निष्कोण पद्धति: Difference between revisions

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[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, क्षेत्र पर '''निष्कोण योजना''' एक ऐसी [[योजना (गणित)|योजना]] है जो किसी भी बिंदु के पास [[affine अंतरिक्ष|सजातीय]] अंतराल द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। समतलता ऐसी योजना की धारणा को सटीक बनाने का तरीका है जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। विशेष स्थिति एक क्षेत्र के ऊपर निष्कोण विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में [[ कई गुना |बहुरूपता]] की बीजगणितीय ज्यामिति में निष्कोण योजनाएँ भूमिका निभाती हैं।
[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, क्षेत्र पर '''निष्कोण पद्धति''' एक ऐसी [[योजना (गणित)|योजना]] है जो किसी भी बिंदु के पास [[affine अंतरिक्ष|सजातीय]] अंतराल द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। समतलता ऐसी योजना की धारणा को सटीक बनाने का तरीका है जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। विशेष स्थिति एक क्षेत्र के ऊपर निष्कोण विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में [[ कई गुना |बहुरूपता]] की बीजगणितीय ज्यामिति में निष्कोण पद्धतिएँ भूमिका निभाती हैं।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
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ज्यामितीय शब्दों में, ''X'' में बिंदु ''p'' पर व्युत्पन्नों (∂''g<sub>i</sub>''/∂''x<sub>j</sub>'') का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र ''F<sup>n</sup>'' → ''F<sup>r</sup>'' देता है, जहां ''F'' ''p'' का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के आधार को ''p'' पर ''X'' की [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है। ''X'' की समतलता का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट ''X'' के आयाम के बराबर है एक विलक्षण बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।  
ज्यामितीय शब्दों में, ''X'' में बिंदु ''p'' पर व्युत्पन्नों (∂''g<sub>i</sub>''/∂''x<sub>j</sub>'') का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र ''F<sup>n</sup>'' → ''F<sup>r</sup>'' देता है, जहां ''F'' ''p'' का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के आधार को ''p'' पर ''X'' की [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] कहा जाता है। ''X'' की समतलता का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट ''X'' के आयाम के बराबर है एक विलक्षण बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।  


अधिक प्रायः, क्षेत्र ''k'' पर योजना ''X'', ''k'' के ऊपर निष्कोण होता है यदि ''X'' के प्रत्येक बिंदु में एक विवृत आसपास होता है जो ''k'' के ऊपर कुछ आयाम की निष्कोण सजातीय योजना है। विशेष रूप से, ''k'' पर निष्कोण योजना स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की होती है।
प्रायः क्षेत्र ''k'' पर योजना ''X'', ''k'' के ऊपर निष्कोण होता है यदि ''X'' के प्रत्येक बिंदु में एक विवृत आसपास होता है जो ''k'' के ऊपर कुछ आयाम की निष्कोण सजातीय योजना है। विशेष रूप से, ''k'' पर निष्कोण पद्धति स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की होती है।


योजनाओं के निष्कोण रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर निष्कोण तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, योजना ''X'' क्षेत्र ''k'' पर निष्कोण होती है यदि और केवल अगर आकारिकी ''X'' → Spec ''k'' निष्कोण होती है।
योजनाओं के निष्कोण रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर निष्कोण तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, योजना ''X'' क्षेत्र ''k'' पर निष्कोण होती है यदि और केवल अगर आकारिकी ''X'' → Spec ''k'' निष्कोण होती है।


== गुण ==
== गुण ==
क्षेत्र पर [[सामान्य योजना|निष्कोण योजना]] नियमित है और इसलिए सामान्य है। विशेष रूप से, क्षेत्र पर निष्कोण योजना कम हो जाती है।  
क्षेत्र पर [[सामान्य योजना|निष्कोण पद्धति]] नियमित है और इसलिए सामान्य है। विशेष रूप से, क्षेत्र पर निष्कोण पद्धति कम हो जाती है।  


