गैसों का काइनेटिक सिद्धांत

आदर्श गैस का तापमान उसके कणों की औसत गतिज ऊर्जा के समानुपाती होता है। उनके अंतरण के सापेक्ष हीलियम परमाणुओं के आकार को 1950 के दबाव के वायुमंडल में बड़े पैमाने पर प्रदर्शित किया गया है। परमाणुओं की औसत गति उनके आकार के सापेक्ष यहाँ धीमी हो जाती है जो कमरे के तापमान पर दो ट्रिलियन गुना कम हो जाती है।

गैसों का अणुगतिक सिद्धांत गैसों के ऊष्मागतिक व्यवहार का एक सरल, ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण चिरसम्मत यांत्रिकी मॉडल है, जिसके साथ ऊष्मागतिक की कई प्रमुख अवधारणाएँ स्थापित की गई थीं। यह मॉडल गैस को बड़ी संख्या में समान अतिसूक्ष्म कणों (परमाणुओं या अणुओं) के रूप में वर्णित करता है, जो सभी निरंतर, तीव्र, यादृच्छिक गति में होते हैं। उनका आकार कणों के बीच की औसत दूरी से अधिक न्यूनतम माना जाता है। आपस में कण और पात्र की संलग्न प्राचीरों के साथ यादृच्छिक प्रत्यास्थ संघट्टन से होकर जाते हैं। मॉडल का मूल संस्करण आदर्श गैस का वर्णन करता है और कणों के बीच कोई अन्य अंतःक्रिया नहीं मानता है।

गैसों का अणुगतिक सिद्धांत गैसों के स्थूल मापक के गुणों, जैसे आयतन, दबाव और तापमान के साथ श्यानता, ताप संचालकता और द्रव्यमान विसरणशीलता जैसे अभिगमन गुणधर्म की व्याख्या करता है। सूक्ष्म गतिकीय (सूक्ष्म प्रतिवर्त्यता) की समय प्रतिवर्त्यता के कारण, गतिज सिद्धांत उच्चावचन क्षय प्रमेय (ब्राउनियन गति के लिए) और ऑनसेजर व्युत्क्रम संबंधों के संदर्भ में विस्तृत संतुलन के सिद्धांत से भी संबंधित है।

ऐतिहासिक रूप से, गैसों का अणुगतिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी के विचारों का सर्वप्रथम स्पष्ट प्रयोग था।

इतिहास

प्रायः 50 ईसा पूर्व में रोमन दार्शनिक ल्यूक्रेटियस ने प्रस्तावित किया कि स्पष्ट रूप से स्थैतिक असूक्ष्म तत्व एक छोटे पैमाने पर शीघ्र गतिमान परमाणुओं से समाहित थे, जो परस्पर उच्छलन कर रहे थे।इस एपिक्यूरियन परमाणुवादी दृष्टिकोण को परवर्ती शतवर्षों में अधिक कम सुविचारित किया गया था, जब अरस्तू के विचार प्रमुख थे।

हाइड्रोडायनामिका आवरण मुख

वर्ष 1738 में डेनियल बर्नौली ने हाइड्रोडायनामिका प्रकाशित किया, जिसने गैस अणुगतिक सिद्धांत का आधार रखा। इस कार्य में बर्नौली ने तर्क प्रस्तुत किया कि गैस में बड़ी संख्या में अणु होते हैं जो सभी दिशाओं में चलते हैं तथा सतह पर उनका प्रभाव गैस के दबाव का कारण बनता है और उनकी औसत गतिज ऊर्जा गैस के तापमान को निर्धारित करती है। सिद्धांत को तत्काल स्वीकृत नहीं किया गया, क्योंकि ऊर्जा का संरक्षण इस समय तक स्थापित नहीं किया गया था,और यह भौतिकविदों के लिए स्पष्ट नहीं था कि अणुओं के बीच संघट्टन पूर्ण प्रत्यास्थ कैसे हो सकता है।

अणुगतिक सिद्धांत के अन्य अग्रदूत, जिनके काम को उनके समकालीनों द्वारा अधिक उपेक्षित किया गया था, वे थे मिखाइल लोमोनोसोव (वर्ष 1747), जॉर्जेस-लुई ले सेज (सीए वर्ष 1780, प्रकाशित वर्ष 1818), जॉन हेरापथ (वर्ष 1816) और जॉन जेम्स वॉटरस्टन (वर्ष 1843), जिन्होंने गुरुत्वाकर्षण के गुरुत्वाकर्षण के यांत्रिक स्पष्टीकरण के विकास के साथ अपने शोध को संबद्ध किया। वर्ष 1856 में अगस्त क्रोनिग ने एक साधारण गैस-अणुगतिक मॉडल बनाया, जो केवल कणों की स्थानांतरीय गति पर सुविवेचित करता था।

