फ्रोबेनियस समूह

गणित में, एक फ्रोबेनियस समूह एक परिमित सेट पर एक सकर्मक क्रमचय समूह होते है,जैसे कि कोई भी गैर-तुच्छ तत्व एक से अधिक बिंदु को ठीक नहीं कर सकता है और कुछ गैर-तुच्छ तत्व एक बिंदु को ठीक कर सकता है। उनका नाम फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

संरचना

मान लीजिए G एक फ्रोबेनियस समूह है जिसमें एक सेट X के क्रम परिवर्तन में सम्मिलित होते हैं। G के एक उपसमूह H को X के एक बिंदु को ठीक करने के लिए 'फ्रोबेनियस पूरक' कहा जाता है। पहचान तत्व सभी तत्वों के सापेक्ष संयोजन कर H के किसी भी संयुग्म में एक सामान्य उपसमूह नहीं बना सकता है जिसे 'फ्रोबेनियस कर्नेल' K कहा जा सकता है। (यह फ्रोबेनियस (1901) के कारण एक प्रमेय है इस प्रमेय का अभी भी कोई प्रमाण नहीं है जो चरित्र सिद्धांत का उपयोग नहीं करता है।) फ्रोबेनियस समूह G, K और H का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद होता है:

$G=K\rtimes H$.

फ्रोबेनियस कर्नेल और फ्रोबेनियस पूरक दोनों में बहुत ही सीमित संरचनाएं होती हैं। जे जी थॉम्पसन (1960) ने सिद्ध किया हैं कि फ्रोबेनियस कर्नेल K एक निलपोटेंट समूह होती है। यदि H की कोटि सम है तो K अबेलियन होता है। फ्रोबेनियस पूरक H में यह गुण है कि प्रत्येक उपसमूह जिसका क्रम 2 अभाज्य संख्याओं का गुणनफल चक्रीय है; इसका तात्पर्य है कि इसके साइलो उपसमूह चक्रीय या सामान्यीकृत चतुर्धातुक समूह होते हैं। कोई भी समूह जैसे कि सभी साइलो उपसमूह चक्रीय होते हैं उन्हें जेड-समूह कहा जाता है तथा इसका तात्पर्य यह है कि यह दो चक्रीय समूहों का विस्तार करना है और विशेष रूप से एक अनुचक्री समूह भी होना चाहिए। यदि एक फ्रोबेनियस पूरक H हल करने योग्य नहीं है तो ज़ैसेनहॉस ने दर्शाया कि यह एक उपसमूह 1 या 2 के सूचकांक का एक सामान्य उपसमूह होता है जो एसएल (2,5) का उत्पाद होता है और 30 के क्रम कोप्राइम के एक अनुचक्री समूह भी होता है। विशेष रूप से, यदि एक फ्रोबेनियस पूरक इसके व्युत्पन्न उपसमूह के सापेक्ष मेल खाता है, तो यह एसएल (2,5) के सापेक्ष तुल्याकारी भी होता है। यदि एक फ्रोबेनियस पूरक H हल करने योग्य है तो इसका एक सामान्य अनुचक्री उपसमूह होता है जैसे भागफल 4 बिंदुओं पर सममित समूह का एक उपसमूह होता है। एक परिमित समूह एक फ्रोबेनियस पूरक होता है और अगर केवल यह एक परिमित क्षेत्र पर एक विश्वासयोग्य, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व करता है जिसमें गैर-पहचान समूह तत्व बिना शून्य निश्चित बिंदुओं के रैखिक परिवर्तनों के अनुरूप होते हैं।

फ्रोबेनियस कर्नेल के विशिष्ट रूप से G द्वारा निर्धारित किया जा सकता है क्योंकि यह फिटिंग उपसमूह होते है, और फ्रोबेनियस पूरक विशिष्ट रूप से शूर-ज़ासेनहॉस प्रमेय द्वारा संयुग्मन तक निर्धारित किया जाता है। विशेष रूप से एक परिमित समूह G एक तरह से एक फ्रोबेनियस समूह होता है।

