कोणीय आवृत्ति: Difference between revisions

Latest revision as of 12:53, 7 November 2023

ω (प्रति सेकंड रेडियन में), आवृत्ति ν (चक्र प्रति सेकंड, जिसे हेटर्स ़ भी कहा जाता है) से बड़ा है,

2 π

के एक कारक द्वारा यह आंकड़ा आवृत्ति को दर्शाने के लिए f के स्थान पर प्रतीक का उपयोग करता है।

एक अक्ष के चारों ओर घूमने वाला गोला। धुरी से दूर के बिंदु तीव्रता से बढ़ते हैं, संतोषजनक ω = v / r.

भौतिकी में, कोणीय आवृत्ति ω (जिसे कोणीय गति, त्रिज्यीय आवृत्ति, वृत्ताकार आवृत्ति, कक्षीय आवृत्ति, रेडियन आवृत्ति, और स्पंदन शब्दों द्वारा भी संदर्भित किया जाता है) घूर्णन दर का एक अदिश माप है। यह प्रति इकाई समय में कोणीय विस्थापन (उदाहरण के लिए, क्रमावर्तन में) या ज्यावक्रीय तरंग के चरण के परिवर्तन की दर (उदाहरण के लिए, दोलनों और तरंगों में), या द्विज्या फलन के तर्क के परिवर्तन की दर के रूप में संदर्भित करता है। कोणीय आवृत्ति (या कोणीय गति) सदिश मात्रा कोणीय वेग का परिमाण है।^[1]

वन वर्तन (ज्यामिति) 2π रेडियन के बराबर है, इसलिए^[1]^[2]

\omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi f},

जहाँ पर:

ω कोणीय आवृत्ति है (इकाई: रेडियन प्रति सेकंड),
T आवृत्ति है (सेकंड में मापा जाता है),
f सामान्य आवृत्ति है (इकाई: हर्ट्ज़) (कभी-कभी ν)।

इकाइयाँ

माप की एसआई इकाइयों में, कोणीय आवृत्ति सामान्य रूप से प्रति सेकंड रेडियन में प्रस्तुत की जाती है, तब भी जब यह एक घूर्णी मान व्यक्त नहीं करता है। इकाई हर्ट्ज़ (Hz) विमीय रूप से समतुल्य है, लेकिन परिपाटी के अनुसार इसका उपयोग केवल आवृत्ति f के लिए किया जाता है, कभी भी कोणीय आवृत्ति ω के लिए नहीं किया जाता है। इस अधिवेशन का उपयोग भ्रम से बचने में मदद के लिए किया जाता है ^[3] जो आवृत्ति या प्लैंक स्थिरांक के साथ व्यवहार करते समय उत्पन्न होता है क्योंकि कोणीय माप (चक्र या रेडियन) की इकाइयाँ SI में छोड़ी जाती हैं।^[4]^[5]

अंकीय संकेत प्रक्रिया में, प्रतिदर्श दर से आवृत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है, सामान्यीकृत आवृत्ति उत्पन्न होती है।

उदाहरण

वृत्तीय गति

घूर्णन या परिक्रमा करने वाली वस्तु में, अक्ष से दूरी, r, स्पर्शरेखा गति, v और घूर्णन की कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध होता है। एक अवधि के दौरान, $T$ , वृत्ताकार गति में एक पिंड एक दूरी $vT$ तय करता है। यह दूरी भी शरीर द्वारा निकाले गए पथ की परिधि $2\pi r$ के बराबर है। इन दो मात्राओं को बराबर सम्मुच्चय करने से, और अवधि और कोणीय आवृत्ति के बीच के लिंक को याद करने से हमें $\omega =v/r.$ प्राप्त होता है।

एक कमानी का दोलन

कमानी (स्प्रिंग) से जुड़ी कोई वस्तु दोलन कर सकती है। यदि वसंत को आदर्श और द्रव्यमान रहित माना जाता है, जिसमें कोई भीगना नहीं होता है, तो गति लयबद्ध दोलक द्वारा दी गई कोणीय आवृत्ति के साथ होती है ^[6]

\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},

जहाँ पर

k वसंत स्थिरांक है,
m वस्तु का द्रव्यमान है।

ω को प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है (जिसे कभी-कभी ω₀ के रूप में दर्शाया जा सकता है)

जैसे ही वस्तु दोलन करती है, उसके त्वरण की गणना द्वारा की जा सकती है

a=-\omega ^{2}x,

जहाँ x संतुलन की स्थिति से विस्थापन है।

मानक आवृत्ति f का उपयोग करते हुए, यह समीकरण होगा

a=-4\pi ^{2}f^{2}x.

