपमॉड्यूल है जैसे कि $R$ में एक गैर-शून्य $r\in R$ उपस्थित है जैसे कि $rI\subseteq R$ तत्व $r$ को $I$ में हरों को साफ करने के रूप में माना जा सकता है, इसलिए इसका नाम भिन्नात्मक आदर्श है।

प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं $R$- के उपमॉड्यूल $K$ के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न $K$. एक आंशिक आदर्श $I$ में निहित है $R$ यदि , और केवल यदि , यह एक ('अभिन्न') आदर्श है $R$.

एक भिन्नात्मक आदर्श $I$ को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि कोई अन्य भिन्नात्मक आदर्श $J$ ऐसा हो

$IJ=R$

जहाँ

$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}$

दो भिन्नात्मक आदर्शों का गुणनफल कहा जाता है)।

इस स्थिति में, आंशिक आदर्श $J$ विशिष्ट रूप से निर्धारित और सामान्यीकृत आदर्श भागफल के समान है

$(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का समूह उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान स्वयं इकाई आदर्श $(1)=R$ है। इस समूह को $R$ के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है। प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं। (अशून्य) आंशिक आदर्श व्युत्क्रम है, और केवल यदि यह $R$-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य है। ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को श्रेणी 1 वेक्टर बंडल के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो कि एफ़िन योजना ${\text{Spec}}(R)$ पर है।

K का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न $R$-उपमॉड्यूल एक भिन्नात्मक आदर्श है और यदि R नोथेरियन है तो ये सभी $R$ के भिन्नात्मक आदर्श हैं।

डेडेकिंड डोमेन

डेडेकिंड डोमेन में स्थिति बहुत आसान है। विशेष रूप से, प्रत्येक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली व्युत्क्रमणीय होती है। वास्तव में, यह गुण डेडेकिंड डोमेन की विशेषता बताता है:

एक अभिन्न डोमेन एक डेडेकिंड डोमेन है यदि , और केवल यदि , प्रत्येक गैर-शून्य आंशिक आदर्श व्युत्क्रमणीय है।

डेडेकिंड डोमेन $R$ पर भिन्नात्मक आदर्शों के समुच्चय को ${\text{Div}}(R)$ दर्शाया गया है।

.

प्रधान भिन्नात्मक आदर्शों के उपसमूह द्वारा भिन्नात्मक आदर्शों का इसका भागफल समूह एक डेडेकिंड डोमेन का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है जिसे आदर्श वर्ग समूह कहा जाता है।

संख्या क्षेत्र

संख्या क्षेत्र $K$ के विशेष स्थिति के लिए (जैसे कि $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$) वहाँ एक संबंधित रिंग है जिसे ${\mathcal {O}}_{K}$कहा जाता है। $K$ के पूर्णांक उदाहरण के लिए,${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]$ $d$ वर्ग के लिए मुफ्त और $2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)$ के समान है। इन रिंग की मुख्य संपत्ति ${\mathcal {O}}_{K}$ है, वे डेडेकिंड डोमेन हैं। इसलिए संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के रिंग के लिए भिन्नात्मक आदर्शों के सिद्धांत का वर्णन किया जा सकता है। वास्तव में वर्ग क्षेत्र सिद्धांत वर्ग रिंग्स के ऐसे समूहों का अध्ययन है।

संबंधित संरचनाएं

पूर्णांकों की रिंग के लिए^{pg 2} ${\mathcal {O}}_{K}$ एक संख्या क्षेत्र के लिए, आंशिक आदर्शों का समूह एक समूह को निरूपित करता है ${\mathcal {I}}_{K}$ और प्रमुख आंशिक आदर्शों के उपसमूह को ${\mathcal {P}}_{K}$. के रूप में दर्शाया गया है। आदर्श वर्ग समूह भिन्नात्मक आदर्शों का समूह है जो प्रमुख भिन्नात्मक आदर्शों को मापता है, इसलिए

${\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}$

और इसकी कक्षा संख्या $h_{K}$ समूह $h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|$ का क्रम है कुछ मायनों में, वर्ग संख्या इस बात का माप है कि पूर्णांकों का वलय कितना दूर है ${\mathcal {O}}_{K}$ एक अद्वितीय कारककरण डोमेन होने से है। यह है क्योंकि $h_{K}=1$ यदि और केवल यदि ${\mathcal {O}}_{K}$ एक यूएफडी है।

