ओ-न्यूनतम सिद्धांत: Difference between revisions

Latest revision as of 16:02, 29 May 2023

गणितीय तर्क में और अधिक विशेष रूप से मॉडल सिद्धांत में, एक अनंत संरचना (गणितीय तर्क) (M, <, ...) जो < द्वारा कुल आदेश है को 'ओ-न्यूनतम संरचना' कहा जाता है यदि और केवल यदि प्रत्येक निश्चित समुच्चय सबसमुच्चय X ⊆ M (M से लिए गए मापदंडों के साथ) अंतराल (गणित) और बिंदुओं का एक परिमित संघ (समुच्चय सिद्धांत) है।

ओ-न्यूनतम को क्वांटिफायर उन्मूलन का अशक्त रूप माना जा सकता है। एक संरचना M ओ-न्यूनतम है यदि और केवल यदि प्रत्येक सूत्र (तर्क) M में एक मुक्त चर और पैरामीटर के साथ क्वांटिफायर मुक्त सूत्र के समान है जिसमें केवल क्रम सम्मिलित है M में पैरामीटर के साथ भी यह दृढ़ता से न्यूनतम के अनुरूप है सिद्धांत संरचनाएं जो समानता के पूर्ण रूप से समान गुण हैं।

एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) T एक 'ओ-न्यूनतम सिद्धांत' है यदि T का प्रत्येक मॉडल सिद्धांत ओ-न्यूनतम है। यह ज्ञात है कि एक ओ-न्यूनतम संरचना का पूर्ण सिद्धांत T एक ओ-न्यूनतम सिद्धांत है।^[1] यह परिणाम उल्लेखनीय है क्योंकि इसके विपरीत एक न्यूनतम संरचना के पूर्ण सिद्धांत को दृढ़ता से न्यूनतम सिद्धांत होने की आवश्यकता नहीं है अर्थात प्राथमिक रूप से समतुल्य संरचना हो सकती है जो न्यूनतम नहीं है।

समुच्चय -सैद्धांतिक परिभाषा

मॉडल सिद्धांत के सहारा के बिना ओ-न्यूनतम संरचनाओं को परिभाषित किया जा सकता है। यहां हम एक समुच्चय -सैद्धांतिक विधि से एक गैर-खाली समुच्चय M पर एक संरचना को परिभाषित करते हैं एक अनुक्रम S = (S_n), n = 0,1,2,... के रूप में जैसे कि

S_n Mⁿ के सबसमुच्चय का एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है
यदि A ∈ S_n तो M × A और A ×M S_n₊₁ में हैं
समुच्चय {(x₁,...,x_n) ∈ Mⁿ : x₁ = x_n} S_nमें है
यदि A ∈ S_n₊₁ और π : Mⁿ⁺¹ → Mⁿ पहले n निर्देशांकों पर प्रक्षेपण मानचित्र है, फिर π(A) ∈ S_n.

यदि M के पास अंत बिंदुओं के बिना एक घने रैखिक क्रम है, < कहें, तो M पर एक संरचना S को ओ-न्यूनतम कहा जाता है यदि यह अतिरिक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है

समुच्चय < (={(x,y) ∈ M² : x < y}) S₂में है
S₁ में समुच्चय ठीक अंतरालों और बिंदुओं के परिमित संघ हैं।
"o" का अर्थ "क्रम" है क्योंकि किसी भी ओ-न्यूनतम संरचना के लिए अंतर्निहित समुच्चय पर क्रम की आवश्यकता होती है