वर्ष 1857 में रुडोल्फ क्लॉसियस ने सिद्धांत का समान, किंतु अधिक परिष्कृत संस्करण विकसित किया,स्थानांतरीय और क्रोनिग के विपरीत ROTATION (घूर्णी) और स्पंदनिक आण्विक गति भी सम्मिलित थे। इसी कार्य में उन्होंने कण के औसत मुक्त पथ की अवधारणा को प्रस्तुत किया। वर्ष 1859 में, क्लॉसियस द्वारा अणुओं के प्रसार के विषय में एक लेख्य पाठ्यांक पर, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने आणविक वेगों का मैक्सवेल वितरण प्रतिपादित किया, जिसने एक विशिष्ट श्रेणी में निश्चित वेग वाले अणुओं का अनुपात दिया। यह भौतिकी में सर्वप्रथम सांख्यिकीय नियम था। मैक्सवेल ने भी प्रथम यांत्रिक तर्क दिया कि आण्विक संघट्टों के लिए तापमान की समानता आवश्यक है और इसलिए संतुलन की ओर एक प्रवृत्ति है। अपने वर्ष 1873 के तेरह पृष्ठ के लेख 'अणु' में, मैक्सवेल व्यक्त करते हैं: "हमें बताया गया है कि 'परमाणु' एक भौतिक बिंदु है, जो 'संभाव्य बल' से निवेशित और घिरा हुआ है और जब 'अवशिष्ट अणु' एक ठोस तत्व पर निरंतर अनुक्रम में आकस्मिक प्रभाव करते हैं, परिणामस्वरूप इसे हवा और अन्य गैस के दबाव कहते है।"

वर्ष 1871 में, लुडविग बोल्ट्जमैन ने मैक्सवेल की उपलब्धि का सामान्यीकरण किया और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण प्रतिपादित किया। बोल्ट्जमैन द्वारा भी एन्ट्रॉपी और संभाव्यता के बीच लघुगणकीय संबन्ध सर्वप्रथम व्यक्त किया गया था।

यद्यपि 20वीं शताब्दी के प्रारंभ में, कई भौतिकविदों द्वारा परमाणुओं को वास्तविक वस्तुओं के अलावा विशुद्ध रूप से काल्पनिक निर्माण माना जाता था। एक महत्वपूर्ण संक्रांति काल ब्राउनियन गति पर अल्बर्ट आइंस्टीन (वर्ष 1905) और मैरियन स्मोलुचोव्स्की (वर्ष 1906) के लेख्य थे जो अणुगतिक सिद्धांत के आधार पर कुछ सटीक मात्रात्मक पूर्वानुमान करने में सफल रहे।

अनुमान

आदर्श गैस के लिए अणुगतिक सिद्धांत का अनुप्रयोग निम्नलिखित धारणाएँ बनाता है:

• गैस में बहुत छोटे कण होती है। उनके आकार का लघुता ऐसा होता है कि गैस के पात्र के आयतन की तुलना में प्रत्येक गैस अणुओं के आयतन का योग नगण्य होता है। यह व्यक्त करने के समानार्थी है कि गैस कणों को पृथक करने की औसत दूरी उनके आकार की तुलना में विशाल और उत्तरोत्तर संघट्टों के बीच के समय की तुलना में कणों और पात्र की प्राचीर के बीच संघट्ट का व्यतीत समय नगण्य है।
• कणों की संख्या इतनी अधिक है कि समस्या का एक सांख्यिकीय उपचार उचित है। इस धारणा को प्रायः ऊष्मागतिक सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है।
• द्रुत गतिमान कण आपस में और पात्र की प्राचीरों से निरंतर संघट्टन करते हैं। ये सभी संघट्ट पूर्णतः प्रत्यास्थ हैं, जिसका अर्थ है कि अणु पूर्ण कठोर गोले हैं।
• संघट्टों के अतिरिक्त अणुओं के मध्य अन्योन्यक्रियाएँ नगण्य होती है। वे एक दूसरे पर कोई अन्य बल का प्रयोग नहीं करते हैं।

इस प्रकार कण गति की गतिकी को चिरसम्मत रूप से माना जा सकता है और गति के समीकरण समय-प्रतिवर्ती हैं।

एक सरल धारणा के रूप में, कणों में सामान्यतः एक दूसरे के समान द्रव्यमान है; यद्यपि, सिद्धांत को व्यापक वितरण के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक द्रव्यमान प्रकार डाल्टन आंशिक दाब नियम के साथ सहमति में एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से गैस गुणधर्मों में योगदान देता है। मॉडल की कई पूर्वानुमान समान होती हैं चाहे कणों के मध्य संघट्टन सम्मिलित हैं या नहीं, इसलिए उन्हें प्रायः व्युत्पत्तियों में सरल धारणा के रूप में उपेक्षित किया जाता है (नीचे देखें)।

अधिकतर नए विकास में इन धारणाओं को बोल्ट्जमैन समीकरण के आधार पर शिथिल करते हैं। ये सघन गैस के गुणधर्मों का सटीक वर्णन कर सकते हैं, क्योंकि इनमें कणों की मात्रा के साथ-साथ अंतराअणुक और आंतरआण्विक बलों के योगदान के साथ-साथ क्वान्टित आणविक घूर्णन, क्वांटम घूर्णन-स्पंदनिक सममिति प्रभाव और इलेक्ट्रॉन उत्तेजन सम्मिलित हैं।

