बारह गुना शैली (ट्वेल्व फोल्ड वे): Difference between revisions

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साहचर्य में, बारह गुना शैली दो परिमित समुच्चयों से संबंधित 12 संबंधित गणनात्मक समस्याओं का एक व्यवस्थित वर्गीकरण है, जिसमें गणना क्रमचय, संयोजन, बहु-समुच्चय और विभाजन या तो एक समुच्चय या संख्या की शास्त्रीय समस्याएं सम्मिलित हैं। वर्गीकरण के विचार का श्रेय जियान-कार्लो रोटा को दिया जाता है और नाम जोएल स्पेंसर द्वारा सुझाया गया था।^[1]

संक्षिप्त विवरण

मान लीजिए कि $N$ और $X$ परिमित समुच्चय हैं और $n=|N|$ और $x=|X|$ समुच्चय की प्रमुखता हैं। इस प्रकार $N$ एक $n$ -समुच्चय और $X$ एक $x$ -समुच्चय हैं।

हम जिस सामान्य समस्या पर विचार कर रहे हैं वह फलनों $f:N\to X$ के तुल्यता वर्गों की गणना है।

फलन निम्नलिखित तीन प्रतिबंधों में से एक के अधीन हैं:

कोई प्रतिबन्ध नहीं: $N$ में प्रत्येक $a$ को $f$ द्वारा $X$ में किसी भी $b$ को भेजा जा सकता है, और प्रत्येक $b$ कई बार हो सकता है।
$f$ अंतःक्षेपी है: प्रत्येक मान $N$ में $a$ के लिए $f(a)$ में प्रत्येक दूसरे से अलग होना चाहिए और इसलिए $X$ में प्रत्येक $b$ , $f$ छवि में अधिकतम एक बार हो सकता है।
$f$ प्रक्षेप्य है: $X$ में प्रत्येक $b$ के लिए $N$ में कम-से-कम एक $a$ ऐसा होना चाहिए कि $f(a)=b$ , इस प्रकार प्रत्येक $b$ कम-से-कम एक बार $f$ की छवि में होगा।

(स्थिति " $f$ द्विभाजित है" केवल एक विकल्प है जब $n=x$ है; परन्तु तब यह " $f$ अंतःक्षेपी है" और " $f$ प्रक्षेप्य है" दोनों के समान है)।

चार अलग-अलग तुल्यता संबंध हैं जिन्हे $N$ से $X$ तक के फलनों $f$ के समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है:

समानता;
$N$ के क्रमचय तक समानता;
$X$ के क्रमचय तक समानता;
$N$ और $X$ के क्रमचय तक समानता।

फलनों पर तीन प्रतिबन्धों और चार तुल्यता संबंधों को $3 \times 4 = 12$ तरीकों से जोड़ा जा सकता है।

फलनों के समतुल्य वर्गों की गणना की बारह समस्याओं में समान कठिनाइयाँ सम्मिलित नहीं हैं और उन्हें हल करने के लिए एक व्यवस्थित शैली नहीं है। समस्याओं में से दो तुच्छ हैं (तुल्यता वर्गों की संख्या 0 या 1 है), पाँच समस्याओं का उत्तर n और x के गुणक सूत्र के संदर्भ में है और शेष पाँच समस्याओं का उत्तर संयोजक फलन (स्टर्लिंग संख्याओं के संदर्भ में है और दिए गए भागों की संख्या के लिए विभाजन फलन) है।

इस समायोजन में शास्त्रीय गणना समस्याओं का समावेश इस प्रकार है।

X के n-क्रमचय (अर्थात, आंशिक क्रमचय या पुनरावृत्ति के बिना अनुक्रम) की गणना अंतःक्षेपी फलनों $N \to X$ की गणना के समान है।
X के n-संयोजनों की गणना N के क्रमचय तक अंतःक्षेपी फलनों $N \to X$ की गणना करने के समान है।
समुच्चय X के क्रमचयों की गणना अंतःक्षेपी फलनों $N \to X$ की गणना के समान है जब n = x, और प्रक्षेप्य फलनों $N \to X$ की गणना करने के लिए भी जब $n = x$ है।
X में तत्वों के आकार n (जिसे पुनरावृत्ति के साथ n-संयोजन के रूप में भी जाना जाता है) के बहु-समुच्चयों की गणना N के क्रमचय तक सभी फलनों $N \to X$ की गणना के समान है।
समुच्चय N के x उपसमुच्चयों में विभाजन की गणना करना, सभी प्रक्षेप्य फलनों $N \to X$ को X के क्रमचय तक गणना के समान है।
संख्या n रचना को x भागों में गणना करना N के क्रमचय तक सभी प्रक्षेप्य फलनों $N \to X$ की गणना के समान है।

दृष्टिकोण

बारह प्रकार से विभिन्न समस्याओं पर विभिन्न दृष्टिकोणों से विचार किया जा सकता है।

गेंद और संदूक

पारम्परिक रूप से कई समस्याओं को बारह प्रकार से फलनों को परिभाषित करने के बजाय गेंदों को संदूकों (या कुछ इसी तरह के दृश्य) में रखने के संदर्भ में तैयार किया गया है। समुच्चय N को गेंदों के समुच्चयों के साथ पहचाना जा सकता है और X को संदूकों के समुच्चयों के साथ पहचाना जा सकता है; फलन ƒ : $N \to X$ तब गेंदों को संदूकों में, अर्थात् प्रत्येक गेंद को संदूक ƒ(a) में डालकर वितरित करने के तरीके का वर्णन करता है। एक फलन अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय छवि प्रदान करता है; यह गुणधर्म इस गुणधर्म से परिलक्षित होती है कि कोई भी गेंद केवल एक संदूक में जा सकती है (इस आवश्यकता के साथ कि कोई भी गेंद संदूक के बाहर नहीं रहनी चाहिए), जबकि कोई भी संदूक गेंदों की यादृच्छिक संख्या को समायोजित कर सकता है। इसके अतिरिक्त ƒ को अंतःक्षेपी होने की आवश्यकता का अर्थ है किसी एक संदूक में एक से अधिक गेंद डालने से मना करना, जबकि ƒ को आच्छादक होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक संदूक में कम-से-कम एक गेंद हो।

N या X के तुल्यता संबंध क्रमचय की गणना गेंदों या संदूकों को क्रमशः, "अप्रभेद्य" कह कर परिलक्षित होती है। यह एक सटीक सूत्रीकरण है, जिसका उद्देश्य यह इंगित करना है कि अलग-अलग विन्यासों को अलग-अलग नहीं गिना जाना चाहिए, यदि गेंदों या संदूकों के कुछ आदान-प्रदान से एक को दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। परिवर्तन की इस संभावना को क्रमचय क्रिया द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।

प्रतिदर्श

कुछ स्थितियों के विषय में विचार करने का दूसरा तरीका आंकड़ों में प्रतिदर्श के संदर्भ में है। X वस्तु (या लोगों) की समष्टि की कल्पना करें, जिनमें से हम N चुनते हैं। दो अलग-अलग योजनाओं को सामान्य रूप से वर्णित किया जाता है, जिन्हें प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श और प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श के रूप में जाना जाता है। पूर्व स्थिति में (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श), एक बार जब हम एक वस्तु चुन लेते हैं, तो हम इसे समष्टि में वापस रख देते हैं, ताकि हम इसे फिर से चुन सकें। परिणाम यह है कि प्रत्येक विकल्प अन्य सभी विकल्पों से स्वतंत्र है और प्रतिरूपो के समुच्चय को तकनीकी रूप से स्वतंत्र समान रूप से वितरित के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालांकि, बाद वाली स्थिति में, एक बार जब हम एक वस्तु चुन लेते हैं, तो हम उसे एक ओर रख देते हैं ताकि हम उसे फिर से न चुन सकें। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु को चुनने की क्रिया का निम्नलिखित सभी विकल्पों पर प्रभाव पड़ता है (विशेष वस्तु को फिर से नहीं देखा जा सकता है), इसलिए हमारी पसंद एक दूसरे पर निर्भर हैं।

प्रतिदर्श योजनाओं के मध्य एक दूसरा अंतर यह है कि क्या क्रमीकरण महत्व रखता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दस वस्तु हैं, जिनमें से हम दो चुनते हैं, तो विकल्प (4,7) भिन्न है (7,4) यदि क्रमीकरण महत्व रखता है; दूसरी ओर, यदि क्रमीकरण से कोई असमानता नहीं होती है, तो विकल्प (4,7) और (7,4) समतुल्य हैं (इसके विषय में विचार करने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक विकल्प को वस्तु संख्या से क्रमबद्ध करें और परिणाम के किसी भी अनुकृति को फेंक दें)।

नीचे दी गई तालिका की पहली दो पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम पर विचार किए बिना और बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप के अनुरूप हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप की स्थिति "किसी भी f" लेबल वाले स्तंभ में पाए जाते हैं, जबकि बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप की स्थिति "अंतःक्षेपी f" लेबल वाले स्तंभ में पाए जाते हैं। ऐसी स्थिति जहां क्रमीकरण वाली स्थिति "भिन्न" लेबल वाली स्तंभ में पाए जाते हैं और ऐसी स्थिति जहां क्रमीकरण से कोई असमानता नहीं होती है, वे "S_n कक्षाएं" लेबल वाली स्तंभ में पाए जाते हैं। प्रत्येक तालिका प्रविष्टि इंगित करती है कि किसी विशेष प्रतिदर्श योजना में विकल्पों के कितने अलग-अलग समुच्चय हैं। इन तालिका प्रविष्टियों में से तीन संभाव्यता वितरण के अनुरूप भी हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमण महत्व रखता है, N अलग-अलग यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण का वर्णन करने के लिए प्रत्येक X-गुना श्रेणीबद्ध वितरण के साथ तुलनीय है। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण महत्व नहीं रखता है, हालांकि, N के एकल बहुराष्ट्रीय वितरण का वर्णन करने के लिए एक X-गुना श्रेणी से तुलना की जाती है, जहां प्रत्येक श्रेणी की केवल देखी गयी संख्या महत्व रखती हैं। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण कोई महत्व नहीं रखता है, एक एकल बहुभिन्नरूपी हाइपरज्यामितीय वितरण के साथ तुलना करने योग्य है। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण महत्व रखता है वह संभाव्यता वितरण के अनुरूप नहीं लगता है।^[2] ध्यान दें कि सभी "अंतःक्षेपी" स्थितियों में (अर्थात, प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श), विकल्पों के समुच्चयों की संख्या शून्य है जब तक कि $N \leq X$ है (उपर्युक्त स्थिति में तुलनीय का अर्थ है कि संबंधित वितरण के प्रतिरूप स्थान का प्रत्येक तत्व विकल्पों के एक अलग समुच्चय से मेल खाता है और इसलिए उपयुक्त संदूक में संख्या दिए गए वितरण के लिए प्रतिरूप स्थान के आकार को इंगित करती है)।

प्रतिदर्श के परिप्रेक्ष्य से, "परिप्रेक्ष्य f" लेबल वाला स्तंभ कुछ असामान्य है: अनिवार्य रूप से, हम तब तक प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप लेते रहते हैं जब तक कि हम प्रत्येक वस्तु को कम-से-कम एक बार नहीं चुन लेते। फिर, हम गणना करते हैं कि हमने कितने चुनाव किए हैं और यदि यह N के समान नहीं है, तो सम्पूर्ण समुच्चय को बाहर फेंक दें और दोहराएं। यह कूपन संग्रहकर्ता की समस्या के लिए अस्पष्ट रूप से तुलनीय है, जहां प्रक्रिया में प्रत्येक कूपन को कम-से-कम एक बार देखे जाने तक X कूपन का एक समुच्चय (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श द्वारा) एकत्र करना सम्मिलित है। ध्यान दें कि सभी प्रक्षेप्य स्थिति में, विकल्प समुच्चय की संख्या शून्य है जब तक कि $N \geq X$ है।

लेबलन, चयन, समूहीकरण

एक फलन ƒ : $N \to X$ को X या N के परिप्रेक्ष्य से माना जा सकता है। यह विभिन्न विचारों की ओर ले जाता है:

फलन ƒ, N के प्रत्येक तत्व को X के एक तत्व द्वारा लेबल करता है।
फलन ƒ, N के प्रत्येक तत्व और कुल n विकल्पों के लिए समुच्चय X के एक तत्व का चयन करता है।
फलन ƒ, N के तत्वों को एक साथ समूहित करता है, जिन्हें X के समान तत्व से मानचित्रित किया जाता है।

ये दृष्टिकोण सभी स्थितियों के लिए समान रूप से अनुकूल नहीं हैं। लेबलन और चयन बिंदु X के तत्वों के क्रमचय के साथ अच्छी तरह से संगत नहीं हैं, क्योंकि यह लेबल या चयन को परिवर्तित करता है; दूसरी ओर समूहीकरण बिंदु विन्यास के विषय में सम्पूर्ण सूचना नहीं देता है जब तक कि X के तत्वों को स्वतंत्र रूप से अनुमत नहीं किया जा सकता है। जब N को अनुमत नहीं किया जाता है, तो लेबलन और चयन बिंदु लगभग समतुल्य होते हैं, परन्तु जब यह होता है, तो चयन बिंदु अधिक अनुकूल होता है। तब चयन को एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखा जा सकता है: X से n तत्वों के एक (बहु-) समुच्चय का एकल विकल्प बनाया जाता है।

लेबलन और पुनरावृत्ति के साथ या पुनरावृत्ति के बिना

जब ƒ को N के तत्वों के लेबलन के रूप में देखा जाता है, तो बाद वाले को एक क्रम में व्यवस्थित माना जा सकता है और X से लेबल को क्रमिक रूप से उन्हें सौंपा जा सकता है। एक आवश्यकता जो ƒ अंतःक्षेपी होने का अर्थ है कि किसी भी लेबल का दूसरी बार उपयोग नहीं किया जा सकता है; परिणाम दोहराव के बिना लेबल का अनुक्रम है। ऐसी आवश्यकता के अभाव में, पुनरावृत्ति के साथ शब्दावली अनुक्रम का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि लेबल का एक से अधिक बार उपयोग किया जा सकता है (हालांकि पुनरावृत्ति के बिना होने वाले अनुक्रमों की भी अनुमति है)।

ƒ को X के तत्वों के एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखते समय, उसी प्रकार का भेद अनुप्रयुक्त होता है। यदि ƒ अंतःक्षेपी होना चाहिए, तो चयन में X के विशिष्ट तत्व सम्मिलित होने चाहिए, इसलिए यह आकार n का X का एक उपसमुच्चय है, जिसे n-संयोजन भी कहा जाता है। आवश्यकता के बिना, X का एक और एक ही तत्व चयन में कई बार हो सकता है और परिणाम X से तत्वों के आकार n का एक बहु-समुच्चय होता है, जिसे n-बहुसंयोजन या पुनरावृत्ति के साथ n-संयोजन भी कहा जाता है।

N के लेबलन तत्वों के दृष्टिकोण से ƒ प्रक्षेप्य होने की आवश्यकता का अर्थ है कि X से चयन के दृष्टिकोण से, प्रत्येक लेबल का कम-से-कम एक बार उपयोग किया जाना है, इसका अर्थ है कि X के प्रत्येक तत्व को चयन में कम-से-कम एक बार सम्मिलित किया जाना चाहिए। प्रक्षेपण के साथ लेबलन N के तत्वों के समूह के समान है जिसके बाद प्रत्येक समूह को X के तत्व द्वारा लेबल किया जाता है और तदनुसार गणितीय रूप से वर्णन करने के लिए कुछ अधिक जटिल है।

समुच्चय और संख्या का विभाजन

ƒ को N के तत्वों के समूह के रूप में देखते समय (जो मानता है कि X के क्रमचय के अंतर्गत पहचान की जाती है), ƒ को प्रक्षेप्य के रूप में देखने का अर्थ है कि समूहों की संख्या निश्चित रूप से x होनी चाहिए। इस आवश्यकता के बिना समूहों की संख्या अधिकतम x हो सकती है। अंतःक्षेपी ƒ की आवश्यकता का अर्थ है कि N का प्रत्येक तत्व स्वयम में एक समूह होना चाहिए, जो अधिक से अधिक एक मान्य समूह छोड़ता है और इसलिए एक अरोचक गणना समस्या देता है।

इसके अतिरिक्त जब कोई N के क्रमचय के अंतर्गत पहचान करता है, तो इसका अर्थ समूहों को भूल जाना है परन्तु केवल उनके आकार को बनाए रखना है। इसके अतिरिक्त ये आकार किसी निश्चित क्रम में नहीं आते हैं, जबकि एक ही आकार एक से अधिक बार हो सकता है; कोई उन्हें संख्याओं की दुर्बलता से घटती सूची में व्यवस्थित करना चुन सकता है, जिसका योग संख्या n है। पूर्णतया x (आच्छादक ƒ के लिए) या अधिकतम x (यादृच्छिक ƒ के लिए) भागों में,यह संख्या n के एक विभाजन की संयोजी धारणा देता है।

सूत्र

बारह गुना तरीके के विभिन्न स्थितियों के सूत्र निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित हैं; प्रत्येक तालिका प्रविष्टि सूत्र की व्याख्या करते हुए नीचे एक उपखंड से जुड़ती है।

बारह मिश्रित वस्तुएँ और उनके गणना के सूत्र
f-वर्ग	कोई भी f	अंतःक्षेपक f	प्रक्षेप्य f
विशिष्ट $f$	x में n-अनुक्रम $x^{n}$	X का n-क्रमपरिवर्तन $x^{\underline {n}}$	x उपसमुच्चय के साथ n की संरचना $x!\left\{{n \atop x}\right\}$
S_n कक्षाएं $f \circ S n$	X का n- बहु-उपसमुच्चय ${\binom {x+n-1}{n}}$	X का n-उपसमुच्चय ${\binom {x}{n}}$	x पदों के साथ n की संरचना ${\binom {n-1}{n-x}}$
S_x कक्षाएं $S x \circ f$	N का ≤ x उपसमुच्चय में विभाजन $\sum _{k=0}^{x}\left\{{n \atop k}\right\}$	N का ≤ x तत्वों में विभाजन $[n\leq x]$	N का x उपसमुच्चय में विभाजन $\left\{{n \atop x}\right\}$
S_n×S_x कक्षाएं $S x \circ f \circ S n$	n का ≤ x भागों में विभाजन $p_{x}(n+x)$	n का ≤ x भाग 1 में विभाजन $[n\leq x]$	n का x भागों में विभाजन $p_{x}(n)$

उपयोग की जाने वाली विशेष संकेत पद्धति हैं:

अवरोही क्रमगुणित घात ${\textstyle x^{\underline {n}}={\frac {x!}{(x-n)!}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$ है।
आरोही क्रमगुणित घात ${\textstyle x^{\overline {n}}={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ है।
क्रमगुणित ${\textstyle n!=n^{\underline {n}}=n(n-1)(n-2)\cdots 1}$ है।
दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ है, n तत्वों के एक समुच्चय को k उपसमुच्चयों में विभाजित करने के तरीकों की संख्याओं को दर्शाता है।
द्विपद गुणांक ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}}$ है।
आइवरसन कोष्ठक [ ] एक सत्य मान को 0 या 1 के रूप में विकोडन करता है।
जो संख्या ${\textstyle p_{k}(n)}$ n के k भागों में का विभाजन है।

पंक्तियों और स्तंभों का सहज अर्थ

यह त्वरित सारांश है कि विभिन्न स्थितियों का क्या अर्थ है। स्थितियों का विवरण नीचे दिया गया है।