मॉडल सैद्धांतिक परिभाषा

ओ-न्यूनतम संरचनाएं मॉडल सिद्धांत में उत्पन्न हुईं और इसलिए मॉडल सिद्धांत की भाषा का उपयोग करते हुए एक सरल - किंतु समतुल्य - परिभाषा है।^[2] विशेष रूप से यदि L बाइनरी रिलेशन सहित एक भाषा है <, और (M,<,...) एक एल-संरचना है जहां < को घने रैखिक क्रम के सिद्धांतों को पूरा करने के लिए व्याख्या की जाती है,^[3] तब (M,<,...) को ओ-न्यूनतम संरचना कहा जाता है यदि किसी निश्चित समुच्चय X ⊆ M के लिए निश्चित रूप से कई खुले अंतराल I₁,..., I_r in M ∪ {±∞} हैं और एक परिमित समुच्चय X₀ में ऐसा है कि

X=X_{0}\cup I_{1}\cup \ldots \cup I_{r}.

उदाहरण

ओ-न्यूनतम सिद्धांतों के उदाहरण हैं:

केवल क्रम के साथ भाषा में सघन रेखीय क्रम का पूरा सिद्धांत।
आरसीएफ वास्तविक संवृत क्षेत्र का सिद्धांत।^[4]\
प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक क्षेत्र का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया (अर्थात [0,1]ⁿ के निकट पर विश्लेषणात्मक कार्य [0,1]ⁿ तक सीमित ध्यान दें कि अप्रतिबंधित ज्या कार्य में असीम रूप से कई जड़ें हैं और इसलिए नहीं हो सकती हैं। ओ-न्यूनतम संरचना में परिभाषित किया जा सकता है।)
विल्की के प्रमेय द्वारा घातीय कार्य के प्रतीक के साथ वास्तविक क्षेत्र का पूरा सिद्धांत अधिक सामान्यतः पफियन कार्यों के साथ वास्तविक संख्याओं का पूरा सिद्धांत जोड़ा गया था।
पिछले दो उदाहरणों को जोड़ा जा सकता है: वास्तविक क्षेत्र (जैसे प्रतिबंधित विश्लेषणात्मक कार्यों के साथ वास्तविक क्षेत्र) के किसी भी ओ-न्यूनतम विस्तार को देखते हुए, कोई भी इसके पफियन समापन को परिभाषित कर सकता है, जो फिर से एक ओ-न्यूनतम संरचना है।^[5] (किसी संरचना का पफियन संवरण विशेष रूप से, पफियन श्रृंखलाओं के अंतर्गत संवृत होता है जहाँ बहुपदों के स्थान पर इच्छानुसार से निश्चित कार्यों का उपयोग किया जाता है।)

आरसीएफ के स्थिति में परिभाषित करने योग्य समुच्चय अर्ध-बीजगणितीय समुच्चय हैं। इस प्रकार ओ-न्यूनतम संरचनाओं और सिद्धांतों का अध्ययन वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति का सामान्यीकरण करता है। वर्तमान अनुसंधान की एक प्रमुख पंक्ति वास्तविक आदेशित क्षेत्र के विस्तार की खोज पर आधारित है जो ओ-न्यूनतम हैं। आवेदन की व्यापकता के अतिरिक्त ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित समुच्चय की ज्यामिति के बारे में बहुत कुछ दिखा सकता है। एक सेल अपघटन प्रमेय है,^[6] हस्लर व्हिटनी और जीन लुइस वेर्डियर स्तरीकरण (गणित) प्रमेय और आयाम और यूलर विशेषता की एक अच्छी धारणा है ।

इसके अतिरिक्त ओ-न्यूनतम संरचना में निरंतर अलग-अलग परिभाषित करने योग्य कार्य लोजसिविक्ज़ असमानता के सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं,^[7] एक संपत्ति जिसका उपयोग कुछ गैर-चिकनी अनुकूलन विधियों के अभिसरण की आश्वासन के लिए किया गया है जैसे कि स्टोकेस्टिक सबग्रेडिएंट विधि (कुछ हल्के अनुमानों के तहत) है ।^[8]^[9]^[10]

यह भी देखें

सेमियलजेब्रिक समुच्चय
वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति
अत्यधिक न्यूनतम सिद्धांत
अशक्त ओ-न्यूनतम संरचना
सी-न्यूनतम सिद्धांत
टेम टोपोलॉजी

