छेदक घन का समाकलन: Difference between revisions

Latest revision as of 12:10, 5 May 2023

छेदक घन का समाकल लगातार और चुनौतीपूर्ण होता ^[1] प्रारंभिक कलन का अनिश्चितकालीन समाकल है।

{\textstyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+{\tfrac {1}{2}}\int \sec x\,dx+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\operatorname {gd} ^{-1}x)+C,\qquad |x|<{\tfrac {1}{2}}\pi \end{aligned}}}

जहाँ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ प्रतिलोम गुडरमैनियन फ़ंक्शन है, जो छेदक फलन का समाकलन है।

ऐसे कई कारण हैं कि क्यों यह विशेष प्रतिपक्षी विशेष ध्यान देने योग्य है।

उच्च समता (गणित) के समाकलों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक, छेदिका की निम्नतर शक्तियों को कम करने के लिए इस सबसे सरल स्थिति में पूरी प्रकार से उपस्तिथ है। अन्य स्थितियों में भी इसी प्रकार से किए जाते हैं।
एकीकरण में अतिपरवलिक कार्यों की उपयोगिता को छेदक की विषम शक्तियों की स्थितियों में प्रदर्शित किया जा सकता है। (स्पर्शरेखा की शक्तियों को भी सम्मलित किया जा सकता है)
यह सामान्यतः प्रथम वर्ष के कलन पाठ्यक्रम में किए जाने वाले कई समाकल में से है जिसमें आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक विधि भागों द्वारा एकीकृत करना और उसी समाकल पर लौटना सम्मलित है जो के साथ प्रारंभ हुआ (दूसरा ज्या या कोज्या फ़ंक्शन के साथ घातांक प्रकार्य के उत्पाद का समाकल है, ज्या या कोज्या फ़ंक्शन की शक्ति का एक और समाकल है।)
इस समाकल का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल के मूल्यांकन में किया जाता है

\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx,

जहाँ

a

स्थिरांक है। विशेष रूप से, यह की समस्याओं में प्रकट होता है

चाप की लंबाई परवलय और आर्किमिडीयन सर्पिल
घुमावदार का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना।

व्युत्पत्ति

भागों द्वारा एकीकरण

इस प्रतिपक्षी को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है, इस प्रकार है:^[2]

\int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du

जहाँ

u=\sec x,\quad dv=\sec ^{2}x\,dx,\quad v=\tan x,\quad du=\sec x\tan x\,dx.

तब

{\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}

अगला जोड़ें ${\textstyle \int \sec ^{3}x\,dx}$ दोनों पक्षों के लिए:^{[lower-alpha 1]}

{\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&=\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C,\end{aligned}}

छेदक कार्य के समाकल का उपयोग करके, ${\textstyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C.}$ ^[2]

अंत में, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

\int \sec ^{3}x\,dx={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C,

जिसे निकाला जाना था।^[2]

किसी परिमेय फलन के समाकल में कमी

\int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}

जहाँ $u=\sin x$ , ताकि $du=\cos x\,dx$ . यह आंशिक अंशों द्वारा अपघटन को स्वीकार करता है।

{\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}={\frac {1}{4(1+u)}}+{\frac {1}{4(1+u)^{2}}}+{\frac {1}{4(1-u)}}+{\frac {1}{4(1-u)^{2}}}.

टर्म-दर-टर्म प्रतिविभेदन को मिलता है

\begin{aligned} \int \sec^{3} x d x & = \frac{1}{4} \ln | 1 + u | - \frac{1}{4 (1 + u)} - \frac{1}{4} \ln | 1 - u | + \frac{1}{4 (1 - u)} + C \\ = \frac{1}{4} \ln | \frac{1 + u}{1 - u} | + \frac{u}{2 (1 - u^{2})} + C \\ = \frac{1}{4} \ln | \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} | + \frac{\sin x}{2 \cos^{2} x} + C \\ = \frac{1}{4} \ln | \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} | + \frac{1}{2} \sec x \tan x + C \\ = \frac{1}{4} \ln | \frac{{(1 + \sin x)}^{2}}{1 - \sin^{2} x} | + \frac{1}{2} \sec x \tan x + C \\ = \frac{1}{4} \ln | \frac{{(1 + \sin x)}^{2}}{\cos^{2} x} | + \frac{1}{2} \sec x \tan x + C \end{aligned}