संतुलन गुणधर्म

दबाव और गतिज ऊर्जा

गैस अणुगतिक सिद्धांत में, दबाव को बल (प्रति इकाई क्षेत्र) के समान माना जाता है जो परमाणुओं द्वारा गैस के पात्र की सतह से आघात और प्रतिघात के कारण होता है। आयतन V = L³ के एक घन में परिबद्ध द्रव्यमान m वाले अणुओं की एक बड़ी संख्या N की गैस पर विचार करें। जब एक गैस अणु x अक्ष के लंबवत पात्र की प्राचीर से संघट्टन करता है और समान गति (एक प्रत्यास्थ संघट्टन) के साथ विपरीत दिशा में प्रस्कंदन करता है, तो संवेग में परिवर्तन निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=p_{i,x}-(-p_{i,x})=2p_{i,x}=2mv_{x},$$

जहां p गति है, i और f प्रारंभिक और अंतिम संवेग (संघट्टन से पूर्व और पश्चात) इंगित करते हैं, x इंगित करता है कि केवल x दिशा पर विचार किया जा रहा है और $v_{x}$ दिशा x में कण की गति है (जो टक्कर से पहले और बाद में समान है)।

कण काल अंतराल $\Delta t$ के समय एक बार में एक विशिष्ट पार्श्व प्राचीर को प्रभावित करता है

$$\Delta t={\frac {2L}{v_{x}}},$$

जहाँ L विपरीत प्राचीरों के बीच की दूरी है।

इस कण का प्राचीर से संघट्टन करने का बल है

$$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}.$$

संभावित मूल्यों की एक सीमा के साथ दीवारों को प्रभावित करने वाले अणुओं द्वारा टकराव के कारण दीवार पर कुल बल $v_{x}$ है

$$F={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}},$$

जहां आरेख N कणों के संभावित वेगों पर औसत दर्शाता है।

चूंकि कणों की गति यादृच्छिक होती है और किसी भी दिशा में कोई पूर्वाग्रह प्रयुक्त नहीं होता है, प्रत्येक दिशा में औसत वर्ग गति समान होती है:

$${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v_{y}^{2}}}={\overline {v_{z}^{2}}}.$$

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, त्रिविम में औसत वर्ग गति $v^{2}$ को निम्न द्वारा दिया गया है

$${\overline {v^{2}}}={\overline {v_{x}^{2}}}+{\overline {v_{y}^{2}}}+{\overline {v_{z}^{2}}},$$

इसलिए

$${\overline {v^{2}}}=3{\overline {v_{x}^{2}}}.$$

और

$${\overline {v_{x}^{2}}}={\frac {\overline {v^{2}}}{3}},$$

और इसलिए बल को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

$$F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}.$$

इस बल को क्षेत्र L² पर समान रूप से प्रयुक्त किया जाता है, इसलिए गैस का दबाव है

$$P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}},$$

जहां V = L³ बॉक्स का आयतन है।

गैस की अनुवादिक गतिज ऊर्जा K के संदर्भ में, चूंकि

$$K=N{\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}$$

हमें प्राप्त हैं

$$PV={\frac {2}{3}}K.$$

यह अणुगतिक सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण, गैर-तुच्छ परिणाम है क्योंकि यह एक असूक्ष्म गुणधर्म, दबाव को अणुओं की अनुवादिक गतिज ऊर्जा से संबंधित करता है, जो एक सूक्ष्म गुणधर्म है।

तापमान और गतिज ऊर्जा

दबाव के लिए उपरोक्त परिणाम को पुनः लिखकर ${\textstyle PV={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3}}}$, हम इसे आदर्श गैस नियम के साथ इस प्रकार जोड़ सकते हैं

$PV=Nk_{\mathrm {B} }T,$

(1)

जहाँ $k_{\mathrm {B} }$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ आदर्श गैस नियम द्वारा परिभाषित पूर्ण तापमान निम्न प्राप्त करने के लिए

$$k_{\mathrm {B} }T={m{\overline {v^{2}}} \over 3},$$

जो प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा की सरलीकृत अभिव्यक्ति की ओर ले जाता है,

$${\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T.$$

निकाय की गतिज ऊर्जा एक अणु अर्थात् ${\textstyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}$ की N गुनी है। फिर तापमान $T$ रूप धारण कर लेता है

$T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{\mathrm {B} }}$

(2)

जो परिवर्तित होता है

$T={\frac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{\mathrm {B} }}}.$

(3)

समीकरण (3) अणुगतिक सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण परिणाम है:

औसत आणविक गतिज ऊर्जा आदर्श गैस नियम के पूर्ण तापमान के समानुपाती होती है।

समीकरणों (1) और (3) से हमारे पास है

$PV={\frac {2}{3}}K.$

(4)

इस प्रकार, प्रति मोल(ग्राम अणु) दबाव और आयतन का गुणनफल औसत (स्थानांतरीय) आणविक गतिज ऊर्जा के समानुपाती होता है।

समीकरण (1) और (4) "चिरसम्मत परिणाम" कहा जाता है, जिन्हें सांख्यिकीय यांत्रिकी से भी प्राप्त किया जा सकता है;

अधिक जानकारी के लिए देखें:

चूंकि यहाँ $N$ कण के साथ एकपरमाण्विक-गैस प्रणाली में $3N$ स्वातंत्र्य कोटि हैं, प्रति अणु प्रति स्वातंत्र्य कोटि गतिज ऊर्जा है

${\frac {K}{3N}}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}$

(5)

प्रति स्वातंत्र्य कोटि गतिज ऊर्जा में, तापमान की आनुपातिकता का स्थिरांक बोल्ट्जमैन स्थिरांक का 1/2 गुना या R/2 प्रति मोल है। यह परिणाम समविभाजन प्रमेय से संबंधित है।