उदाहरण

फानो विमान

• सबसे छोटा उदाहरण 6 तत्वों के सापेक्ष 3 बिंदुओं पर सममित समूह है। फ्रोबेनियस कर्नेल K का क्रम 3 है, और पूरक H का क्रम 2 होता है।

• प्रत्येक परिमित क्षेत्र F_q के लिए F_qq (> 2) तत्वों के सापेक्ष, व्युत्क्रमणीय अफ्फिने परिवर्तनो का समूह $x\mapsto ax+b$, $a\neq 0$ F पर स्वाभाविक रूप से करना फ्रोबेनियस समूह है। पिछला उदाहरण परिस्थिति F₃ तीन तत्वों वाले क्षेत्र से मेल खाता है,।
• एक अन्य उदाहरण 3-गुना समरूपता σ फिक्सिंग बिंदु और सभी 7 बिंदुओं के चक्रीय क्रमपरिवर्तन τ द्वारा उत्पन्न फ़ानो विमान के समतलीकरण के क्रम 21 के उपसमूह द्वारा प्रदान किया गया है, जो στ = τ²σ को संतुष्ट करता है. F_8^× की पहचान फानो तल के सापेक्ष, σ को फ्रोबेनियस स्वसमाकृतिकता σ(x) = x² का F₈ और τ को 0 या 1 नहीं किसी भी तत्व द्वारा गुणा करने के लिए लिया जा सकता है (अर्थात चक्रीय गुणक समूह जनरेटर F₈ के अनुप्रयोग) किसी भी तत्व द्वारा गुणा किया जाना है, यह फ्रोबेनियस समूह फैनो विमान में 21 ध्वज पर समूह क्रिया प्रकार की सकर्मक रूप से कार्य करता है, अर्थात चिह्नित बिंदुओं वाली रेखाएँ के रूप से कार्य करता है।
• n ऑड के सापेक्ष क्रम 2n का डायहेड्रल समूह क्रम 2 के पूरक के सापेक्ष एक फ्रोबेनियस समूह है। अधिक सामान्यतः यदि K विषम क्रम का कोई एबेलियन समूह है और H का क्रम 2 है और K पर व्युत्क्रम द्वारा कार्य करता है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद में K.H एक फ्रोबेनियस समूह होते है ।
• निम्नलिखित रचनाओं से और भी कई उदाहरण तैयार किए जा सकते हैं। यदि हम एक गैर-तुच्छ उपसमूह द्वारा फ्रोबेनियस समूह के फ्रोबेनियस पूरक को प्रतिस्थापित करते हैं तो हमें एक और फ्रोबेनियस समूह मिलता है। यदि हमारे पास दो फ्रोबेनियस समूह K₁H और K₂H तब भी (K₁× K₂.)H उसे एक ही फ्रोबेनियस समूह कहते है।
• यदि K क्रम 7³ का गैर-अबेलियन समूह होता है घातांक 7 के सापेक्ष, और H क्रम 3 का चक्रीय समूह होता है, तो एक फ्रोबेनियस समूह G है जो K द्वारा H का विस्तार K.H होता है है। यह गैर-एबेलियन कर्नेल वाले फ्रोबेनियस समूह का उदाहरण देता है। यह नॉनबेलियन कर्नेल के सापेक्ष फ्रोबेनियस समूह का पहला उदाहरण था यह ओटो श्मिट द्वारा निर्मित किया गया था।
• यदि H समूह SL₂(F₅) क्रम 120 का है, यह 11 तत्वों वाले क्षेत्र के ऊपर द्वि-आयामी सदिश स्थान K पर मुक्त रूप से निश्चित बिंदु पर कार्य करता है। विस्तार K.H अघुलनशील समूह फ्रोबेनियस समूह का सबसे छोटा उदाहरण है।
• एक बिंदु तय करने वाले ज़सेनहॉस समूह का उपसमूह एक फ्रोबेनियस समूह होता है।
• फ्रोबेनियस समूह जिनके फिटिंग उपसमूह में मनमाने ढंग से बड़े निलपोटेंसी वर्ग हैं, Ito द्वारा निर्मित किए गए थे: मान लीजिए कि q एक प्रमुख शक्ति है,जो d एक धनात्मक पूर्णांक होता है, और d ≤ p के सापेक्ष q -1 का p एक प्रधान भाजक है। कोटि q का कुछ क्षेत्र F और कोटि p वाले इस क्षेत्र का कुछ अवयव z नियत करना रहता हैं। फ्रोबेनियस पूरक H विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह होता है जिसकी i,i'वीं प्रविष्टि z है। फ्रोबेनियस कर्नेल K, GL(d,q) का साइलो q-उपसमूह है, जिसमें तिरछे वाले ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह होते हैं। कर्नेल K में निलपोटेंसी क्लास d -1 है, और सेमीडायरेक्ट उत्पाद KH एक फ्रोबेनियस समूह होता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

