स्प्रे (गणित): Difference between revisions

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[[ अंतर ज्यामिति | अवकल ज्यामिति]] में, स्प्रे [[स्पर्शरेखा बंडल]] ''TM'' पर [[ वेक्टर क्षेत्र |सदिश क्षेत्र]] ''H'' होता है, जो बेस मैनिफोल्ड ''M'' पर सामान्य अवकल समीकरण की [[क्वासिकॉनवेक्स फ़ंक्शन|द्विरेखीय]]  द्वितीय कोटि प्रणाली को एनकोड करता है। सामान्यतः स्प्रे को सजातीय होने की आवश्यकता होती है क्योंकि इसके अभिन्न वक्र ''t''→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈''TM'' सकारात्मक पुनर्मूल्यांकन में नियम Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(λξ)=Φ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) का पालन करते है। यदि यह आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो ''H'' को सेमीस्प्रे कहा जाता है।
अवकल ज्यामिति में, '''स्प्रे''' [[स्पर्शरेखा बंडल|टेंगेंट बंडल]] ''TM'' पर [[ वेक्टर क्षेत्र |सदिश क्षेत्र]] ''H'' है, जो बेस मैनिफोल्ड ''M'' पर [[क्वासिकॉनवेक्स फ़ंक्शन|द्विरेखीय]]  द्वितीय क्रम के अवकल समीकरणों को एनकोड करता है। सामान्यतः स्प्रे को सजातीय होने की आवश्यकता होती है क्योंकि इसके अभिन्न वक्र ''t''→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈''TM'' सकारात्मक पुनर्मूल्यांकन में नियम Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(λξ)=Φ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) का पालन करते है। यदि यह आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो ''H'' को सेमीस्प्रे कहा जाता है।


रिमेंनियन और [[फिन्सलर ज्यामिति]] में स्वाभाविक रूप से [[जियोडेसिक स्प्रे]] उत्पन्न होते हैं, जिनके [[अभिन्न वक्र]] स्थानीय लंबाई को कम करने वाले स्पर्शरेखा वक्र होते हैं।
रिमेंनियन और [[फिन्सलर ज्यामिति]] में स्वाभाविक रूप से [[जियोडेसिक स्प्रे]] उत्पन्न होते हैं, जिनके [[अभिन्न वक्र]] स्थानीय लंबाई को कम करने वाले वक्र के स्पर्शरेखा वक्र होते हैं।


सेमिस्प्रे स्वाभाविक रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी में क्रिया के चरम वक्र के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन सभी उदाहरणों को सामान्यीकृत करते हुए, M पर कोई भी (संभवतः अरेखीय) कनेक्शन सेमीस्प्रे H को प्रेरित करता है, और इसके विपरीत, सेमीस्प्रे H, M पर टॉरशन-फ्री अरेखीय कनेक्शन उत्पन्न करता है। यदि मूल कनेक्शन टॉरशन-फ्री है, तो यह H द्वारा प्रेरित कनेक्शन के समान है और सजातीय टॉरशन-फ्री कनेक्शन स्प्रे के अनुरूप हैं।<ref>I. Bucataru, R. Miron, ''Finsler-Lagrange Geometry'', Editura Academiei Române, 2007.</ref>
सेमिस्प्रे स्वाभाविक रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी में क्रिया समाकलन के चरम वक्र के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन सभी उदाहरणों को सामान्यीकृत करते हुए, M पर कोई भी (संभवतः अरैखिक) संबंध सेमीस्प्रे H को प्रेरित करता है, और इसके विपरीत, सेमीस्प्रे H, M पर टॉरशन-फ्री अरैखिक संबंध उत्पन्न करता है। यदि मूल संबंध टॉरशन-फ्री है, तो यह H द्वारा प्रेरित संबंध के समान है और सजातीय टॉरशन-फ्री संबंध स्प्रे के अनुरूप हैं।<ref>I. Bucataru, R. Miron, ''Finsler-Lagrange Geometry'', Editura Academiei Române, 2007.</ref>




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== औपचारिक परिभाषाएँ ==
== औपचारिक परिभाषाएँ ==