X क्रमांकित वस्तुओं (1 से x तक क्रमांकित) के एक समुच्चय के विषय में विचार करें, जिसमें से हम n चुनते हैं, वस्तुओं की एक क्रमित सूची प्रदान करते हैं: उदाहरणार्थ, यदि वहाँ $x=10$ जिन वस्तुओं को हम चुनते हैं $n=3$ परिणाम सूची (5, 2, 10) हो सकता है। फिर हम गणना करते हैं कि ऐसी कितनी अलग-अलग सूचियाँ उपस्थित हैं, कभी-कभी पहले सूचियों को उन तरीकों से रूपांतरित करते हैं जो अलग-अलग संभावनाओं की संख्या को कम करते हैं।

तब स्तंभों का अर्थ है:

कोई भी f: किसी वस्तु को चयन करने के पश्चात, हम उसे वापस रख देते हैं, ताकि हम उसे पुनः चुन सकें।
अंतःक्षेपी f: एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे अलग रख देते हैं, इसलिए हम इसे पुनः नहीं चुन सकते; इसलिए हम n विशिष्ट वस्तुओं के साथ समाप्त करेंगे। अनिवार्य रूप से, जब तक $n\leq x$ हैं, कोई भी सूची पूर्णतया चुनी नहीं जा सकती हैं।
प्रक्षेप्य f: एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे वापस रख देते हैं, इसलिए हम इसे पुनः चुन सकते हैं - परन्तु अंत में, हमें प्रत्येक वस्तु को कम-से-कम एक बार चुनना होगा। अनिवार्य रूप से, जब तक $n\geq x$ , कोई भी सूची पूर्णतया चुनी नहीं जा सकती हैं।

और स्तंभयों का अर्थ है:

विशिष्ट: सूचियों को एकाकी छोड़ दें; उन्हें सीधे गिनें।
S_n कक्षाएँ: गणना से पूर्व, चुने गए वस्तुओं की वस्तु संख्या द्वारा सूचियों को क्रमबद्ध करें, ताकि क्रम कोई महत्व न रखे, जैसे, (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10) हैं।
S_x कक्षाएँ: गणना से पूर्व, देखी गई वस्तुओं को पुनः क्रमांकित करें ताकि पहली देखी गई वस्तु की संख्या 1, दूसरी 2, आदि हो। यदि किसी वस्तु को एक से अधिक बार देखा गया था, तो संख्याएँ दोहराई जा सकती हैं, जैसे, (3, 5, 3), (5, 2, 5), (4, 9, 4) → (1, 2, 1) जबकि (3, 3, 5), (5, 5, 3), (2, 2, 9) → (1, 1, 2) हैं।
S_n × S_x कक्षाएँ: दो सूचियाँ समान मानी जाती हैं यदि यह दोनों को पुन: व्यवस्थित करना और उन्हें ऊपर के रूप में पुन: लेबल करना और समान परिणाम उत्पन्न करना संभव है। उदाहरण के लिए, (3, 5, 3) और (2, 9, 9) को समान माना जाता है क्योंकि उन्हें (3, 3, 5) और (9, 9, 2) के रूप में पुनः क्रमित किया जा सकता है और फिर दोनों को पुनः लेबल करने से समान उत्पादन होता है सूची (1, 1, 2 देखें)।

गेंद और संदूक परिदृश्य का उपयोग करके तालिका का सहज अर्थ

नीचे दी गयी तालिका उपरोक्त तालिका के समान है, परन्तु यह सूत्रों को दिखाने के बजाय परिचित गेंदों और संदूकों के उदाहरण का उपयोग करके उनके अर्थ की सहज समझ देता है। पंक्तियाँ गेंदों और संदूकों की विशिष्टता का प्रतिनिधित्व करती हैं। यदि बहु-संकुलों (एक संदूक में एक से अधिक गेंद), या रिक्त संदूकों की अनुमति है तो स्तंभ दर्शाते हैं। तालिका के कक्ष उस प्रश्न को दर्शाते हैं जिसका उत्तर ऊपर दिए गए सूत्र तालिका में दिए गए सूत्र को हल करके दिया जाता है।

12 मिश्रित वस्तुओं की तालिका - गेंदों और संदूकों का उपयोग करके सहज ज्ञान युक्त तालिका
	कोई भी f (स्थानन पर कोई नियम नहीं)	अंतःक्षेपी f (बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है)	प्रक्षेप्य f (रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है)
f (चिह्नित गेंदे और संदूके)	x में एन-अनुक्रम आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में, स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?	x में n-क्रमचय आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में, बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?	x उपसमुच्चय के साथ n की संरचना आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में, रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?
f ∘ S_n (सादी गेंदे, चिह्नित संदूक)	X का n- बहु-उपसमुच्चय आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?	X का n-उपसमुच्चय आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?	x पदों के साथ n की रचना आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?
S_x ∘ f (चिह्नित गेंद, सादे संदूक)	N का ≤ x उपसमुच्चय में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिह्नित गेंदों को x सादे संदूकों में, स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?	N का ≤ x तत्वों में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिन्हित गेंदें x सादे संदूकों में, बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?	N का x उपसमुच्चय में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n चिन्हित गेंदें x सादे संदूकों में, रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?
S_x ∘ f ∘ S_n (सादी गेंदे और संदूक)	n का ≤ x भागों में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x सादे संदूकों में, स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?	n का ≤ x भाग 1 में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x सादे संदूकों में, बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?	n का x भागों में विभाजन आप कितने तरीकों से रख सकते हैं n सादे गेंदों को x सादे संदूकों में, रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?

विभिन्न स्थितियों का विवरण

नीचे दिए गए स्थितियों को इस तरह से क्रमबद्ध किया गया है कि उन स्थितियों को समूहित किया जा सके जिनके लिए गणना में उपयोग किए गए तर्क संबंधित हैं, जो दी गई तालिका में क्रम नहीं है।

N से X तक के फलन

यह स्थिति बिना किसी प्रतिबंध के X के n तत्वों के अनुक्रमों की गणना के समान है: एक फलन $f : N \to X$ , N के तत्वों की n छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो प्रत्येक को x के तत्वों के मध्य स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। यह कुल xⁿ संभावनाएं देता है।

उदाहरण:

$X=\{a,b,c\},N=\{1,2\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)\}\right\vert =3^{2}=9$

N से X तक के अंतःक्षेपी फलन

यह स्थिति X के n अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों की गणना के समान है, जिसे X का "n-क्रमचय" या "बिना दोहराव वाले अनुक्रम" भी कहा जाता है; पुनः यह क्रम N के तत्वों की n छवियों द्वारा बनता है। यह स्थिति अप्रतिबंधित अनुक्रमों में से एक से भिन्न होता है जिसमें दूसरे तत्व के लिए एक विकल्प कम होता है और इसी तरह तीसरे तत्व के लिए दो कम होते हैं। इसलिए x की एक सामान्य घात के बजाय, मान x की अवरोही भाज्य घात द्वारा दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक कारक पिछले एक से एक कम होता है। सूत्र है

x^{\underline {n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)

ध्यान दें कि यदि $n > x$ तो कोई कारक शून्य प्राप्त करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई अंतःक्षेपी फलन $N \to X$ पूर्णतया नहीं है; यह कोष्ठ के सिद्धांत का केवल एक पुनर्कथन है।

उदाहरण:

$X=\{a,b,c,d\},N=\{1,2\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c)\}\right\vert =4^{\underline {2}}=4\times 3=12$

N के क्रमचय तक, N से X तक अंतःक्षेपी फलन

यह स्थिति X के उपसमुच्चयों के साथ n तत्वों की गणना के समान है, जिसे X का n-संयोजन भी कहा जाता है: X के n विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों के मध्य, जो केवल उनके शब्दों के क्रम में भिन्न होते हैं, उन्हें N के क्रमचय द्वारा पहचाना जाता है। चूंकि सभी स्थिति में यह समूह पूर्णतया n! विभिन्न अनुक्रमों में, X के n-संयोजनों की संख्या प्राप्त करने के लिए, हम ऐसे अनुक्रमों की संख्या को n! से विभाजित कर सकते हैं। इस संख्या को द्विपद गुणांक ${\tbinom {x}{n}}$ के रूप में जाना जाता है, जो इसलिए द्वारा दिया गया है:

{\binom {x}{n}}={\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={\frac {x(x-1)\cdots (x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}}

उदाहरण:

$X=\{a,b,c,d\},N=\{1,2\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\}\}\right\vert ={\frac {4^{\underline {2}}}{2!}}={\frac {4\times 3}{2}}=6$

N से X तक के फलन, N के क्रमचय तक

यह स्थिति X से n तत्वों के साथ बहु-समुच्चय की गणना के समान है (जिसे n-बहुसंयोजन भी कहा जाता है)। इसका कारण यह है कि X के प्रत्येक तत्व के लिए यह निर्धारित किया जाता है कि N के कितने तत्वों को f द्वारा मानचित्रित किया जाता है, जबकि दो फलन जो X के प्रत्येक तत्व को समान गुण प्रदान करते हैं, सदैव N के क्रमचय द्वारा दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। सूत्र सभी फलनों $N \to X$ की गणना यहाँ उपयोगी नहीं है, क्योंकि N के क्रमचय द्वारा एक साथ समूहीकृत उनकी संख्या एक फलन से दूसरे फलन में भिन्न होती है। बल्कि, जैसा कि संयोजनों की पुनरावृत्ति के अंतर्गत समझाया गया है, x तत्वों वाले समुच्चय से n-बहुसंयोजन की संख्या $x + n - 1$ तत्वों वाले समुच्चय से n-संयोजनों की संख्या के समान देखा जा सकता है। यह समस्या को बारह गुना तरीके से कम कर देता है और परिणाम देता है:

{\binom {x+n-1}{n}}={\frac {(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}}={\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}.

उदाहरण:

$X=\{a,b,c\},N=\{1,2\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{\{a,a\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,b\},\{b,c\},\{c,c\}\}\right\vert ={\frac {3^{\overline {2}}}{2!}}={\frac {4\times 3}{2}}=6$

N के क्रमचय तक, N से X तक प्रक्षेप्य फलन

यह स्थिति X से n तत्वों के साथ बहु-समुच्चयों की गणना के समान है, जिसके लिए X का प्रत्येक तत्व कम-से-कम एक बार होता है। यह x के तत्वों की बहुलताओं को क्रम में सूचीबद्ध करके, x (गैर-शून्य) पदों के साथ n की रचनाओं की गणना करने के समान है। फलनों और बहु-समुच्चयों के मध्य पत्राचार पूर्व स्थिति की तरह ही है और प्रक्षेप्य आवश्यकता का अर्थ है कि सभी गुणक कम-से-कम एक हैं। सभी गुणाओं को 1 से घटाकर, यह पूर्व स्थिति में कम हो जाता है; चूँकि परिवर्तन से n का मान x से घट जाता है, परिणाम है:

{\binom {n-1}{n-x}}.

ध्यान दें कि जब n < x कोई प्रक्षेप्य फलन नहीं होता है तो $N \to X$ (एक प्रकार का "रिक्त कोष्ठ" सिद्धांत) है; इसे सूत्र में इस तथ्य पर ध्यान दिया जाता है कि यदि निचला सूचकांक ऋणात्मक है तो द्विपद गुणांक सदैव 0 होता है। वही मान व्यंजक द्वारा भी दिया जाता है;

{\binom {n-1}{x-1}},

चरम स्थिति को छोड़कर $n = x = 0$ , जहां पूर्व अभिव्यक्ति सही ढंग से ${\tbinom {-1}{0}}=1$ देती है, जबकि बाद वाला गलत ${\tbinom {-1}{-1}}=0$ देता है।

परिणाम का रूप कुल $n - 1$ में से चुने गए, $n - x$ तत्वों के एक उपसमुच्चय से स्पष्टतः प्रक्षेप्य फलनों $N \to X$ के एक वर्ग को संबद्ध करने के तरीके की खोज करने का सुझाव देता है जिसे निम्नानुसार किया जा सकता है। सर्वप्रथम, समुच्चय N और X का कुल क्रम चुनें और ध्यान दें कि N का उपयुक्त क्रमचय अनुप्रयुक्त करके, प्रत्येक प्रक्षेप्य फलन $N \to X$ को एक अद्वितीय दुर्बलता से बढ़ते हुए (और निश्चित रूप से अभी भी प्रक्षेप्य) फलन में परिवर्तित किया जा सकता है। यदि कोई N के तत्वों को क्रम $n - 1$ चाप से एक रेखीय आलेख से जोड़ता है, तो $n - x$ चाप के किसी भी उपसमुच्चय को चुनकर और बाकी को हटाकर, x संसक्त घटकों के साथ एक आलेख प्राप्त करता है और इन्हें X के क्रमिक तत्वों को भेजकर, एक दुर्बलता से बढ़ते हुए विशेष फलन $N \to X$ को प्राप्त करता है; संसक्त घटकों के आकार भी x भागों में n की संरचना देते हैं। यह तर्क मूल रूप से सितारे और बार (प्रायिकता) पर दिया गया है, अतिरिक्त इसके कि वहाँ $x - 1$ "पृथक्करण" का पूरक विकल्प बनाया गया है।

उदाहरण:

$X=\{a,b\},N=\{1,2,3\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{\{a,a,b\},\{a,b,b\}\}\right\vert ={\binom {3-1}{3-2}}={\binom {2}{1}}={\frac {2!}{1!\times (2-1)!}}=2$

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, X के क्रमचय तक

इस स्थिति में हम X से अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों पर विचार करते हैं, परन्तु प्रत्येक तत्व पर X के क्रमचय को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे से प्राप्त की पहचान करते हैं। यह देखना सरल है कि ऐसे दो अलग-अलग अनुक्रम सदैव पहचाने जा सकते हैं: क्रमचय को शब्द को मानचित्रित करना चाहिए पहले अनुक्रम के i से दूसरे क्रम के i तक, और चूंकि किसी भी क्रम में दो बार कोई मान नहीं होता है, इसलिए ये आवश्यकताएं एक दूसरे के विपरीत नहीं होती हैं; यह उन तत्वों को मानचित्रित करने के लिए बनी हुई है जो पहले क्रम में नहीं होते हैं, दूसरे क्रम में यादृच्छिक तरीके से घटित नहीं होते हैं। एकमात्र तथ्य जो परिणाम को n और x पर पूर्णतया भी निर्भर करता है, वह यह है कि कोष्ठ के सिद्धांत द्वारा ऐसे किसी भी अनुक्रम $n \leq x$ के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। आइवरसन कोष्ठक का उपयोग करके, इसलिए संख्या $[n\leq x]$ व्यक्त की जाती है।

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, N से X के क्रमचय तक

यह स्थिति पूर्व एक तक कम हो गया है: चूँकि X से अलग-अलग तत्वों के सभी अनुक्रमों को पूर्व से ही उनके प्रत्येक पद के लिए X के क्रमचय को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, साथ ही प्रतिबन्धों को पुनः व्यवस्थित करने से कोई नई पहचान नहीं मिलती है; संख्या $[n\leq x]$ बनी हुई है।

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, X के क्रमचय तक

यह स्थिति N के x (गैर-रिक्त) उपसमुच्चयों में विभाजन की गणना करने के समान है, या पूर्णतया x वर्गों के साथ N पर तुल्यता संबंधों की गणना करने के समान है। वास्तव में, किसी प्रक्षेप्य फलन $f : N \to X$ के लिए, f के अंतर्गत एक ही छवि होने का संबंध एक ऐसा तुल्यता संबंध है और जब X का क्रमचय बाद में अनुप्रयुक्त किया जाता है तो यह परिवर्तित नहीं होता है; इसके विपरीत कोई भी इस तरह के तुल्यता संबंध को x तुल्यता वर्गों में किसी तरह से X के तत्वों को निर्दिष्ट करके एक प्रक्षेप्य फलन में परिवर्तित कर सकता है। परिभाषा के अनुसार ऐसे विभाजनों या तुल्यता संबंधों की संख्या दूसरे प्रकार के S(n,x) की स्टर्लिंग संख्या है, जिसे $\textstyle \{{n \atop x}\}$ लिखा भी गया है। इसके मान को एक पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके या उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, परन्तु द्विपद गुणांक के विपरीत इन संख्याओं के लिए कोई संवृत सूत्र नहीं है जिसमें एक योग सम्मिलित नहीं है।

N से X तक प्रक्षेप्य फलन

प्रत्येक प्रक्षेप्य फलन $f : N \to X$ के लिए, X के क्रमचय के अंतर्गत इसकी कक्षा में x! तत्व है, चूंकि रचना (बाईं ओर) X के दो अलग-अलग क्रमचय के साथ कभी भी N पर एक ही फलन नहीं देता है (क्रमचय X के कुछ तत्वों पर भिन्न होना चाहिए, जिसे सदैव कुछ i ∈ N के लिए f(i) के रूप में लिखा जा सकता है और रचनाएँ तब i है) पर भिन्न होंगी। यह इस प्रकार है कि इस स्थिति के लिए संख्या x! है, पूर्व स्थिति की संख्या का गुना, अर्थात $\textstyle x!\{{n \atop x}\}$ है।

उदाहरण:

$X=\{a,b\},N=\{1,2,3\}{\text{, तब }}$

$\left\vert \{(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a)\}\right\vert =2!\left\{{3 \atop 2}\right\}=2\times 3=6$

N से X तक फलन, X के क्रमचय तक

यह स्थिति प्रक्षेप्य फलनों के लिए संबंधित एक जैसा है, परन्तु X के कुछ तत्व किसी भी तुल्यता वर्ग के अनुरूप नहीं हो सकते हैं (चूंकि कोई X के क्रमचय तक फलनों पर विचार करता है, इससे कोई असमानता नहीं होती कि कौन से तत्व संबंधित हैं, केवल कितने हैं)। एक परिणाम के रूप में, N पर समानता संबंधों की गणना अधिकतम x वर्गों के साथ की जा रही है और परिणाम x तक के मानों के योग द्वारा उल्लिखित स्थिति से प्राप्त किया जाता है, $\textstyle \sum _{k=0}^{x}\{{n \atop k}\}$ दे रहा है। स्थिति x ≥ n में, x का आकार कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है और कोई n तत्वों के समुच्चय पर सभी समतुल्य संबंधों की गणना कर रहा है (समान रूप से ऐसे समुच्चय के सभी विभाजन); इसलिए $\textstyle \sum _{k=0}^{n}\{{n \atop k}\}$ बेल संख्या B_n के लिए एक व्यंजक देता है।

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, N और X के क्रमचय तक

यह स्थिति संख्या n के x गैर-शून्य भागों में विभाजन की गणना के समान है। केवल X के क्रमचय तक प्रक्षेप्य फलनों की गणना की स्थिति ( $\textstyle \{{n \atop x}\}$ ) की तुलना में, कोई केवल समतुल्यता वर्गों के आकार को बनाए रखता है, जो फलन N को विभाजित करता है (प्रत्येक आकार की बहुलता सहित), क्योंकि दो तुल्यता संबंधों को एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, N का यदि और केवल यदि उनकी कक्षाओं के आकार मेल खाते हैं। यह ठीक वही है जो n के विभाजन की धारणा को N के विभाजन की धारणा से भिन्न करता है, इसलिए एक परिणाम के रूप में, x गैर-शून्य भागों में n के विभाजनों की संख्या px(n) परिभाषा के अनुसार मिलती है।