एक फ्रोबेनियस समूह G के अलघुकरणीय जटिल अभ्यावेदन को H और K से पढ़ा जा सकता है। G के दो प्रकार के अलघुकरणीय निरूपण होते हैं:

• H का कोई भी अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व R, G से H तक भागफल मानचित्र का उपयोग करके G का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व करता है, जो कि एक प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के रूप में है। और ये अपने कर्नेल में K के सापेक्ष G का अलघुकरणीय निरूपण भी करता हैं।
• यदि S, K का कोई गैर-तुच्छ अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है, तो G का संबंधित प्रेरित प्रतिनिधित्व भी अप्रासंगिक है। ये K के सापेक्ष G का अप्रासंगिक निरूपण करता हैं जो उनके कर्नेल में नहीं है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

ऐसे कई समूह में सैद्धांतिक गुण होते हैं जो अपने आप में रोचक हैं, परंतु जो क्रमचय प्रतिनिधित्व वाले समूह के समतुल्य होते हैं जो इसे फ्रोबेनियस समूह बनाता है।

• G एक फ्रोबेनियस समूह है अगर और केवल अगर G के पास उचित, गैर-पहचान उपसमूह H है जैसे कि H ∩ H^g प्रत्येक g ∈ G - H के लिए पहचान उपसमूह होता है, अर्थात H, G का असामान्य उपसमूह भी होता है।

इस परिभाषा को तब तुच्छ प्रतिच्छेदन सेटों के अध्ययन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जब सीए समूहों के वर्गीकरण में उपयोग किए जाने वाले फ्रोबेनियस समूहों के परिणामों को सीएन समूहों के परिणामों तक विस्तारित करने की अनुमति दी और अंत में विषम क्रम प्रमेय के परिणामों तक विस्तारित करने की अनुमति दी जताई हैं।

ये मानते हुए कि $G=K\rtimes H$ सामान्य उपसमूह K और H के पूरक का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद होता है, तो केंद्रीकरण पर निम्नलिखित प्रतिबंध G के समान होते हैं जो फ्रोबेनियस पूरक H के सापेक्ष एक फ्रोबेनियस समूह है:

• केंद्रीय C_G(k) K में प्रत्येक गैर-समरूपता k के लिए K का एक उपसमूह है।
• C_H(k) =1 प्रत्येक गैर पहचान k में K के लिए होता हैं ।
• C_G(H) ≤ H H में प्रत्येक गैर-पहचान H के लिए होता हैं।

संदर्भ

• Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (in German): 1216–1230, doi:10.3931/e-rara-18836, JFM 32.0137.01{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• I. M. Isaacs, Character theory of finite समूहs, AMS Chelsea 1976
• D. S. Passman, Permutation समूहs, Benjamin 1968
• Thompson, John G. (1960), "Normal p-complements for finite groups", Mathematische Zeitschrift, 72: 332–354, doi:10.1007/BF01162958, ISSN 0025-5874, MR 0117289