तंत्रिका जटिल

तल में 3 समुच्चय वाले विवृत ठीक आच्छादन के तंत्र का निर्माण।

सांस्थिति में, एक समुच्चय वर्ग के तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करते है। इसका प्रारम्भ पावेल अलेक्जेंड्रोव ने किया था और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में अति आच्छादन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।

मूल परिभाषा

$I$ को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और $C$ समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ का एक वर्ग हो। $C$ की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय $I$ के परिमित उपसमुच्चय का समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय $J\subseteq I$ शामिल हैं जैसे कि $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक $J$ में है गैर-रिक्त है:

$N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.$

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत समुच्चय हैं।

समुच्चय $N(C)$ में एकल हो सकते हैं (अवयव $i\in I$ जैसे कि $U_{i}$ गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म $i,j\in I$ जैसे कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$), तीनो इत्यादि। यदि $J\in N(C)$ है, तो $J$ का कोई भी उपसमुच्चय भी $N(C)$ में है, जिससे $N(C)$ सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए $N(C)$ को प्रायः $C$ का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

उदाहरण

1. X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$ होने दें, जहां $U_{1}$ एक चाप है जो $S^{1}$ के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करते है और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करते है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी $S^{1}$ को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, जो सार 1-एकदिश है।
2. X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$ होने दें, जहां प्रत्येक $U_{i}$ चाप है जो $S^{1}$ के एक तिहाई भाग को आच्छादित करते है, जिसमें आसन्न $U_{i}$ के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$। ध्यान दें कि {1,2,3} $N(C)$ में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः $N(C)$ अपूर्ण त्रिभुज है।

सीच तंत्रिका

एक सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत आवरक $C=\{U_{i}:i\in I\}$, या अधिक सामान्यतः ग्रोथेंडिक सांस्थिति में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$ पर विचार कर सकते हैं,, जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन $U_{i}\cap U_{j}$ हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को $C\times _{X}C$ और त्रिपक्षीय प्रतिच्छेदन $C\times _{X}C\times _{X}C$ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

प्राकृतिक प्रतिचित्र $U_{ij}\to U_{i}$ और $U_{i}\to U_{ii}$ पर विचार करके, हम $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$ एन-गुना फाइबर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक साधारण वस्तु $S(C)_{\bullet }$ का निर्माण कर सकते हैं। यह सीच तंत्रिका है। जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से समझ सकते हैं: $|S(\pi _{0}(C))|$।

तंत्रिका प्रमेय

तंत्रिका परिसर $N(C)$ एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि ($C$ में समुच्चय का संघ) से कहीं अधिक सरल होता है। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या $N(C)$ की सांस्थिति $\bigcup C$ की सांस्थिति के बराबर है।

सामान्यतः, यह स्थिति नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी n-गोले को दो अनुबंधित समुच्चयों $U_{1}$ और $U_{2}$ के साथ आच्छादित कर सकता है जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस स्थिति में, $N(C)$ अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है परन्तु एक गोले के समान नहीं है।

यद्यपि, कुछ स्थितियों में $N(C)$, X की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 2 में युग्म में प्रतिच्छेद करते हैं, तो $N(C)$ एक 2- एकधा है (इसके आंतरिक भाग के बिना) है और यह मूल वृत्त के समतुल्य है।

तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो C गारंटी देने के लिए पर पर्याप्त प्रतिबन्ध देते है कि $N(C)$ कुछ अर्थों में $\bigcup C$ की सांस्थिति को दर्शाता है।

लेरे की तंत्रिका प्रमेय

जीन लेरे के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि $N(C)$ में समुच्चय का कोई प्रतिच्छेदन संकुचन क्षम है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित $J\subset I$ के लिए समुच्चय $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या संकुचन क्षम है; समतुल्य: C ठीक विवृत आवरक है), तो $N(C)$ समस्थेयता- $\bigcup C$ के समतुल्य है।

बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय

असतत संस्करण है, जिसका श्रेय करोल बोरसुक को दिया जाता है। मान लीजिए K₁,...,K_nसार सरल परिसर हैं, और K द्वारा उनके संघ को निरूपित करते हैं। माना U_i= ||K_i|| = K_i का ज्यामितीय बोध, और N द्वारा {U₁, ..., U_n} की तंत्रिका को निरूपित करें।

यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$, प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त या संकुचन क्षम जा सकता है, तो N, K के समरूप-समतुल्य है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक दृढ प्रमेय सिद्ध किया गया था। यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त $J\subset I$ के लिए, प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या (k-|J|+1) - सम्बद्ध है, तो प्रत्येक J ≤ k के लिए, N का J-वें समस्थेयता समूह K के j-वें समस्थेयता समूह के लिए समरूपी है। विशेष रूप से, N k-सम्बद्ध है यदि और मात्र-यदि K k-सम्बद्ध है।

सीच तंत्रिका प्रमेय

अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त सीच तंत्रिका से संबंधित है: यदि $X$ संहत है और C में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर समष्टि

$|S(\pi _{0}(C))|$ समस्थेयता-$X$ के समतुल्य है।

अनुरूपता तंत्रिका प्रमेय

निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के सजातीय समूहों का उपयोग करते है। प्रत्येक परिमित $J\subset I$ के लिए, $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ को $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ के j-वें कम समरूपता समूह को निरूपित करें।

यदि H_J,jN (C) के k- रूपरेखा में सभी J के लिए नगण्य समूह है और सभी j के लिए {0, ..., k-dim (J) } में है, तो N (C) "समरूपता" है- निम्नलिखित अर्थों में X के समतुल्य:

• {0, ..., k} में सभी j के लिए ${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$;
• यदि ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ तो ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$।

यह भी देखें

• हाइपरकवरिंग