N से X तक के फलन, N और X के क्रमचय तक

यह स्थिति संख्या n के विभाजनों ≤ x भागों की गणना के समान है। संघ पूर्व स्थिति के समान है, अतिरिक्त इसके कि अब विभाजन के कुछ भाग 0 के समान हो सकते हैं (विशेष रूप से, वे X के तत्वों के अनुरूप हैं जो फलन की छवि में नहीं हैं)। n के प्रत्येक विभाजन में अधिकतम x गैर-शून्य भागों को आवश्यक संख्या में शून्य जोड़कर इस तरह के विभाजन तक बढ़ाया जा सकता है और यह सभी संभावनाओं के लिए एक बार खाता है, इसलिए परिणाम $\textstyle \sum _{k=0}^{x}p_{k}(n)$ दिया जाता है। x भागों में से प्रत्येक में 1 जोड़कर, n + x का x गैर-शून्य भागों में विभाजन प्राप्त करता है, और यह पत्राचार विशेषण है; इसलिए दिए गए व्यंजक को इस $p_{x}(n+x)$ रूप में लिखकर सरल किया जा सकता है।

चरम स्थिति

उपरोक्त सूत्र सभी परिमित समुच्चय N और X के लिए उचित मान देते हैं। कुछ स्थितियों में ऐसे वैकल्पिक सूत्र हैं जो लगभग समतुल्य हैं, परन्तु कुछ चरम स्थितियों में सही परिणाम नहीं देते हैं, जैसे कि जब N या X रिक्त होते हैं। निम्नलिखित विचार ऐसे स्थितियों पर अनुप्रयुक्त होते हैं।

प्रत्येक समुच्चय X के लिए रिक्त समुच्चय से X तक पूर्णतया एक फलन होता है (निर्दिष्ट करने के लिए इस फलन का कोई मान नहीं है), जो सदैव अंतःक्षेपी होता है, परन्तु जब तक X (भी) रिक्त नहीं होता है तब तक प्रक्षेप्य नहीं होता है।
प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय N के लिए, N से रिक्त समुच्चय तक कोई फलन नहीं है (फलन का कम-से-कम एक मान है जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, परन्तु यह नहीं हो सकता)।
जब $n > x$ कोई अंतःक्षेपी फलन नहीं होता है तो $N \to X$ , और यदि $n < x$ कोई प्रक्षेप्य फलन $N \to X$ नहीं हैं।
सूत्रों में प्रयुक्त भाव विशेष मान के रूप में होते हैं।

0^{0}=0^{\underline {0}}=0!={\binom {0}{0}}={\binom {-1}{0}}=\left\{{0 \atop 0}\right\}=p_{0}(0)=1

(प्रथम तीन एक रिक्त उत्पाद और मान के उदाहरण

{\tbinom {-1}{0}}={\tfrac {(-1)^{\underline {0}}}{0!}}=1

हैं, द्विपद गुणांक के पारंपरिक विस्तार द्वारा दिया जाता है, ऊपरी सूचकांक के यादृच्छिक मान है), जबकि

\left\{{n \atop x}\right\}=p_{x}(n)=0\quad {\hbox{whenever either }}n>0=x{\hbox{ or }}0\leq n<x

विशेष रूप से, X से लिए गए n तत्वों के साथ बहु-समुच्चय की गणना स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति ${\tbinom {n+x-1}{n}}$ के समान ${\tbinom {n+x-1}{x-1}}$ है, परन्तु बाद की अभिव्यक्ति की स्थिति $n = x = 0$ के लिए 0 देगा, (सामान्य परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक निम्न सूचकांक वाले द्विपद गुणांक सदैव 0 होते हैं)। इसी प्रकार, x गैर-शून्य भागों के साथ n की गणना रचनाओं की स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति ${\tbinom {n-1}{n-x}}$ के लगभग व्यंजक ${\tbinom {n-1}{x-1}}$ के समतुल्य है। सितारों और बारों के तर्क द्वारा दिया गया है, परन्तु बाद वाला $n = 0$ और x के सभी मानों के लिए गलत मान देता है। उन स्थितियों के लिए जहां परिणाम में एक योग सम्मिलित होता है, अर्थात् अधिकतम x गैर-रिक्त उपसमुच्चय में N विभाजन की गणना या n के अधिकांश x गैर-शून्य भागों में विभाजन, योग सूचकांकों को 0 से प्रारंभ करने के लिए लिया जाता है; जब भी $n > 0$ होता है, यह अद्वितीय गैर-शून्य शब्द है जब $n = 0$ और परिणाम उन स्थितियों के लिए गलत होगा यदि योग और परिणाम उन स्थितियों के लिए गलत होगा यदि योग 1 से प्रारंभ करने के लिए लिया गया था।

सामान्यीकरण

हम क्रमचय के अन्य समूहों को N और X पर कार्य करने की अनुमति देकर और सामान्य कर सकते हैं। यदि G, N और H, X के क्रमचयों का एक समूह है, तो हम फलनों $f\colon N\rightarrow X$ के तुल्यता वर्गों की गणना करते हैं। दो फलन $f$ और $F$ को समतुल्य माना जाता है और केवल यदि, $g\in G,h\in H$ ताकि $F=h\circ f\circ g$ उपस्थित है। यह विस्तार चक्रीय क्रमचय और द्वितल समूह क्रमचय, साथ ही संख्याओं और समुच्चयों के चक्रीय और द्वितल विभाजन जैसी धारणाओं की ओर जाता है।

बीस गुना शैली

बीस गुना वे नामक एक अन्य सामान्यीकरण केनेथ पी. बोगार्ट द्वारा अपनी पुस्तक "निर्देशित खोज के माध्यम से साहचर्य" में विकसित किया गया था। वस्तुओं को संदूकों में वितरित करने की समस्या में वस्तुएँ और संदूकों दोनों समान या भिन्न हो सकते हैं। बोगार्ट 20 स्थितियों की पहचान करता है।^[3]

बीस गुना शैली; x प्राप्तकर्ताओं के मध्य n वस्तुओं के वितरण के लिए प्रतिरूप
क्रमांक	वस्तुएं	वितरण की स्थिति	प्राप्तकर्ता
क्रमांक	वस्तुएं	वितरण की स्थिति	विशिष्ट	अभिन्न
1	विशिष्ट	कोई प्रतिबंध नहीं	X में n-अनुक्रम $x^{n}$	N का ≤ x उपसमुच्चय में विभाजन $\sum _{i=0}^{x}\left\{{n \atop i}\right\}$
2		अधिक से अधिक एक	X का n-क्रमचय $x^{\underline {n}}$	${\begin{cases}1&{\text{if }}n\leq x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
3		कम-से-कम एक	x उपसमुच्चय के साथ N की संरचना $x!\left\{{n \atop x}\right\}$	N का x उपसमुच्चय में विभाजन $\left\{{n \atop x}\right\}$
4		यथार्थत: एक	$n!=x!$ क्रमचय	${\begin{cases}1&{\text{if }}n=x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
5	विशिष्ट, क्रमवार	प्रतिबंध नहीं	$x^{\overline {n}}$ क्रमित फलन	$\sum _{i=1}^{x}L(n,i)$ खंडित क्रमचय ( $\leq x$ भागों) जहाँ $L(n,i)$ लाह संख्या है।
6	विशिष्ट, क्रमवार	कम-से-कम एक	$(n)^{\underline {x}}(n-1)^{\underline {n-x}}$ फलनों पर क्रमवार	$L(n,x)=\left({n \atop x}\right)(n-1)^{\underline {n-x}}$ खंडित क्रमचय (x भागों) जहाँ $L(n,x)$ लाह संख्या है।
7	अभिन्न	प्रतिबंध नहीं	X का n- बहु-उपसमुच्चय $\left({x+n-1 \atop n}\right)$	$\sum _{i=1}^{x}p_{i}(n)$ संख्या विभाजन ( $\leq x$ भागों)
8		अधिक से अधिक एक	X का n-उपसमुच्चय $\left({x \atop n}\right)$	${\begin{cases}1&{\text{if }}n\leq x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
9		कम-से-कम एक	$\left({n-1 \atop x-1}\right)$ रचनाएँ (x भाग)	n का x भागों में विभाजन $p_{x}(n)$
10		यथार्थत: एक	${\begin{cases}1&{\text{if }}n=x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	${\begin{cases}1&{\text{if }}n=x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

यह भी देखें

सितारे और बार (कॉम्बिनेटरिक्स)

संदर्भ

↑ Richard P. Stanley (1997). Enumerative Combinatorics, Volume I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2. p.41
↑ Robert V. Hogg and Elliot A. Tanis (2001). Probability and Statistical Inference. Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-027294-9. p.81
↑ Kenneth P. Bogart (2004). Combinatorics Through Guided Discovery, p.57

[1] Richard P. Stanley (1997). Enumerative Combinatorics, Volume I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2. p.41

[2] Robert V. Hogg and Elliot A. Tanis (2001). Probability and Statistical Inference. Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13-027294-9. p.81

[3] Kenneth P. Bogart (2004). Combinatorics Through Guided Discovery, p.57

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Contents

संक्षिप्त विवरण

दृष्टिकोण

गेंद और संदूक

प्रतिदर्श

लेबलन, चयन, समूहीकरण

लेबलन और पुनरावृत्ति के साथ या पुनरावृत्ति के बिना

समुच्चय और संख्या का विभाजन

सूत्र

पंक्तियों और स्तंभों का सहज अर्थ

गेंद और संदूक परिदृश्य का उपयोग करके तालिका का सहज अर्थ

विभिन्न स्थितियों का विवरण

N से X तक के फलन

N से X तक के अंतःक्षेपी फलन

N के क्रमचय तक, N से X तक अंतःक्षेपी फलन

N से X तक के फलन, N के क्रमचय तक

N के क्रमचय तक, N से X तक प्रक्षेप्य फलन

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, N से X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन

N से X तक फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, N और X के क्रमचय तक