एलसी परिपथ

एक श्रृंखला एलसी परिपथ में गुंजयमान कोणीय आवृत्ति के उत्पाद के गुणक व्युत्क्रम के वर्गमूल के बराबर होती है(सी को फैराड्स में मापा जाता है) और सर्किट की प्रेरण (एल, एसआई इकाई हेनरी के साथ):^[7]

\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}.

श्रृंखला प्रतिरोध जोड़ने से (उदाहरण के लिए, एक कुण्डली में तार के प्रतिरोध के कारण) श्रृंखला एलसी परिपथ की गुंजयमान आवृत्ति को नहीं बदलता है। समानांतर समस्वरित परिपथ के लिए, उपरोक्त समीकरण प्रायः एक उपयोगी सन्निकटन होता है, लेकिन गुंजयमान आवृत्ति समानांतर तत्वों की हानि पर निर्भर करती है।

शब्दावली

कोणीय आवृत्ति को प्रायः शिथिल रूप से आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है, हालांकि एक यथार्थ अर्थ में ये दो मात्राएं 2 $π$ के कारक से भिन्न होती हैं।

यह भी देखें

आवर्तन प्रति सेकंड
रेडियन प्रति सेकंड
घात
माध्य गति
परिमाण के क्रम (कोणीय वेग)
सरल आवर्त गति

संदर्भ और नोट्स

↑ ^1.0 ^1.1 Cummings, Karen; Halliday, David (2007). Understanding physics. New Delhi: John Wiley & Sons Inc., authorized reprint to Wiley – India. pp. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(UP1)
↑ Holzner, Steven (2006). Physics for Dummies. Hoboken, New Jersey: Wiley Publishing Inc. pp. 201. ISBN 978-0-7645-5433-9. angular frequency.
↑ Lerner, Lawrence S. (1996-01-01). Physics for scientists and engineers. p. 145. ISBN 978-0-86720-479-7.
↑ Mohr, J. C.; Phillips, W. D. (2015). "Dimensionless Units in the SI". Metrologia. 52 (1): 40–47. arXiv:1409.2794. Bibcode:2015Metro..52...40M. doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. S2CID 3328342.
↑ "SI units need reform to avoid confusion". Editorial. Nature. 548 (7666): 135. 7 August 2011. doi:10.1038/548135b. PMID 28796224.
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics (4th ed.). Belmont, CA: Brooks / Cole – Thomson Learning. pp. 375, 376, 385, 397. ISBN 978-0-534-46479-0.
↑ Nahvi, Mahmood; Edminister, Joseph (2003). Schaum's outline of theory and problems of electric circuits. McGraw-Hill Companies (McGraw-Hill Professional). pp. 214, 216. ISBN 0-07-139307-2.(LC1)

Related Reading:

Olenick, रिचर्ड पी.; अपोस्टोल, टॉम एम.; गुडस्टीन, डेविड एल. (2007). यांत्रिक ब्रह्मांड. New York City: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस. pp. 383–385, 391–395. ISBN 978-0-521-71592-8.

[UP1-1] 1.0 ^1.1 Cummings, Karen; Halliday, David (2007). Understanding physics. New Delhi: John Wiley & Sons Inc., authorized reprint to Wiley – India. pp. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(UP1)

[2] Holzner, Steven (2006). Physics for Dummies. Hoboken, New Jersey: Wiley Publishing Inc. pp. 201. ISBN 978-0-7645-5433-9. angular frequency.

[3] Lerner, Lawrence S. (1996-01-01). Physics for scientists and engineers. p. 145. ISBN 978-0-86720-479-7.