इस प्रकार एक मोल (एकपरमाण्विक आदर्श गैस) की प्रति केल्विन गतिज ऊर्जा 3 [R/2] = 3R/2 है। इस प्रकार प्रति केल्विन गतिज ऊर्जा की गणना सरलता से की जा सकती है:

• प्रति मोल: 12.47 J/K
• प्रति अणु: 20.7 yJ / K = 129 μeV / K

मानक तापमान (273.15 K) पर गतिज ऊर्जा भी प्राप्त की जा सकती है:

• प्रति मोल: 3406 J
• प्रति अणु: 5.65 zJ = 35.2 meV

यद्यपि एकपरमाण्विक गैस में प्रति परमाणु 3 स्वातंत्र्य कोटि(अनुवादिक) होती है, द्विपरमाणु गैस में प्रति अणु 6 स्वातंत्र्य कोटि (3 अनुवादन, दो घूर्णन और एक स्पंदन) होनी चाहिए। यद्यपि, लघु द्विपरमाणु गैस (जैसे द्विपरमाणु ऑक्सीजन) ऐसे कार्य कर सकते हैं जैसे उनके स्पंदन और क्रमबद्ध स्पंदनिक ऊर्जा स्तरों के मध्य विशाल अंतराल की दृढ़ क्वांटम-यांत्रिक प्रकृति के कारण उनके पास केवल 5 हैं। इन योगदानों की सटीक गणना करने के लिए क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी की आवश्यकता है।

पात्र की प्राचीर से संघट्टन

सहज गतिज सिद्धांत के आधार पर संतुलन में एक आदर्श गैस के लिए, पात्र की प्राचीर से संघट्टन की दर और पात्र की प्राचीर से संघट्टन करने वाले कणों के वेग वितरण की गणना की जा सकती है और परिणामों का उपयोग निस्सरण प्रवाह दर के विश्लेषण के लिए किया जा सकता है, जो समस्थानिक पृथकन के लिए गैसीय विसरण विधि जैसे अनुप्रयोगों में उपयोगी हैं।

मान लें कि पात्र में, संख्या घनत्व (संख्या प्रति इकाई आयतन) $n=N/V$ है और यह कि कण मैक्सवेल के वेग वितरण का पालन करते हैं:

$$f_{\text{Maxwell}}(v_{x},v_{y},v_{z})\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}$$

तब पात्र की प्राचीर में निम्न क्षेत्र $dA$ के लिए, क्षेत्र $dA$ के सामान्य से कोण $\theta$ पर गति $v$ के साथ एक कण, समय अंतराल $dt$ के भीतर क्षेत्र से टकराएगा, यदि यह क्षेत्र $dA$ से $vdt$ दूरी के भीतर है। इसलिए,सामान्य से कोण $\theta$ पर गति $v$ के साथ सभी कण जो समय अंतराल $dt$ के भीतर क्षेत्र $dA$ तक पहुंच सकता है वे नत पाइप में समाहित हैं जिसकी $v\cos(\theta )dt$ की ऊंचाई और $v\cos(\theta )dAdt$. की मात्रा हैं।

समय अंतराल $dt$ के भीतर क्षेत्र $dA$ में पहुंचने वाले कणों की कुल संख्या वेग वितरण पर भी निर्भर करता है; सामान्यतः यह गणना करता है:

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\left(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi \right).$$

व्यवरोध के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर इसे एकीकृत करके $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय में एक पात्र की प्राचीर के साथ परमाणु या आणविक संघट्टन की संख्या प्राप्त करता है:

$$J_{\text{collision}}={\frac {\int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta }{\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta }}\times n{\bar {v}}={\frac {1}{4}}n{\bar {v}}={\frac {n}{4}}{\sqrt {\frac {8k_{\mathrm {B} }T}{\pi m}}}.$$

इस मात्रा को निर्वात भौतिकी में "आघट्टन दर" के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि मैक्सवेल के वेग वितरण का औसत गति ${\bar {v}}$ मैकी गणना करने के लिए $v>0,0<\theta <\pi ,0<\phi <2\pi$ पर एकीकृत करना होगा।

समय अंतराल $dt$ में सामान्य से कोण $\theta$ गति $v$ क्षेत्र $dA$ से टकराने वाले कणों से पात्र की प्राचीर में संवेग स्थानांतरण है :

$$[2mv\cos(\theta )]\times nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\left(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi \right).$$

व्यवरोध $v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ भीतर सभी उचित वेगों पर इसे एकीकृत करने से दबाव उत्पन्न होता है (आदर्श गैस कानून के अनुरूप):

$$P={\frac {2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \sin \theta d\theta }{\int _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta }}\times nmv_{\text{rms}}^{2}={\frac {1}{3}}nmv_{\text{rms}}^{2}={\frac {2}{3}}n\langle E_{kin}\rangle =nk_{\mathrm {B} }T$$

यदि यह छोटा क्षेत्र $A$ एक छोटा छिद्र बनने के लिए छिद्रित किया जाता है, तो निस्सरण प्रवाह दर होगी:

$$\Phi _{\text{effusion}}=J_{\text{collision}}A=nA{\sqrt {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi m}}}.$$