अतिपरवलिक कार्य

समाकल रूप का:

\int \sec ^{n}x\tan ^{m}x\,dx

पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करके कम किया जा सकता है यदि

n

समता (गणित) है

n

और

m

दोनों विषम हैं। यदि

n

विषम है और

m

सम है, अतिपरवलिक प्रतिस्थापन का उपयोग स्थिर एकीकरण को अतिपरवलिक शक्ति-कम करने वाले सूत्रों वाले भागों द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

{\begin{aligned}\sec x&=\cosh u\\[6pt]\tan x&=\sinh u\\[6pt]\sec ^{2}x\,dx&=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{aligned}}

ध्यान दें कि $\int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|$ इस प्रतिस्थापन से सीधे अनुसरण करता है।

{\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int \cosh ^{2}u\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\int (\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}\sinh 2u+u\right)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\end{aligned}}

छेदक की उच्च विषम शक्तियाँ

जिस प्रकार ऊपर के भागों के एकीकरण ने पहली शक्ति के लिए छेदक के समाकल अंग को छेदक घन के समाकल अंग को कम कर दिया है, उसी प्रकार समान प्रक्रिया छेदक की उच्च विषम शक्तियों के समाकल अंग को कम कर देती है। यह छेदक कमी सूत्र है, जो वाक्य रचना का अनुसरण करता है:

\int \sec ^{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{ (for }}n\neq 1{\text{)}}\,\!

स्पर्शरेखाओं की भी शक्तियों को द्विपद विस्तार का उपयोग करके छेदक के विषम बहुपद का निर्माण करके और इन सूत्रों का उपयोग सबसे बड़े पद पर और समान पदों के संयोजन द्वारा समायोजित किया जा सकता है।

यह भी देखें

समाकल की सूची

संदर्भ

↑ Spivak, Michael (2008). "Integration in Elementary Terms". गणना. p. 382. यह एक पेचीदा और महत्वपूर्ण अभिन्न है जो अक्सर सामने आता है।
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Stewart, James (2012). "Section 7.2: Trigonometric Integrals". कैलकुलस - अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स. United States: Cengage Learning. pp. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[3] The constants of integration are absorbed in the remaining integral term.

[1] Spivak, Michael (2008). "Integration in Elementary Terms". गणना. p. 382. यह एक पेचीदा और महत्वपूर्ण अभिन्न है जो अक्सर सामने आता है।

[:1-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Stewart, James (2012). "Section 7.2: Trigonometric Integrals". कैलकुलस - अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स. United States: Cengage Learning. pp. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[1]

[2]

[lower-alpha 1]

