क्षैतिज रेखा परीक्षण: Difference between revisions

Latest revision as of 17:04, 16 May 2023

गणित में, क्षैतिज रेखा परीक्षण, परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है, कि कोई फलन (गणित) अंतःक्षेपी (अर्थात्, एक-से-एक) है या नहीं है।^[1]

गणित में

क्षैतिज रेखा सीधी, समतल रेखा होती है, जो बाएं से दाएं जाती है। फलन $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (अर्थात वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक) दिया गया है, हम यह तय कर सकते हैं कि क्या यह क्षैतिज रेखाओं को देखकर अंतःक्षेपी है जो किसी फलन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेदित करती है। यदि कोई क्षैतिज रेखा $y=c$ ग्राफ़ को एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करती है, तो फलन अंतःक्षेपी नहीं है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन के बिंदुओं का समान y- मान है (क्योंकि वे रेखा $y=c$ पर स्थित हैं), लेकिन अलग-अलग x मान हैं, जिसका अर्थ है कि फलन अंतःक्षेपी नहीं हो सकता है।^[1]

Passes the test (injective)

Fails the test (not injective)

क्षैतिज रेखा परीक्षण की विविधताओं का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई फलन विशेषण या विशेषांक है:

फलन f आच्छादक (अर्थात् आच्छादक) है, यदि और केवल यदि इसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा को 'कम से कम' एक बार काटता है।
f विशेषण है यदि और केवल यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ को ठीक एक बार काटती है।

समुच्चय सिद्धांत में

कार्टेशियन गुणन $X\times Y$ के उपसमुच्चय के रूप में इसके संबंधित ग्राफ के साथ फलन $f\colon X\to Y$ पर विचार करें। $X\times Y$ में क्षैतिज रेखाओं पर विचार करें: $\{(x,y_{0})\in X\times Y:y_{0}{\text{ is constant}}\}=X\times \{y_{0}\}$ । फलन f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा ग्राफ को अधिकतम एक बार काटती है। इस स्थिति में कहा जाता है कि ग्राफ क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है। यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को एक से अधिक बार काटती है, तो फलन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है और अंतःक्षेपी नहीं होता है।^[2]

यह भी देखें

कार्यक्षेत्र रेखा परीक्षण
उलटा काम करना
मोनोटोनिक फलन

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (5th. ed.). Toronto ON: Brook/Cole. pp. 64. ISBN 0-534-39330-6. Retrieved 15 July 2012. इसलिए, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए निम्न ज्यामितीय विधि है कि कोई फ़ंक्शन एक-से-एक है या नहीं।
↑ Zorn, Arnold Ostebee, Paul (2002). चित्रमय, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से पथरी (2nd ed.). Australia: Brooks/Cole/Thomson Learning. p. 185. ISBN 0-03-025681-X. No horizontal line crosses the f-graph more than once.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Stewart-1] 1.0 ^1.1 Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (5th. ed.). Toronto ON: Brook/Cole. pp. 64. ISBN 0-534-39330-6. Retrieved 15 July 2012. इसलिए, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए निम्न ज्यामितीय विधि है कि कोई फ़ंक्शन एक-से-एक है या नहीं।

[2] Zorn, Arnold Ostebee, Paul (2002). चित्रमय, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से पथरी (2nd ed.). Australia: Brooks/Cole/Thomson Learning. p. 185. ISBN 0-03-025681-X. No horizontal line crosses the f-graph more than once.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1]

[2]