आदर्श गैस नियम के साथ संयुक्त होने पर यह प्राप्त होता है

$$\Phi _{\text{effusion}}={\frac {PA}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}}.$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति ग्राहम के नियम के अनुरूप है।

इस छोटे क्षेत्र से टकराने वाले कणों के वेग वितरण की गणना करने के लिए, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि $(v,\theta ,\phi )$ के साथ सभी कण समय अंतराल $dt$ के भीतर क्षेत्र $dA$ को टकराते हैं वे नत पाइप में समाहित हैं जिसकी $v\cos(\theta )dt$ की ऊंचाई और $v\cos(\theta )dAdt$; की मात्रा हैं; इसलिए, मैक्सवेल वितरण की तुलना में वेग वितरण का अतिरिक्त $v\cos \theta$ का कारक होगा:

$${\begin{aligned}f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi &=\lambda v\cos {\theta }{\times }\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )\\\end{aligned}}$$

${\textstyle v>0,\,0<\theta <{\frac {\pi }{2}},\,0<\phi <2\pi }$ व्यवरोध के साथ। स्थिरांक $\lambda$ को प्रसामान्यीकरण स्थिति$\int f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi =1$ द्वारा ${\textstyle {4}/{\bar {v}}}$, और समग्र रूप से निर्धारित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}f(v,\theta ,\phi )\,dv\,d\theta \,d\phi &={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {m}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{3}\sin {\theta }\cos {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )\\\end{aligned}};\quad v>0,\,0<\theta <{\frac {\pi }{2}},\,0<\phi <2\pi$$

अणुओं की गति

गतिज ऊर्जा सूत्र से यह दिखाया जा सकता है

$$v_{\text{p}}={\sqrt {2\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

$${\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

$$v_{\text{rms}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}={\sqrt {{3}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}},$$

जहाँ v m/s में, T केल्विन में और m गैस के एक अणु का द्रव्यमान है। अधिक संभावित (या बहुलक) गति $v_{\text{p}}$ वर्ग माध्य मूल गति $v_{\text{rms}}$ का 81.6% है और माध्य (अंकगणितीय माध्य, या औसत) गति ${\bar {v}}$ आरएमएस गति का 92.1% है(गति का आइसोट्रॉपी वितरण)।

देखना:

• औसत,
• वर्ग माध्य मूल गति
• समांतर माध्य
• माध्य
• बहुलक(सांख्यिकी)

माध्य मुक्तपथ

Main article: माध्य मुक्तपथ

गैस अणुगतिक सिद्धांत में, माध्य मुक्तपथ एक अणु या प्रति आयतन में अणुओं की संख्या द्वारा प्रथम संघट्टन से पूर्व तय की गई औसत दूरी है। मान ले $\sigma$ एक अणु अन्य से टकराने का संघट्ट परिक्षेत्र है। पिछले खंड के समान, संख्या घनत्व $n$ प्रति (व्यापक) मात्रा, या $n=N/V$ में अणुओं की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रति मात्रा संघट्ट परिक्षेत्र या संघट्ट परिक्षेत्र घनत्व $n\sigma$ और यह माध्य मुक्तपथ $l$ से निम्न द्वारा संबंधित है

$$l={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}$$

ध्यान दें कि प्रति मात्रा संघट्ट परिक्षेत्र की इकाई $n\sigma$ लम्बाई का व्युत्क्रम है।

अभिगमन गुणधर्म

See also: परिवहन घटनाएं

गैस अणुगतिक सिद्धांत न केवल ऊष्मागतिक साम्य में गैस से संबंधित है, अपितु ऊष्मागतिक साम्य के अलावा अन्य गैस के लिए भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसका अर्थ है अणुगतिक सिद्धांत का उपयोग करके "अभिगमन गुणधर्मों" जैसे श्यानता, ताप संचालकता और द्रव्यमान विसरणशीलता के रूप में विचार किया जा सकता है।

श्यानता और अणुगतिक संवेग

See also: श्यानता § संवेग अभिगमन

प्रारंभिक अणुगतिक सिद्धांत की पुस्तकों में तनु गैस मॉडलिंग के परिणाम मिल सकते हैं जिनका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। अपरूपण श्यानता के लिए अणुगतिक मॉडल की व्युत्पत्ति सामान्यतः कुएट प्रवाह पर विचार करके प्रारंभ होती है जहां दो समानांतर प्लेटें एक गैस परत से पृथक की जाती हैं। ऊपरी प्लेट एक बल F के कारण एक स्थिर वेग से दाईं ओर चलती है। निचली प्लेट स्थिर है और इसलिए इसे गतिहीन रखने के लिए समान और विपरीत बल उस पर कार्य कर रहा होगा। गैस की परत के अणुओं में एक अग्रगामी वेग घटक $u$ होता है जो निचली प्लेट के ऊपर दूरी $y$ के साथ समान रूप से बढ़ते हैं। गैर-संतुलन प्रवाह आणविक गतियों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण पर अध्यारोपित किया जाता है।