N से X तक के फलन, N और X के क्रमचय तक

चरम स्थिति

सामान्यीकरण

बीस गुना शैली

यह भी देखें

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Systematic classification of 12 related enumerative problems concerning two finite sets}}
 {{technical|date=मार्च 2019}}
-[[साहचर्य]] में, बारह गुना तरीका दो परिमित समुच्चयों से संबंधित 12 संबंधित गणनात्मक समस्याओं का एक व्यवस्थित वर्गीकरण है, जिसमें गणना [[क्रमपरिवर्तन]], संयोजन, [[ multiset ]] और विभाजन या तो एक समुच्चय या [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]] के विभाजन की शास्त्रीय समस्याएं सम्मिलित हैं। वर्गीकरण के विचार का श्रेय [[जियान-कार्लो रोटा]] को दिया जाता है, और नाम [[जोएल स्पेंसर]] द्वारा सुझाया गया था।<ref>[[Richard P. Stanley]] (1997). [http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ ''Enumerative Combinatorics, Volume I'']. Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-66351-2}}. p.41</ref>
+[[साहचर्य]] में, बारह गुना शैली दो परिमित समुच्चयों से संबंधित 12 संबंधित गणनात्मक समस्याओं का एक व्यवस्थित वर्गीकरण है, जिसमें गणना [[क्रमपरिवर्तन|क्रमचय]], संयोजन, [[ multiset |बहु-समुच्चय]] और विभाजन या तो एक समुच्चय या  संख्या की शास्त्रीय समस्याएं सम्मिलित हैं। वर्गीकरण के विचार का श्रेय [[जियान-कार्लो रोटा]] को दिया जाता है और नाम [[जोएल स्पेंसर]] द्वारा सुझाया गया था।<ref>[[Richard P. Stanley]] (1997). [http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/ ''Enumerative Combinatorics, Volume I'']. Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-66351-2}}. p.41</ref>
 == संक्षिप्त विवरण ==
-मान लीजिए कि {{mvar|N}} और {{mvar|X}} परिमित समुच्चय हो। मान लीजिए कि <math>n=|N|</math> और <math>x=|X|</math> समुच्चय की [[प्रमुखता]] हो। इस प्रकार {{mvar|N}} एक {{mvar|n}}-समुच्चय, और {{mvar|X}} एक {{mvar|x}}-तय करना।
+मान लीजिए कि {{mvar|N}} और {{mvar|X}}  परिमित समुच्चय हैं और <math>n=|N|</math> और <math>x=|X|</math> समुच्चय की [[प्रमुखता]] हैं। इस प्रकार {{mvar|N}} एक {{mvar|n}}-समुच्चय और {{mvar|X}}  एक {{mvar|x}}-समुच्चय हैं।
-हम जिस सामान्य समस्या पर विचार करते हैं, वह है फलन (गणित) के [[तुल्यता वर्ग]]ों की गणना। <math>f: N \to X</math>.
+हम जिस सामान्य समस्या पर विचार कर रहे हैं वह फलनों <math>f: N \to X</math> के तुल्यता वर्गों की गणना है।
-कार्य निम्नलिखित तीन प्रतिबंधों में से एक के अधीन हैं:
+फलन निम्नलिखित तीन प्रतिबंधों में से एक के अधीन हैं:
-# कोई प्रतिबन्ध नहीं: प्रत्येक {{mvar|a}} में {{mvar|N}} द्वारा भेजा जा सकता है {{mvar|f}} किसी को {{mvar|b}} में {{mvar|X}}, और प्रत्येक {{mvar|b}} कई बार हो सकता है।
+# कोई प्रतिबन्ध नहीं: {{mvar|N}} में प्रत्येक {{mvar|a}} को  {{mvar|f}}  द्वारा {{mvar|X}}  में किसी भी {{mvar|b}} को भेजा जा सकता है, और प्रत्येक {{mvar|b}} कई बार हो सकता है।
-# {{mvar|f}} [[इंजेक्शन समारोह|अंतःक्षेपक]]  है: प्रत्येक मान <math>f(a)</math> के लिए {{mvar|a}} में {{mvar|N}} एक दूसरे से अलग होना चाहिए, और इसलिए प्रत्येक {{mvar|b}} में {{mvar|X}} की [[छवि (गणित)]] में अधिकतम एक बार हो सकता है {{mvar|f}}.
+# {{mvar|f}}  [[इंजेक्शन समारोह|अंतःक्षेपी]] है: प्रत्येक मान {{mvar|N}} में  {{mvar|a}} के लिए <math>f(a)</math> में प्रत्येक दूसरे से अलग होना चाहिए और इसलिए {{mvar|X}}  में प्रत्येक {{mvar|b}}, {{mvar|f}}  छवि में अधिकतम एक बार हो सकता है।
-# {{mvar|f}} विशेषण है: प्रत्येक के लिए {{mvar|b}} में {{mvar|X}} कम से कम एक होना चाहिए {{mvar|a}} में {{mvar|N}} ऐसा है कि <math>f(a) = b</math>, इस प्रकार प्रत्येक {{mvar|b}} की छवि में कम से कम एक बार होगा {{mvar|f}}.
+# {{mvar|f}}  प्रक्षेप्य है:  {{mvar|X}}  में प्रत्येक {{mvar|b}}  के लिए  {{mvar|N}}  में कम-से-कम एक {{mvar|a}} ऐसा होना चाहिए कि <math>f(a) = b</math>, इस प्रकार प्रत्येक {{mvar|b}} कम-से-कम एक बार  {{mvar|f}}  की छवि में होगा।
-(स्थिति{{mvar|f}} is [[Bijection]] केवल एक विकल्प है जब <math>n=x</math>; परन्तु तब यह दोनों के समान है{{mvar|f}} अंतःक्षेपक है और{{mvar|f}} विशेषण है।)
+(स्थिति "{{mvar|f}}  [[Bijection|द्विभाजित]] है" केवल एक विकल्प है जब <math>n=x</math> है; परन्तु तब यह " {{mvar|f}} अंतःक्षेपी है" और "{{mvar|f}}  प्रक्षेप्य है" दोनों के समान है)।
-चार अलग-अलग [[तुल्यता संबंध]] हैं जिन्हें फलनों के समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|f}} से {{mvar|N}} को {{mvar|X}}:
+चार अलग-अलग [[तुल्यता संबंध]] हैं जिन्हे {{mvar|N}} से {{mvar|X}} तक के फलनों {{mvar|f}}  के समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है:
 # समानता;
-# के क्रम[[परिवर्तन]] [[तक]] समानता {{mvar|N}};
+# {{mvar|N}}  के क्रमचय तक समानता;
-# के क्रमपरिवर्तन तक समानता {{mvar|X}};
+# {{mvar|X}}  के क्रमचय तक समानता;
-# के क्रमपरिवर्तन तक समानता {{mvar|N}} और {{mvar|X}}.
+# {{mvar|N}} और {{mvar|X}} के क्रमचय तक समानता।
-फलनों पर तीन प्रतिबन्धों और चार समकक्ष संबंधों को जोड़ा जा सकता है {{math|1=3 &times; 4 = 12}} तौर तरीकों।
+फलनों पर तीन प्रतिबन्धों और चार तुल्यता संबंधों को {{math|1=3 &times; 4 = 12}} तरीकों से जोड़ा जा सकता है।
-फलनों के समतुल्य वर्गों की गणना की बारह समस्याओं में समान कठिनाइयाँ सम्मिलित नहीं हैं, और उन्हें हल करने के लिए एक व्यवस्थित तरीका नहीं है। समस्याओं में से दो तुच्छ हैं (तुल्यता वर्गों की संख्या 0 या 1 है), पाँच समस्याओं का उत्तर n और x के गुणक सूत्र के संदर्भ में है, और शेष पाँच समस्याओं का उत्तर संयोजक फलनों (स्टर्लिंग संख्या) के संदर्भ में है और दिए गए भागों की संख्या के लिए विभाजन (संख्या सिद्धांत)।
+फलनों के समतुल्य वर्गों की गणना की बारह समस्याओं में समान कठिनाइयाँ सम्मिलित नहीं हैं और उन्हें हल करने के लिए एक व्यवस्थित शैली नहीं है। समस्याओं में से दो तुच्छ हैं (तुल्यता वर्गों की संख्या 0 या 1 है), पाँच समस्याओं का उत्तर n और x के गुणक सूत्र के संदर्भ में है और शेष पाँच समस्याओं का उत्तर संयोजक फलन (स्टर्लिंग संख्याओं के संदर्भ में है और दिए गए भागों की संख्या के लिए विभाजन फलन) है।
 इस समायोजन में शास्त्रीय गणना समस्याओं का समावेश इस प्रकार है।
-* एक्स के एन-क्रमपरिवर्तन (अर्थात, [[आंशिक क्रमपरिवर्तन]] या पुनरावृत्ति के बिना अनुक्रम) की गणना #केस i|अंतःक्षेपक फलनों की गणना के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}}.
+* ''X'' के ''n''-क्रमचय (अर्थात, [[आंशिक क्रमपरिवर्तन|आंशिक क्रमचय]] या पुनरावृत्ति के बिना अनुक्रम) की गणना अंतःक्षेपी फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}} की गणना के समान है।
-* X के n-संयोजनों की गणना #case ininjective प्रफलनों की गणना करने के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}} N के क्रमपरिवर्तन तक।
+* ''X''  के ''n''-संयोजनों की गणना ''N'' के क्रमचय तक अंतःक्षेपी फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  की गणना करने के समान है।
-* समुच्चय X के क्रमपरिवर्तनों की गणना करना अंतःक्षेपी फलनों की गणना के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}} जब n = x, और #case s|surjective फलनों की गणना करने के लिए भी {{math|''N'' &rarr; ''X''}} कब {{math|1=''n'' = ''x''}}.
+* समुच्चय X के क्रमचयों की गणना अंतःक्षेपी फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  की गणना के समान है जब n = x, और प्रक्षेप्य फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  की गणना करने के लिए भी जब {{math|1=''n'' = ''x''}} है।
-* X में तत्वों के आकार n (जिसे पुनरावृत्ति के साथ n-संयोजन के रूप में भी जाना जाता है) के बहु-समुच्चय की गणना करना सभी #case fn|फ़ंक्शंस की गणना करने के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}} N के क्रमपरिवर्तन तक।
+*''X'' में तत्वों के आकार ''n'' (जिसे पुनरावृत्ति के साथ n-संयोजन के रूप में भी जाना जाता है) के बहु-समुच्चयों की गणना ''N'' के क्रमचय तक सभी फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}} की गणना के समान है।
-* समुच्चय N के x उपसमुच्चय में विभाजनों की गणना करना सभी #केस sx | प्रक्षेप फलनों को गिनने के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}} X के क्रमपरिवर्तन तक।
+* समुच्चय ''N'' के ''x'' उपसमुच्चयों में विभाजन की गणना करना, सभी प्रक्षेप्य फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  को ''X'' के क्रमचय तक गणना के समान है।
-* संख्या n की x भागों में [[रचना (संख्या सिद्धांत)]] की गणना सभी #केस एसएन | प्रक्षेप फलनों की गणना के समान है {{math|''N'' &rarr; ''X''}} N के क्रमपरिवर्तन तक।
+* संख्या ''n'' रचना को ''x'' भागों में गणना करना ''N'' के क्रमचय तक सभी प्रक्षेप्य फलनों {{math|''N'' &rarr; ''X''}} की गणना के समान है।
 == दृष्टिकोण ==
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 === गेंद और संदूक ===
-पारम्परिक रूप से कई समस्याओं को  बारह गुना तरीके से फलनों को परिभाषित करने के बजाय गेंदों को संदूकों (या कुछ इसी तरह के दृश्य) में रखने के संदर्भ में तैयार किया गया है। समुच्चय एन को गेंदों के समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है, और एक्स को संदूक के समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है; समारोह ƒ : {{math|''N'' &rarr; ''X''}} फिर गेंदों को बक्से में वितरित करने के तरीके का वर्णन करता है, अर्थात् प्रत्येक गेंद को संदूक ƒ(a) में डालकर। एक फलन अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय छवि प्रदान करता है; यह संपत्ति इस संपत्ति से परिलक्षित होती है कि कोई भी गेंद केवल एक संदूक में जा सकती है (इस आवश्यकता के साथ कि कोई भी गेंद संदूक के बाहर नहीं रहनी चाहिए), जबकि कोई भी संदूक गेंदों की मनमानी संख्या को समायोजित कर सकता है। इसके अतिरिक्त ƒ को अंतःक्षेपी होने की आवश्यकता का अर्थ है किसी एक संदूक में एक से अधिक गेंद डालने से मना करना, जबकि ƒ को आच्छादक होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक संदूक में कम से कम एक गेंद हो।
+पारम्परिक रूप से कई समस्याओं को  बारह प्रकार से फलनों को परिभाषित करने के बजाय गेंदों को संदूकों (या कुछ इसी तरह के दृश्य) में रखने के संदर्भ में तैयार किया गया है। समुच्चय ''N'' को गेंदों के समुच्चयों के साथ पहचाना जा सकता है और X को संदूकों के समुच्चयों के साथ पहचाना जा सकता है; फलन ƒ : {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  तब गेंदों को संदूकों में, अर्थात् प्रत्येक गेंद को संदूक ƒ(a) में डालकर वितरित करने के तरीके का वर्णन करता है। एक फलन अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय छवि प्रदान करता है; यह गुणधर्म इस गुणधर्म से परिलक्षित होती है कि कोई भी गेंद केवल एक संदूक में जा सकती है (इस आवश्यकता के साथ कि कोई भी गेंद संदूक के बाहर नहीं रहनी चाहिए), जबकि कोई भी संदूक गेंदों की यादृच्छिक संख्या को समायोजित कर सकता है। इसके अतिरिक्त ƒ को अंतःक्षेपी होने की आवश्यकता का अर्थ है किसी एक संदूक में एक से अधिक गेंद डालने से मना करना, जबकि ƒ को आच्छादक होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक संदूक में कम-से-कम एक गेंद हो।
-N या X के तुल्यता संबंध क्रमपरिवर्तन की गणना गेंदों या संदूकों को क्रमशः, अप्रभेद्य कह कर परिलक्षित होती है। यह एक सटीक सूत्रीकरण है, जिसका उद्देश्य यह इंगित करना है कि अलग-अलग विन्यासों को अलग-अलग नहीं गिना जाना चाहिए, यदि गेंदों या संदूकों के कुछ आदान-प्रदान से एक को दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। परिवर्तन की इस संभावना को क्रमपरिवर्तन द्वारा क्रिया द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।
+N या X के तुल्यता संबंध क्रमचय की गणना गेंदों या संदूकों को क्रमशः, "अप्रभेद्य" कह कर परिलक्षित होती है। यह एक सटीक सूत्रीकरण है, जिसका उद्देश्य यह इंगित करना है कि अलग-अलग विन्यासों को अलग-अलग नहीं गिना जाना चाहिए, यदि गेंदों या संदूकों के कुछ आदान-प्रदान से एक को दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। परिवर्तन की इस संभावना को क्रमचय क्रिया द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।
 === प्रतिदर्श ===
-कुछ स्थिति के  विषय में सोचने का दूसरा तरीका आंकड़ों में [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)|प्रतिदर्श (सांख्यिकी)]] के संदर्भ में है। एक्स  वस्तु (या लोगों) की आबादी की कल्पना करें, जिनमें से हम एन चुनते हैं। दो अलग-अलग योजनाओं को सामान्य रूप से वर्णित किया जाता है, जिन्हें [[प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण|प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श]] और [[प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण|प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श]] के रूप में जाना जाता है। पूर्व स्थिति में (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श), एक बार जब हम एक  वस्तु चुन लेते हैं, तो हम इसे आबादी में वापस रख देते हैं, ताकि हम इसे फिर से चुन सकें। परिणाम यह है कि प्रत्येक विकल्प अन्य सभी विकल्पों की [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] है, और प्रतिरूपो के समुच्चय को तकनीकी रूप से [[स्वतंत्र समान रूप से वितरित]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालांकि, बाद वाले स्थिति में, एक बार जब हम एक वस्तु चुन लेते हैं, तो हम उसे एक तरफ रख देते हैं ताकि हम उसे फिर से न चुन सकें। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु को चुनने की क्रिया का निम्नलिखित सभी विकल्पों पर प्रभाव पड़ता है (विशेष वस्तु को फिर से नहीं देखा जा सकता है), इसलिए हमारी पसंद एक दूसरे पर निर्भर हैं।
+कुछ स्थितियों के विषय में विचार करने का दूसरा तरीका आंकड़ों में [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)|प्रतिदर्श]] के संदर्भ में है। X वस्तु (या लोगों) की समष्टि की कल्पना करें, जिनमें से हम ''N'' चुनते हैं। दो अलग-अलग योजनाओं को सामान्य रूप से वर्णित किया जाता है, जिन्हें [[प्रतिस्थापन के साथ नमूनाकरण|प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श]] और [[प्रतिस्थापन के बिना नमूनाकरण|प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श]] के रूप में जाना जाता है। पूर्व स्थिति में (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श), एक बार जब हम एक वस्तु चुन लेते हैं, तो हम इसे समष्टि में वापस रख देते हैं, ताकि हम इसे फिर से चुन सकें। परिणाम यह है कि प्रत्येक विकल्प अन्य सभी विकल्पों से स्वतंत्र है और प्रतिरूपो के समुच्चय को तकनीकी रूप से [[स्वतंत्र समान रूप से वितरित]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालांकि, बाद वाली स्थिति में, एक बार जब हम एक वस्तु चुन लेते हैं, तो हम उसे एक ओर रख देते हैं ताकि हम उसे फिर से न चुन सकें। इसका अर्थ है कि किसी वस्तु को चुनने की क्रिया का निम्नलिखित सभी विकल्पों पर प्रभाव पड़ता है (विशेष वस्तु को फिर से नहीं देखा जा सकता है), इसलिए हमारी पसंद एक दूसरे पर निर्भर हैं।
-प्रतिदर्श योजनाओं के मध्य एक दूसरा अंतर यह है कि क्या आदेश देना महत्व रखता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दस  वस्तु हैं, जिनमें से हम दो चुनते हैं, तो विकल्प (4,7) अलग है (7,4) यदि क्रमण देना महत्व रखता है; दूसरी ओर, यदि आदेश देने से कोई फर्क नहीं पड़ता है, तो विकल्प (4,7) और (7,4) समतुल्य हैं। (इसके  विषय में सोचने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक विकल्प को  वस्तु संख्या से क्रमबद्ध करें, और परिणाम के किसी भी डुप्लीकेट को फेंक दें।)
+प्रतिदर्श योजनाओं के मध्य एक दूसरा अंतर यह है कि क्या क्रमीकरण महत्व रखता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दस वस्तु हैं, जिनमें से हम दो चुनते हैं, तो विकल्प (4,7) भिन्न है (7,4) यदि क्रमीकरण महत्व रखता है; दूसरी ओर, यदि क्रमीकरण से कोई असमानता नहीं होती है, तो विकल्प (4,7) और (7,4) समतुल्य हैं (इसके विषय में विचार करने का एक और तरीका यह है कि प्रत्येक विकल्प को वस्तु संख्या से क्रमबद्ध करें और परिणाम के किसी भी अनुकृति को फेंक दें)।
-नीचे दी गई तालिका की पहली दो पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम पर विचार किए बिना और बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप के अनुरूप हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप के स्थिति किसी भी एफ लेबल वाले पंक्ति में पाए जाते हैं, जबकि बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप के स्थिति अंतःक्षेपक एफ लेबल वाले पंक्ति में पाए जाते हैं। ऐसे स्थिति जहां क्रमण देने वाले स्थिति अलग लेबल वाली पंक्ति में पाए जाते हैं, और ऐसे स्थिति जहां क्रमण देने से कोई फर्क नहीं पड़ता, वे S लेबल वाली पंक्ति में पाए जाते हैं<sub>''n''</sub> कक्षाओं। प्रत्येक तालिका प्रविष्टि इंगित करती है कि किसी विशेष प्रतिदर्श योजना में विकल्पों के कितने अलग-अलग समुच्चय हैं। इन तालिका प्रविष्टियों में से तीन [[संभाव्यता वितरण]] के अनुरूप भी हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमण महत्व रखता है, एन अलग-अलग यादृच्छिक चर के [[संयुक्त वितरण]] का वर्णन करने के लिए तुलनीय है, प्रत्येक एक्स-गुना [[श्रेणीबद्ध वितरण]] के साथ। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमण देना महत्व नहीं रखता है, हालांकि, एन के एकल बहुराष्ट्रीय वितरण का वर्णन करने के लिए एक एक्स-गुना श्रेणी से तुलना की जाती है, जहां प्रत्येक श्रेणी के केवल देखे गए संख्या महत्व रखते हैं। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां आदेश देना कोई महत्व नहीं रखता है, एक एकल [[बहुभिन्नरूपी हाइपरज्यामितीय वितरण]] के साथ तुलना करने योग्य है। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां आदेश महत्व रखता है वह संभाव्यता वितरण के अनुरूप नहीं लगता है।<ref>[[Robert V. Hogg and Elliot A. Tanis]] (2001). ''Probability and Statistical Inference''. Prentice-Hall, Inc. {{ISBN|0-13-027294-9}}. p.81</ref> ध्यान दें कि सभी अंतःक्षेपक स्थिति में (अर्थात प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श), विकल्पों के समुच्चय की संख्या शून्य है जब तक कि {{math|''N'' ≤ ''X''}}. (उपर्युक्त स्थिति में तुलनीय का अर्थ है कि संबंधित वितरण के प्रतिरूप स्थान का प्रत्येक तत्व विकल्पों के एक अलग समुच्चय से मेल खाता है, और इसलिए उपयुक्त संदूक में संख्या दिए गए वितरण के लिए प्रतिरूप स्थान के आकार को इंगित करती है।)