मान ले, ''M'' अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (''TM'',π<sub>''TM''</sub>,''M'') टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, [[डबल स्पर्शरेखा बंडल|डबल टेंगेंट बंडल]] ''TTM'' का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्नलिखित तीन समकक्ष स्थितियों में से कोई भी हो-
मान लीजिए, ''M'' अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (''TM'',π<sub>''TM''</sub>,''M'') टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, [[डबल स्पर्शरेखा बंडल|डबल टेंगेंट बंडल]] ''TTM'' का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्न तीन समतुल्य स्थितियों में से कोई भी हो-
* (π<sub>''TM''</sub>)<sub>*</sub>H<sub>ξ</sub> = ξ
* (π<sub>''TM''</sub>)<sub>*</sub>H<sub>ξ</sub> = ξ
* ''JH''=''V'', जहाँ J ''TM'' पर टेंगेंट संरचना है और ''TM''\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है।
* ''JH''=''V'', जहाँ J ''TM'' पर टेंगेंट संरचना है और ''TM''\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है।
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* ''H''<sub>λξ</sub> = λ<sub>*</sub>(λ''H''<sub>ξ</sub>), जहाँ λ<sub>*</sub>:TTM→TTM सकारात्मक स्केलर λ>0 द्वारा गुणन λ:TM→TM का पुश-फॉरवर्ड है।
* ''H''<sub>λξ</sub> = λ<sub>*</sub>(λ''H''<sub>ξ</sub>), जहाँ λ<sub>*</sub>:TTM→TTM सकारात्मक स्केलर λ>0 द्वारा गुणन λ:TM→TM का पुश-फॉरवर्ड है।
* विहित सदिश क्षेत्र V के साथ H का लाई-व्युत्पन्न [V,H]=H को संतुष्ट करता है।
* विहित सदिश क्षेत्र V के साथ H का लाई-व्युत्पन्न [V,H]=H को संतुष्ट करता है।
* इंटीग्रल कर्व्स t→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈TM\0 का H संतुष्ट Φ<sub>H</sub><sup>टी</sup>(λξ)=λΦ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) किसी भी λ>0 के लिए।
* H के अभिन्न वक्र ''t''→Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(ξ)∈''TM''\0 किसी भी λ>0 के लिए Φ<sub>H</sub><sup>t</sup>(λξ)=λΦ<sub>H</sub><sup>λt</sup>(ξ) को संतुष्ट करता है।


होने देना <math>(x^i,\xi^i)</math> स्थानीय निर्देशांक चालू करें <math>TM</math> स्थानीय निर्देशांक से जुड़ा हुआ है <math>(x^i</math>) पर <math>M</math> प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करना। तब <math>H</math> सेमीस्प्रे चालू है <math>M</math> अगर इसमें फॉर्म का स्थानीय प्रतिनिधित्व है
मान लीजिए <math>(x^i,\xi^i)</math>, <math>TM</math> पर स्थानीय निर्देशांक है, जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करके <math>M</math> पर स्थानीय निर्देशांक <math>(x^i</math>) से जुड़ा हुआ है। तब <math>H</math>, <math>M</math> पर सेमीस्प्र है यदि इसमें TM पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर निम्नलिखित रूप का स्थानीय प्रतिनिधित्व है।
:<math> H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.</math>
:<math> H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.</math>
टीएम पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर। सेमीस्प्रे एच एक (पूर्ण) स्प्रे है, अगर और केवल अगर 'स्प्रे गुणांक' जी<sup>मैं संतुष्ट हूं
सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' ''G<sup>i</sup>'' निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं-
:<math>G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2G^i(x,\xi),\quad \lambda>0.\,</math>
:<math>G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2G^i(x,\xi),\quad \lambda>0.\,</math>




== Lagrangian यांत्रिकी == में semisprays


लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में एक भौतिक प्रणाली को कुछ विन्यास स्थान एम के स्पर्शरेखा बंडल पर एक लैग्रैजियन फ़ंक्शन एल: टीएम → 'आर' द्वारा तैयार किया गया है। गतिशील कानून हैमिल्टनियन सिद्धांत से प्राप्त किया जाता है, जो बताता है कि समय विकास γ: [, बी] → सिस्टम की स्थिति का एम एक्शन इंटीग्रल के लिए स्थिर है
'''लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में सेमीस्प्रे'''
 
लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली को कुछ विन्यास स्थान <math>M</math> के टेंगेंट बंडल पर लैग्रैजियन फलन ''L'':''TM''→'''R''' द्वारा प्रस्तुत किया गया है। गतिशीलता का नियम हैमिल्टनियन सिद्धांत से प्राप्त किया जाता है, जो बताता है कि सिस्टम की स्थिति का समय विकास γ:[''a'',''b'']→''M'' समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है
:<math>\mathcal S(\gamma) := \int_a^b L(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt</math>.
:<math>\mathcal S(\gamma) := \int_a^b L(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt</math>.
टीएम पर संबंधित निर्देशांक में क्रिया अभिन्न की पहली भिन्नता को इस रूप में पढ़ा जाता है
TM पर संबंधित निर्देशांक में समाकलज क्रिया की प्रथम भिन्नता को इस रूप में अध्यन्न किया जाता है-
:<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s)
:<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s)
= \Big|_a^b \frac{\partial L}{\partial\xi^i}X^i - \int_a^b \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial \xi^j\partial \xi^i} \ddot\gamma^j
= \Big|_a^b \frac{\partial L}{\partial\xi^i}X^i - \int_a^b \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial \xi^j\partial \xi^i} \ddot\gamma^j
+ \frac{\partial^2 L}{\partial x^j\partial\xi^i} \dot\gamma^j - \frac{\partial L}{\partial x^i} \Big) X^i dt,
+ \frac{\partial^2 L}{\partial x^j\partial\xi^i} \dot\gamma^j - \frac{\partial L}{\partial x^i} \Big) X^i dt,
</math>
</math>
जहाँ X:[a,b]→'R' γ के साथ जुड़े वेरिएशन वेक्टर फ़ील्ड है<sub>''s''</sub>: [, बी] → एम लगभग γ (टी) = γ<sub>0</sub>(टी)निम्नलिखित अवधारणाओं को प्रस्तुत करके इस प्रथम भिन्नता सूत्र को अधिक जानकारीपूर्ण रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है:
जहाँ ''X'':[''a'',''b'']→'''Rγ<sub>''s''</sub>:[''a'',''b'']→''M''''' के निकट γ(''t'') = γ<sub>0</sub>(''t'') से सम्बंधित वेरिएशन सदिश क्षेत्र है| निम्नलिखित अवधारणाओं को प्रस्तुत करके प्रथम भिन्नता सूत्र को शैक्षिक रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है:


* कोवेक्टर <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_x\in T_x^*M</math> साथ <math>\alpha_i(x,\xi) = \tfrac{\partial L}{\partial \xi^i}(x,\xi)</math> का संयुग्मी संवेग है <math>\xi \in T_xM </math>.
* कोवेक्टर <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_x\in T_x^*M</math>, <math>\alpha_i(x,\xi) = \tfrac{\partial L}{\partial \xi^i}(x,\xi)</math> के साथ संयुग्मी संवेग <math>\xi \in T_xM </math> है|
* इसी एक रूप <math>\alpha\in\Omega^1(TM)</math> साथ <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM</math> Lagrangian से जुड़ा हिल्बर्ट-फॉर्म है।
* <math>\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM</math> के साथ संगत रूप <math>\alpha\in\Omega^1(TM)</math> लैग्रैंगियन से जुड़ा हिल्बर्ट-रूप है।
* द्विरेखीय रूप <math>g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x</math> साथ <math>g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)</math> Lagrangian का मौलिक टेंसर है <math>\xi \in T_xM </math>.
* <math>g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)</math> के साथ द्विरेखीय रूप <math>g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x</math>, <math>\xi \in T_xM </math> पर लैग्रैंगियन का वास्तविक टेंसर है|
* Lagrangian मौलिक टेंसर होने पर लेजेंड्रे स्थिति को संतुष्ट करता है <math>\displaystyle g_\xi</math> हर पर गैर पतित है <math>\xi \in T_xM </math>. फिर का उलटा मैट्रिक्स <math>\displaystyle g_{ij}(x,\xi)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\displaystyle g^{ij}(x,\xi)</math>.
* लैग्रेंजियन लेजेंड्रे स्थिति को संतुष्ट करता है यदि वास्तविक टेन्सर <math>\displaystyle g_\xi</math> प्रत्येक <math>\xi \in T_xM </math> पर गैर-पतित है, तो <math>\displaystyle g_{ij}(x,\xi)</math> के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को <math>\displaystyle g^{ij}(x,\xi)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है|
* Lagrangian से जुड़ी ऊर्जा है <math>\displaystyle E(\xi) = \alpha_\xi(\xi) - L(\xi)</math>.
* लैग्रेंजियन से सम्बंधित ऊर्जा <math>\displaystyle E(\xi) = \alpha_\xi(\xi) - L(\xi)</math> है।


यदि लीजेंड्रे स्थिति संतुष्ट होती है, तो dα∈Ω<sup>2</sup>(TM) एक [[सहानुभूतिपूर्ण रूप]] है, और हैमिल्टनियन फ़ंक्शन E के अनुरूप TM पर एक अद्वितीय [[हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र]] H मौजूद है जैसे कि
यदि लीजेंड्रे स्थिति संतुष्ट होती है, तो dα∈Ω<sup>2</sup>(TM) [[सहानुभूतिपूर्ण रूप|सिम्प्लेटिक रूप]] है, और हैमिल्टनियन फलन E के अनुरूप TM पर अद्वितीय [[हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र]] H उपस्थित है जैसे कि
:<math>\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha</math>.
:<math>\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha</math>
मान लीजिए (एक्स<sup>मैं</sup>, वाई<sup>i</sup>) TM पर संबद्ध निर्देशांकों में हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H के घटक हों। तब
मान लीजिए (''X<sup>i</sup>'',''Y<sup>i</sup>'') TM पर सम्बंधित निर्देशांकों में हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H के घटक है। तब
:<math> \iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j </math>
:<math> \iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j </math>
और
और
:<math> dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i +
:<math> dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i +
\xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i </math>
\xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i </math>
इसलिए हम देखते हैं कि हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड H स्प्रे गुणांक वाले कॉन्फ़िगरेशन स्पेस M पर एक सेमीस्प्रे है
इसलिए हम देखते हैं कि हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H स्प्रे गुणांक वाले विन्यास स्थान M पर सेमीस्प्रे है-
:<math>G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big). </math>
:<math>G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big). </math>
अब पहले परिवर्तनशील सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है
अब पूर्व सूत्र को पुनः अंकित किया जा सकता है-
:<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s)
:<math>\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s)
= \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt,
= \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt,
</math>
</math>
और हम देखते हैं γ[a,b]→M निश्चित अंत बिंदुओं के साथ अभिन्न क्रिया के लिए स्थिर है अगर और केवल अगर इसकी स्पर्शरेखा वक्र γ':[a,b]→TM हैमिल्टन वेक्टर क्षेत्र एच के लिए एक अभिन्न वक्र है। इसलिए यांत्रिक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन एक्शन इंटीग्रल से उत्पन्न होने वाले सेमीस्प्रे द्वारा किया जाता है।
γ[''a'',''b'']→''M'' निश्चित अंत बिंदुओं के साथ समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है यदि इसकी स्पर्शरेखा वक्र γ':[''a'',''b'']→''TM'' हैमिल्टन सदिश क्षेत्र H के लिए अभिन्न वक्र है। इसलिए यांत्रिक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन समाकलज क्रिया से उत्पन्न होने वाले सेमीस्प्रे द्वारा किया जाता है।