एक कुएट प्रवाह व्यवस्था में तनु गैस के भीतर, एक क्षैतिज सपाट परत ( $y=0$)पर $u_{0}$ को गैस का अग्रगामी वेग होने दें; $u_{0}$ क्षैतिज दिशा में है। गैस की परत के एक भुजा में समय अंतराल $dt$ में सामान्य से कोण $\theta$ पर गति $v$ के साथ क्षेत्र $dA$ गैतक पहुंचने वाले अणुओं की संख्या हैं

$$nv\cos({\theta })\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

इन अणुओं ने अपनी अंतिम संघट्टन $y=\pm l\cos \theta$ पर की थी, जहाँ $l$ माध्य मुक्तपथ हैं। प्रत्येक अणु निम्न का अग्रगामी संवेग का योगदान देगा

$$p_{x}^{\pm }=m\left(u_{0}\pm l\cos \theta \,{du \over dy}\right),$$

जहाँ धन चिह्न अधिक अणुओं और ऋण चिह्न निम्न अणुओं पर प्रयुक्त हैं। ध्यान दें कि अग्रगामी वेग अनुप्रवण $du/dy$ को माध्य मुक्तपथ के दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

व्यवरोध के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर इसे एकीकृत करके

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$

प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्र (अपरूपण प्रतिबल के रूप में भी जाना जाता है) में अग्रगामी संवेग अंतरण उत्पन्न करता है:

$$\tau ^{\pm }={\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot m\left(u_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{du \over dy}\right)$$

प्रति इकाई क्षेत्र में संवेग की शुद्ध दर जो काल्पनिक सतह के पार अभिगमित की जाती है, इस प्रकार है

$$\tau =\tau ^{+}-\tau ^{-}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nm\cdot l\,{du \over dy}$$

न्यूटन के श्यानता के नियम के साथ उपरोक्त गतिज समीकरण का संयोजन

$$\tau =\eta \,{du \over dy}$$

अपरूपण श्यानता के लिए समीकरण देता है, जिसे सामान्यतः तनु गैस होने पर $\eta _{0}$ निरूपित किया जाता है:

$$\eta _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nml$$

माध्य मुक्तपथ के समीकरण के साथ इस समीकरण के संयोजन से

$$\eta _{0}={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac {m\cdot {\bar {v}}}{\sigma }}$$

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण औसत(संतुलन) आणविक गति इस प्रकार देता है

$${\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}=2{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m}}}}$$

जहाँ $v_{p}$ प्रायिकतम चाल है। ध्यान दें कि

$$k_{B}\cdot N_{A}=R\quad {\text{and}}\quad M=m\cdot N_{A}$$

और उपरोक्त श्यानता समीकरण में वेग सम्मलित करें। यह तनु गैस के अपरूपण श्यानता का प्रसिद्ध समीकरण देता है:

$$\eta _{0}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {mk_{\mathrm {B} }T}}{\sigma }}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {MRT}}{\sigma \cdot N_{A}}}$$

और $M$ मोलर द्रव्यमान है। ऊपर दिए गए समीकरण में यह माना गया है कि गैस का घनत्व कम है (अर्थात दबाव कम है)। इसका तात्पर्य यह है कि घूर्णी और स्पंदनिक अणु ऊर्जाओं पर स्थानान्तरण गतिज ऊर्जा प्रमुख है। श्यानता समीकरण यह भी मानता है कि केवल एक प्रकार का गैस अणु है और गैस के अणु गोलाकार आकार के पूर्ण प्रत्यास्थ और कठोर क्रोड कण हैं। बिलियर्ड गेंदों के समान प्रत्यास्थ और कठोर क्रोड गोलाकार अणुओं की यह धारणा का तात्पर्य है कि एक अणु के संघट्ट परिक्षेत्र का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है

$$\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}=\pi d^{2}$$

एकाणुक गैस में एक अणु के त्रिज्या $r$ को संघट्ट परिक्षेत्र त्रिज्या या गतिज त्रिज्या कहा जाता है और व्यास $d$ को संघट्ट परिक्षेत्र व्यास या गतिज व्यास कहा जाता है। अणु (पर्याप्त गोलाकार) के संघट्ट परिक्षेत्र और कठोर क्रोड आकार के बीच कोई सरल सामान्य संबंध नहीं है। संबंध अणु की संभावित ऊर्जा के आकार पर निर्भर करता है। वास्तविक गोलाकार अणु (अर्थात् एक उत्कृष्ट गैस परमाणु या  यथोचित गोलाकार अणु) के लिए अंतःक्रियात्मक क्षमता लेनार्ड -जोन्स क्षमता या मोर्स क्षमता के समान अधिक होती है जिसका एक ऋण अंश होता है जो कठोर क्रोड त्रिज्या से अधिक दूरी से अन्य अणु को आकर्षित करता है। शून्य लेनार्ड-जोन्स क्षमता के त्रिज्या तब गतिज त्रिज्या के अनुमान के रूप में उपयोग करने के लिए उपयुक्त है।

ऊष्मीय चालकता और ऊष्मा अभिवाह

उपरोक्त के समान तर्क का पालन करते हुए, तनु गैस की ताप संचालकता के लिए गतिज मॉडल प्राप्त किया जा सकता है:

गैस की परत द्वारा पृथक की गई दो समानांतर प्लेटों पर विचार करें। दोनों प्लेटों का तापमान समान है और गैस की परत की तुलना में इतने बृहद् हैं कि उन्हें ऊष्माशय के रूप में माना जा सकता है। ऊपरी प्लेट का तापमान निचली प्लेट से अधिक है। निचली प्लेट के ऊपर गैस परत के अणुओं में आणविक गतिज ऊर्जा $\varepsilon$ होती है जो दूरी $y$ के साथ समान रूप से बढ़ता है। गैर-संतुलन ऊर्जा प्रवाह आणविक गतियों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण पर अध्यारोपित है।