''k'' पर परिमित प्रकार की अभिन्न पृथक योजना होने के लिए क्षेत्र ''k'' पर विविधता को परिभाषित करें। फिर ''k'' के ऊपर परिमित प्रकार की कोई भी निष्कोण पृथक योजना ''k'' के ऊपर निष्कोण विविधताओ का एक परिमित असंयुक्त संघ है।  
''k'' पर परिमित प्रकार की अभिन्न पृथक योजना होने के लिए क्षेत्र ''k'' पर विविधता को परिभाषित करें। फिर ''k'' के ऊपर परिमित प्रकार की कोई भी निष्कोण पृथक योजना ''k'' के ऊपर निष्कोण विविधताओ का एक परिमित असंयुक्त संघ है।  
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सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, ''X'' के जटिल बिंदुओं का स्थान ''X''('''C''') चिरसम्मत (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए जटिल बहुरूपता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान ''X''('''R''') वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है।  
सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, ''X'' के जटिल बिंदुओं का स्थान ''X''('''C''') चिरसम्मत (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए जटिल बहुरूपता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या पर निष्कोण विविधता ''X'' के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान ''X''('''R''') वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है।  


किसी भी योजना ''X'' के लिए जो क्षेत्र ''k'' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का है, ''X'' पर अवकलों का एक [[सुसंगत शीफ]] Ω<sup>1</sup> है। योजना ''X'', ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल यदि Ω<sup>1</sup> प्रत्येक बिंदु के निकट ''X'' के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।<sup><ref>Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref> उस स्थिति में, Ω<sup>1</sup> को ''X'' का कोटिस्पर्शी बंडल कहा जाता है। ''k'' पर निष्कोण योजना के स्पर्शरेखा बंडल को दोहरे बंडल, ''TX'' = (Ω<sup>1</sup>)<sup>*</sup> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।   
किसी भी योजना ''X'' के लिए जो क्षेत्र ''k'' पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का है, ''X'' पर अवकलों का एक [[सुसंगत शीफ]] Ω<sup>1</sup> है। योजना ''X'', ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल यदि Ω<sup>1</sup> प्रत्येक बिंदु के निकट ''X'' के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।<sup><ref>Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref> उस स्थिति में, Ω<sup>1 को ''X'' का कोटिस्पर्शी बंडल कहा जाता है। ''k'' पर निष्कोण पद्धति के स्पर्शरेखा बंडल को दोहरे बंडल, ''TX'' = (Ω<sup>1)<sup>* के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।   