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 {{Short description|Test for the injectivity of a function}}
-गणित में, क्षैतिज रेखा परीक्षण एक परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि कोई फ़ंक्शन (गणित) [[इंजेक्शन]] (यानी, एक-से-एक) है या नहीं।<ref name="Stewart">{{cite book|last=Stewart|first=James|title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals|year=2003|publisher=Brook/Cole|location=Toronto ON|isbn=0-534-39330-6|pages=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/64 64]|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/64|edition=5th.|authorlink=James Stewart (mathematician)|accessdate=15 July 2012|quote=इसलिए, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए निम्न ज्यामितीय विधि है कि कोई फ़ंक्शन एक-से-एक है या नहीं।|url-access=registration}}</ref>
+गणित में, क्षैतिज रेखा परीक्षण, परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है, कि कोई फलन (गणित) [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपी]] (अर्थात्, एक-से-एक) है या नहीं है।<ref name="Stewart">{{cite book|last=Stewart|first=James|title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals|year=2003|publisher=Brook/Cole|location=Toronto ON|isbn=0-534-39330-6|pages=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/64 64]|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/64|edition=5th.|authorlink=James Stewart (mathematician)|accessdate=15 July 2012|quote=इसलिए, हमारे पास यह निर्धारित करने के लिए निम्न ज्यामितीय विधि है कि कोई फ़ंक्शन एक-से-एक है या नहीं।|url-access=registration}}</ref>
-== कलन में ==
+== गणित में ==
-एक क्षैतिज रेखा एक सीधी, सपाट रेखा होती है जो बाएं से दाएं जाती है। एक समारोह दिया <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> (अर्थात [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक), हम यह तय कर सकते हैं कि क्या यह क्षैतिज रेखाओं को देखकर इंजेक्शन है जो किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करती है। यदि कोई क्षैतिज रेखा <math>y=c</math> ग्राफ़ को एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, फ़ंक्शन इंजेक्शन नहीं है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि चौराहे के बिंदुओं का समान y- मान है (क्योंकि वे रेखा पर स्थित हैं <math>y=c</math>) लेकिन भिन्न x मान, जिसका परिभाषा के अनुसार फलन अंतःक्षेपी नहीं हो सकता।<ref name="Stewart"/>
+क्षैतिज रेखा सीधी, समतल रेखा होती है, जो बाएं से दाएं जाती है। फलन <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> (अर्थात [[वास्तविक संख्या]]ओं से वास्तविक संख्याओं तक) दिया गया है, हम यह तय कर सकते हैं कि क्या यह क्षैतिज रेखाओं को देखकर अंतःक्षेपी है जो किसी फलन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेदित करती है। यदि कोई क्षैतिज रेखा <math>y=c</math> ग्राफ़ को एक से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करती है, तो फलन अंतःक्षेपी नहीं है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन के बिंदुओं का समान y- मान है (क्योंकि वे रेखा <math>y=c</math> पर स्थित हैं), लेकिन अलग-अलग x मान हैं, जिसका अर्थ है कि फलन अंतःक्षेपी नहीं हो सकता है।<ref name="Stewart"/>
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 Fails the test (not injective)
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-क्षैतिज रेखा परीक्षण की विविधताओं का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई फ़ंक्शन [[विशेषण]] या विशेषण है:
+क्षैतिज रेखा परीक्षण की विविधताओं का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई फलन [[विशेषण]] या विशेषांक है:
-* फलन f आच्छादक (अर्थात् आच्छादक) है यदि और केवल यदि इसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा को 'कम से कम' एक बार काटता है।
+* फलन ''f'' आच्छादक (अर्थात् आच्छादक) है, यदि और केवल यदि इसका ग्राफ किसी भी क्षैतिज रेखा को 'कम से कम' एक बार काटता है।
-*f विशेषण है यदि और केवल यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ को 'बिल्कुल' एक बार काटती है।
+*''f'' विशेषण है यदि और केवल यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ को ठीक एक बार काटती है।
-== सेट सिद्धांत में ==
-एक समारोह पर विचार करें <math>f \colon X \to Y</math> कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में फ़ंक्शन के संबंधित ग्राफ़ के साथ <math>X \times Y</math>. में क्षैतिज रेखाओं पर विचार करें <math>X \times Y</math> :<math>\{(x,y_0) \in X \times Y: y_0 \text{ is constant}\} = X \times \{y_0\}</math>. फलन f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा ग्राफ को अधिकतम एक बार काटती है। इस मामले में कहा जाता है कि ग्राफ क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है। यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को एक से अधिक बार काटती है, तो फ़ंक्शन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है और इंजेक्शन नहीं होता है।<ref>{{cite book|last=Zorn|first=Arnold Ostebee, Paul|title=चित्रमय, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से पथरी|year=2002|publisher=Brooks/Cole/Thomson Learning|location=Australia|isbn=0-03-025681-X|pages=185|url=https://books.google.com/books?id=D48RplvmxVUC&q=horizontal+line+test|edition=2nd|quote=No horizontal line crosses the f-graph more than once.}}</ref>
+== समुच्चय सिद्धांत में ==
+कार्टेशियन गुणन <math>X \times Y</math> के उपसमुच्चय के रूप में इसके संबंधित ग्राफ के साथ फलन <math>f \colon X \to Y</math> पर विचार करें। <math>X \times Y</math> में क्षैतिज रेखाओं पर विचार करें: <math>\{(x,y_0) \in X \times Y: y_0 \text{ is constant}\} = X \times \{y_0\}</math>। फलन ''f'' अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्षैतिज रेखा ग्राफ को अधिकतम एक बार काटती है। इस स्थिति में कहा जाता है कि ग्राफ क्षैतिज रेखा परीक्षण पास करता है। यदि कोई क्षैतिज रेखा ग्राफ़ को एक से अधिक बार काटती है, तो फलन क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है और अंतःक्षेपी नहीं होता है।<ref>{{cite book|last=Zorn|first=Arnold Ostebee, Paul|title=चित्रमय, संख्यात्मक और प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से पथरी|year=2002|publisher=Brooks/Cole/Thomson Learning|location=Australia|isbn=0-03-025681-X|pages=185|url=https://books.google.com/books?id=D48RplvmxVUC&q=horizontal+line+test|edition=2nd|quote=No horizontal line crosses the f-graph more than once.}}</ref>
 == यह भी देखें ==
 * कार्यक्षेत्र रेखा परीक्षण
 *[[उलटा काम करना]]
-* [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]]
+* [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]]
 ==संदर्भ==
 {{reflist}}
-[[Category: सेट थ्योरी में बुनियादी अवधारणाएँ]]
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