↑ Knight, Pillay and Steinhorn (1986), Pillay and Steinhorn (1988).
↑ Marker (2002) p.81
↑ The condition that the interpretation of < be dense is not strictly necessary, but it is known that discrete orders lead to essentially trivial o-minimal structures, see, for example, MR 0899083 and MR0943306.
↑ Marker (2002) p.99
↑ Patrick Speisseger, Pfaffian sets and o-minimality, in: Lecture notes on o-minimal structures and real analytic geometry, C. Miller, J.-P. Rolin, and P. Speissegger (eds.), Fields Institute Communications vol. 62, 2012, pp. 179–218. doi:10.1007/978-1-4614-4042-0_5
↑ Marker (2002) p.103
↑ Kurdyka, Krzysztof (1998). "ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित कार्यों के ढाल पर". Annales de l'Institut Fourier. 48 (3): 769–783. doi:10.5802/aif.1638. ISSN 0373-0956.
↑ Davis, Damek; Drusvyatskiy, Dmitriy; Kakade, Sham; Lee, Jason D. (2020). "स्टोचैस्टिक सबग्रेडिएंट मेथड टेम फंक्शन्स पर कन्वर्ज करता है". Foundations of Computational Mathematics (in English). 20 (1): 119–154. arXiv:1804.07795. doi:10.1007/s10208-018-09409-5. ISSN 1615-3375. S2CID 5025719.
↑ Garrigos, Guillaume (2015-11-02). वश में अनुकूलन, और बहुउद्देश्यीय समस्याओं के लिए वंश गतिशील प्रणाली और एल्गोरिदम (PhD thesis) (in English). Université Montpellier ; Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili).
↑ Ioffe, A. D. (2009). "वश अनुकूलन के लिए एक निमंत्रण". SIAM Journal on Optimization (in English). 19 (4): 1894–1917. doi:10.1137/080722059. ISSN 1052-6234.

संदर्भ

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Marker, David (2000). "Review of "Tame Topology and o-minimal Structures"" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 37 (3): 351–357. doi:10.1090/S0273-0979-00-00866-1.
Marker, David (2002). Model theory: An introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 217. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98760-6. Zbl 1003.03034.
Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definable Sets in Ordered Structures I" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 295 (2): 565–592. doi:10.2307/2000052. JSTOR 2000052. Zbl 0662.03023.
Knight, Julia; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1986). "Definable Sets in Ordered Structures II". Transactions of the American Mathematical Society. 295 (2): 593–605. doi:10.2307/2000053. JSTOR 2000053. Zbl 0662.03024.
Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (1988). "Definable Sets in Ordered Structures III". Transactions of the American Mathematical Society. 309 (2): 469–476. doi:10.2307/2000920. JSTOR 2000920. Zbl 0707.03024.
Wilkie, A.J. (1996). "Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 9 (4): 1051–1095. doi:10.1090/S0894-0347-96-00216-0.
Denef, J.; van den Dries, L. (1989). "p-adic and real subanalytic sets". Annals of Mathematics. 128 (1): 79–138. doi:10.2307/1971463. JSTOR 1971463.

बाहरी संबंध

[1] Knight, Pillay and Steinhorn (1986), Pillay and Steinhorn (1988).

[2] Marker (2002) p.81

[3] The condition that the interpretation of < be dense is not strictly necessary, but it is known that discrete orders lead to essentially trivial o-minimal structures, see, for example, MR 0899083 and MR0943306.

[4] Marker (2002) p.99

[5] Patrick Speisseger, Pfaffian sets and o-minimality, in: Lecture notes on o-minimal structures and real analytic geometry, C. Miller, J.-P. Rolin, and P. Speissegger (eds.), Fields Institute Communications vol. 62, 2012, pp. 179–218. doi:10.1007/978-1-4614-4042-0_5

[6] Marker (2002) p.103

[7] Kurdyka, Krzysztof (1998). "ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित कार्यों के ढाल पर". Annales de l'Institut Fourier. 48 (3): 769–783. doi:10.5802/aif.1638. ISSN 0373-0956.