[4] Mohr, J. C.; Phillips, W. D. (2015). "Dimensionless Units in the SI". Metrologia. 52 (1): 40–47. arXiv:1409.2794. Bibcode:2015Metro..52...40M. doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. S2CID 3328342.

[5] "SI units need reform to avoid confusion". Editorial. Nature. 548 (7666): 135. 7 August 2011. doi:10.1038/548135b. PMID 28796224.

[PoP1-6] Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics (4th ed.). Belmont, CA: Brooks / Cole – Thomson Learning. pp. 375, 376, 385, 397. ISBN 978-0-534-46479-0.

[LC1-7] Nahvi, Mahmood; Edminister, Joseph (2003). Schaum's outline of theory and problems of electric circuits. McGraw-Hill Companies (McGraw-Hill Professional). pp. 214, 216. ISBN 0-07-139307-2.(LC1)

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 {{Short description|Rate of change of the phase angle}}
-[[Image:AngularFrequency.gif|thumb|कोणीय आवृत्ति ओमेगा | ω (प्रति सेकंड रेडियन में), आवृत्ति ν (चक्र प्रति सेकंड, जिसे [[ हेटर्स ]]़ भी कहा जाता है) से बड़ा है, के एक कारक द्वारा {{math|2''π''}}. यह आंकड़ा आवृत्ति को दर्शाने के लिए f के बजाय प्रतीक का उपयोग करता है।]]
+[[Image:AngularFrequency.gif|thumb| ω (प्रति सेकंड रेडियन में), आवृत्ति ν (चक्र प्रति सेकंड, जिसे [[ हेटर्स ]]़ भी कहा जाता है) से बड़ा है, {{math|2''π''}} के एक कारक द्वारा यह आंकड़ा आवृत्ति को दर्शाने के लिए f के स्थान पर प्रतीक का उपयोग करता है।]]
-[[File:Rotating Sphere.gif|right|thumb|एक अक्ष के चारों ओर घूमने वाला गोला। धुरी से दूर के बिंदु तेजी से बढ़ते हैं, संतोषजनक {{nowrap|1=''ω'' = ''v'' / ''r''}}.]]
+[[File:Rotating Sphere.gif|right|thumb|एक अक्ष के चारों ओर घूमने वाला गोला। धुरी से दूर के बिंदु तीव्रता से बढ़ते हैं, संतोषजनक {{nowrap|1=''ω'' = ''v'' / ''r''}}.]]
-भौतिकी में, कोणीय आवृत्ति ''ω'' (जिसे [[ कोणीय गति ]], रेडियल आवृत्ति, वृत्ताकार आवृत्ति, कक्षीय आवृत्ति, रेडियन आवृत्ति, और स्पंदन शब्दों द्वारा भी संदर्भित किया जाता है) घूर्णन दर का एक अदिश माप है। यह प्रति इकाई समय में [[ कोणीय विस्थापन ]] (उदाहरण के लिए, रोटेशन में) या साइनसॉइडल तरंग के चरण के परिवर्तन की दर (उदाहरण के लिए, दोलनों और तरंगों में), या साइन के तर्क के परिवर्तन की दर के रूप में संदर्भित करता है। समारोह।
+भौतिकी में, '''कोणीय आवृत्ति''' '''''ω''''' (जिसे [[ कोणीय गति | '''कोणीय गति''']], त्रिज्यीय आवृत्ति, वृत्ताकार आवृत्ति, कक्षीय आवृत्ति, रेडियन आवृत्ति, और स्पंदन शब्दों द्वारा भी संदर्भित किया जाता है) घूर्णन दर का एक अदिश माप है। यह प्रति इकाई समय में [[ कोणीय विस्थापन |कोणीय विस्थापन]] (उदाहरण के लिए, क्रमावर्तन में) या ज्यावक्रीय तरंग के चरण के परिवर्तन की दर (उदाहरण के लिए, दोलनों और तरंगों में), या द्विज्या फलन के तर्क के परिवर्तन की दर के रूप में संदर्भित करता है। कोणीय आवृत्ति (या कोणीय गति) सदिश मात्रा कोणीय वेग का परिमाण है।<ref name="UP1">{{cite book
-कोणीय आवृत्ति (या कोणीय गति) वेक्टर मात्रा कोणीय वेग का परिमाण है।<ref name="UP1">{{cite book
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-<math display="block" qid=Q834020>\omega = \frac{2 \pi}{T} = {2 \pi f} , </math>