+नीचे दी गई तालिका की पहली दो पंक्तियाँ और स्तंभ क्रम पर विचार किए बिना और बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप के अनुरूप हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप की स्थिति "किसी भी ''f"'' लेबल वाले स्तंभ में पाए जाते हैं, जबकि बिना प्रतिस्थापन के प्रतिरूप की स्थिति "अंतःक्षेपी ''f"'' लेबल वाले स्तंभ में पाए जाते हैं। ऐसी स्थिति जहां क्रमीकरण वाली स्थिति "भिन्न" लेबल वाली स्तंभ में पाए जाते हैं और ऐसी स्थिति जहां क्रमीकरण से कोई असमानता नहीं होती है, वे "S<sub>''n''</sub> कक्षाएं" लेबल वाली स्तंभ में पाए जाते हैं। प्रत्येक तालिका प्रविष्टि इंगित करती है कि किसी विशेष प्रतिदर्श योजना में विकल्पों के कितने अलग-अलग समुच्चय हैं। इन तालिका प्रविष्टियों में से तीन [[संभाव्यता वितरण]] के अनुरूप भी हैं। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमण महत्व रखता है, ''N'' अलग-अलग यादृच्छिक चर के [[संयुक्त वितरण]] का वर्णन करने के लिए प्रत्येक X-गुना [[श्रेणीबद्ध वितरण]] के साथ तुलनीय है। प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण महत्व नहीं रखता है, हालांकि, ''N'' के एकल बहुराष्ट्रीय वितरण का वर्णन करने के लिए एक X-गुना श्रेणी से तुलना की जाती है, जहां प्रत्येक श्रेणी की केवल देखी गयी संख्या महत्व रखती हैं। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण कोई महत्व नहीं रखता है, एक एकल [[बहुभिन्नरूपी हाइपरज्यामितीय वितरण]] के साथ तुलना करने योग्य है। प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श जहां क्रमीकरण महत्व रखता है वह संभाव्यता वितरण के अनुरूप नहीं लगता है।<ref>[[Robert V. Hogg and Elliot A. Tanis]] (2001). ''Probability and Statistical Inference''. Prentice-Hall, Inc. {{ISBN|0-13-027294-9}}. p.81</ref> ध्यान दें कि सभी "अंतःक्षेपी" स्थितियों में (अर्थात, प्रतिस्थापन के बिना प्रतिदर्श), विकल्पों के समुच्चयों की संख्या शून्य है जब तक कि {{math|''N'' ≤ ''X''}}  है (उपर्युक्त स्थिति में तुलनीय का अर्थ है कि संबंधित वितरण के प्रतिरूप स्थान का प्रत्येक तत्व विकल्पों के एक अलग समुच्चय से मेल खाता है और इसलिए उपयुक्त संदूक में संख्या दिए गए वितरण के लिए प्रतिरूप स्थान के आकार को इंगित करती है)।
-प्रतिदर्श के परिप्रेक्ष्य से, विशेषण f लेबल वाला पंक्ति कुछ असामान्य है: अनिवार्य रूप से, हम तब तक प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप लेते रहते हैं जब तक कि हम प्रत्येक वस्तु को कम से कम एक बार नहीं चुन लेते। फिर, हम गिनते हैं कि हमने कितने चुनाव किए हैं, और यदि यह N के समान नहीं है, तो सम्पूर्ण समुच्चय को बाहर फेंक दें और दोहराएं। यह कूपन कलेक्टर की समस्या के लिए अस्पष्ट रूप से तुलनीय है, जहां प्रक्रिया में प्रत्येक कूपन को कम से कम एक बार देखे जाने तक एक्स कूपन का एक समुच्चय (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श द्वारा) एकत्र करना सम्मिलित है। ध्यान दें कि सभी विशेषण स्थिति में, पसंद के समुच्चय की संख्या शून्य है जब तक कि {{math|''N'' ≥ ''X''}}.
+प्रतिदर्श के परिप्रेक्ष्य से, "परिप्रेक्ष्य f" लेबल वाला स्तंभ कुछ असामान्य है: अनिवार्य रूप से, हम तब तक प्रतिस्थापन के साथ प्रतिरूप लेते रहते हैं जब तक कि हम प्रत्येक वस्तु को कम-से-कम एक बार नहीं चुन लेते। फिर, हम गणना करते हैं कि हमने कितने चुनाव किए हैं और यदि यह ''N'' के समान नहीं है, तो सम्पूर्ण समुच्चय को बाहर फेंक दें और दोहराएं। यह कूपन संग्रहकर्ता की समस्या के लिए अस्पष्ट रूप से तुलनीय है, जहां प्रक्रिया में प्रत्येक कूपन को कम-से-कम एक बार देखे जाने तक X कूपन का एक समुच्चय (प्रतिस्थापन के साथ प्रतिदर्श द्वारा) एकत्र करना सम्मिलित है। ध्यान दें कि सभी प्रक्षेप्य स्थिति में, विकल्प समुच्चय की संख्या शून्य है जब तक कि {{math|''N'' ≥ ''X''}} है।
 === लेबलन, चयन, समूहीकरण ===
-एक समारोह ƒ : {{math|''N'' &rarr; ''X''}} को X या N के परिप्रेक्ष्य से माना जा सकता है। यह विभिन्न विचारों की ओर ले जाता है:
+एक फलन ƒ : {{math|''N'' &rarr; ''X''}}  को ''X'' या ''N'' के परिप्रेक्ष्य से माना जा सकता है। यह विभिन्न विचारों की ओर ले जाता है:
-* फलन ƒ N के प्रत्येक तत्व को X के एक तत्व द्वारा लेबल करता है।
+* फलन ƒ, ''N'' के प्रत्येक तत्व को ''X'' के एक तत्व द्वारा लेबल करता है।
-* फलन ƒ एन के प्रत्येक तत्व के लिए समुच्चय एक्स के एक [[तत्व (गणित)]] का चयन करता है (चुनता है), कुल एन विकल्प।
+* फलन ƒ, ''N'' के प्रत्येक तत्व और कुल ''n'' विकल्पों के लिए समुच्चय ''X'' के एक [[तत्व (गणित)|तत्व]] का चयन करता है।
-* फलन ƒ N के तत्वों को एक साथ समूहित करता है जिन्हें X के समान तत्व से मैप किया जाता है।
+* फलन ƒ, ''N'' के तत्वों को एक साथ समूहित करता है, जिन्हें ''X'' के समान तत्व से मानचित्रित किया जाता है।
-ये दृष्टिकोण सभी स्थिति के लिए समान रूप से अनुकूल नहीं हैं। लेबलन और चयन बिंदु एक्स के तत्वों के क्रमचय के साथ अच्छी तरह से संगत नहीं हैं, क्योंकि यह लेबल या चयन को बदलता है; दूसरी ओर समूहीकरण बिंदु विन्यास के विषय में सम्पूर्ण सूचना नहीं देता है जब तक कि एक्स के तत्वों को स्वतंत्र रूप से अनुमत नहीं किया जा सकता है। जब N को अनुमत नहीं किया जाता है, तो लेबलन और चयन बिंदु लगभग समतुल्य होते हैं, परन्तु जब यह होता है, तो चयन बिंदु अधिक अनुकूल होता है। तब चयन को एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखा जा सकता है: X से n तत्वों के एक (बहु-) समुच्चय का एकल विकल्प बनाया जाता है।
+ये दृष्टिकोण सभी स्थितियों के लिए समान रूप से अनुकूल नहीं हैं। लेबलन और चयन बिंदु ''X'' के तत्वों के क्रमचय के साथ अच्छी तरह से संगत नहीं हैं, क्योंकि यह लेबल या चयन को परिवर्तित करता है; दूसरी ओर समूहीकरण बिंदु विन्यास के विषय में सम्पूर्ण सूचना नहीं देता है जब तक कि ''X'' के तत्वों को स्वतंत्र रूप से अनुमत नहीं किया जा सकता है। जब ''N'' को अनुमत नहीं किया जाता है, तो लेबलन और चयन बिंदु लगभग समतुल्य होते हैं, परन्तु जब यह होता है, तो चयन बिंदु अधिक अनुकूल होता है। तब चयन को एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखा जा सकता है: ''X'' से ''n'' तत्वों के एक (बहु-) समुच्चय का एकल विकल्प बनाया जाता है।
-=== लेबलन और पुनरावृत्ति के साथ या बिना चयन ===
+=== लेबलन और पुनरावृत्ति के साथ या पुनरावृत्ति के बिना ===
-जब ƒ को N के तत्वों की लेबलन के रूप में देखा जाता है, तो बाद वाले को एक क्रम में व्यवस्थित माना जा सकता है, और X से लेबल को क्रमिक रूप से उन्हें सौंपा जा सकता है। एक आवश्यकता जो ƒ अंतःक्षेपी होने का अर्थ है कि किसी भी लेबल का दूसरी बार उपयोग नहीं किया जा सकता है; नतीजा दोहराव के बिना लेबल का अनुक्रम है। ऐसी आवश्यकता के अभाव में, पुनरावृत्ति के साथ शब्दावली अनुक्रम का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि लेबल का एक से अधिक बार उपयोग किया जा सकता है (हालांकि पुनरावृत्ति के बिना होने वाले अनुक्रमों की भी अनुमति है)।
+जब ƒ को ''N'' के तत्वों के लेबलन के रूप में देखा जाता है, तो बाद वाले को एक क्रम में व्यवस्थित माना जा सकता है और ''X'' से लेबल को क्रमिक रूप से उन्हें सौंपा जा सकता है। एक आवश्यकता जो ƒ अंतःक्षेपी होने का अर्थ है कि किसी भी लेबल का दूसरी बार उपयोग नहीं किया जा सकता है; परिणाम दोहराव के बिना लेबल का अनुक्रम है। ऐसी आवश्यकता के अभाव में, पुनरावृत्ति के साथ शब्दावली अनुक्रम का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है कि लेबल का एक से अधिक बार उपयोग किया जा सकता है (हालांकि पुनरावृत्ति के बिना होने वाले अनुक्रमों की भी अनुमति है)।
-ƒ को X के तत्वों के एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखते समय, उसी प्रकार का भेद अनुप्रयुक्त होता है। यदि ƒ अंतःक्षेपी होना चाहिए, तो चयन में X के विशिष्ट तत्व सम्मिलित होने चाहिए, इसलिए यह आकार n का X का एक उपसमुच्चय है, जिसे n-[[संयोजन]] भी कहा जाता है। आवश्यकता के बिना, एक्स का एक और एक ही तत्व चयन में कई बार हो सकता है, और परिणाम एक्स से तत्वों के आकार एन का एक बहु-समुच्चय होता है, जिसे एन-[[ बहुसंयोजन ]] या पुनरावृत्ति के साथ एन-संयोजन भी कहा जाता है।
+ƒ को ''X'' के तत्वों के एक अनियंत्रित चयन के रूप में देखते समय, उसी प्रकार का भेद अनुप्रयुक्त होता है। यदि ƒ अंतःक्षेपी होना चाहिए, तो चयन में ''X'' के विशिष्ट तत्व सम्मिलित होने चाहिए, इसलिए यह आकार ''n'' का ''X'' का एक उपसमुच्चय है, जिसे ''n''-[[संयोजन]] भी कहा जाता है। आवश्यकता के बिना, ''X'' का एक और एक ही तत्व चयन में कई बार हो सकता है और परिणाम ''X'' से तत्वों के आकार ''n'' का एक बहु-समुच्चय होता है, जिसे ''n''-[[ बहुसंयोजन ]]या पुनरावृत्ति के साथ ''n''-संयोजन भी कहा जाता है।
-एन के लेबलन तत्वों के दृष्टिकोण से ƒ विशेषण होने की आवश्यकता का अर्थ है कि प्रत्येक लेबल का कम से कम एक बार उपयोग किया जाना है; एक्स से चयन के दृष्टिकोण से, इसका अर्थ है कि एक्स के प्रत्येक तत्व को चयन में कम से कम एक बार सम्मिलित किया जाना चाहिए। प्रक्षेपण के साथ लेबलन एन के तत्वों के समूह के समान है जिसके बाद प्रत्येक समूह को एक्स के तत्व द्वारा लेबल किया जाता है, और तदनुसार गणितीय रूप से वर्णन करने के लिए कुछ अधिक जटिल है।
+''N'' के लेबलन तत्वों के दृष्टिकोण से ƒ प्रक्षेप्य होने की आवश्यकता का अर्थ है कि ''X'' से चयन के दृष्टिकोण से, प्रत्येक लेबल का कम-से-कम एक बार उपयोग किया जाना है, इसका अर्थ है कि ''X'' के प्रत्येक तत्व को चयन में कम-से-कम एक बार सम्मिलित किया जाना चाहिए। प्रक्षेपण के साथ लेबलन ''N'' के तत्वों के समूह के समान है जिसके बाद प्रत्येक समूह को ''X'' के तत्व द्वारा लेबल किया जाता है और तदनुसार गणितीय रूप से वर्णन करने के लिए कुछ अधिक जटिल है।
 === समुच्चय और संख्या का विभाजन ===
-ƒ को N के तत्वों के समूह के रूप में देखते समय (जो मानता है कि X के क्रमपरिवर्तन के अंतर्गत पहचान की जाती है), ƒ को विशेषण के रूप में देखने का अर्थ है कि समूहों की संख्या निश्चित रूप से x होनी चाहिए। इस आवश्यकता के बिना समूहों की संख्या अधिकतम x हो सकती है। अंतःक्षेपी ƒ की आवश्यकता का अर्थ है कि N का प्रत्येक तत्व अपने आप में एक समूह होना चाहिए, जो अधिक से अधिक एक मान्य समूह छोड़ता है और इसलिए एक अरोचक गणना समस्या देता है।
+ƒ को ''N'' के तत्वों के समूह के रूप में देखते समय (जो मानता है कि X के क्रमचय के अंतर्गत पहचान की जाती है), ƒ को प्रक्षेप्य के रूप में देखने का अर्थ है कि समूहों की संख्या निश्चित रूप से ''x'' होनी चाहिए। इस आवश्यकता के बिना समूहों की संख्या अधिकतम ''x'' हो सकती है। अंतःक्षेपी ƒ की आवश्यकता का अर्थ है कि ''N'' का प्रत्येक तत्व स्वयम में एक समूह होना चाहिए, जो अधिक से अधिक एक मान्य समूह छोड़ता है और इसलिए एक अरोचक गणना समस्या देता है।
-इसके अतिरिक्त जब कोई N के क्रमचय के अंतर्गत पहचान करता है, तो इसका अर्थ समूहों को भूल जाना है परन्तु केवल उनके आकार को बनाए रखना है। इसके अतिरिक्त ये आकार किसी निश्चित क्रम में नहीं आते हैं, जबकि एक ही आकार एक से अधिक बार हो सकता है; कोई उन्हें संख्याओं की दुर्बलता से घटती सूची में व्यवस्थित करना चुन सकता है, जिसका योग संख्या n है। यह संख्या n के एक विभाजन (संख्या सिद्धांत) की संयोजी धारणा देता है, पूर्णतया x (आच्छादक ƒ के लिए) या अधिकतम x (यादृच्छिक ƒ के लिए) भागों में।
+इसके अतिरिक्त जब कोई ''N'' के क्रमचय के अंतर्गत पहचान करता है, तो इसका अर्थ समूहों को भूल जाना है परन्तु केवल उनके आकार को बनाए रखना है। इसके अतिरिक्त ये आकार किसी निश्चित क्रम में नहीं आते हैं, जबकि एक ही आकार एक से अधिक बार हो सकता है; कोई उन्हें संख्याओं की दुर्बलता से घटती सूची में व्यवस्थित करना चुन सकता है, जिसका योग संख्या ''n'' है। पूर्णतया x (आच्छादक ƒ के लिए) या अधिकतम x (यादृच्छिक ƒ के लिए) भागों में,यह संख्या n के एक विभाजन की संयोजी धारणा देता है।
 == सूत्र ==
-बारह गुना तरीके के विभिन्न स्थिति के सूत्र निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित हैं; प्रत्येक तालिका प्रविष्टि सूत्र की व्याख्या करते हुए नीचे एक उपखंड से जुड़ती है।
+बारह गुना तरीके के विभिन्न स्थितियों के सूत्र निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित हैं; प्रत्येक तालिका प्रविष्टि सूत्र की व्याख्या करते हुए नीचे एक उपखंड से जुड़ती है।
 {| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto; text-align:center; border:none;"
-|+ The twelve combinatorial objects and their enumeration formulas
+|+ बारह मिश्रित वस्तुएँ और उनके गणना के सूत्र
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-! ''f''-class
+! ''f''-वर्ग
-! Any ''f''
+! कोई भी ''f''
-! Injective ''f''
+! अंतःक्षेपक ''f''
-! Surjective ''f''
+! प्रक्षेप्य ''f''
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 <!-- | {{mvar|f}}
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 | विशिष्ट<br>{{mvar|f}}
-| [[#case f|''n''-sequence in ''X'' <br><math>x^n</math>]]
+| [[#case f|x में n-अनुक्रम<br><math>x^n</math>]]
-| [[#case i|''n''-permutation of ''X'' <br><math>x^{\underline n}</math>]]
+| [[#case i|X का n-क्रमपरिवर्तन<br><math>x^{\underline n}</math>]]
-| [[#case s|composition of ''N'' with ''x'' उपसमुच्चय <br><math>x!\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
+| [[#case s|x उपसमुच्चय के साथ n की संरचना<br><math>x!\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
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-| '''S'''<sub>''n''</sub> orbits <br>{{math|1=''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
+| '''S'''<sub>''n''</sub> कक्षाएं<br>{{math|1=''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
-|  [[#case fn|''X का'' ''n''-बहुउपसमुच्चय <br><math>\binom{x + n - 1}{n}</math>]]
+|  [[#case fn|''X का'' ''n''- बहु-उपसमुच्चय <br><math>\binom{x + n - 1}{n}</math>]]
-| [[#case in|''n''-उपसमुच्चय of ''X''<br><math>\binom{x}{n}</math>]]
+| [[#case in|X का n-उपसमुच्चय<br><math>\binom{x}{n}</math>]]
-| [[#case sn|composition of ''n'' with ''x'' terms <br><math>\binom{n - 1}{n - x}</math>]]
+| [[#case sn|x पदों के साथ n की]] [[#case s|संरचना]]<br><math>\binom{n - 1}{n - x}</math>
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-| '''S'''<sub>''x''</sub> orbits <br>{{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f''}}
+| '''S'''<sub>''x''</sub> कक्षाएं<br>{{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f''}}
-| [[#case fx|partition of ''N'' into ≤ ''x'' उपसमुच्चयs <br><math>\sum_{k=0}^x\left\{{n \atop k}\right\}</math>]]
+| [[#case fx|N का ≤ x उपसमुच्चय में विभाजन<br><math>\sum_{k=0}^x\left\{{n \atop k}\right\}</math>]]
-| [[#case ix|partition of ''N'' into ≤ ''x'' elements <br><math>[n \leq x]</math>]]
+| [[#case ix|N का ≤ x तत्वों में विभाजन<br><math>[n \leq x]</math>]]
-| [[#case sx|partition of ''N'' into ''x'' उपसमुच्चय <br><math>\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
+| [[#case sx|N का x उपसमुच्चय में विभाजन<br><math>\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
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-| '''S'''<sub>''n''</sub>×'''S'''<sub>''x''</sub> orbits <br>{{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
+| '''S'''<sub>''n''</sub>×'''S'''<sub>''x''</sub> कक्षाएं<br>{{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
-| [[#case fnx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts <br><math>p_x(n + x)</math>]]
+| [[#case fnx|n का ≤ x भागों में विभाजन<br><math>p_x(n + x)</math>]]
-| [[#case inx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts 1 <br><math>[n \leq x]</math>]]
+| [[#case inx|n का ≤ x भाग 1 में विभाजन<br><math>[n \leq x]</math>]]
-| [[#case snx|partition of ''n'' into ''x'' parts <br><math>p_x(n)</math>]]
+| [[#case snx|n का x भागों में विभाजन<br><math>p_x(n)</math>]]
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 उपयोग की जाने वाली विशेष संकेत पद्धति हैं:
-* गिरती तथ्यात्मक शक्ति <math display="inline">x^{\underline n} = \frac{x!}{(x - n)!} = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - n + 1)</math>,
+* अवरोही क्रमगुणित घात <math display="inline">x^{\underline n} = \frac{x!}{(x - n)!} = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - n + 1)</math> है।
-* पोचममेर प्रतीक # वैकल्पिक अंकन <math display="inline">x^{\overline n} = \frac{(x + n - 1)!}{(x - 1)!} = x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1)</math>,
+* आरोही क्रमगुणित घात <math display="inline">x^{\overline n} = \frac{(x + n - 1)!}{(x - 1)!} = x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1)</math> है।
-* तथ्यात्मक <math display="inline">n! = n^{\underline n} = n(n-1)(n-2)\cdots1</math>