मान लें $\varepsilon _{0}$ गैस परत के भीतर एक काल्पनिक क्षैतिज सतह पर गैस की आणविक गतिज ऊर्जा है। गैस की परत के एक भुजा में, समय अंतराल $dt$ में सामान्य से कोण $\theta$ पर गति $v$ के साथ किसी क्षेत्र $dA$ तक पहुंचने वाले अणुओं की संख्या हैं:

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

गैस की परत के ऊपर और नीचे इन अणुओं ने दूरी $l\cos \theta$ पर अपनी अंतिम संघट्टन की, और प्रत्येक निम्नलिखित आणविक गतिज ऊर्जा का योगदान देगा

$$\varepsilon ^{\pm }=\left(\varepsilon _{0}\pm mc_{v}l\cos \theta \,{dT \over dy}\right),$$

जहाँ $c_{v}$ विशिष्ट ताप क्षमता है। पुनः धन चिह्न ऊपर के और ऋण चिह्न नीचे के अणुओं पर प्रयुक्त होता है। ध्यान दें कि तापमान अनुप्रवण $dT/dy$ माध्य मुक्तपथ की दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

व्यवरोध के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर एकीकृत करके

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$

प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्र (ऊष्माभिवाह के रूप में भी जाना जाता है) में ऊर्जा हस्तांतरण उत्पन्न करता है:

$$q_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot \left(\varepsilon _{0}\pm {\frac {2}{3}}mc_{v}l\,{dT \over dy}\right)$$

ध्यान दें ऊपरोक्त से कि ऊर्जा हस्तांतरण $-y$ दिशा में है और इसलिए समीकरण में समग्र ऋण चिह्न में है। इस प्रकार काल्पनिक सतह पर शुद्ध ऊष्माभिवाह है

$$q=q_{y}^{+}-q_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l\,{dT \over dy}$$

फूरियर के नियम के साथ उपरोक्त गतिज समीकरण का संयोजन

$$q=-\kappa \,{dT \over dy}$$

ताप संचालकता के लिए समीकरण देता है, जिसे सामान्यतः तनु गैस में $\kappa _{0}$ निरूपित किया जाता है:

$$\kappa _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l$$

विसरण गुणांक और विसरण प्रवाह

उपरोक्त के समान तर्क का पालन करते हुए तनु गैस के द्रव्यमान प्रसार के लिए गतिज मॉडल प्राप्त कर सकते हैं:

गैस के दो क्षेत्रों के बीच एक स्थिर विसरण पर विचार करें, जिसमें उसी गैस की परत से पृथक्कृत पूर्ण समतल और समांतर सीमाएं हों। दोनों क्षेत्रों में समान संख्या घनत्व है, लेकिन निचले क्षेत्र की तुलना में ऊपरी क्षेत्र में उच्च संख्या घनत्व है। स्थिर अवस्था में किसी भी बिंदु पर संख्या घनत्व स्थिर होता है(अर्थात, समय से स्वतंत्र)। यद्यपि, परत में संख्या घनत्व $n$ निचली प्लेट के ऊपर दूरी $y$ के साथ समान रूप से बढ़ता है। गैर-संतुलन आणविक प्रवाह आणविक गतियों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन संतुलन वितरण पर अध्यारोपित किया गया है।

मान लें $n_{0}$ परत के भीतर एक काल्पनिक क्षैतिज सतह पर गैस का संख्या सघनता है। गैस की परत के एक भुजा में समय अंतराल $dt$ में सामान्य से कोण $\theta$ पर गति $v$ के साथ किसी क्षेत्र $dA$ तक पहुंचने वाले अणुओं की संख्या हैं

$$nv\cos(\theta )\,dA\,dt\times \left({\frac {m}{2\pi k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin(\theta )\,dv\,d\theta \,d\phi )$$

गैस परत के ऊपर और नीचे इन अणुओं ने दूरी $l\cos \theta$ पर अपनी अंतिम संघट्टन की थी, जहां स्थानीय संख्या घनत्व है

$$n^{\pm }=\left(n_{0}\pm l\cos \theta \,{dn \over dy}\right)$$

पुनः, धन चिह्न ऊपर के और ऋण चिह्न नीचे के अणुओं पर प्रयुक्त होता है। ध्यान दें कि संख्या सघनता अनुप्रवण $dn/dy$ माध्य मुक्तपथ की दूरी पर स्थिर माना जा सकता है।

व्यवरोध के भीतर सभी उपयुक्त वेगों पर एकीकृत करके

$${\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}$$

प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्र (विसरण प्रवाह के रूप में भी जाना जाता है) में आणविक हस्तांतरण उत्पन्न करता है:

$$J_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}\cdot \left(n_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{dn \over dy}\right)$$

ध्यान दें ऊपरोक्त से कि आणविक हस्तांतरण $-y$ दिशा में है और इसलिए समीकरण में समग्र ऋण चिह्न में है। इस प्रकार काल्पनिक सतह पर शुद्ध विसरण प्रवाह है

$$J=J_{y}^{+}-J_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}l{dn \over dy}$$