== जियोडेसिक स्प्रे {{anchor|Geodesic}}==
== जियोडेसिक स्प्रे {{anchor|Geodesic}}==
{{main|Geodesic spray}}
{{main|जियोडेसिक स्प्रे}}
{{further|Geodesic flow}}
{{further|जियोडेसिक फ्लो}}
[[ रीमैनियन कई गुना ]] और [[फिन्सलर कई गुना]] की स्थानीय लंबाई को कम करने वाले घटता को [[geodesics]] कहा जाता है। Lagrangian यांत्रिकी के ढांचे का उपयोग करके स्प्रे संरचनाओं के साथ इन वक्रों का वर्णन किया जा सकता है। टीएम पर लैग्रैन्जियन फ़ंक्शन को परिभाषित करें
[[ रीमैनियन कई गुना | रीमैनियन]] और [[फिन्सलर कई गुना|फिन्सलर मैनिफोल्ड]] की स्थानीय लंबाई को कम करने वाले वक्र को [[geodesics|जियोडेसिक्स]] कहा जाता है। लैग्रेंजियन यांत्रिकी के स्वरूप का उपयोग करके स्प्रे संरचनाओं के साथ इन वक्रों का वर्णन किया जा सकता है। TM पर लैग्रैन्जियन फलन को परिभाषित करें-
:<math>L(x,\xi) = \tfrac{1}{2}F^2(x,\xi),</math>
:<math>L(x,\xi) = \tfrac{1}{2}F^2(x,\xi),</math>
जहां F:TM→'R' फिन्सलर मैनिफोल्ड है। Riemannian मामले में कोई F का उपयोग करता है<sup>2</sup>(x,ξ) = जी<sub>''ij''</sub>(एक्स) एक्स<sup>मैंx<sup>जम्मू । अब उपरोक्त अनुभाग से अवधारणाओं का परिचय दें। रिमेंनियन मामले में यह पता चला है कि मौलिक टेंसर जी<sub>''ij''</sub>(x, ξ) केवल रीमैनियन मीट्रिक जी है<sub>''ij''</sub>(एक्स)। सामान्य मामले में एकरूपता की स्थिति
जहाँ F:TM→'R' फिन्सलर मैनिफोल्ड है। रीमैनियन स्तिथि में ''F''<sup>2</sup>(''x'',ξ) = ''g<sub>ij</sub>''(''x'')ξ<sup>''i''</sup>ξ<sup>''j''</sup> का उपयोग होता है| रीमैनियन स्तिथि में यह ज्ञात होता है कि वास्तविक टेन्सर gij(x,ξ) मात्र रीमैनियन मीट्रिक gij(x) है। 
:<math>F(x,\lambda\xi) = \lambda F(x,\xi), \quad \lambda>0</math>
 
फिन्सलर-फ़ंक्शन का तात्पर्य निम्न सूत्र से है:
<math>F(x,\lambda\xi) = \lambda F(x,\xi), \quad \lambda>0</math>
 
