पैकिंग घनत्व: Difference between revisions
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'''संकुलन सघनता''' या किसी समष्टि में संकुलन का संकुलन गुणांक संकुलन बनाने वाले चित्रों द्वारा पूर्ण समष्टि का [[अंश (गणित)|गुणांक (गणित)]] है। सरल शब्दों में, यह समष्टि में पिंडों के आयतन और स्वयं समष्टि के आयतन का अनुपात है। संकुलन समस्याओं में, उद्देश्य सामान्य रूप से अधिकतम संभव घनत्व का संकुलन प्राप्त करना होता है। | |||
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यदि ''K''<sub>1</sub>,...,''K''<sub>n</sub> सुसंहत माप समष्टि X के मापनीय योग्य के उपसमुच्चय हैं और उनके आंतरिक भाग युग्म में नहीं मिलते हैं, तो संग्रह [''K<sub>i</sub>''], X में एक संकुलन है और इसकी संकुलन घनत्व है | |||
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यदि संकुलित की जा रही समष्टि माप में अनंत है, जैसे कि यूक्लिडियन समष्टि, यह घनत्व को अत्यधिक और बड़ी त्रिज्या की गोला में प्रदर्शित घनत्व की लिमिट के रूप में परिभाषित करने के लिए व्यवहारिक होता है। यदि {{math|''B''<sub>''t''</sub>}} त्रिज्या {{math|''t''}} की गेंद है जो मूल पर केंद्रित होती है, तब संकुलन का घनत्व {{math|[''K''<sub>''i''</sub> : ''i''∈<math>\mathbb{N}</math>]}} होता है | |||
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चूंकि यह सीमा | चूंकि यह सीमा सदैव सम्मिलित नहीं होती है, यह ऊपरी और निचले घनत्व को परिभाषित करने के लिए भी उपयोगी होता है क्योंकि क्रमशः ऊपर की सीमा अत्यधिक और सीमा कम होती है। यदि घनत्व सम्मिलित है, तो ऊपरी और निचले घनत्व समान हैं। परंतु कि यूक्लिडियन समष्टि की कोई भी गेंद संकुलन के केवल बहुत से अवयवों को प्रतिच्छेद करती है और तत्वों के त्रिज्या ऊपर (ऊपरी, निचला) से परिबद्ध होते हैं। घनत्व उत्पत्ति के चयन पर निर्भर नहीं करता है, और {{math|''μ''(''K''<sub>''i''</sub>∩''B''<sub>''t''</sub>)}}, {{math|''B''<sub>''t''</sub>}} को प्रतिच्छेद करने वाले प्रत्येक तत्व के लिए {{math|''μ''(''K''<sub>''i''</sub>)}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।<ref name="groemer1986">{{citation | ||
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व्यक्ति प्रायः एक निश्चित आपूर्ति संग्रह के तत्वों का उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित संकुलन में रुचि रखता है। उदाहरण के लिए, आपूर्ति संग्रह किसी दिए गए त्रिज्या के सभी गोला का समुच्चय हो सकता है। आपूर्ति संग्रह से जुड़ा इष्टतम संकुलन सघनता या संकुलन स्थिरांक संकुलन द्वारा प्राप्त ऊपरी घनत्वों का सर्वोच्च है जो आपूर्ति संग्रह के उप-संग्रह हैं। यदि आपूर्ति संग्रह में परिबद्ध व्यास के उत्तल पिंड होते हैं, तो एक संकुलन सम्मिलित होती है जिसका संकुलन सघनता संकुलन स्थिरांक के समतुल्य होता है, और यह संकुलन स्थिरांक भिन्न नहीं होता है यदि घनत्व की परिभाषा में गोला को किसी अन्य उत्तल पिंड के विस्तारण से परिवर्तित कर दिया जाता है .<ref name="groemer1986" /> | |||
संबंध का एक विशेष आपूर्ति संग्रह एक निश्चित उत्तल पिंड के सभी [[यूक्लिडियन गति]] {{math|''K''}} होती है। इस स्थितियों में, हम संकुलन स्थिरांक को संकुलन स्थिरांक {{math|''K''}} कहते हैं केपलर अनुमान 3-गोला के संकुलन स्थिरांक से संबंधित है। उलम के संकुलन अनुमान में कहा गया है कि 3-गोला में किसी भी उत्तल ठोस का सबसे कम संकुलन स्थिरांक होता है। एक निश्चित निकाय के सभी [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण (ज्यामिति)]] भी संबंध का एक सामान्य आपूर्ति संग्रह है, और यह उस पिंड के विकार्य संकुलन स्थिरांक को परिभाषित करता है। | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
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Latest revision as of 10:40, 30 May 2023
संकुलन सघनता या किसी समष्टि में संकुलन का संकुलन गुणांक संकुलन बनाने वाले चित्रों द्वारा पूर्ण समष्टि का गुणांक (गणित) है। सरल शब्दों में, यह समष्टि में पिंडों के आयतन और स्वयं समष्टि के आयतन का अनुपात है। संकुलन समस्याओं में, उद्देश्य सामान्य रूप से अधिकतम संभव घनत्व का संकुलन प्राप्त करना होता है।
सुसंहत समष्टियों में
यदि K1,...,Kn सुसंहत माप समष्टि X के मापनीय योग्य के उपसमुच्चय हैं और उनके आंतरिक भाग युग्म में नहीं मिलते हैं, तो संग्रह [Ki], X में एक संकुलन है और इसकी संकुलन घनत्व है
- .