उपरोक्त गतिज समीकरण को फ़िक के विसरण के प्रथम नियम के साथ जोड़कर

$$J=-D{dn \over dy}$$

द्रव्यमान प्रसार के लिए समीकरण देता है, जिसे सामान्यतः तनु गैस होने पर $D_{0}$ निरूपित किया जाता है:

$$D_{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}l$$

विस्तृत संतुलन

उच्चावचन और क्षय

Main article: उच्चावचन क्षय प्रमेय

गैसों के गतिज सिद्धांत पर जोर दिया जाता है कि गैस कणों की विस्तृत गतिकी की सूक्ष्म प्रतिवर्तीता के कारण, सिस्टम को विस्तृत संतुलन के सिद्धांत का पालन करना चाहिए। विशेष रूप से उच्चावचन क्षय प्रमेय ब्राउनी गति (या प्रसार) और कर्षण बल (भौतिकी) पर अनप्रयुक्‍त होता है, जो आइंस्टीन-स्मोलोचोव्स्की समीकरण की ओर जाता है :

$$D=\mu \,k_{\text{B}}T,$$

जहाँ

• D विसरण गुणांक है;
• μ "गतिशीलता" या प्रयुक्त बल μ = v_d/F के लिए कण के अंतिम बहाव वेग का अनुपात है;
• k_B बोल्ट्जमैन स्थिरांक है;
• T पूर्ण तापमान है।

ध्यान दें कि गतिशीलता μ = v_d/F की गणना गैस की श्यानता के आधार पर की जा सकती है; इसलिए आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की समीकरण द्रव्यमान विसरणशीलता और गैस की श्यानता के मध्य संबंध भी प्रदान करता है।

ओन्सागर पारस्परिक संबंध

Main article: ओन्सागर पारस्परिक संबंध

कतरनी श्यानता ऊष्मीय चालकता और आदर्श (तनु) गैस के प्रसार गुणांक के लिए अभिव्यक्तियों के मध्य गणितीय समानता एक संयोग नहीं है; आदर्श (तनु) गैस (ताप प्रवणता के कारण पदार्थ का प्रवाह और दाब प्रवणता के कारण ऊष्मा प्रवाह) के संवहन और अभिवहन पर अनुप्रयुक्त होने पर (कणों के वेग के कारण पदार्थ का प्रवाह और दाब प्रवणता के कारण संवेग का स्थानांतरण) यह ऑनसेगर पारस्परिक संबंधों (अर्थात कणों की प्रतिवर्ती गतिकी का विस्तृत संतुलन) का प्रत्यक्ष परिणाम है।

यह भी देखें

• समीकरणों का बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन पदानुक्रम
• बोल्ट्जमैन समीकरण
• संघट्ट सिद्धांत
• क्रांतिक तापमान
• गैसीय नियम
• ऊष्मा
• अंतरपरमाण्विक क्षमता
• चुंबक द्रवगतिकी
• मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण
• मिक्समास्टर समष्टि
• ऊष्मागतिकी
• विसेक मॉडल
• व्लासोव समीकरण

संदर्भ

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• Einstein, A. (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF), Annalen der Physik, 17 (8): 549–560, Bibcode:1905AnP...322..549E, doi:10.1002/andp.19053220806

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• Herapath, J. (1816), "On the physical properties of gases", Annals of Philosophy, Robert Baldwin: 56–60

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• Lomonosov, M. (1970) [1758], "On the Relation of the Amount of Material and Weight", in Henry M. Leicester (ed.), Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, Cambridge: Harvard University Press, pp. 224–233

• Mahon, Basil (2003), The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell, Hoboken, New Jersey: Wiley, ISBN 0-470-86171-1

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• Waterston, John James (1843), Thoughts on the Mental Functions (reprinted in his Papers, 3, 167, 183.)

• Williams, M. M. R. (1971). Mathematical Methods in Particle Transport Theory. Butterworths, London. ISBN 9780408700696.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

अग्रिम पठन

• Sydney Chapman and Thomas George Cowling (1939/1970), The Mathematical Theory of Non-uniform Gases: An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases, (first edition 1939, second edition 1952), third edition 1970 prepared in co-operation with D. Burnett, Cambridge University Press, London
• Joseph Oakland Hirschfelder, Charles Francis Curtiss, and Robert Byron Bird (1964), Molecular Theory of Gases and Liquids, revised edition (Wiley-Interscience), ISBN 978-0471400653
• Richard Lawrence Liboff (2003), Kinetic Theory: Classical, Quantum, and Relativistic Descriptions, third edition (Springer), ISBN 978-0-387-21775-8
• Behnam Rahimi and Henning Struchtrup (2016), "Macroscopic and kinetic modelling of rarefied polyatomic gases", Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, DOI 10.1017/jfm.2016.604

बाहरी संबंध

• PHYSICAL CHEMISTRY – Gases
• Early Theories of Gases
• Thermodynamics - a chapter from an online textbook
• Temperature and Pressure of an Ideal Gas: The Equation of State on Project PHYSNET.
• Introduction to the kinetic molecular theory of gases, from The Upper Canada District School Board
• Java animation illustrating the kinetic theory from University of Arkansas
• Flowchart linking together kinetic theory concepts, from HyperPhysics
• Interactive Java Applets allowing high school students to experiment and discover how various factors affect rates of chemical reactions.
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A A demonstration apparatus for the thermal agitation in gases.