फिन्सलर-फलन का तात्पर्य निम्न सूत्र से है-
:<math> \alpha_i=g_{ij}\xi^i, \quad F^2=g_{ij}\xi^i\xi^j, \quad E = \alpha_i\xi^i - L = \tfrac{1}{2}F^2. </math>
:<math> \alpha_i=g_{ij}\xi^i, \quad F^2=g_{ij}\xi^i\xi^j, \quad E = \alpha_i\xi^i - L = \tfrac{1}{2}F^2. </math>
शास्त्रीय यांत्रिकी के संदर्भ में अंतिम समीकरण बताता है कि प्रणाली में सभी ऊर्जा (एम, एल) गतिज रूप में है। इसके अलावा, एक समरूपता गुण प्राप्त करता है
यांत्रिकी के संदर्भ में अंतिम समीकरण सिद्ध करता है कि प्रणाली में सभी ऊर्जा (''M'',''L'') गतिज रूप में है। इसके अतिरिक्त, समरूपता गुण प्राप्त करता है-
:<math> g_{ij}(\lambda\xi) =  g_{ij}(\xi), \quad \alpha_i(x,\lambda\xi) = \lambda \alpha_i(x,\xi), \quad
:<math> g_{ij}(\lambda\xi) =  g_{ij}(\xi), \quad \alpha_i(x,\lambda\xi) = \lambda \alpha_i(x,\xi), \quad
G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2 G^i(x,\xi), </math>
G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2 G^i(x,\xi), </math>
जिनमें से आखिरी का कहना है कि इस यांत्रिक प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड एच एक पूर्ण स्प्रे है। अंतर्निहित फिन्सलर (या रीमैनियन) मैनिफोल्ड की निरंतर गति जियोडेसिक्स को इस स्प्रे द्वारा निम्नलिखित कारणों से वर्णित किया गया है:
यांत्रिक प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H पूर्ण स्प्रे है। फिन्सलर मैनिफोल्ड की स्थिर गति जियोडेसिक्स को इस स्प्रे द्वारा निम्नलिखित कारणों से वर्णित किया गया है:
* चूंकि जी<sub>ξ</sub> फिन्सलर रिक्त स्थान के लिए सकारात्मक निश्चित है, कार्यात्मक लंबाई के लिए हर छोटा पर्याप्त स्थिर वक्र लंबाई कम करना है।
* चूँकि फिन्सलर रिक्त स्थान के लिए सकारात्मक निश्चित है, कार्यात्मक लंबाई के लिए पर्याप्त स्थिर वक्र लंबाई को कम करता है।
* क्रिया समाकलन के लिए प्रत्येक स्थिर वक्र स्थिर गति का होता है <math>F(\gamma(t),\dot\gamma(t))=\lambda</math>, चूंकि ऊर्जा स्वचालित रूप से गति की एक स्थिरांक है।
* समाकलज क्रिया के लिए प्रत्येक स्थिर वक्र स्थिर गति <math>F(\gamma(t),\dot\gamma(t))=\lambda</math> होता है, चूँकि ऊर्जा स्वचालित रूप से गति की स्थिरांक है।
* किसी भी वक्र के लिए <math>\gamma:[a,b]\to M</math> निरंतर गति की क्रिया अभिन्न और लंबाई कार्यात्मक से संबंधित हैं
* किसी भी वक्र के लिए <math>\gamma:[a,b]\to M</math> स्थिर गति की समाकलज क्रिया और लंबाई कार्यात्मक से संबंधित हैं
:<math> \mathcal S(\gamma) = \frac{(b-a)\lambda^2}{2} = \frac{\ell(\gamma)^2}{2(b-a)}. </math>
:<math> \mathcal S(\gamma) = \frac{(b-a)\lambda^2}{2} = \frac{\ell(\gamma)^2}{2(b-a)}. </math>
इसलिए, एक वक्र <math>\gamma:[a,b]\to M</math> क्रिया अभिन्न के लिए स्थिर है अगर और केवल अगर यह निरंतर गति का है और कार्यात्मक लंबाई के लिए स्थिर है। हैमिल्टनियन वेक्टर फील्ड एच को फिन्सलर मैनिफोल्ड (एम, एफ) और संबंधित प्रवाह Φ का जियोडेसिक स्प्रे कहा जाता है।<sub>''H''</sub><sup>टी</sup>(ξ) को जियोडेसिक प्रवाह कहा जाता है।
इसलिए, वक्र <math>\gamma:[a,b]\to M</math> समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है यदि यह स्थिर गति का है और कार्यात्मक लंबाई के लिए स्थिर है। हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H को फिन्सलर मैनिफोल्ड (''M'',''F'') का जियोडेसिक स्प्रे कहा जाता है और संबंधित प्रवाह Φ<sub>''H''</sub><sup>t</sup>(ξ) को जियोडेसिक प्रवाह कहा जाता है।


== गैर-रैखिक कनेक्शन के साथ पत्राचार ==
== अरैखिक संबंध के साथ समानता ==


एक सेमीस्प्रे <math>H</math> एक चिकने मैनिफोल्ड पर <math>M</math> एह्रेस्मान-कनेक्शन को परिभाषित करता है <math>T(TM\setminus 0) = H(TM\setminus 0) \oplus V(TM\setminus 0)</math> अपने क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अनुमानों के माध्यम से स्लिट स्पर्शरेखा बंडल पर
सेमीस्प्रे <math>H</math> स्मूथ मैनिफोल्ड <math>M</math> पर एह्रेस्मान-संबंध <math>T(TM\setminus 0) = H(TM\setminus 0) \oplus V(TM\setminus 0)</math> को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अनुमानों के माध्यम से स्लिट टेंगेंट बंडल पर परिभाषित करता है|
:<math> h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad h = \tfrac{1}{2}\big( I - \mathcal L_H J \big),</math>
:<math> h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad h = \tfrac{1}{2}\big( I - \mathcal L_H J \big),</math>
:<math> v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad v = \tfrac{1}{2}\big( I + \mathcal L_H J \big).</math>
:<math> v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad v = \tfrac{1}{2}\big( I + \mathcal L_H J \big).</math>
TM\0 पर इस कनेक्शन में हमेशा गायब होने वाला मरोड़ वाला टेंसर होता है, जिसे फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट के रूप में परिभाषित किया गया है
TM\0 पर इस संबंध में सदैव टॉरशन टेंसर होता है, जिसे फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट ''T''=[''J'',''v''] के रूप में परिभाषित किया गया है
टी = [जे, वी]। अधिक प्राथमिक शब्दों में मरोड़ को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 
प्राथमिक शब्दों में टॉरशन को परिभाषित किया जा सकता है,
:<math>\displaystyle T(X,Y) = J[hX,hY] - v[JX,hY) - v[hX,JY]. </math>
:<math>\displaystyle T(X,Y) = J[hX,hY] - v[JX,hY) - v[hX,JY]. </math>
टीएम \ 0 पर कैनोनिकल वेक्टर फ़ील्ड वी का परिचय और प्रेरित कनेक्शन के आसन्न संरचना Θ सेमीस्प्रे के क्षैतिज भाग को एचएच = ΘV के रूप में लिखा जा सकता है। सेमीस्प्रे के ऊर्ध्वाधर भाग ε=vH को 'प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट' के रूप में जाना जाता है, और सेमीस्प्रे H स्वयं में विघटित हो जाता है
TM\0 पर कैनोनिकल सदिश क्षेत्र ''V'' और प्रेरित सम्बन्ध की संलग्न संरचना Θ सेमीस्प्रे के क्षैतिज भाग को ''hH''=Θ''V'' के रूप में अंकित किया जा सकता है। सेमीस्प्रे का ऊर्ध्वाधर भाग ε=vH 'प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट' के रूप में ज्ञात होता है और सेमीस्प्रे H स्वयं में विघटित हो जाता है
:<math>\displaystyle H = \Theta V + \epsilon. </math>
:<math>\displaystyle H = \Theta V + \epsilon. </math>
पहला स्प्रे इनवेरिएंट तनाव से संबंधित है
प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट तनाव से संबंधित है,
:<math> \tau = \mathcal L_Vv =  \tfrac{1}{2}\mathcal L_{[V,H]-H} J</math>
:<math> \tau = \mathcal L_Vv =  \tfrac{1}{2}\mathcal L_{[V,H]-H} J</math>
साधारण अंतर समीकरण के माध्यम से प्रेरित गैर-रैखिक कनेक्शन का
जो साधारण अवकल समीकरण के माध्यम से प्रेरित अरैखिक संबंध है|
:<math> \mathcal L_V\epsilon+\epsilon = \tau\Theta V. </math>
:<math> \mathcal L_V\epsilon+\epsilon = \tau\Theta V. </math>
इसलिए, पहला स्प्रे इनवेरिएंट ε (और इसलिए पूरे अर्ध-स्प्रे एच) को गैर-रैखिक कनेक्शन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है
इसलिए, प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट ε को अरैखिक संबंध से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है,
:<math>
:<math>
\epsilon|_\xi = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-s}(\Phi_V^{-s})_*(\tau\Theta V)|_{\Phi_V^s(\xi)} ds.
\epsilon|_\xi = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-s}(\Phi_V^{-s})_*(\tau\Theta V)|_{\Phi_V^s(\xi)} ds.
</math>
</math>
इस संबंध से कोई यह भी देखता है कि प्रेरित कनेक्शन सजातीय है अगर और केवल अगर एच एक पूर्ण स्प्रे है।
इस संबंध से ज्ञात होता है कि प्रेरित संबंध सजातीय है यदि H पूर्ण स्प्रे है।