+<math display="block" qid="Q834020">\omega = \frac{2 \pi}{T} = {2 \pi f} , </math>
-कहाँ पे:
+जहाँ पर:
-*ω कोणीय [[ आवृत्ति ]] है (प्रति [[ दूसरा ]] रेडियन में मापा जाता है),
+*''ω'' कोणीय [[ आवृत्ति |आवृत्ति]] है (इकाई: रेडियन प्रति सेकंड),
-*T आवृत्ति है (सेकंड में मापा जाता है),
+*''T'' आवृत्ति है (सेकंड में मापा जाता है),
-*f सामान्य आवृत्ति है (हर्ट्ज में मापा जाता है) (कभी-कभी nu (अक्षर)|ν के साथ प्रतीक)।
+*''f'' सामान्य आवृत्ति है (इकाई: हर्ट्ज़) (कभी-कभी ν)।
 ==इकाइयाँ==
-माप की एसआई इकाइयों में, कोणीय आवृत्ति सामान्य रूप से प्रति सेकंड रेडियन में प्रस्तुत की जाती है, तब भी जब यह एक घूर्णी मान व्यक्त नहीं करता है। [[ आयामी विश्लेषण ]] के दृष्टिकोण से, इकाई हर्ट्ज़ (हर्ट्ज) भी [[ तथा ]] है, लेकिन व्यवहार में इसका उपयोग केवल सामान्य आवृत्ति f के लिए किया जाता है, और लगभग कभी भी के लिए नहीं किया जाता है। इस कन्वेंशन का उपयोग भ्रम से बचने में मदद के लिए किया जाता है<ref>{{cite book| url=https://books.google.com/books?id=eJhkD0LKtJEC&pg=PA145| title= Physics for scientists and engineers| first=Lawrence S.|last= Lerner|page=145| isbn=978-0-86720-479-7| date=1996-01-01}}</ref> जो आवृत्ति या प्लैंक स्थिरांक के साथ व्यवहार करते समय उत्पन्न होता है क्योंकि कोणीय माप (चक्र या रेडियन) की इकाइयाँ SI में छोड़ी जाती हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Mohr | first1 = J. C. | last2 = Phillips | first2 = W. D. | year = 2015 | title = Dimensionless Units in the SI | journal = Metrologia | volume = 52 | issue = 1 | pages = 40–47 | doi = 10.1088/0026-1394/52/1/40 | bibcode = 2015Metro..52...40M | arxiv = 1409.2794 | s2cid = 3328342 }}</ref><ref>{{cite journal | title = SI units need reform to avoid confusion | journal = Nature | department = Editorial | date = 7 August 2011 | volume = 548 | issue = 7666 | page = 135 | doi = 10.1038/548135b| pmid = 28796224 | doi-access = free }}</ref>
+माप की एसआई इकाइयों में, कोणीय आवृत्ति सामान्य रूप से प्रति सेकंड रेडियन में प्रस्तुत की जाती है, तब भी जब यह एक घूर्णी मान व्यक्त नहीं करता है। इकाई हर्ट्ज़ (Hz) विमीय रूप से समतुल्य है, लेकिन परिपाटी के अनुसार इसका उपयोग केवल आवृत्ति f के लिए किया जाता है, कभी भी कोणीय आवृत्ति ω के लिए नहीं किया जाता है। इस अधिवेशन का उपयोग भ्रम से बचने में मदद के लिए किया जाता है <ref>{{cite book| url=https://books.google.com/books?id=eJhkD0LKtJEC&pg=PA145| title= Physics for scientists and engineers| first=Lawrence S.|last= Lerner|page=145| isbn=978-0-86720-479-7| date=1996-01-01}}</ref> जो आवृत्ति या प्लैंक स्थिरांक के साथ व्यवहार करते समय उत्पन्न होता है क्योंकि कोणीय माप (चक्र या रेडियन) की इकाइयाँ SI में छोड़ी जाती हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Mohr | first1 = J. C. | last2 = Phillips | first2 = W. D. | year = 2015 | title = Dimensionless Units in the SI | journal = Metrologia | volume = 52 | issue = 1 | pages = 40–47 | doi = 10.1088/0026-1394/52/1/40 | bibcode = 2015Metro..52...40M | arxiv = 1409.2794 | s2cid = 3328342 }}</ref><ref>{{cite journal | title = SI units need reform to avoid confusion | journal = Nature | department = Editorial | date = 7 August 2011 | volume = 548 | issue = 7666 | page = 135 | doi = 10.1038/548135b| pmid = 28796224 | doi-access = free }}</ref>