समतलता एक ज्यामितीय गुण है, जिसका अर्थ है कि ''k'' के किसी भी क्षेत्र विस्तार ''E'' के लिए, योजना ''X'' ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल अगर योजना ''X<sub>E</sub>'' := ''X'' ×<sub>Spec ''k''</sub> Spec ''E, E'' पर निष्कोण है। [[ उत्तम क्षेत्र |पूर्ण क्षेत्र]] ''k'' के लिए, योजना ''X'', ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल अगर ''X'' स्थानीय रूप से ''k'' के ऊपर परिमित प्रकार का है और ''X'' [[नियमित योजना|नियमित]] है।  
समतलता एक ज्यामितीय गुण है, जिसका अर्थ है कि ''k'' के किसी भी क्षेत्र विस्तार ''E'' के लिए, योजना ''X'' ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल अगर योजना ''X<sub>E</sub>'':= ''X'' ×<sub>Spec ''k''</sub> Spec ''E, E'' पर निष्कोण है। [[ उत्तम क्षेत्र |पूर्ण क्षेत्र]] ''k'' के लिए, योजना ''X'', ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल अगर ''X'' स्थानीय रूप से ''k'' के ऊपर परिमित प्रकार का है और ''X'' [[नियमित योजना|नियमित]] है।  
== सामान्य समतलता ==
== सामान्य समतलता ==
योजना ''X'' को सामान्य रूप से ''k'' पर आयाम ''n'' का निष्कोण कहा जाता है यदि ''X'' में विवृत सघन उपसमुच्चय होता है जो ''k'' से अधिक आयाम ''n'' का निष्कोण होता है। पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से निष्कोण होती है।<ref>Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref>
योजना ''X'' को सामान्य रूप से ''k'' पर आयाम ''n'' का निष्कोण कहा जाता है यदि ''X'' में विवृत सघन उपसमुच्चय होता है जो ''k'' से अधिक आयाम ''n'' का निष्कोण होता है। पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से निष्कोण होती है।<ref>Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).</ref>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
*सजातीय अंतराल और [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपी अंतराल]] क्षेत्र ''k'' पर निष्कोण योजना हैं।
*सजातीय अंतराल और [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपी अंतराल]] क्षेत्र ''k'' पर निष्कोण पद्धति हैं।
*''k'' पर प्रक्षेपी अंतराल '''P'''<sup>n</sup> में निष्कोण हाइपरसफेस का एक उदाहरण फर्मेट ऊनविम पृष्ठ (हाइपरसफेस) ''x''<sub>0</sub><sup>''d''</sup> + ... + ''x<sub>n</sub><sup>d</sup>'' = 0 है, किसी भी धनात्मक पूर्णांक ''d'' के लिए जो कि ''k'' में व्युत्क्रमणीय है।
*''k'' पर प्रक्षेपी अंतराल '''P'''<sup>n</sup> में निष्कोण हाइपरसफेस का एक उदाहरण फर्मेट ऊनविम पृष्ठ (हाइपरसफेस) ''x''<sub>0</sub><sup>''d''</sup> + ... + ''x<sub>n</sub><sup>d</sup>'' = 0 है, किसी भी धनात्मक पूर्णांक ''d'' के लिए जो कि ''k'' में व्युत्क्रमणीय है।
* क्षेत्र ''k'' पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) योजना का एक उदाहरण सजातीय रेखा ''A''<sup>1</sup> में ''k'' पर संवृत्त उपयोजना ''x''<sup>2</sup> = 0 है।
* क्षेत्र ''k'' पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) योजना का एक उदाहरण सजातीय रेखा ''A''<sup>1</sup> में ''k'' पर संवृत्त उपयोजना ''x''<sup>2</sup> = 0 है।
* ''k'' के पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) विविधता का एक उदाहरण पुच्छल घन वक्र ''x''<sup>2</sup> = ''y''<sup>3</sup> है जो सजातीय तल ''A''<sup>2</sup> में है, जो मूल (''x'',''y'') = (0,0) के बाहर निष्कोण है।
* ''k'' के पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) विविधता का एक उदाहरण पुच्छल घन वक्र ''x''<sup>2</sup> = ''y''<sup>3</sup> है जो सजातीय तल ''A''<sup>2</sup> में है, जो मूल (''x'',''y'') = (0,0) के बाहर निष्कोण है।
*क्षेत्र ''k'' पर 0-आयामी विविधता ''X'', ''X'' = Spec ''E'' के रूप में है, जहाँ ''E'', ''k'' का [[वियोज्य विस्तार|परिमित विस्तार]] क्षेत्र है।
*क्षेत्र ''k'' पर 0-आयामी विविधता ''X'', ''X'' = Spec ''E'' के रूप में है, जहाँ ''E'', ''k'' का परिमित विस्तार क्षेत्र है। विविधता ''X'' ''k'' पर निष्कोण है यदि और केवल अगर ''E'' ''k'' का [[वियोज्य विस्तार]] है। इस प्रकार, यदि ''E'' ''k'' के पर वियोज्य नहीं है, तो ''X'' नियमित योजना है, लेकिन ''k'' पर निष्कोण नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए ''k'' अभाज्य संख्या ''p'' के लिए परिमेय फलन '''F'''<sub>''p''</sub>(''t'') का क्षेत्र है, और मान लीजिए ''E'' = '''F'''<sub>''p''</sub>(''t''<sup>1/''p''</sup>), तब Spec ''E'' विभिन्न प्रकार के आयाम 0 से अधिक ''k'' है जो नियमित योजना है, लेकिन ''k'' पर निष्कोण नहीं है।
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* [[शुबर्ट किस्म]] सामान्य रूप से चिकनी नहीं होती है।
* [[शुबर्ट किस्म|शुबर्ट विविधताएं]] सामान्यतया निष्कोण नहीं होती हैं।