== स्प्रे और सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्र ==
== स्प्रे और सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्र ==


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सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्रों के लिए उचित स्रोत धारा 4.4 है, बुकातारू और मिरॉन द्वारा लिखित पुस्तक फिन्सलर-लग्रेंज ज्योमेट्री के सेमीस्प्रे के जैकोबी समीकरण में सार्वजनिक रूप से उपलब्ध है। विशेष रूप से '[[गतिशील सहसंयोजक व्युत्पन्न]]' उनकी अवधारणा है। [https://arxiv.org/abs/1011.5799 अन्य पेपर] में बुकातारू, कॉन्स्टेंटिनस्कु और डाहल इस अवधारणा को '[[कौशांबी डेरिवेटिव ऑपरेटर]]' से संबंधित करते हैं।


सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्रों के लिए एक अच्छा स्रोत धारा 4.4 है, सार्वजनिक रूप से उपलब्ध पुस्तक फिन्सलर-लग्रेंज ज्योमेट्री बाय बुकातारू और मिरॉन के सेमीस्प्रे के जैकोबी समीकरण। विशेष रूप से नोट '[[गतिशील सहसंयोजक व्युत्पन्न]]' की उनकी अवधारणा है। [https://arxiv.org/abs/1011.5799 एक अन्य पेपर] में बुकातारू, कॉन्स्टेंटिनस्कु और डाहल इस अवधारणा को '[[कौशांबी डेरिवेटिव ऑपरेटर]]' से संबंधित करते हैं।
[[दामोदर धर्मानंद कोसंबी]] की विधियों के उचित परिचय के लिए, लेख देखें, '[https://math.stackexchange.com/q/166955 कोसंबी-कार्टन-चेर्न सिद्धांत क्या है?]'।
 
[[दामोदर धर्मानंद कोसंबी]] के तरीकों के अच्छे परिचय के लिए, लेख देखें, '[https://math.stackexchange.com/q/166955 कोसंबी-कार्टन-चेर्न सिद्धांत क्या है?]'।


==संदर्भ==
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* {{citation|first=Serge|last=Lang|title=Fundamentals of Differential Geometry|year=1999|publisher=Springer-Verlag}}.
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Latest revision as of 15:05, 30 October 2023

अवकल ज्यामिति में, स्प्रे टेंगेंट बंडल TM पर सदिश क्षेत्र H है, जो बेस मैनिफोल्ड M पर द्विरेखीय द्वितीय क्रम के अवकल समीकरणों को एनकोड करता है। सामान्यतः स्प्रे को सजातीय होने की आवश्यकता होती है क्योंकि इसके अभिन्न वक्र t→ΦHt(ξ)∈TM सकारात्मक पुनर्मूल्यांकन में नियम ΦHt(λξ)=ΦHλt(ξ) का पालन करते है। यदि यह आवश्यकता समाप्त हो जाती है, तो H को सेमीस्प्रे कहा जाता है।