[8] Davis, Damek; Drusvyatskiy, Dmitriy; Kakade, Sham; Lee, Jason D. (2020). "स्टोचैस्टिक सबग्रेडिएंट मेथड टेम फंक्शन्स पर कन्वर्ज करता है". Foundations of Computational Mathematics (in English). 20 (1): 119–154. arXiv:1804.07795. doi:10.1007/s10208-018-09409-5. ISSN 1615-3375. S2CID 5025719.

[9] Garrigos, Guillaume (2015-11-02). वश में अनुकूलन, और बहुउद्देश्यीय समस्याओं के लिए वंश गतिशील प्रणाली और एल्गोरिदम (PhD thesis) (in English). Université Montpellier ; Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili).

[10] Ioffe, A. D. (2009). "वश अनुकूलन के लिए एक निमंत्रण". SIAM Journal on Optimization (in English). 19 (4): 1894–1917. doi:10.1137/080722059. ISSN 1052-6234.

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-[[गणितीय तर्क]] में और अधिक विशेष रूप से [[मॉडल सिद्धांत]] में, एक अनंत [[संरचना (गणितीय तर्क)]] (एम, <, ...) जो < द्वारा [[कुल आदेश]] है को 'ओ-न्यूनतम संरचना' कहा जाता है यदि और केवल यदि प्रत्येक [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] सबसमुच्चय X ⊆ M (M से लिए गए मापदंडों के साथ) [[अंतराल (गणित)]] और बिंदुओं का एक परिमित [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] है।
+[[गणितीय तर्क]] में और अधिक विशेष रूप से [[मॉडल सिद्धांत]] में, एक अनंत [[संरचना (गणितीय तर्क)]] (M, <, ...) जो < द्वारा [[कुल आदेश]] है को 'ओ-न्यूनतम संरचना' कहा जाता है यदि और केवल यदि प्रत्येक [[निश्चित सेट|निश्चित समुच्चय]] सबसमुच्चय X ⊆ M (M से लिए गए मापदंडों के साथ) [[अंतराल (गणित)]] और बिंदुओं का एक परिमित [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] है।
 ओ-न्यूनतम को [[ क्वांटिफायर उन्मूलन |क्वांटिफायर उन्मूलन]] का अशक्त रूप माना जा सकता है। एक संरचना ''M'' ओ-न्यूनतम है यदि और केवल यदि प्रत्येक [[सूत्र (तर्क)]] ''M'' में एक [[मुक्त चर]] और पैरामीटर के साथ क्वांटिफायर मुक्त सूत्र के समान है जिसमें केवल क्रम सम्मिलित है ''M'' में पैरामीटर के साथ भी यह दृढ़ता से न्यूनतम के अनुरूप है सिद्धांत संरचनाएं जो समानता के पूर्ण रूप से समान गुण हैं।
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 # समुच्चय < (={(x,y) ∈ ''M''<sup>2</sup> : x < y}) ''S''<sub>2</sub>में है
-# ''S''<sub>1</sub> में समुच्चय ठीक अंतरालों और बिंदुओं के परिमित संघ हैं।
+# ''S''<sub>1</sub> में समुच्चय ठीक अंतरालों और बिंदुओं के परिमित संघ हैं।<li>"o" का अर्थ "क्रम" है क्योंकि किसी भी ओ-न्यूनतम संरचना के लिए अंतर्निहित समुच्चय पर क्रम की आवश्यकता होती है
-<li>'''राल और बिंदुओं के निश्चित रूप से परिमित संघ हैं।'''
-<li>"o" का अर्थ "क्रम" है क्योंकि किसी भी ओ-न्यूनतम संरचना के लिए अंतर्निहित समुच्चय पर क्रम की आवश्यकता होती है
 <li>
 == मॉडल सैद्धांतिक परिभाषा                                         ==