-[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में, कोणीय आवृत्ति को नमूना दर द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है, [[ सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) ]] की उपज।
+[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया |अंकीय संकेत प्रक्रिया]] में, प्रतिदर्श दर से आवृत्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है, सामान्यीकृत आवृत्ति उत्पन्न होती है।
 == उदाहरण ==
 === वृत्तीय गति ===
-{{main|Circular motion}}
+{{main|वृत्तीय गति}}
-एक घूर्णन या परिक्रमा करने वाली वस्तु में, अक्ष से दूरी के बीच संबंध होता है, <math>r</math>, [[ स्पर्शरेखा गति ]], <math>v</math>, और रोटेशन की कोणीय आवृत्ति। एक अवधि के दौरान, <math>T</math>, वृत्ताकार गति में एक पिंड एक दूरी तय करता है <math>vT</math>. यह दूरी भी शरीर द्वारा निकाले गए पथ की परिधि के बराबर है, <math>2\pi r</math>. इन दो मात्राओं को बराबर सेट करना, और हमें प्राप्त होने वाली अवधि और कोणीय आवृत्ति के बीच की कड़ी को याद करना:
-<math qid=Q11652>\omega = v/r.</math>
-=== एक वसंत का दोलन ===
+घूर्णन या परिक्रमा करने वाली वस्तु में, अक्ष से दूरी, r, स्पर्शरेखा गति, v और घूर्णन की कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध होता है। एक अवधि के दौरान, <math>T</math>, वृत्ताकार गति में एक पिंड एक दूरी <math>vT</math> तय करता है। यह दूरी भी शरीर द्वारा निकाले गए पथ की परिधि <math>2\pi r</math> के बराबर है। इन दो मात्राओं को बराबर सम्मुच्चय करने से, और अवधि और कोणीय आवृत्ति के बीच के लिंक को याद करने से हमें <math qid="Q11652">\omega = v/r.</math> प्राप्त होता है।
+=== एक कमानी का दोलन ===
 {{Classical mechanics|rotational}}
-स्प्रिंग से जुड़ी कोई वस्तु दोलन कर सकती है। यदि वसंत को आदर्श और द्रव्यमान रहित माना जाता है, जिसमें कोई भीगना नहीं होता है, तो गति [[ लयबद्ध दोलक ]] द्वारा दी गई कोणीय आवृत्ति के साथ होती है<ref name=PoP1>{{cite book
+कमानी (स्प्रिंग) से जुड़ी कोई वस्तु दोलन कर सकती है। यदि वसंत को आदर्श और द्रव्यमान रहित माना जाता है, जिसमें कोई भीगना नहीं होता है, तो गति [[ लयबद्ध दोलक |लयबद्ध दोलक]] द्वारा दी गई कोणीय आवृत्ति के साथ होती है <ref name=PoP1>{{cite book
    | last = Serway
    | first = Raymond A.
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 <math display="block"> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, </math>
-कहाँ पे
+जहाँ पर
 *k वसंत स्थिरांक है,
 *m वस्तु का द्रव्यमान है।
-ω को प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है (जिसे कभी-कभी . के रूप में दर्शाया जा सकता है)<sub>0</sub>)
+ω को प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है (जिसे कभी-कभी ''ω''<sub>0</sub> के रूप में दर्शाया जा सकता है)