रिमेंनियन और फिन्सलर ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से जियोडेसिक स्प्रे उत्पन्न होते हैं, जिनके अभिन्न वक्र स्थानीय लंबाई को कम करने वाले वक्र के स्पर्शरेखा वक्र होते हैं।

सेमिस्प्रे स्वाभाविक रूप से लैग्रैंगियन यांत्रिकी में क्रिया समाकलन के चरम वक्र के रूप में उत्पन्न होते हैं। इन सभी उदाहरणों को सामान्यीकृत करते हुए, M पर कोई भी (संभवतः अरैखिक) संबंध सेमीस्प्रे H को प्रेरित करता है, और इसके विपरीत, सेमीस्प्रे H, M पर टॉरशन-फ्री अरैखिक संबंध उत्पन्न करता है। यदि मूल संबंध टॉरशन-फ्री है, तो यह H द्वारा प्रेरित संबंध के समान है और सजातीय टॉरशन-फ्री संबंध स्प्रे के अनुरूप हैं।[1]


औपचारिक परिभाषाएँ

मान लीजिए, M अवकलनीय मैनिफोल्ड है और (TMTM,M) टेंगेंट बंडल है। TM पर सदिश क्षेत्र H (अर्थात, डबल टेंगेंट बंडल TTM का खंड) M पर 'सेमिस्प्रे' है, यदि निम्न तीन समतुल्य स्थितियों में से कोई भी हो-

  • TM)*Hξ = ξ
  • JH=V, जहाँ J TM पर टेंगेंट संरचना है और TM\0 पर विहित सदिश क्षेत्र है।
  • jH=H, जहाँ j:TTM→TTM कैनोनिकल फ्लिप है और H को मैपिंग TM→TTM के रूप में देखा जाता है।

M पर सेमीस्प्रे H '(पूर्ण) स्प्रे' है, यदि निम्न में से कोई भी समतुल्य स्थिति प्रस्तावित होती है-

  • Hλξ = λ*Hξ), जहाँ λ*:TTM→TTM सकारात्मक स्केलर λ>0 द्वारा गुणन λ:TM→TM का पुश-फॉरवर्ड है।
  • विहित सदिश क्षेत्र V के साथ H का लाई-व्युत्पन्न [V,H]=H को संतुष्ट करता है।
  • H के अभिन्न वक्र t→ΦHt(ξ)∈TM\0 किसी भी λ>0 के लिए ΦHt(λξ)=λΦHλt(ξ) को संतुष्ट करता है।

मान लीजिए , पर स्थानीय निर्देशांक है, जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर समन्वय के आधार का उपयोग करके पर स्थानीय निर्देशांक ) से जुड़ा हुआ है। तब , पर सेमीस्प्र है यदि इसमें TM पर प्रत्येक संबद्ध समन्वय प्रणाली पर निम्नलिखित रूप का स्थानीय प्रतिनिधित्व है।

सेमीस्प्रे H (पूर्ण) स्प्रे है, यदि 'स्प्रे गुणांक' Gi निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं-


लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में सेमीस्प्रे

लैग्रैन्जियन यांत्रिकी में भौतिक प्रणाली को कुछ विन्यास स्थान के टेंगेंट बंडल पर लैग्रैजियन फलन L:TMR द्वारा प्रस्तुत किया गया है। गतिशीलता का नियम हैमिल्टनियन सिद्धांत से प्राप्त किया जाता है, जो बताता है कि सिस्टम की स्थिति का समय विकास γ:[a,b]→M समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है

.

TM पर संबंधित निर्देशांक में समाकलज क्रिया की प्रथम भिन्नता को इस रूप में अध्यन्न किया जाता है-

जहाँ X:[a,b]→R, γs:[a,b]→M के निकट γ(t) = γ0(t) से सम्बंधित वेरिएशन सदिश क्षेत्र है| निम्नलिखित अवधारणाओं को प्रस्तुत करके प्रथम भिन्नता सूत्र को शैक्षिक रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है:

  • कोवेक्टर , के साथ संयुग्मी संवेग है|
  • के साथ संगत रूप लैग्रैंगियन से जुड़ा हिल्बर्ट-रूप है।
  • के साथ द्विरेखीय रूप , पर लैग्रैंगियन का वास्तविक टेंसर है|
  • लैग्रेंजियन लेजेंड्रे स्थिति को संतुष्ट करता है यदि वास्तविक टेन्सर प्रत्येक पर गैर-पतित है, तो के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को द्वारा निरूपित किया जाता है|
  • लैग्रेंजियन से सम्बंधित ऊर्जा है।

यदि लीजेंड्रे स्थिति संतुष्ट होती है, तो dα∈Ω2(TM) सिम्प्लेटिक रूप है, और हैमिल्टनियन फलन E के अनुरूप TM पर अद्वितीय हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र H उपस्थित है जैसे कि

मान लीजिए (Xi,Yi) TM पर सम्बंधित निर्देशांकों में हेमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H के घटक है। तब

और

इसलिए हम देखते हैं कि हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H स्प्रे गुणांक वाले विन्यास स्थान M पर सेमीस्प्रे है-