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-{{calculus|expanded=integral}}
+{{calculus|expanded=समाकल}}
-छेदक घन का समाकल लगातार और चुनौतीपूर्ण होता <ref>{{cite book|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Michael Spivak |title=गणना|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|year=2008|chapter=Integration in Elementary Terms |quote=यह एक पेचीदा और महत्वपूर्ण अभिन्न है जो अक्सर सामने आता है।|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/382 382]}}</ref> प्रारंभिक कलन का [[अनिश्चितकालीन समाकल]] है:
+छेदक घन का समाकल लगातार और चुनौतीपूर्ण होता <ref>{{cite book|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Michael Spivak |title=गणना|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|year=2008|chapter=Integration in Elementary Terms |quote=यह एक पेचीदा और महत्वपूर्ण अभिन्न है जो अक्सर सामने आता है।|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/382 382]}}</ref> प्रारंभिक कलन का [[अनिश्चितकालीन समाकल]] है।
 :<math display=inline>\begin{align}
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    &= \tfrac12(\sec x \tan x + \operatorname{gd}^{-1} x) + C, \qquad |x| < \tfrac12\pi
 \end{align}</math>
-कहाँ <math display=inline>\operatorname{gd}^{-1}</math> प्रतिलोम [[गुडरमैनियन समारोह]] है, जो छेदक फलन का समाकलन है।
+जहाँ <math display=inline>\operatorname{gd}^{-1}</math> प्रतिलोम [[गुडरमैनियन फ़ंक्शन]] है, जो [[छेदक समारोह का अभिन्न अंग|छेदक फलन का समाकलन]] है।
-ऐसे कई कारण हैं कि क्यों यह विशेष प्रतिपक्षी विशेष ध्यान देने योग्य है:
+ऐसे कई कारण हैं कि क्यों यह विशेष प्रतिपक्षी विशेष ध्यान देने योग्य है।
-* उच्च [[समता (गणित)]] के समाकलों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक, सेकेंट की निम्नतर शक्तियों को कम करने के लिए इस सबसे सरल मामले में पूरी तरह से मौजूद है। अन्य मामले भी इसी तरह से किए जाते हैं।
+* उच्च [[समता (गणित)]] के समाकलों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक, छेदिका की निम्नतर शक्तियों को कम करने के लिए इस सबसे सरल स्थिति में पूरी प्रकार से उपस्तिथ है। अन्य स्थितियों में भी इसी प्रकार से किए जाते हैं।
-* एकीकरण में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की उपयोगिता को छेदक की विषम शक्तियों के मामलों में प्रदर्शित किया जा सकता है ([[स्पर्शरेखा समारोह]] की शक्तियों को भी शामिल किया जा सकता है)।
+* एकीकरण में [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलिक कार्यों]] की उपयोगिता को छेदक की विषम शक्तियों की स्थितियों में प्रदर्शित किया जा सकता है। (स्पर्शरेखा की शक्तियों को भी सम्मलित किया जा सकता है)
-* यह आमतौर पर प्रथम वर्ष के कैलकुलस कोर्स में किए जाने वाले कई इंटीग्रल में से एक है जिसमें आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक तरीका [[भागों द्वारा एकीकृत]] करना और उसी इंटीग्रल पर लौटना शामिल है जो एक के साथ शुरू हुआ (दूसरा एक [[घातांक प्रकार्य]] के उत्पाद का इंटीग्रल है) [[ उन लोगों के ]] या [[ कोज्या ]] फ़ंक्शन; फिर भी साइन या कोसाइन फ़ंक्शन की शक्ति का एक और अभिन्न)।
+* यह सामान्यतः प्रथम वर्ष के कलन पाठ्यक्रम में किए जाने वाले कई समाकल में से है जिसमें आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक विधि [[भागों द्वारा एकीकृत]] करना और उसी समाकल पर लौटना सम्मलित है जो के साथ प्रारंभ हुआ (दूसरा [[ज्या]] या [[कोज्या]] फ़ंक्शन के साथ घातांक प्रकार्य के उत्पाद का समाकल है, ज्या या कोज्या फ़ंक्शन की शक्ति का एक और समाकल है।)
 * इस समाकल का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल के मूल्यांकन में किया जाता है
-:: <math>\int \sqrt{a^2+x^2}\,dx,</math> कहाँ <math>a</math> एक स्थिरांक है। विशेष रूप से, यह की समस्याओं में प्रकट होता है
+:: <math>\int \sqrt{a^2+x^2}\,dx,</math> जहाँ <math>a</math> स्थिरांक है। विशेष रूप से, यह की समस्याओं में प्रकट होता है
-:* चाप की लंबाई [[परवलय]] और [[आर्किमिडीयन सर्पिल]]
+:* [[चाप की लंबाई]] [[परवलय]] और [[आर्किमिडीयन सर्पिल]]
-:* [[घुमावदार]] का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना।
+:* [[घुमावदार]] का [[पृष्ठीय क्षेत्रफल]] ज्ञात करना।
 == व्युत्पत्ति ==
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 इस प्रतिपक्षी को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है, इस प्रकार है:<ref name=":1">{{Cite book|last=Stewart|first=James|authorlink=James Stewart (mathematician)|title=कैलकुलस - अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|publisher=Cengage Learning|year=2012|isbn=978-0-538-49790-9|location=United States|pages=475-6|chapter=Section 7.2: Trigonometric Integrals}}</ref>