+* क्रमगुणित <math display="inline">n! = n^{\underline n} = n(n-1)(n-2)\cdots1</math> है।
-* [[दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या]] <math display="inline">\left\{{n \atop k}\right\}</math>, n तत्वों के एक समुच्चय को k उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है
+* [[दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या]] <math display="inline">\left\{{n \atop k}\right\}</math> है, ''n'' तत्वों के एक समुच्चय को ''k'' उपसमुच्चयों में विभाजित करने के तरीकों की संख्याओं को दर्शाता है।
-* [[द्विपद गुणांक]] <math display="inline">\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline k}}{k!}</math>
+* [[द्विपद गुणांक]] <math display="inline">\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline k}}{k!}</math> है।
-* [[आइवरसन ब्रैकेट]] [] एक सत्य मान को 0 या 1 के रूप में विकोडन करता है
+* [[आइवरसन ब्रैकेट|आइवरसन कोष्ठक]] [ ] एक सत्य मान को 0 या 1 के रूप में विकोडन करता है।
-* जो संख्या <math display="inline">p_k(n)</math> n के k भागों में विभाजन (संख्या सिद्धांत) का
+* जो संख्या <math display="inline">p_k(n)</math> ''n'' के ''k'' भागों में का विभाजन है।
 === पंक्तियों और स्तंभों का सहज अर्थ ===
-यह त्वरित सारांश है कि विभिन्न स्थिति का क्या अर्थ है। स्थिति का विवरण नीचे दिया गया है।
+यह त्वरित सारांश है कि विभिन्न स्थितियों का क्या अर्थ है। स्थितियों का विवरण नीचे दिया गया है।
-X क्रमांकित वस्तुओं (1 से x तक क्रमांकित) के एक समुच्चय के  विषय में सोचें, जिसमें से हम n चुनते हैं, वस्तुओं की एक आदेशित सूची प्रदान करते हैं: उदा। अगर वहाँ <math>x = 10</math> जिन वस्तुओं को हम चुनते हैं <math>n = 3</math>परिणाम सूची (5, 2, 10) हो सकता है। फिर हम गिनते हैं कि ऐसी कितनी अलग-अलग सूचियाँ उपस्थित हैं, कभी-कभी पहले सूचियों को उन तरीकों से रूपांतरित करते हैं जो अलग-अलग संभावनाओं की संख्या को कम करते हैं।
+''X'' क्रमांकित वस्तुओं (1 से ''x'' तक क्रमांकित) के एक समुच्चय के विषय में विचार करें, जिसमें से हम ''n'' चुनते हैं, वस्तुओं की एक क्रमित सूची प्रदान करते हैं: उदाहरणार्थ, यदि वहाँ <math>x = 10</math> जिन वस्तुओं को हम चुनते हैं <math>n = 3</math> परिणाम सूची (5, 2, 10) हो सकता है। फिर हम गणना करते हैं कि ऐसी कितनी अलग-अलग सूचियाँ उपस्थित हैं, कभी-कभी पहले सूचियों को उन तरीकों से रूपांतरित करते हैं जो अलग-अलग संभावनाओं की संख्या को कम करते हैं।
 तब स्तंभों का अर्थ है:
-; कोई भी f: किसी वस्तु को चयन करने के पश्चात, हम उसे वापस रख देते हैं, ताकि हम उसे फिर से चुन सकें।
+; कोई भी ''f'': किसी वस्तु को चयन करने के पश्चात, हम उसे वापस रख देते हैं, ताकि हम उसे पुनः चुन सकें।
-; अंतःक्षेपक एफ: एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे अलग रख देते हैं, इसलिए हम इसे फिर से नहीं चुन सकते; इसलिए हम n विशिष्ट वस्तुओं के साथ समाप्त करेंगे। अनिवार्य रूप से, जब तक <math>n \leq x</math>, कोई भी सूची पूर्णतया नहीं चुनी जा सकती।
+; अंतःक्षेपी ''f'': एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे अलग रख देते हैं, इसलिए हम इसे पुनः नहीं चुन सकते; इसलिए हम n विशिष्ट वस्तुओं के साथ समाप्त करेंगे। अनिवार्य रूप से, जब तक <math>n \leq x</math> हैं, कोई भी सूची पूर्णतया  चुनी नहीं जा सकती हैं।
-; प्रक्षेप्य एफ: एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे वापस रख देते हैं, इसलिए हम इसे फिर से चुन सकते हैं - परन्तु अंत में, हमें प्रत्येक  वस्तु को कम से कम एक बार चुनना होगा। अनिवार्य रूप से, जब तक <math>n \geq x</math>, कोई भी सूची पूर्णतया नहीं चुनी जा सकती।
+; प्रक्षेप्य f: एक वस्तु चयन करने के पश्चात, हम इसे वापस रख देते हैं, इसलिए हम इसे पुनः चुन सकते हैं - परन्तु अंत में, हमें प्रत्येक वस्तु को कम-से-कम एक बार चुनना होगा। अनिवार्य रूप से, जब तक <math>n \geq x</math>, कोई भी सूची पूर्णतया चुनी नहीं जा सकती हैं।
-और पंक्तियों का अर्थ है:
+और स्तंभयों का अर्थ है:
-; विशिष्ट: सूचियों को अकेला छोड़ दें; उन्हें सीधे गिनें।
+; विशिष्ट: सूचियों को एकाकी छोड़ दें; उन्हें सीधे गिनें।
-; एस<sub>''n''</sub> कक्षाएँ: गिनने से पहले, चुने गए  वस्तुों की  वस्तु संख्या द्वारा सूचियों को क्रमबद्ध करें, ताकि क्रम कोई महत्व न रखे, जैसे, (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10)।
+; S<sub>''n''</sub> कक्षाएँ: गणना से पूर्व, चुने गए वस्तुओं की वस्तु संख्या द्वारा सूचियों को क्रमबद्ध करें, ताकि क्रम कोई महत्व न रखे, जैसे, (5, 2, 10), (10, 2, 5), (2, 10, 5) → (2, 5, 10) हैं।
-; एस<sub>''x''</sub> कक्षाएँ: गिनने से पहले, देखी गई वस्तुओं को फिर से क्रमांकित करें ताकि पहली देखी गई वस्तु की संख्या 1, दूसरी 2, आदि हो। यदि किसी वस्तु को एक से अधिक बार देखा गया था, तो संख्याएँ दोहराई जा सकती हैं, जैसे, (3, 5, 3), (5, 2, 5), (4, 9, 4) → (1, 2, 1) जबकि (3, 3, 5), (5, 5, 3), (2, 2, 9) → (1, 1, 2).
+; S<sub>''x''</sub> कक्षाएँ: गणना से पूर्व, देखी गई वस्तुओं को पुनः क्रमांकित करें ताकि पहली देखी गई वस्तु की संख्या 1, दूसरी 2, आदि हो। यदि किसी वस्तु को एक से अधिक बार देखा गया था, तो संख्याएँ दोहराई जा सकती हैं, जैसे, (3, 5, 3), (5, 2, 5), (4, 9, 4) → (1, 2, 1) जबकि (3, 3, 5), (5, 5, 3), (2, 2, 9) → (1, 1, 2) हैं।
-; एस<sub>''n''</sub> × एस<sub>''x''</sub> कक्षाएँ: दो सूचियाँ समान मानी जाती हैं यदि यह दोनों को पुन: व्यवस्थित करना और उन्हें ऊपर के रूप में पुन: लेबल करना और समान परिणाम उत्पन्न करना संभव है। उदाहरण के लिए, (3, 5, 3) और (2, 9, 9) को समान माना जाता है क्योंकि उन्हें (3, 3, 5) और (9, 9, 2) के रूप में फिर से क्रमित किया जा सकता है और फिर दोनों को फिर से लेबल करने से समान उत्पादन होता है सूची (1, 1, 2)।
+; S<sub>''n''</sub> × S<sub>''x''</sub> कक्षाएँ: दो सूचियाँ समान मानी जाती हैं यदि यह दोनों को पुन: व्यवस्थित करना और उन्हें ऊपर के रूप में पुन: लेबल करना और समान परिणाम उत्पन्न करना संभव है। उदाहरण के लिए, (3, 5, 3) और (2, 9, 9) को समान माना जाता है क्योंकि उन्हें (3, 3, 5) और (9, 9, 2) के रूप में पुनः क्रमित किया जा सकता है और फिर दोनों को पुनः लेबल करने से समान उत्पादन होता है सूची (1, 1, 2 देखें)।
-== बॉल और संदूक परिदृश्य का उपयोग करके तालिका का सहज अर्थ ==
+== गेंद और संदूक परिदृश्य का उपयोग करके तालिका का सहज अर्थ ==
-नीचे दिया गया तालिका उपरोक्त तालिका के समान है, परन्तु यह सूत्रों को दिखाने के बजाय परिचित गेंदों और बक्से के उदाहरण का उपयोग करके उनके अर्थ की सहज समझ देता है। पंक्तियाँ गेंदों और संदूकों की विशिष्टता का प्रतिनिधित्व करती हैं। यदि मल्टी-पैक (एक संदूक में एक से अधिक गेंद), या खाली संदूक की अनुमति है तो पंक्ति दर्शाते हैं। तालिका के कक्ष उस प्रश्न को दिखाते हैं जिसका उत्तर ऊपर दिए गए सूत्र तालिका में दिए गए सूत्र को हल करके दिया जाता है।
+नीचे दी गयी तालिका उपरोक्त तालिका के समान है, परन्तु यह सूत्रों को दिखाने के बजाय परिचित गेंदों और संदूकों के उदाहरण का उपयोग करके उनके अर्थ की सहज समझ देता है। पंक्तियाँ गेंदों और संदूकों की विशिष्टता का प्रतिनिधित्व करती हैं। यदि बहु-संकुलों (एक संदूक में एक से अधिक गेंद), या रिक्त संदूकों की अनुमति है तो स्तंभ दर्शाते हैं। तालिका के कक्ष उस प्रश्न को दर्शाते हैं जिसका उत्तर ऊपर दिए गए सूत्र तालिका में दिए गए सूत्र को हल करके दिया जाता है।
 {| class="wikitable" style="margin-left:auto; margin-right:auto; text-align:center; border:none;" border="1"
-|+ Table of the 12 combinatorial objects - intuitive chart using balls and boxes
+|+ 12 मिश्रित वस्तुओं की तालिका - गेंदों और संदूकों का उपयोग करके सहज ज्ञान युक्त तालिका
 |-
 !
-! Any ''f''
+! कोई भी ''f''
-(no rules on placement)
+(स्थानन पर कोई नियम नहीं)
-! Injective ''f''
+! अंतःक्षेपी ''f''
-(no multi-packs allowed)
+(बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है)
-! Surjective ''f''
+! प्रक्षेप्य ''f''
-(no empty boxes allowed)
+(रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है)
 |-
-! {{nowrap|''f''<br />(Balls and Boxes marked)}}
+! {{nowrap|''f''<br />(चिह्नित गेंदे और संदूके)}}
-| [[#case f|''n''-sequence in ''X''
+| [[#case f|x में एन-अनुक्रम]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case f|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में,<br>स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?]]
-n marked balls into x marked boxes, <br>
+| [[#case i|x में n-क्रमचय]]
-with no other rules on placement?]]
+[[#case i|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में,<br>बहु-]][[#case ix|संकुलों]] की अनुमति नहीं है?
-| [[#case i|''n''-permutation in ''X''
+| [[#case s|x उपसमुच्चय के साथ n की संरचना]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case s|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिह्नित गेंदों को x चिह्नित संदूकों में,<br>रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?]]
-n marked balls into x marked boxes, <br>
-with no multi-packs allowed?]]
-| [[#case s|composition of ''N'' with ''x'' उपसमुच्चयs
-How many ways can you place <br>
-n marked balls into x marked boxes, <br>
-with no empty boxes allowed?]]
 |-
-! {{nowrap|1=''f'' ∘ S<sub>''n''</sub><br />(Balls plain, Boxes marked)}}
+! {{nowrap|1=''f'' ∘ S<sub>''n''</sub><br />(सादी गेंदे, चिह्नित संदूक)}}
-| [[#case fn|''n''-बहुउपसमुच्चय of ''X''
+| [[#case fn|X का n- बहु-]][[#case in|उपसमुच्चय]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case fn|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में<br>स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?]]
-n plain balls into x marked boxes, <br>
+| [[#case in|X का n-उपसमुच्चय]]
-with no other rules on placement?]]
+[[#case in|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में<br>बहु-]][[#case ix|संकुलों]] की अनुमति नहीं है?
-| [[#case in|''n''-उपसमुच्चय of ''X''
+| [[#case sn|x पदों के साथ n की रचना]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case sn|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n सादे गेंदों को x चिन्हित संदूकों में<br>रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?]]
-n plain balls into x marked boxes, <br>
-with no multi-packs allowed?]]
-| [[#case sn|composition of ''n'' with ''x'' terms
-How many ways can you place <br>
-n plain balls into x marked boxes, <br>
-with no empty boxes allowed?]]
 |-
-! {{nowrap|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f''<br />(Balls marked, Boxes plain)}}
+! {{nowrap|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f''<br />(चिह्नित गेंद, सादे संदूक)}}
-| [[#case fx|partition of ''N'' into ≤ ''x'' उपसमुच्चयs
+| [[#case fx|N का ≤ x उपसमुच्चय में विभाजन]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case fx|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिह्नित गेंदों को x सादे संदूकों में, <br>स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?]]
-n marked balls into x plain boxes, <br>
+| [[#case ix|N का ≤ x तत्वों में विभाजन]]
-with no other rules on placement?]]
+[[#case ix|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिन्हित गेंदें x सादे]] [[#case inx|संदूकों]] में, <br>बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?
-| [[#case ix|partition of ''N'' into ≤ ''x'' elements
+| [[#case sx|N का x उपसमुच्चय में विभाजन]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case sx|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n चिन्हित गेंदें x सादे]] [[#case inx|संदूकों]] में, <br>रिक्त [[#case inx|संदूकों]] की अनुमति नहीं है?
-n marked balls into x plain boxes, <br>
-with no multi-packs allowed?]]
-| [[#case sx|partition of ''N'' into ''x'' उपसमुच्चयs
-How many ways can you place <br>
-n marked balls into x plain boxes, <br>
-with no empty boxes allowed?]]
 |-
-! {{nowrap|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' ∘ S<sub>''n''</sub><br />(Balls and Boxes plain)}}
+! {{nowrap|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' ∘ S<sub>''n''</sub><br />(सादी गेंदे और संदूक)}}
-| [[#case fnx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts
+| [[#case fnx|n का ≤ x भागों में विभाजन]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case fnx|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>n]] [[#case fn|सादे]] [[#case fx|गेंदों को x सादे संदूकों में, <br>स्थानन पर कोई अन्य नियम नहीं है?]]
-n plain balls into x plain boxes, <br>
+| [[#case inx|n का ≤ x भाग 1 में विभाजन]]
-with no other rules on placement?]]
+[[#case inx|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>]][[#case fnx|n]] [[#case fn|सादे]] [[#case fx|गेंदों को x सादे संदूकों में]],<br>बहु-संकुलों की अनुमति नहीं है?
-| [[#case inx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts 1
+| [[#case snx|n का x भागों में विभाजन]]
-How many ways can you place <br>
+[[#case snx|आप कितने तरीकों से रख सकते हैं<br>]][[#case inx|n]] [[#case fn|सादे]] [[#case fx|गेंदों को x सादे संदूकों में]],<br>रिक्त संदूकों की अनुमति नहीं है?
-n plain balls into x plain boxes, <br>
-with no multi-packs allowed?]]
-| [[#case snx|partition of ''n'' into ''x'' parts
-How many ways can you place <br>
-n plain balls into x plain boxes, <br>
-with no empty boxes allowed?]]
 |}
-=== विभिन्न स्थिति का विवरण ===
+=== विभिन्न स्थितियों का विवरण ===
-नीचे दिए गए स्थिति को इस तरह से क्रमबद्ध किया गया है कि उन स्थिति को समूहित किया जा सके जिनके लिए गणना में उपयोग किए गए तर्क संबंधित हैं, जो दी गई तालिका में क्रम नहीं है।
+नीचे दिए गए स्थितियों को इस तरह से क्रमबद्ध किया गया है कि उन स्थितियों को समूहित किया जा सके जिनके लिए गणना में उपयोग किए गए तर्क संबंधित हैं, जो दी गई तालिका में क्रम नहीं है।
-==== ===={{anchor|case f}} N से X तक कार्य करता है ====
+==== N से X तक के फलन ====
-यह स्थिति बिना किसी प्रतिबंध के एक्स के 'एन तत्वों के अनुक्रम' की गणना के समान है: एक फलन {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}} N के तत्वों की n छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को x के तत्वों के मध्य स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। यह कुल x देता है<sup>n</sup> संभावनाएं।
+यह स्थिति बिना किसी प्रतिबंध के ''X'' के ''n'' तत्वों के अनुक्रमों की गणना के समान है: एक फलन  {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}}, ''N'' के तत्वों की ''n'' छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो प्रत्येक को x के तत्वों के मध्य स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। यह कुल ''x<sup>n</sup>'' संभावनाएं देता है।
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
+उदाहरण:
-<math>X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, then }</math>
-<math>\left\vert\{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)\}\right\vert = 3^2 = 9</math></ब्लॉककोट>
-==== ===={{anchor|case i}} एन से एक्स तक अंतःक्षेपक कार्य ====
+<math>X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, तब }</math>
-यह स्थिति X के n अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों की गणना के समान है, जिसे X का 'एन-क्रमपरिवर्तन' या 'बिना दोहराव वाले अनुक्रम' भी कहा जाता है; फिर से यह क्रम N के तत्वों की n छवियों द्वारा बनता है। यह स्थिति अप्रतिबंधित अनुक्रमों में से एक से भिन्न होता है जिसमें दूसरे तत्व के लिए एक विकल्प कम होता है, तीसरे तत्व के लिए दो कम होते हैं, और इसी तरह। इसलिए x की एक सामान्य शक्ति के बजाय, मान x की गिरती हुई भाज्य शक्ति द्वारा दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक कारक पिछले एक से एक कम होता है। सूत्र है
-: <math> x^{\underline n} = x(x-1)\cdots(x-n+1).</math>
+<math>\left\vert\{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)\}\right\vert = 3^2 = 9</math>
-ध्यान दें कि अगर {{math|''n'' &gt; ''x''}} तो कोई कारक शून्य प्राप्त करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई अंतःक्षेपक कार्य नहीं है {{math|''N'' → ''X''}} बिलकुल; यह कबूतरखाने के सिद्धांत का सिर्फ एक पुनर्कथन है।
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
+==== N से X तक के अंतःक्षेपी फलन ====
-<math>X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, then }</math>
+यह स्थिति X के n अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों की गणना के समान है, जिसे X का "n-क्रमचय" या "बिना दोहराव वाले अनुक्रम" भी कहा जाता है; पुनः यह क्रम ''N'' के तत्वों की ''n'' छवियों द्वारा बनता है। यह स्थिति अप्रतिबंधित अनुक्रमों में से एक से भिन्न होता है जिसमें दूसरे तत्व के लिए एक विकल्प कम होता है और इसी तरह तीसरे तत्व के लिए दो कम होते हैं। इसलिए ''x'' की एक सामान्य घात के बजाय, मान ''x'' की अवरोही भाज्य घात द्वारा दिया जाता है, जिसमें प्रत्येक क्रमिक कारक पिछले एक से एक कम होता है। सूत्र है