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
* [[Dennis Gaitsgory|D. Gaitsgory]]'s notes on flatness and smoothness at http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
* [[Dennis Gaitsgory|D. Gaitsgory]]'s notes on flatness and smoothness at http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
*{{Hartshorne AG}}
*{{Hartshorne AG}}
* {{Citation | last1=Matsumura | first1=Hideyuki | title=Commutative Ring Theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 | year=1989 | mr=1011461}}
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== यह भी देखें ==
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* एटले मोर्फिज्म
* एटेल आकारिकी
* बीजगणितीय विविधता का आयाम
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Latest revision as of 11:29, 10 May 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, क्षेत्र पर निष्कोण पद्धति एक ऐसी योजना है जो किसी भी बिंदु के पास सजातीय अंतराल द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है। समतलता ऐसी योजना की धारणा को सटीक बनाने का तरीका है जिसमें कोई विलक्षण बिंदु नहीं है। विशेष स्थिति एक क्षेत्र के ऊपर निष्कोण विविधता की धारणा है। टोपोलॉजी में बहुरूपता की बीजगणितीय ज्यामिति में निष्कोण पद्धतिएँ भूमिका निभाती हैं।

परिभाषा

सबसे पहले, माना X को क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की परिबद्ध योजना है। समतुल्य रूप से, X में कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए k से अधिक सजातीय स्थान में संवृत्त संलयन है। फिर X कुछ समीकरणों g1 = 0, ..., gr = 0 द्वारा परिभाषित एक संवृत्त उपयोजना है, जहां प्रत्येक gi बहुपद वलय k[x1,..., xn] में है। सजातीय योजना X, k के ऊपर आयाम m का निष्कोण है यदि X में प्रत्येक बिंदु के आसपास में कम से कम m आयाम है, और व्युत्पन्नों की मैट्रिक्स (∂gi/∂xj) में X पर प्रत्येक स्थान कम से कम n−m रैंक है। (यह इस प्रकार है कि X के निकट प्रत्येक बिंदु के आसपास में m के बराबर आयाम है।) समतलता X के सजातीय स्थान में संलयन के चुनाव से स्वतंत्र है।

व्युत्पन्नों के मैट्रिक्स पर स्थिति का अर्थ यह समझा जाता है कि X का संवृत्त उपसमुच्चय जहां व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के सभी (n−m) × (n − m) अल्प शून्य हैं, खाली समुच्चय है। समान रूप से, सभी gi और उन सभी अल्पों द्वारा उत्पन्न बहुपद वलय में आदर्श संपूर्ण बहुपद वलय है।

ज्यामितीय शब्दों में, X में बिंदु p पर व्युत्पन्नों (∂gi/∂xj) का मैट्रिक्स एक रैखिक मानचित्र Fn → Fr देता है, जहां F p का अवशिष्ट क्षेत्र है। इस मानचित्र के आधार को p पर X की ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है। X की समतलता का अर्थ है कि ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान का आयाम प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर है एक विलक्षण बिंदु पर, ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान बड़ा होगा।

प्रायः क्षेत्र k पर योजना X, k के ऊपर निष्कोण होता है यदि X के प्रत्येक बिंदु में एक विवृत आसपास होता है जो k के ऊपर कुछ आयाम की निष्कोण सजातीय योजना है। विशेष रूप से, k पर निष्कोण पद्धति स्थानीय रूप से परिमित प्रकार की होती है।

योजनाओं के निष्कोण रूपवाद की अधिक सामान्य धारणा है, जो मोटे तौर पर निष्कोण तंतुओं के साथ एक आकारिकी है। विशेष रूप से, योजना X क्षेत्र k पर निष्कोण होती है यदि और केवल अगर आकारिकी X → Spec k निष्कोण होती है।

गुण

क्षेत्र पर निष्कोण पद्धति नियमित है और इसलिए सामान्य है। विशेष रूप से, क्षेत्र पर निष्कोण पद्धति कम हो जाती है।

k पर परिमित प्रकार की अभिन्न पृथक योजना होने के लिए क्षेत्र k पर विविधता को परिभाषित करें। फिर k के ऊपर परिमित प्रकार की कोई भी निष्कोण पृथक योजना k के ऊपर निष्कोण विविधताओ का एक परिमित असंयुक्त संघ है।