 :<math>\int \sec^3 x \, dx = \int u\,dv = uv - \int v \,du</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
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    &= \sec x \tan x + \ln\left|\sec x + \tan x\right| + C,
 \end{align}</math>
-सिकेंट फ़ंक्शन के इंटीग्रल का उपयोग करके, <math display=inline>\int \sec x \,dx = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C.</math><ref name=":1" />
+छेदक कार्य के समाकल का उपयोग करके, <math display=inline>\int \sec x \,dx = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C.</math><ref name=":1" />
 अंत में, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:
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 </math>
 जिसे निकाला जाना था।<ref name=":1" />
-=== किसी परिमेय फलन के  समाकल अंग में कमी ===
+=== किसी परिमेय फलन के समाकल में कमी ===
 :<math>
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 = \int \frac{du}{(1-u^2)^2}
 </math>
-कहाँ <math>u = \sin x</math>, ताकि <math>du = \cos x\,dx</math>. यह आंशिक अंशों द्वारा अपघटन को स्वीकार करता है:
+जहाँ <math>u = \sin x</math>, ताकि <math>du = \cos x\,dx</math>. यह आंशिक अंशों द्वारा अपघटन को स्वीकार करता है।
 :<math>
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 = \frac{1}{4(1+u)} + \frac{1}{4(1+u)^2} + \frac{1}{4(1-u)} + \frac{1}{4(1-u)^2}.
 </math>
-टर्म-दर-टर्म एंटीडिफरेंशिएटिंग, एक को मिलता है
+टर्म-दर-टर्म प्रतिविभेदन को मिलता है
 :<math>\begin{align}
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    &= \tfrac12 (\ln|\sec x + \tan x| + \sec x \tan x) + C.
 \end{align}</math>
-=== अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य ===
+=== अतिपरवलिक कार्य ===
-फॉर्म का इंटीग्रल: <math>\int \sec^n x \tan^m x\, dx</math> [[पायथागॉरियन पहचान]] का उपयोग करके कम किया जा सकता है यदि <math>n</math> समता (गणित) है या <math>n</math> और <math>m</math> दोनों विषम हैं। अगर <math>n</math> विषम है और <math>m</math> सम है, अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन का उपयोग नेस्टेड एकीकरण को अतिशयोक्तिपूर्ण शक्ति-कम करने वाले फ़ार्मुलों वाले भागों द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है।
+समाकल रूप का: <math>\int \sec^n x \tan^m x\, dx</math> [[पायथागॉरियन पहचान]] का उपयोग करके कम किया जा सकता है यदि <math>n</math> समता (गणित) है <math>n</math> और <math>m</math> दोनों विषम हैं। यदि <math>n</math> विषम है और <math>m</math> सम है, अतिपरवलिक प्रतिस्थापन का उपयोग स्थिर एकीकरण को अतिपरवलिक शक्ति-कम करने वाले सूत्रों वाले भागों द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है।
 :<math>\begin{align}
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 == छेदक की उच्च विषम शक्तियाँ ==
-जिस तरह ऊपर के हिस्सों के एकीकरण ने पहली शक्ति के लिए छेदक के  समाकल अंग को छेदक घन के  समाकल अंग को कम कर दिया है, उसी तरह एक समान प्रक्रिया छेदक की उच्च विषम शक्तियों के  समाकल अंग को कम कर देती है। यह सेकंडेंट रिडक्शन फॉर्मूला है, जो सिंटैक्स का अनुसरण करता है:
+जिस प्रकार ऊपर के भागों के एकीकरण ने पहली शक्ति के लिए छेदक के समाकल अंग को छेदक घन के समाकल अंग को कम कर दिया है, उसी प्रकार समान प्रक्रिया छेदक की उच्च विषम शक्तियों के समाकल अंग को कम कर देती है। यह छेदक कमी सूत्र है, जो वाक्य रचना का अनुसरण करता है:
 :<math>
@@ Line 117: / Line 117: @@
 = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \qquad \text{ (for }n \ne 1\text{)}\,\!
 </math>
-स्पर्शरेखाओं की भी शक्तियों को [[द्विपद विस्तार]] का उपयोग करके छेदक के एक विषम [[बहुपद]] का निर्माण करके और इन सूत्रों का उपयोग सबसे बड़े पद पर और समान पदों के संयोजन द्वारा समायोजित किया जा सकता है।
+स्पर्शरेखाओं की भी शक्तियों को [[द्विपद गुणांक|द्विपद विस्तार]] का उपयोग करके छेदक के विषम [[बहुपद]] का निर्माण करके और इन सूत्रों का उपयोग सबसे बड़े पद पर और समान पदों के संयोजन द्वारा समायोजित किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[इंटीग्रल की सूची]]
+* [[इंटीग्रल की सूची|समाकल की सूची]]
 ==टिप्पणियाँ==
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 {{Calculus topics}}
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v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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