अब पूर्व सूत्र को पुनः अंकित किया जा सकता है-

γ[a,b]→M निश्चित अंत बिंदुओं के साथ समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है यदि इसकी स्पर्शरेखा वक्र γ':[a,b]→TM हैमिल्टन सदिश क्षेत्र H के लिए अभिन्न वक्र है। इसलिए यांत्रिक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन समाकलज क्रिया से उत्पन्न होने वाले सेमीस्प्रे द्वारा किया जाता है।

जियोडेसिक स्प्रे

रीमैनियन और फिन्सलर मैनिफोल्ड की स्थानीय लंबाई को कम करने वाले वक्र को जियोडेसिक्स कहा जाता है। लैग्रेंजियन यांत्रिकी के स्वरूप का उपयोग करके स्प्रे संरचनाओं के साथ इन वक्रों का वर्णन किया जा सकता है। TM पर लैग्रैन्जियन फलन को परिभाषित करें-

जहाँ F:TM→'R' फिन्सलर मैनिफोल्ड है। रीमैनियन स्तिथि में F2(x,ξ) = gij(xiξj का उपयोग होता है| रीमैनियन स्तिथि में यह ज्ञात होता है कि वास्तविक टेन्सर gij(x,ξ) मात्र रीमैनियन मीट्रिक gij(x) है।

फिन्सलर-फलन का तात्पर्य निम्न सूत्र से है-

यांत्रिकी के संदर्भ में अंतिम समीकरण सिद्ध करता है कि प्रणाली में सभी ऊर्जा (M,L) गतिज रूप में है। इसके अतिरिक्त, समरूपता गुण प्राप्त करता है-

यांत्रिक प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H पूर्ण स्प्रे है। फिन्सलर मैनिफोल्ड की स्थिर गति जियोडेसिक्स को इस स्प्रे द्वारा निम्नलिखित कारणों से वर्णित किया गया है:

  • चूँकि फिन्सलर रिक्त स्थान के लिए gξ सकारात्मक निश्चित है, कार्यात्मक लंबाई के लिए पर्याप्त स्थिर वक्र लंबाई को कम करता है।
  • समाकलज क्रिया के लिए प्रत्येक स्थिर वक्र स्थिर गति होता है, चूँकि ऊर्जा स्वचालित रूप से गति की स्थिरांक है।
  • किसी भी वक्र के लिए स्थिर गति की समाकलज क्रिया और लंबाई कार्यात्मक से संबंधित हैं

इसलिए, वक्र समाकलज क्रिया के लिए स्थिर है यदि यह स्थिर गति का है और कार्यात्मक लंबाई के लिए स्थिर है। हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र H को फिन्सलर मैनिफोल्ड (M,F) का जियोडेसिक स्प्रे कहा जाता है और संबंधित प्रवाह ΦHt(ξ) को जियोडेसिक प्रवाह कहा जाता है।

अरैखिक संबंध के साथ समानता

सेमीस्प्रे स्मूथ मैनिफोल्ड पर एह्रेस्मान-संबंध को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अनुमानों के माध्यम से स्लिट टेंगेंट बंडल पर परिभाषित करता है|

TM\0 पर इस संबंध में सदैव टॉरशन टेंसर होता है, जिसे फ्रोलिचर-निजेनहुइस ब्रैकेट T=[J,v] के रूप में परिभाषित किया गया है

प्राथमिक शब्दों में टॉरशन को परिभाषित किया जा सकता है,

TM\0 पर कैनोनिकल सदिश क्षेत्र V और प्रेरित सम्बन्ध की संलग्न संरचना Θ सेमीस्प्रे के क्षैतिज भाग को hHV के रूप में अंकित किया जा सकता है। सेमीस्प्रे का ऊर्ध्वाधर भाग ε=vH 'प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट' के रूप में ज्ञात होता है और सेमीस्प्रे H स्वयं में विघटित हो जाता है

प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट तनाव से संबंधित है,

जो साधारण अवकल समीकरण के माध्यम से प्रेरित अरैखिक संबंध है|

इसलिए, प्रथम स्प्रे इनवेरिएंट ε को अरैखिक संबंध से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है,

इस संबंध से ज्ञात होता है कि प्रेरित संबंध सजातीय है यदि H पूर्ण स्प्रे है।

स्प्रे और सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्र

सेमीस्प्रे के जैकोबी क्षेत्रों के लिए उचित स्रोत धारा 4.4 है, बुकातारू और मिरॉन द्वारा लिखित पुस्तक फिन्सलर-लग्रेंज ज्योमेट्री के सेमीस्प्रे के जैकोबी समीकरण में सार्वजनिक रूप से उपलब्ध है। विशेष रूप से 'गतिशील सहसंयोजक व्युत्पन्न' उनकी अवधारणा है। अन्य पेपर में बुकातारू, कॉन्स्टेंटिनस्कु और डाहल इस अवधारणा को 'कौशांबी डेरिवेटिव ऑपरेटर' से संबंधित करते हैं।

दामोदर धर्मानंद कोसंबी की विधियों के उचित परिचय के लिए, लेख देखें, 'कोसंबी-कार्टन-चेर्न सिद्धांत क्या है?'।

संदर्भ

  1. I. Bucataru, R. Miron, Finsler-Lagrange Geometry, Editura Academiei Române, 2007.
  • Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall.
  • Lang, Serge (1999), Fundamentals of Differential Geometry, Springer-Verlag.