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 ओ-न्यूनतम संरचनाएं मॉडल सिद्धांत में उत्पन्न हुईं और इसलिए मॉडल सिद्धांत की भाषा का उपयोग करते हुए एक सरल - किंतु समतुल्य - परिभाषा है।<ref>Marker (2002) p.81</ref> विशेष रूप से यदि ''L'' बाइनरी रिलेशन सहित एक भाषा है <, और (''M'',<,...) एक एल-संरचना है जहां < को घने रैखिक क्रम के सिद्धांतों को पूरा करने के लिए व्याख्या की जाती है,<ref>The condition that the interpretation of < be dense is not strictly necessary, but it is known that discrete orders lead to essentially trivial o-minimal structures, see, for example, {{MR|0899083}} and {{MR|0943306}}.</ref> तब (M,<,...) को ओ-न्यूनतम संरचना कहा जाता है यदि किसी निश्चित समुच्चय X ⊆ M के लिए निश्चित रूप से कई खुले अंतराल ''I''<sub>1</sub>,..., ''I<sub>r</sub>'' in ''M'' ∪ {±∞} हैं और एक परिमित समुच्चय ''X''<sub>0</sub> में ऐसा है कि
 :<math>X=X_0\cup I_1\cup\ldots\cup I_r.</math>
 == उदाहरण ==
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 इसके अतिरिक्त ओ-न्यूनतम संरचना में निरंतर अलग-अलग परिभाषित करने योग्य कार्य लोजसिविक्ज़ असमानता के सामान्यीकरण को संतुष्ट करते हैं,<ref>{{Cite journal |last=Kurdyka |first=Krzysztof |date=1998 |title=ओ-न्यूनतम संरचनाओं में परिभाषित कार्यों के ढाल पर|url=https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1998__48_3_769_0/ |journal=Annales de l'Institut Fourier |volume=48 |issue=3 |pages=769–783 |doi=10.5802/aif.1638 |issn=0373-0956|doi-access=free }}</ref> एक संपत्ति जिसका उपयोग कुछ गैर-चिकनी अनुकूलन विधियों के अभिसरण की आश्वासन के लिए किया गया है जैसे कि स्टोकेस्टिक सबग्रेडिएंट विधि (कुछ हल्के अनुमानों के तहत) है ।<ref>{{Cite journal |last1=Davis |first1=Damek |last2=Drusvyatskiy |first2=Dmitriy |last3=Kakade |first3=Sham |last4=Lee |first4=Jason D. |date=2020 |title=स्टोचैस्टिक सबग्रेडिएंट मेथड टेम फंक्शन्स पर कन्वर्ज करता है|url=http://link.springer.com/10.1007/s10208-018-09409-5 |journal=Foundations of Computational Mathematics |language=en |volume=20 |issue=1 |pages=119–154 |doi=10.1007/s10208-018-09409-5 |arxiv=1804.07795 |s2cid=5025719 |issn=1615-3375}}</ref><ref>{{Cite thesis |title=वश में अनुकूलन, और बहुउद्देश्यीय समस्याओं के लिए वंश गतिशील प्रणाली और एल्गोरिदम|url=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02023313 |publisher=Université Montpellier ; Universidad técnica Federico Santa María (Valparaiso, Chili) |date=2015-11-02 |degree=PhD |language=en |first=Guillaume |last=Garrigos}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Ioffe |first=A. D. |date=2009 |title=वश अनुकूलन के लिए एक निमंत्रण|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/080722059 |journal=SIAM Journal on Optimization |language=en |volume=19 |issue=4 |pages=1894–1917 |doi=10.1137/080722059 |issn=1052-6234}}</ref>
 == यह भी देखें ==
 * सेमियलजेब्रिक समुच्चय
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