 जैसे ही वस्तु दोलन करती है, उसके त्वरण की गणना द्वारा की जा सकती है
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 जहाँ x संतुलन की स्थिति से विस्थापन है।
-साधारण क्रांतियों-प्रति-सेकंड आवृत्ति का उपयोग करते हुए, यह समीकरण होगा
+मानक आवृत्ति f का उपयोग करते हुए, यह समीकरण होगा
 <math display="block"> a = -4 \pi^2 f^2 x. </math>
+=== [[ एलसी सर्किट | एलसी परिपथ]] ===
+एक श्रृंखला एलसी परिपथ में गुंजयमान कोणीय आवृत्ति के उत्पाद के गुणक व्युत्क्रम के वर्गमूल के बराबर होती है(सी को फैराड्स में मापा जाता है) और सर्किट की प्रेरण (एल, एसआई इकाई हेनरी के साथ):<ref name=LC1>{{cite book
-=== [[ एलसी सर्किट ]] ===
-एक श्रृंखला एलसी सर्किट में गुंजयमान कोणीय आवृत्ति [[ समाई ]] के उत्पाद के गुणक व्युत्क्रम के वर्गमूल के बराबर होती है (सी फैराड में मापा जाता है) और सर्किट का [[ अधिष्ठापन ]] (एल, एसआई इकाई [[ हेनरी (इकाई) ]] के साथ):<ref name=LC1>{{cite book
    | last = Nahvi
    | first = Mahmood
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    | isbn = 0-07-139307-2}}(LC1)</ref>
 <math display="block">\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}.</math>
-श्रृंखला प्रतिरोध जोड़ने से (उदाहरण के लिए, एक तार में तार के प्रतिरोध के कारण) श्रृंखला एलसी सर्किट की गुंजयमान आवृत्ति को नहीं बदलता है। समानांतर ट्यूनेड सर्किट के लिए, उपरोक्त समीकरण अक्सर एक उपयोगी सन्निकटन होता है, लेकिन गुंजयमान आवृत्ति समानांतर तत्वों के नुकसान पर निर्भर करती है।
+श्रृंखला प्रतिरोध जोड़ने से (उदाहरण के लिए, एक कुण्डली में तार के प्रतिरोध के कारण) श्रृंखला एलसी परिपथ की गुंजयमान आवृत्ति को नहीं बदलता है। समानांतर समस्वरित परिपथ के लिए, उपरोक्त समीकरण प्रायः एक उपयोगी सन्निकटन होता है, लेकिन गुंजयमान आवृत्ति समानांतर तत्वों की हानि पर निर्भर करती है।
 == शब्दावली ==
-कोणीय आवृत्ति को अक्सर शिथिल रूप से आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है, हालांकि एक सख्त अर्थ में ये दो मात्राएं 2 . के कारक से भिन्न होती हैं{{pi}}.
+कोणीय आवृत्ति को प्रायः शिथिल रूप से आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है, हालांकि एक यथार्थ अर्थ में ये दो मात्राएं 2{{pi}} के कारक से भिन्न होती हैं।
 ==यह भी देखें==
-*[[ प्रति सेकंड साइकिल ]]
+*आवर्तन[[ प्रति सेकंड साइकिल | प्रति सेकंड]]
 *[[ रेडियन प्रति सेकंड ]]
-* [[ डिग्री (कोण) ]]
+* [[ डिग्री (कोण) |घात]]
-*मीन गति
+*माध्य गति
 * परिमाण के क्रम (कोणीय वेग)
 *[[ सरल आवर्त गति ]]
 *
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 *{{cite book
    | last = Olenick
-   | first = Richard P.
+   | first = रिचर्ड पी.
-   |author2= Apostol, Tom M.|author3= Goodstein, David L.
+   |author2= अपोस्टोल, टॉम एम.|author3= गुडस्टीन, डेविड एल.
-   | title = The Mechanical Universe
+   | title = यांत्रिक ब्रह्मांड
-   | publisher = Cambridge University Press
+   | publisher = कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस
    | year = 2007
    | location = New York City
@@ Line 119: / Line 115: @@
 {{DEFAULTSORT:Angular Frequency}}
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