-<math> \left\vert\{(a, b), (a, c), (a,d), (b, a), (b, c), (b,d), (c, a), (c, b), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c) \}\right\vert = 4^{\underline2} = 4 \times 3 = 12</math></ब्लॉककोट>
-==== ===={{anchor|case in}} एन के क्रमपरिवर्तन तक, एन से एक्स तक अंतःक्षेपक कार्य ====
+: <math> x^{\underline n} = x(x-1)\cdots(x-n+1)</math>
-यह स्थिति X के 'उपसमुच्चयों के साथ n तत्वों' की गणना के समान है, जिसे X का n-संयोजन भी कहा जाता है: X के n विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों के मध्य, जो केवल उनके शब्दों के क्रम में भिन्न होते हैं, उन्हें N के क्रमपरिवर्तन द्वारा पहचाना जाता है। चूंकि सभी स्थिति में यह समूह पूर्णतया n! विभिन्न अनुक्रमों में, हम ऐसे अनुक्रमों की संख्या को n से विभाजित कर सकते हैं! एक्स के एन-संयोजनों की संख्या प्राप्त करने के लिए। इस संख्या को द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है <math>\tbinom xn</math>, जो इसलिए द्वारा दिया गया है
+ध्यान दें कि यदि {{math|''n'' &gt; ''x''}} तो कोई कारक शून्य प्राप्त करता है, इसलिए इस स्थिति में कोई अंतःक्षेपी फलन {{math|''N'' → ''X''}}  पूर्णतया नहीं है; यह कोष्ठ के सिद्धांत का केवल एक पुनर्कथन है।
-:<math>\binom xn = \frac{x^{\underline n}}{n!} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots2\cdot1}.</math>
+उदाहरण:
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
-<math>X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, then }</math>
-<math> \left\vert\{\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\} \}\right\vert = \frac{4^{\underline2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6</math></ब्लॉककोट>
-==== {{anchor|case fn}} N से X तक के कार्य, N के क्रमपरिवर्तन तक ====
+<math>X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, तब }</math>
-यह स्थिति X से 'बहु-समुच्चय्स विद एन एलिमेंट्स' की गणना के समान है (जिसे एन-मल्टीकोम्बिनेशन भी कहा जाता है)। इसका कारण यह है कि एक्स के प्रत्येक तत्व के लिए यह निर्धारित किया जाता है कि एन के कितने तत्वों को एफ द्वारा मैप किया जाता है, जबकि दो कार्य जो एक्स के प्रत्येक तत्व को समान गुण प्रदान करते हैं, हमेशा एन के क्रमपरिवर्तन द्वारा दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। सूत्र सभी फलनों की गणना करता है {{math|''N'' → ''X''}} यहाँ उपयोगी नहीं है, क्योंकि N के क्रमपरिवर्तन द्वारा एक साथ समूहीकृत उनकी संख्या एक फलन से दूसरे फलन में भिन्न होती है। बल्कि, जैसा कि संयोजन#संख्या के संयोजनों की पुनरावृत्ति के अंतर्गत समझाया गया है, x तत्वों वाले एक समुच्चय से n-मल्टीकॉम्बिनेशन की संख्या को एक समुच्चय से n-संयोजनों की संख्या के समान देखा जा सकता है {{math|''x'' + ''n'' − 1}} तत्व। यह समस्या को #स्थिति में बारह गुना कम कर देता है, और परिणाम देता है
+<math> \left\vert\{(a, b), (a, c), (a,d), (b, a), (b, c), (b,d), (c, a), (c, b), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c) \}\right\vert = 4^{\underline2} = 4 \times 3 = 12</math>
+==== ''N'' के क्रमचय तक, ''N'' से ''X'' तक अंतःक्षेपी फलन ====
+यह स्थिति ''X'' के उपसमुच्चयों के साथ ''n'' तत्वों की गणना के समान है, जिसे ''X'' का ''n''-संयोजन भी कहा जाता है: ''X'' के ''n'' विशिष्ट तत्वों के अनुक्रमों के मध्य, जो केवल उनके शब्दों के क्रम में भिन्न होते हैं, उन्हें ''N'' के क्रमचय द्वारा पहचाना जाता है। चूंकि सभी स्थिति में यह समूह पूर्णतया ''n!'' विभिन्न अनुक्रमों में, ''X'' के ''n''-संयोजनों की संख्या प्राप्त करने के लिए, हम ऐसे अनुक्रमों की संख्या को ''n!'' से विभाजित कर सकते हैं। इस संख्या को द्विपद गुणांक <math>\tbinom xn</math> के रूप में जाना जाता है, जो इसलिए द्वारा दिया गया है:
+:<math>\binom xn = \frac{x^{\underline n}}{n!} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+2)(x-n+1)}{n(n-1)\cdots2\cdot1}</math>
+उदाहरण:
+<math>X = \{a, b, c, d \}, N = \{1, 2\} \text{, तब }</math>
+<math> \left\vert\{\{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\} \}\right\vert = \frac{4^{\underline2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6</math>
+==== N से X तक के फलन, N के क्रमचय तक ====
+यह स्थिति X से n तत्वों के साथ बहु-समुच्चय की गणना के समान है (जिसे n-बहुसंयोजन भी कहा जाता है)। इसका कारण यह है कि X के प्रत्येक तत्व के लिए यह निर्धारित किया जाता है कि N के कितने तत्वों को ''f'' द्वारा मानचित्रित किया जाता है, जबकि दो फलन जो X के प्रत्येक तत्व को समान गुण प्रदान करते हैं, सदैव N के क्रमचय द्वारा दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। सूत्र सभी फलनों {{math|''N'' → ''X''}}  की गणना यहाँ उपयोगी नहीं है, क्योंकि N के क्रमचय द्वारा एक साथ समूहीकृत उनकी संख्या एक फलन से दूसरे फलन में भिन्न होती है। बल्कि, जैसा कि संयोजनों की पुनरावृत्ति के अंतर्गत समझाया गया है, x तत्वों वाले समुच्चय से n-बहुसंयोजन की संख्या {{math|''x'' + ''n'' − 1}} तत्वों वाले समुच्चय से n-संयोजनों की संख्या के समान देखा जा सकता है। यह समस्या को बारह गुना तरीके से कम कर देता है और परिणाम देता है:
 : <math> \binom{x+n-1}n = \frac{(x+n-1)(x+n-2)\cdots(x+1)x}{n(n-1)\cdots2\cdot1} = \frac{x^{\overline n}}{n!}.</math>
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
+उदाहरण:
-<math>X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, then } </math>
-<math>\left\vert\{\{a, a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, b\}, \{b, c\}, \{c, c\}\}\right\vert = \frac{3^{\overline 2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6</math></ब्लॉककोट>
+<math>X = \{a, b, c\}, N = \{1, 2\} \text{, तब } </math>
+<math>\left\vert\{\{a, a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, b\}, \{b, c\}, \{c, c\}\}\right\vert = \frac{3^{\overline 2}}{2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6</math>
-==== {{anchor|case sn}} N के क्रमपरिवर्तन तक, N से X तक विशेषण कार्य करता है ====
+==== N के क्रमचय तक, N से X तक प्रक्षेप्य फलन ====
-यह स्थिति X से n तत्वों के साथ बहु-समुच्चय्स की गणना के समान है, जिसके लिए X का प्रत्येक तत्व कम से कम एक बार होता है। यह x के तत्वों की बहुलताओं को क्रम में सूचीबद्ध करके 'x (गैर-शून्य) पदों के साथ n की 'रचना (संख्या सिद्धांत)' की गणना करने के समान है। फ़ंक्शंस और बहु-समुच्चय्स के मध्य पत्राचार पिछले स्थिति की तरह ही है, और आच्छादन आवश्यकता का अर्थ है कि सभी गुणक कम से कम एक हैं। सभी गुणाओं को 1 से घटाकर, यह पिछले स्थिति में कम हो जाता है; चूँकि परिवर्तन से n का मान x से घट जाता है, परिणाम है
+यह स्थिति X से n तत्वों के साथ बहु-समुच्चयों की गणना के समान है, जिसके लिए X का प्रत्येक तत्व कम-से-कम एक बार होता है। यह x के तत्वों की बहुलताओं को क्रम में सूचीबद्ध करके, x (गैर-शून्य) पदों के साथ n की रचनाओं की गणना करने के समान है। फलनों और बहु-समुच्चयों के मध्य पत्राचार पूर्व स्थिति की तरह ही है और प्रक्षेप्य आवश्यकता का अर्थ है कि सभी गुणक कम-से-कम एक हैं। सभी गुणाओं को 1 से घटाकर, यह पूर्व स्थिति में कम हो जाता है; चूँकि परिवर्तन से n का मान x से घट जाता है, परिणाम है:
 :<math> \binom{n-1}{n-x}.</math>
-ध्यान दें कि जब n < x कोई विशेषण फलन नहीं होता है {{math|''N'' → ''X''}} बिल्‍कुल भी (खाली कबूतरखाने का एक प्रकार का सिद्धांत); इसे सूत्र में इस बात पर ध्यान दिया जाता है कि यदि निचला सूचकांक ऋणात्मक है तो द्विपद गुणांक हमेशा 0 होता है। वही मान व्यंजक द्वारा भी दिया जाता है
+ध्यान दें कि जब n < x कोई प्रक्षेप्य फलन नहीं होता है तो {{math|''N'' → ''X''}} (एक प्रकार का "रिक्त कोष्ठ" सिद्धांत) है; इसे सूत्र में इस तथ्य पर ध्यान दिया जाता है कि यदि निचला सूचकांक ऋणात्मक है तो द्विपद गुणांक सदैव 0 होता है। वही मान व्यंजक द्वारा भी दिया जाता है;
 :<math> \binom{n-1}{x-1},</math>
-चरम स्थिति को छोड़कर {{math|1=''n'' = ''x'' = 0}}, जहां पूर्व अभिव्यक्ति के साथ सही ढंग से देता है <math>\tbinom{-1}0=1</math>, जबकि बाद वाला गलत देता है <math>\tbinom{-1}{-1}=0</math>.
+चरम स्थिति को छोड़कर {{math|1=''n'' = ''x'' = 0}}, जहां पूर्व अभिव्यक्ति सही ढंग से <math>\tbinom{-1}0=1</math> देती है, जबकि बाद वाला गलत <math>\tbinom{-1}{-1}=0</math> देता है।
+परिणाम का रूप कुल {{math|''n'' − 1}} में से चुने गए, {{math|''n'' − ''x''}} तत्वों के एक उपसमुच्चय से स्पष्टतः प्रक्षेप्य फलनों {{math|''N'' → ''X''}}  के एक वर्ग को संबद्ध करने के तरीके की खोज करने का सुझाव देता है जिसे निम्नानुसार किया जा सकता है। सर्वप्रथम, समुच्चय N और X का कुल क्रम चुनें और ध्यान दें कि N का उपयुक्त क्रमचय अनुप्रयुक्त करके, प्रत्येक प्रक्षेप्य फलन {{math|''N'' → ''X''}}  को एक अद्वितीय दुर्बलता से बढ़ते हुए (और निश्चित रूप से अभी भी प्रक्षेप्य) फलन में परिवर्तित किया जा सकता है। यदि कोई N के तत्वों को क्रम {{math|''n'' − 1}} चाप से एक रेखीय [[रेखीय ग्राफ|आलेख]] से जोड़ता है, तो {{math|''n'' − ''x''}} चाप के किसी भी उपसमुच्चय को चुनकर और बाकी को हटाकर, x संसक्त घटकों के साथ एक आलेख प्राप्त करता है और इन्हें X के क्रमिक तत्वों को भेजकर, एक दुर्बलता से बढ़ते हुए विशेष फलन {{math|''N'' → ''X''}} को प्राप्त करता है; संसक्त घटकों के आकार भी x भागों में n की संरचना देते हैं। यह तर्क मूल रूप से सितारे और बार (प्रायिकता) पर दिया गया है, अतिरिक्त इसके कि वहाँ {{math|''x'' − 1}} "पृथक्करण" का पूरक विकल्प बनाया गया है।
+उदाहरण:
+<math>X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, तब } </math>
+<math>\left\vert\{\{a, a, b\}, \{a, b, b\}\}\right\vert = \binom{3-1}{3-2} = \binom{2}{1} = \frac{2!}{1!\times (2-1)!} = 2</math>
+==== N से X तक अंतःक्षेपी फलन, X  के क्रमचय तक ====
+इस स्थिति में हम X से अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों पर विचार करते हैं, परन्तु प्रत्येक तत्व पर X के क्रमचय को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे से प्राप्त की पहचान करते हैं। यह देखना सरल है कि ऐसे दो अलग-अलग अनुक्रम सदैव पहचाने जा सकते हैं: क्रमचय को शब्द को मानचित्रित करना चाहिए पहले अनुक्रम के i से दूसरे क्रम के i तक, और चूंकि किसी भी क्रम में दो बार कोई मान नहीं होता है, इसलिए ये आवश्यकताएं एक दूसरे के विपरीत नहीं होती हैं; यह उन तत्वों को मानचित्रित करने के लिए बनी हुई है जो पहले क्रम में नहीं होते हैं, दूसरे क्रम में यादृच्छिक तरीके से घटित नहीं होते हैं। एकमात्र तथ्य जो परिणाम को n और x पर पूर्णतया भी निर्भर करता है, वह यह है कि कोष्ठ के सिद्धांत द्वारा ऐसे किसी भी अनुक्रम {{math|''n'' ≤ ''x''}} के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। आइवरसन कोष्ठक का उपयोग करके, इसलिए संख्या <math>[n\leq x]</math> व्यक्त की जाती है।
-परिणाम का रूप विशेषण फलनों के एक वर्ग को संबद्ध करने के तरीके की तलाश करने का सुझाव देता है {{math|''N'' → ''X''}} सीधे के एक उपसमुच्चय के लिए {{math|''n'' − ''x''}} कुल में से चुने गए तत्व {{math|''n'' − 1}}, जो निम्नानुसार किया जा सकता है। पहले समुच्चय N और X का कुल क्रम चुनें, और ध्यान दें कि N का उपयुक्त क्रमपरिवर्तन अनुप्रयुक्त करने से, प्रत्येक विशेषण फलन {{math|''N'' → ''X''}} को एक कमजोर रूप से बढ़ते (और निश्चित रूप से अभी भी विशेषण) फलन में परिवर्तित किया जा सकता है। यदि कोई N के तत्वों को क्रम से जोड़ता है {{math|''n'' − 1}} एक [[रेखीय ग्राफ]] में आर्क करता है, फिर किसी भी उपसमुच्चय को चुनता है {{math|''n'' − ''x''}} आर्क्स और बाकी को हटाकर, एक्स कनेक्टेड घटकों के साथ एक ग्राफ प्राप्त करता है, और इन्हें एक्स के क्रमिक तत्वों को भेजकर, एक कमजोर रूप से बढ़ते हुए विशेष कार्य को प्राप्त करता है {{math|''N'' → ''X''}}; कनेक्टेड घटकों के आकार भी x भागों में n की संरचना देते हैं। यह तर्क मूल रूप से सितारों और सलाखों (प्रायिकता) पर दिया गया है, सिवाय इसके कि वहाँ का पूरक विकल्प है {{math|''x'' − 1}} अलग किया जाता है।
+==== N से X तक अंतःक्षेपी फलन, N से X के क्रमचय तक ====
+यह स्थिति पूर्व एक तक कम हो गया है: चूँकि X से अलग-अलग तत्वों के सभी अनुक्रमों को पूर्व से ही उनके प्रत्येक पद के लिए X के क्रमचय को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, साथ ही प्रतिबन्धों को पुनः व्यवस्थित करने से कोई नई पहचान नहीं मिलती है; संख्या <math>[n\leq x]</math> बनी हुई है।
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
+==== N से X तक प्रक्षेप्य फलन, X के क्रमचय तक ====
-<math>X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, then } </math>
+यह स्थिति N के x (गैर-रिक्त) उपसमुच्चयों में विभाजन की गणना करने के समान है, या पूर्णतया x वर्गों के साथ N पर तुल्यता संबंधों की गणना करने के समान है। वास्तव में, किसी प्रक्षेप्य फलन  {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}} के लिए, f के अंतर्गत एक ही छवि होने का संबंध एक ऐसा तुल्यता संबंध है और जब X का क्रमचय बाद में अनुप्रयुक्त किया जाता है तो यह परिवर्तित नहीं होता है; इसके विपरीत कोई भी इस तरह के तुल्यता संबंध को x तुल्यता वर्गों में किसी तरह से X के तत्वों को निर्दिष्ट करके एक प्रक्षेप्य फलन में परिवर्तित कर सकता है। परिभाषा के अनुसार ऐसे विभाजनों या तुल्यता संबंधों की संख्या दूसरे प्रकार के S(n,x) की स्टर्लिंग संख्या है, जिसे <math>\textstyle\{{n\atop x}\}</math>लिखा भी गया है। इसके मान को एक पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके या उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, परन्तु द्विपद गुणांक के विपरीत इन संख्याओं के लिए कोई [[बंद सूत्र|संवृत सूत्र]] नहीं है जिसमें एक योग सम्मिलित नहीं है।
-<math>\left\vert\{\{a, a, b\}, \{a, b, b\}\}\right\vert = \binom{3-1}{3-2} = \binom{2}{1} = \frac{2!}{1!\times (2-1)!} = 2</math></ब्लॉककोट>
-==== {{anchor|case ix}} एन से एक्स तक अंतःक्षेपक कार्य, एक्स  के क्रमपरिवर्तन तक ====
+==== N से X तक प्रक्षेप्य फलन ====
-इस स्थिति में हम X से अलग-अलग तत्वों के अनुक्रमों पर विचार करते हैं, परन्तु प्रत्येक तत्व पर X के क्रमचय को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे से प्राप्त की पहचान करते हैं। यह देखना आसान है कि ऐसे दो अलग-अलग अनुक्रम हमेशा पहचाने जा सकते हैं: क्रमचय को शब्द को मैप करना चाहिए पहले अनुक्रम के i से दूसरे क्रम के i तक, और चूंकि किसी भी क्रम में दो बार कोई मान नहीं होता है, इसलिए ये आवश्यकताएं एक दूसरे के विपरीत नहीं होती हैं; यह उन तत्वों को मानचित्रित करने के लिए बनी हुई है जो पहले क्रम में नहीं होते हैं, दूसरे क्रम में मनमाने तरीके से घटित नहीं होते हैं। एकमात्र तथ्य जो परिणाम को n और x पर पूर्णतया भी निर्भर करता है, वह यह है कि ऐसे किसी भी अनुक्रम के अस्तित्व की आवश्यकता होती है {{math|''n'' ≤ ''x''}}, कबूतर के सिद्धांत द्वारा। संख्या इसलिए व्यक्त की जाती है <math>[n\leq x]</math>, आइवरसन ब्रैकेट का उपयोग करना।
+प्रत्येक प्रक्षेप्य फलन  {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}}  के लिए, X के क्रमचय के अंतर्गत इसकी कक्षा में x! तत्व है, चूंकि रचना (बाईं ओर) X के दो अलग-अलग क्रमचय के साथ कभी भी N पर एक ही फलन नहीं देता है (क्रमचय X के कुछ तत्वों पर भिन्न होना चाहिए, जिसे सदैव कुछ ''i ∈ N'' के लिए ''f(i)'' के रूप में लिखा जा सकता है और रचनाएँ तब ''i'' है) पर भिन्न होंगी। यह इस प्रकार है कि इस स्थिति के लिए संख्या ''x!'' है, पूर्व स्थिति की संख्या का गुना, अर्थात <math>\textstyle x!\{{n\atop x}\}</math> है।
-==== {{anchor|case inx}} एन से एक्स तक अंतःक्षेपक कार्य, एन और एक्सके क्रमपरिवर्तन तक ====
+उदाहरण:
-यह स्थिति पिछले एक तक कम हो गया है: चूँकि X से अलग-अलग तत्वों के सभी अनुक्रमों को पहले से ही उनके प्रत्येक पद के लिए X के क्रमपरिवर्तन को अनुप्रयुक्त करके एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, साथ ही प्रतिबन्धों को फिर से व्यवस्थित करने से कोई नई पहचान नहीं मिलती है; संख्या बनी हुई है <math>[n\leq x]</math>.
-==== {{anchor|case sx}} N से X तक विशेषण फलन, X के क्रमपरिवर्तन तक ====
+<math>X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, तब } </math>
-यह स्थिति 'एन के एक समुच्चय के एक्स (गैर-खाली) उपसमुच्चय में विभाजन' की गणना करने के समान है, या पूर्णतया एक्स वर्गों के साथ एन पर समकक्ष संबंधों की गणना करने के समान है। दरअसल, किसी विशेषण कार्य के लिए {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}}, f के अंतर्गत एक ही छवि होने का संबंध एक ऐसा तुल्यता संबंध है, और जब X का क्रमचय बाद में अनुप्रयुक्त किया जाता है तो यह नहीं बदलता है; इसके विपरीत कोई भी इस तरह के तुल्यता संबंध को x तुल्यता वर्गों में किसी तरह से X के तत्वों को असाइन करके एक विशेषण फलन में बदल सकता है। परिभाषा के अनुसार ऐसे विभाजनों या तुल्यता संबंधों की संख्या दूसरे प्रकार के S(n,x) की स्टर्लिंग संख्या है, जिसे लिखा भी गया है <math>\textstyle\{{n\atop x}\}</math>. इसके मान को एक पुनरावर्ती संबंध का उप[[योग]] करके या उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, परन्तु द्विपद गुणांक के विपरीत इन संख्याओं के लिए कोई [[बंद सूत्र]] नहीं है जिसमें एक योग सम्मिलित नहीं है।
-==== {{anchor|case s}} एन से एक्स विशेषण कार्य करता है ====
+<math>\left\vert\{(a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a)\}\right\vert = 2!\left\{{3\atop 2}\right\} = 2 \times 3 = 6</math>