यूक्लिडियन समष्टि में
यदि संकुलित की जा रही समष्टि माप में अनंत है, जैसे कि यूक्लिडियन समष्टि, यह घनत्व को अत्यधिक और बड़ी त्रिज्या की गोला में प्रदर्शित घनत्व की लिमिट के रूप में परिभाषित करने के लिए व्यवहारिक होता है। यदि Bt त्रिज्या t की गेंद है जो मूल पर केंद्रित होती है, तब संकुलन का घनत्व [Ki : i∈] होता है
- .
चूंकि यह सीमा सदैव सम्मिलित नहीं होती है, यह ऊपरी और निचले घनत्व को परिभाषित करने के लिए भी उपयोगी होता है क्योंकि क्रमशः ऊपर की सीमा अत्यधिक और सीमा कम होती है। यदि घनत्व सम्मिलित है, तो ऊपरी और निचले घनत्व समान हैं। परंतु कि यूक्लिडियन समष्टि की कोई भी गेंद संकुलन के केवल बहुत से अवयवों को प्रतिच्छेद करती है और तत्वों के त्रिज्या ऊपर (ऊपरी, निचला) से परिबद्ध होते हैं। घनत्व उत्पत्ति के चयन पर निर्भर नहीं करता है, और μ(Ki∩Bt), Bt को प्रतिच्छेद करने वाले प्रत्येक तत्व के लिए μ(Ki) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।[1] गेंद को किसी अन्य उत्तल पिंड के विस्तारण से भी परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन सामान्य रूप से परिणामी घनत्व समान नहीं होते हैं।
इष्टतम संकुलन सघनता
व्यक्ति प्रायः एक निश्चित आपूर्ति संग्रह के तत्वों का उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित संकुलन में रुचि रखता है। उदाहरण के लिए, आपूर्ति संग्रह किसी दिए गए त्रिज्या के सभी गोला का समुच्चय हो सकता है। आपूर्ति संग्रह से जुड़ा इष्टतम संकुलन सघनता या संकुलन स्थिरांक संकुलन द्वारा प्राप्त ऊपरी घनत्वों का सर्वोच्च है जो आपूर्ति संग्रह के उप-संग्रह हैं। यदि आपूर्ति संग्रह में परिबद्ध व्यास के उत्तल पिंड होते हैं, तो एक संकुलन सम्मिलित होती है जिसका संकुलन सघनता संकुलन स्थिरांक के समतुल्य होता है, और यह संकुलन स्थिरांक भिन्न नहीं होता है यदि घनत्व की परिभाषा में गोला को किसी अन्य उत्तल पिंड के विस्तारण से परिवर्तित कर दिया जाता है .[1]
संबंध का एक विशेष आपूर्ति संग्रह एक निश्चित उत्तल पिंड के सभी यूक्लिडियन गति K होती है। इस स्थितियों में, हम संकुलन स्थिरांक को संकुलन स्थिरांक K कहते हैं केपलर अनुमान 3-गोला के संकुलन स्थिरांक से संबंधित है। उलम के संकुलन अनुमान में कहा गया है कि 3-गोला में किसी भी उत्तल ठोस का सबसे कम संकुलन स्थिरांक होता है। एक निश्चित निकाय के सभी स्थानांतरण (ज्यामिति) भी संबंध का एक सामान्य आपूर्ति संग्रह है, और यह उस पिंड के विकार्य संकुलन स्थिरांक को परिभाषित करता है।
यह भी देखें
- परमाणु संकुलन कारक
- क्षेत्र संकुलन
- ज्ञात संकुलन स्थिरांक वाली आकृतियों की सूची
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Groemer, H. (1986), "Some basic properties of packing and covering constants", Discrete and Computational Geometry, 1 (2): 183–193, doi:10.1007/BF02187693