आदर्श वर्ग समूहों के लिए स्पष्ट क्रम

एक स्पष्ट क्रम है

$0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0$

हर संख्या क्षेत्र से जुड़ा हुआ है।

आंशिक आदर्शों के लिए संरचना प्रमेय

किसी संख्या क्षेत्र के भिन्नात्मक आदर्शों के लिए महत्वपूर्ण संरचना प्रमेयों में से एक में कहा गया है कि प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श $I$ के रूप में क्रम करने तक विशिष्ट रूप से विघटित होता है

$I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}$

प्रमुख आदर्शों के लिए

${\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$.

की एक रिंग की कल्पना में ${\mathcal {O}}_{K}$. उदाहरण के लिए,

${\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}$ कारकों के रूप में $(1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}$

साथ ही, चूँकि किसी संख्या क्षेत्र में भिन्नात्मक आदर्श संख्याएँ पूरी तरह से उत्पन्न होती हैं, इसलिए हम आदर्श $J$ प्राप्त करने के लिए हर को कुछ $\alpha$ से गुणा करके स्पष्ट कर सकते हैं। इसलिए

$I={\frac {1}{\alpha }}J$

एक अन्य उपयोगी संरचना प्रमेय यह है कि अभिन्न आंशिक आदर्श 2 तत्वों तक उत्पन्न होते हैं। हम एक आंशिक आदर्श कहते हैं जो ${\mathcal {O}}_{K}$ का एक उपसमुच्चय है ।

उदाहरण

• ${\frac {5}{4}}\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$से अधिक एक भिन्नात्मक आदर्श है।
• $K=\mathbb {Q} (i)$ के लिए आदर्श (5) विभाजित होता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]$ , $(2-i)(2+i)$ के रूप में।
• $\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}$में हमारे पास गुणनखंड है $(3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि यदि हम इसे गुणा करते हैं, तो हमें मिलता है

• ${\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}$

तब से $\zeta _{3}$ संतुष्ट $\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1$, हमारा गुणनखंडन समझ में आता है।

• $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ में हम आंशिक आदर्शों को गुणा कर सकते हैं

• $I=(2,(1/2){\sqrt {-23}}-(1/2))$ और
• $J=(4,(1/2){\sqrt {-23}}+(3/2))$

आदर्श प्राप्त करने के लिए

$IJ=(-(1/2){\sqrt {-23}}-(3/2)).$

विभागीय आदर्श

चलो ${\tilde {I}}$ एक गैर-शून्य भिन्नात्मक आदर्श $I$ वाले सभी प्रमुख आंशिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन को दर्शाता है।

समान रूप से,

${\tilde {I}}=(R:(R:I)),$

जहां ऊपर के रूप में

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

यदि ${\tilde {I}}=I$ तब I 'विभाजन' कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक विभाजक आदर्श भिन्नात्मक प्रमुख आदर्शों के कुछ गैर-खाली समूह का एक गैर-शून्य प्रतिच्छेदन है।

यदि I विभाज्य है और J एक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली है, तो (I : J) भाज्य है।

R को स्थानीय रिंग क्रुल डोमेन होने दें (उदाहरण के लिए, एक नोथेरियन रिंग अभिन्न रूप से बंद डोमेन स्थानीय रिंग डोमेन) तब R एक असतत मूल्यांकन वलय है यदि और केवल यदि R का अधिकतम आदर्श विभाज्य है।

एक अभिन्न डोमेन जो विभाजक आदर्शों पर आरोही श्रृंखला नियमो को पूरा करता है, उसे मोरी टोडो माइन कहा जाता है।

यह भी देखें

• मंडल पुलिया
• डेडेकाइंड-कुमेर प्रमेय

संदर्भ

• Barucci, Valentina (2000), "Mori domains", in Glaz, Sarah; Chapman, Scott T. (eds.), Non-Noetherian commutative ring theory, Mathematics and its Applications, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 57–73, ISBN 978-0-7923-6492-4, MR 1858157
• Stein, William, A Computational Introduction to Algebraic Number Theory (PDF)
• Chapter 9 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1994), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Chapter VII.1 of Bourbaki, Nicolas (1998), Commutative algebra (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Chapter 11 of Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461