सम्मिश्र संख्याओं पर निष्कोण विविधता X के लिए, X के जटिल बिंदुओं का स्थान X(C) चिरसम्मत (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए जटिल बहुरूपता है। इसी तरह, वास्तविक संख्या पर निष्कोण विविधता X के लिए, वास्तविक बिंदुओं का स्थान X(R) वास्तविक कई गुना है, संभवतः खाली है।

किसी भी योजना X के लिए जो क्षेत्र k पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का है, X पर अवकलों का एक सुसंगत शीफ Ω1 है। योजना X, k पर निष्कोण है यदि और केवल यदि Ω1 प्रत्येक बिंदु के निकट X के आयाम के बराबर रैंक का एक सदिश बंडल है।[1] उस स्थिति में, Ω1 को X का कोटिस्पर्शी बंडल कहा जाता है। k पर निष्कोण पद्धति के स्पर्शरेखा बंडल को दोहरे बंडल, TX = (Ω1)* के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

समतलता एक ज्यामितीय गुण है, जिसका अर्थ है कि k के किसी भी क्षेत्र विस्तार E के लिए, योजना X k पर निष्कोण है यदि और केवल अगर योजना XE:= X ×Spec k Spec E, E पर निष्कोण है। पूर्ण क्षेत्र k के लिए, योजना X, k पर निष्कोण है यदि और केवल अगर X स्थानीय रूप से k के ऊपर परिमित प्रकार का है और X नियमित है।

सामान्य समतलता

योजना X को सामान्य रूप से k पर आयाम n का निष्कोण कहा जाता है यदि X में विवृत सघन उपसमुच्चय होता है जो k से अधिक आयाम n का निष्कोण होता है। पूर्ण क्षेत्र (विशेष रूप से बीजगणितीय रूप से संवृत्त क्षेत्र) पर प्रत्येक विविधता सामान्य रूप से निष्कोण होती है।[2]

उदाहरण

  • सजातीय अंतराल और प्रक्षेपी अंतराल क्षेत्र k पर निष्कोण पद्धति हैं।
  • k पर प्रक्षेपी अंतराल Pn में निष्कोण हाइपरसफेस का एक उदाहरण फर्मेट ऊनविम पृष्ठ (हाइपरसफेस) x0d + ... + xnd = 0 है, किसी भी धनात्मक पूर्णांक d के लिए जो कि k में व्युत्क्रमणीय है।
  • क्षेत्र k पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) योजना का एक उदाहरण सजातीय रेखा A1 में k पर संवृत्त उपयोजना x2 = 0 है।
  • k के पर विलक्षण (गैर-निष्कोण) विविधता का एक उदाहरण पुच्छल घन वक्र x2 = y3 है जो सजातीय तल A2 में है, जो मूल (x,y) = (0,0) के बाहर निष्कोण है।
  • क्षेत्र k पर 0-आयामी विविधता X, X = Spec E के रूप में है, जहाँ E, k का परिमित विस्तार क्षेत्र है। विविधता X k पर निष्कोण है यदि और केवल अगर E k का वियोज्य विस्तार है। इस प्रकार, यदि E k के पर वियोज्य नहीं है, तो X नियमित योजना है, लेकिन k पर निष्कोण नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए k अभाज्य संख्या p के लिए परिमेय फलन Fp(t) का क्षेत्र है, और मान लीजिए E = Fp(t1/p), तब Spec E विभिन्न प्रकार के आयाम 0 से अधिक k है जो नियमित योजना है, लेकिन k पर निष्कोण नहीं है।
  • शुबर्ट विविधताएं सामान्यतया निष्कोण नहीं होती हैं।

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Theorem 30.3, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).
  2. ↑ Lemma 1 in section 28 and Corollary to Theorem 30.5, Matsumura, Commutative Ring Theory (1989).

संदर्भ

  • D. Gaitsgory's notes on flatness and smoothness at http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461

यह भी देखें

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