-प्रत्येक विशेषण समारोह के लिए {{math|''f'' : ''N'' → ''X''}}, X के क्रमचय के अंतर्गत इसकी कक्षा में x है! तत्व, चूंकि रचना (बाईं ओर) X के दो अलग-अलग क्रमपरिवर्तन के साथ कभी भी N पर एक ही फलन नहीं देता है (क्रमपरिवर्तन X के कुछ तत्वों पर भिन्न होना चाहिए, जिसे हमेशा कुछ i ∈ N के लिए f(i) के रूप में लिखा जा सकता है, और रचनाएँ तब i) पर भिन्न होंगी। यह इस प्रकार है कि इस स्थिति के लिए संख्या x है! पिछले स्थिति की संख्या का गुना, अर्थात <math>\textstyle x!\{{n\atop x}\}.</math>
-<ब्लॉककोट>उदाहरण:
-<math>X = \{a, b\}, N = \{1, 2, 3\}\text{, then } </math>
-<math>\left\vert\{(a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a)\}\right\vert = 2!\left\{{3\atop 2}\right\} = 2 \times 3 = 6</math></ब्लॉककोट>
-==== {{anchor|case fx}} N से X तक कार्य, X के क्रमपरिवर्तन तक ====
+==== N से X तक फलन, X के क्रमचय तक ====
-यह स्थिति विशेषण फलनों के लिए #केस एसएक्स की तरह है, परन्तु एक्स के कुछ तत्व किसी भी समकक्ष वर्ग के अनुरूप नहीं हो सकते हैं (चूंकि कोई एक्स के क्रमपरिवर्तन तक फलनों को मानता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन से तत्व संबंधित हैं, बस कितने ). एक परिणाम के रूप में एन पर समानता संबंधों की गणना अधिकतम x वर्गों के साथ की जा रही है, और परिणाम x तक के मानों के योग द्वारा उल्लिखित स्थिति से प्राप्त किया जाता है, दे रहा है  <math>\textstyle\sum_{k=0}^x \{{ n\atop k}\}</math>. स्थिति में x ≥ n, x का आकार कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है, और कोई n तत्वों के समुच्चय पर सभी समतुल्य संबंधों की गणना कर रहा है (समान रूप से ऐसे समुच्चय के सभी विभाजन); इसलिए <math>\textstyle\sum_{k=0}^n \{{ n\atop k}\}</math> [[बेल नंबर|बेल संख्या]] बी के लिए बेल संख्या # योग सूत्र देता है<sub>''n''</sub>.
+यह स्थिति प्रक्षेप्य फलनों के लिए संबंधित एक जैसा है, परन्तु ''X'' के कुछ तत्व किसी भी तुल्यता वर्ग के अनुरूप नहीं हो सकते हैं (चूंकि कोई X के क्रमचय तक फलनों पर विचार करता है, इससे कोई असमानता नहीं होती कि कौन से तत्व संबंधित हैं, केवल कितने हैं)। एक परिणाम के रूप में, ''N'' पर समानता संबंधों की गणना अधिकतम ''x'' वर्गों के साथ की जा रही है और परिणाम ''x'' तक के मानों के योग द्वारा उल्लिखित स्थिति से प्राप्त किया जाता है, <math>\textstyle\sum_{k=0}^x \{{ n\atop k}\}</math> दे रहा है। स्थिति ''x ≥ n'' में, ''x'' का आकार कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है और कोई ''n'' तत्वों के समुच्चय पर सभी समतुल्य संबंधों की गणना कर रहा है (समान रूप से ऐसे समुच्चय के सभी विभाजन); इसलिए <math>\textstyle\sum_{k=0}^n \{{ n\atop k}\}</math> [[बेल नंबर|बेल संख्या]] ''B<sub>n</sub>'' के लिए एक व्यंजक देता है।
-==== {{anchor|case snx}} N से X तक विशेषण फलन, N और X  के क्रमपरिवर्तन तक ====
+==== N से X तक प्रक्षेप्य फलन, N और X  के क्रमचय तक ====
-यह स्थिति संख्या n के x गैर-शून्य भागों में 'विभाजन (संख्या सिद्धांत)' की गणना के समान है। गणना के स्थिति की तुलना में #केस एसएक्स केवल (<math>\textstyle \{{n \atop x}\}</math>), कोई केवल समतुल्यता वर्गों के आकार को बरकरार रखता है जो फलन N को विभाजित करता है (प्रत्येक आकार की बहुलता सहित), क्योंकि दो तुल्यता संबंधों को N के क्रमपरिवर्तन द्वारा एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है यदि और केवल यदि उनके वर्गों के आकार मिलान। यह ठीक वही है जो n के विभाजन की धारणा को N के विभाजन की धारणा से अलग करता है, इसलिए परिणामस्वरूप व्यक्ति को संख्या p की परिभाषा मिलती है<sub>''x''</sub>(एन) एन के एक्स गैर-शून्य भागों में विभाजन।
+यह स्थिति संख्या ''n'' के ''x'' गैर-शून्य भागों में विभाजन की गणना के समान है। केवल X के क्रमचय तक प्रक्षेप्य फलनों की गणना की स्थिति (<math>\textstyle \{{n \atop x}\}</math>) की तुलना में, कोई केवल समतुल्यता वर्गों के आकार को बनाए रखता है, जो फलन ''N'' को विभाजित करता है (प्रत्येक आकार की बहुलता सहित), क्योंकि दो तुल्यता संबंधों को एक दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है, ''N'' का यदि और केवल यदि उनकी कक्षाओं के आकार मेल खाते हैं। यह ठीक वही है जो ''n'' के विभाजन की धारणा को ''N'' के विभाजन की धारणा से भिन्न करता है, इसलिए एक परिणाम के रूप में, ''x'' गैर-शून्य भागों में ''n'' के विभाजनों की संख्या ''px(n)'' परिभाषा के अनुसार मिलती है।
-==== {{anchor|case fnx}} N से X तक के कार्य, N और X के क्रमपरिवर्तन तक ====
+==== N से X तक के फलन, N और X के क्रमचय तक ====
-यह स्थिति 'संख्या n के विभाजनों को ≤ x भागों' में गिनने के समान है। एसोसिएशन पिछले स्थिति के समान है, सिवाय इसके कि अब विभाजन के कुछ हिस्से 0 के समान हो सकते हैं। (विशेष रूप से, वे एक्स के तत्वों के अनुरूप हैं जो फलन की छवि में नहीं हैं।) एन के प्रत्येक विभाजन में अधिकतम x गैर-शून्य भागों को आवश्यक संख्या में शून्य जोड़कर इस तरह के विभाजन तक बढ़ाया जा सकता है, और यह सभी संभावनाओं के लिए एक बार खाता है, इसलिए परिणाम दिया जाता है <math>\textstyle\sum_{k=0}^x p_k(n)</math>. प्रत्येक x भाग में 1 जोड़ने पर, एक विभाजन प्राप्त होता है {{math|''n'' + ''x''}} x अशून्य भागों में, और यह पत्राचार विशेषण है; इसलिए दिए गए व्यंजक को इस रूप में लिखकर सरल किया जा सकता है <math>p_x(n+x)</math>.
+यह स्थिति संख्या n के विभाजनों ≤ x भागों की गणना के समान है। संघ पूर्व स्थिति के समान है, अतिरिक्त इसके कि अब विभाजन के कुछ भाग 0 के समान हो सकते हैं (विशेष रूप से, वे X के तत्वों के अनुरूप हैं जो फलन की छवि में नहीं हैं)। n के प्रत्येक विभाजन में अधिकतम x गैर-शून्य भागों को आवश्यक संख्या में शून्य जोड़कर इस तरह के विभाजन तक बढ़ाया जा सकता है और यह सभी संभावनाओं के लिए एक बार खाता है, इसलिए परिणाम <math>\textstyle\sum_{k=0}^x p_k(n)</math> दिया जाता है। x भागों में से प्रत्येक में 1 जोड़कर, ''n'' + ''x'' का x गैर-शून्य भागों में विभाजन प्राप्त करता है, और यह पत्राचार विशेषण है; इसलिए दिए गए व्यंजक को इस  <math>p_x(n+x)</math> रूप में लिखकर सरल किया जा सकता है।
 === चरम स्थिति ===
-उपरोक्त सूत्र सभी परिमित समुच्चय N और X के लिए उचित मान देते हैं। कुछ स्थिति में ऐसे वैकल्पिक सूत्र हैं जो लगभग समतुल्य हैं, परन्तु कुछ चरम स्थिति में सही परिणाम नहीं देते हैं, जैसे कि जब N या X खाली होते हैं। निम्नलिखित विचार ऐसे स्थिति पर अनुप्रयुक्त होते हैं।
+उपरोक्त सूत्र सभी परिमित समुच्चय ''N'' और ''X'' के लिए उचित मान देते हैं। कुछ स्थितियों में ऐसे वैकल्पिक सूत्र हैं जो लगभग समतुल्य हैं, परन्तु कुछ चरम स्थितियों में सही परिणाम नहीं देते हैं, जैसे कि जब ''N'' या ''X'' रिक्त होते हैं। निम्नलिखित विचार ऐसे स्थितियों पर अनुप्रयुक्त होते हैं।
-* प्रत्येक समुच्चय एक्स के लिए खाली समुच्चय से एक्स तक पूर्णतया एक फलन होता है (निर्दिष्ट करने के लिए इस फलन का कोई मान नहीं है), जो हमेशा अंतःक्षेपक होता है, परन्तु जब तक एक्स (भी) खाली नहीं होता है तब तक विशेषण नहीं होता है।
+* प्रत्येक समुच्चय ''X'' के लिए रिक्त समुच्चय से ''X'' तक पूर्णतया एक फलन होता है (निर्दिष्ट करने के लिए इस फलन का कोई मान नहीं है), जो सदैव अंतःक्षेपी होता है, परन्तु जब तक ''X'' (भी) रिक्त नहीं होता है तब तक प्रक्षेप्य नहीं होता है।
-* प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय एन के लिए, एन से खाली समुच्चय तक कोई फलन नहीं है (फलन का कम से कम एक मान है जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, परन्तु यह नहीं हो सकता)।
+* प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय ''N'' के लिए, ''N'' से रिक्त समुच्चय तक कोई फलन नहीं है (फलन का कम-से-कम एक मान है जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, परन्तु यह नहीं हो सकता)।
-* कब {{math|1=''n'' &gt; ''x''}} कोई अंतःक्षेपक कार्य नहीं हैं {{math|''N'' → ''X''}}, और अगर {{math|1=''n'' &lt; ''x''}} कोई विशेषण कार्य नहीं हैं {{math|''N'' → ''X''}}.
+* जब {{math|1=''n'' &gt; ''x''}} कोई अंतःक्षेपी फलन नहीं होता है तो {{math|''N'' → ''X''}}, और यदि {{math|1=''n'' &lt; ''x''}} कोई प्रक्षेप्य फलन {{math|''N'' → ''X''}}  नहीं हैं।
-* सूत्रों में प्रयुक्त भाव विशेष मान के रूप में होते हैं
+* सूत्रों में प्रयुक्त भाव विशेष मान के रूप में होते हैं।
 ::<math>0^0=0^{\underline 0}=0!=\binom00=\binom{-1}0=\left\{{0\atop0}\right\}=p_0(0)=1</math>
-: (पहले तीन एक [[खाली उत्पाद]] के उदाहरण हैं, और value <math>\tbinom{-1}{0} = \tfrac{(-1)^{\underline{0}}}{0!} = 1</math> ऊपरी सूचकांक के मनमाने मूल्यों के लिए द्विपद गुणांक के पारंपरिक विस्तार द्वारा दिया जाता है), जबकि
+: (प्रथम तीन एक [[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] और मान के उदाहरण <math>\tbinom{-1}{0} = \tfrac{(-1)^{\underline{0}}}{0!} = 1</math> हैं, द्विपद गुणांक के पारंपरिक विस्तार द्वारा दिया जाता है, ऊपरी सूचकांक के यादृच्छिक मान है), जबकि
-::<math>\left\{{n\atop x}\right\}=p_x(n)=0 \quad\hbox{whenever either } n>0=x \hbox{ or }0\leq n<x.</math>
+::<math>\left\{{n\atop x}\right\}=p_x(n)=0 \quad\hbox{whenever either } n>0=x \hbox{ or }0\leq n<x</math>
-विशेष रूप से एक्स से लिए गए एन तत्वों के साथ #केस एफएन के स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति <math>\tbinom{n+x-1}n</math> के समान है <math>\tbinom{n+x-1}{x-1}</math>, परन्तु बाद की अभिव्यक्ति स्थिति के लिए 0 देगी {{math|1=''n'' = ''x'' = 0}} (सामान्य परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक निम्न सूचकांक वाले द्विपद गुणांक हमेशा 0 होते हैं)। इसी प्रकार, x गैर-शून्य भागों के साथ n के #केस एसएन के स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति <math>\tbinom{n-1}{n-x}</math> अभिव्यक्ति के लगभग समान है <math>\tbinom{n-1}{x-1}</math> सितारों और सलाखों (संभावना) तर्क द्वारा दिया गया है, परन्तु बाद वाला गलत मान देता है {{math|1=''n'' = 0}} और x के सभी मान। उन स्थिति के लिए जहां परिणाम में एक योग सम्मिलित होता है, अर्थात् #केस fx को अधिकतम x गैर-खाली उपसमुच्चय में या #केस fx को अधिकतम x गैर-शून्य भागों में गिनने के लिए, योग सूचकांक को 0 से प्रारंभ करने के लिए लिया जाता है; यद्यपि संगत पद शून्य होता है {{math|''n'' &gt; 0}}, यह अद्वितीय गैर-शून्य शब्द है जब {{math|1=''n'' = 0}}, और परिणाम उन स्थिति के लिए गलत होगा यदि योग को 1 से प्रारंभ करने के लिए लिया गया था।
+विशेष रूप से, ''X'' से लिए गए ''n'' तत्वों के साथ बहु-समुच्चय की गणना स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति <math>\tbinom{n+x-1}n</math> के समान <math>\tbinom{n+x-1}{x-1}</math> है, परन्तु बाद की अभिव्यक्ति की स्थिति {{math|1=''n'' = ''x'' = 0}} के लिए 0 देगा, (सामान्य परिपाटी के अनुसार ऋणात्मक निम्न सूचकांक वाले द्विपद गुणांक सदैव 0 होते हैं)। इसी प्रकार, ''x'' गैर-शून्य भागों के साथ ''n'' की गणना रचनाओं की स्थिति में, दी गई अभिव्यक्ति <math>\tbinom{n-1}{n-x}</math> के लगभग व्यंजक <math>\tbinom{n-1}{x-1}</math> के समतुल्य है। सितारों और बारों के तर्क द्वारा दिया गया है, परन्तु बाद वाला {{math|1=''n'' = 0}} और ''x'' के सभी मानों के लिए गलत मान देता है। उन स्थितियों के लिए जहां परिणाम में एक योग सम्मिलित होता है, अर्थात् अधिकतम ''x'' गैर-रिक्त उपसमुच्चय में ''N'' विभाजन की गणना या ''n'' के अधिकांश ''x'' गैर-शून्य भागों में विभाजन, योग सूचकांकों को 0 से प्रारंभ करने के लिए लिया जाता है; जब भी {{math|''n'' &gt; 0}} होता है, यह अद्वितीय गैर-शून्य शब्द है जब {{math|1=''n'' = 0}} और परिणाम उन स्थितियों के लिए गलत होगा यदि योग और परिणाम उन स्थितियों के लिए गलत होगा यदि योग 1 से प्रारंभ करने के लिए लिया गया था।
 == सामान्यीकरण ==
-हम क्रमपरिवर्तन के अन्य [[समूह (गणित)]] को N और X पर कार्य करने की अनुमति देकर और सामान्य कर सकते हैं। यदि G, N के क्रमपरिवर्तनों का एक समूह है, और H, X के क्रमपरिवर्तनों का एक समूह है, तो हम फलनों के तुल्यता वर्गों की गणना करते हैं। <math>f \colon N \rightarrow X</math>. दो कार्य {{mvar|f}} और {{mvar|F}} को समतुल्य माना जाता है, और केवल अगर, उपस्थित है <math>g\in G, h \in H</math> ताकि <math> F = h \circ f \circ g </math>. यह विस्तार [[चक्रीय क्रमपरिवर्तन]] और [[डायहेड्रल समूह]] क्रमपरिवर्तन, साथ ही संख्याओं और समुच्चयों के चक्रीय और डायहेड्रल विभाजन जैसी धारणाओं की ओर जाता है।
+हम क्रमचय के अन्य [[समूह (गणित)|समूहों]] को ''N'' और ''X'' पर कार्य करने की अनुमति देकर और सामान्य कर सकते हैं। यदि ''G'', ''N'' और ''H, X'' के क्रमचयों का एक समूह है, तो हम फलनों <math>f \colon N \rightarrow X</math> के तुल्यता वर्गों की गणना करते हैं। दो फलन {{mvar|f}} और {{mvar|F}} को समतुल्य माना जाता है और केवल यदि, <math>g\in G, h \in H</math> ताकि <math> F = h \circ f \circ g </math> उपस्थित है। यह विस्तार [[चक्रीय क्रमपरिवर्तन|चक्रीय क्रमचय]] और [[डायहेड्रल समूह|द्वितल समूह]] क्रमचय, साथ ही संख्याओं और समुच्चयों के चक्रीय और द्वितल विभाजन जैसी धारणाओं की ओर जाता है।
-=== बीस गुना तरीका ===
+=== बीस गुना शैली ===
-ट्वेंटीफोल्ड वे नामक एक अन्य सामान्यीकरण केनेथ पी. बोगार्ट द्वारा अपनी पुस्तक कॉम्बिनेटरिक्स थ्रू गाइडेड डिस्कवरी में विकसित किया गया था। वस्तुओं को संदूकों में वितरित करने की समस्या में वस्तुएँ और संदूकों दोनों समान या भिन्न हो सकते हैं। बोगार्ट 20 स्थिति की पहचान करता है।<ref>Kenneth P. Bogart (2004). [https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/kpbogart/ ''Combinatorics Through Guided Discovery''], p.57</ref>
+बीस गुना वे नामक एक अन्य सामान्यीकरण केनेथ पी. बोगार्ट द्वारा अपनी पुस्तक "निर्देशित खोज के माध्यम से साहचर्य" में विकसित किया गया था। वस्तुओं को संदूकों में वितरित करने की समस्या में वस्तुएँ और संदूकों दोनों समान या भिन्न हो सकते हैं। बोगार्ट 20 स्थितियों की पहचान करता है।<ref>Kenneth P. Bogart (2004). [https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/kpbogart/ ''Combinatorics Through Guided Discovery''], p.57</ref>
 {| class="wikitable" style="text-align:center;" border="1"
-|+ बीस गुना तरीका; x प्राप्तकर्ताओं के बीच n वस्तुओं के वितरण के लिए मॉडल
+|+ बीस गुना शैली; x प्राप्तकर्ताओं के मध्य n वस्तुओं के वितरण के लिए प्रतिरूप
-! rowspan="2" | №
+! rowspan="2" | क्रमांक
-! rowspan="2" | Objects
+! rowspan="2" | वस्तुएं
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 स्थिति
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 ! विशिष्ट
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 ! 1
 ! {{rh}} rowspan="4" | विशिष्ट
-! {{rh}} | प्रतिबंध नहीं
+! {{rh}} | कोई प्रतिबंध नहीं
-| [[#case f|''n''-sequence in ''X'']]<br>[[#Generalizations f|<math>x^n</math>]]
+| [[#case f|''X'' में ''n''-अनुक्रम]]<br>[[#Generalizations f|<math>x^n</math>]]
-| [[#case fx|partition of ''N'' into ≤ ''x'' उपसमुच्चयs]]<br><math>\sum_{i=0}^x\left\{{n \atop i}\right\} </math>
+| [[#case fx|''N'' का ''≤ x'' उपसमुच्चय में विभाजन]]<br><math>\sum_{i=0}^x\left\{{n \atop i}\right\} </math>
 |-
 ! {{rh}} | 2
 ! {{rh}} | अधिक से अधिक एक
-| [[#case i|''n''-permutation of ''X'']]<br>[[#Generalizations i|<math>x^{\underline n}</math>]]
+| [[#case i|''X'' का ''n''-क्रमचय]]<br>[[#Generalizations i|<math>x^{\underline n}</math>]]
 | [[#Generalizations in|<math>\begin{cases}1 & \text{if } n \leq x \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math>]]
 |-
 ! {{rh}} | 3
-! {{rh}} | कम से कम एक
+! {{rh}} | कम-से-कम एक
-|[[#case s|composition of ''N'' with ''x'' उपसमुच्चयs]]<br>[[#Generalizations fx|<math>x!\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
+|[[#case s|''x'' उपसमुच्चय के साथ ''N'' की संरचना]]<br>[[#Generalizations fx|<math>x!\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
-|[[#case sx|partition of ''N'' into ''x'' उपसमुच्चयs]]<br>[[#Generalizations ix|<math>\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
+|[[#case sx|''N'' का ''x'' उपसमुच्चय में विभाजन]]<br>[[#Generalizations ix|<math>\left\{{n \atop x}\right\}</math>]]
 |-
 ! {{rh}} | 4
 ! {{rh}} | यथार्थत: एक
-|[[#Generalizations fx|<math>n! = x!</math>]]<br>permutations
+|[[#Generalizations fx|<math>n! = x!</math>]]<br>क्रमचय
 |<math>\begin{cases}1 & \text{if } n = x \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math>
 |-
 ! {{rh}} | 5
-! {{rh}} rowspan="2" | विशिष्ट, <br/>ordered
+! {{rh}} rowspan="2" | विशिष्ट, <br/>क्रमवार
 ! {{rh}} | प्रतिबंध नहीं
-|[[#Generalizations fx|<math>x^{\overline n}</math>]]<br>ordered functions
+|[[#Generalizations fx|<math>x^{\overline n}</math>]]<br>क्रमित फलन
-|[[#Generalizations ix|<math>\sum_{i=1}^{x}L(n,i)</math>]]<br>broken permutations (<math>\leq x</math> parts)<br>Where <math>L(n,i)</math> is the [[Lah number]]
+|[[#Generalizations ix|<math>\sum_{i=1}^{x}L(n,i)</math>]]<br>खंडित क्रमचय (<math>\leq x</math> भागों)<br>जहाँ <math>L(n,i)</math> लाह संख्या है।
 |-
 ! {{rh}} | 6
-! {{rh}} | कम से कम एक
+! {{rh}} | कम-से-कम एक
-|[[#Generalizations fx|<math>(n)^{\underline {x}}(n-1)^{\underline {n-x}}</math>]]<br>ordered onto functions
+|[[#Generalizations fx|<math>(n)^{\underline {x}}(n-1)^{\underline {n-x}}</math>]]<br>फलनों पर क्रमवार
-|[[#Generalizations ix|<math>L(n,x) = \left( {n \atop x} \right) (n-1)^{\underline{n-x}}</math>]]<br>broken permutations (''x'' parts)<br>Where <math>L(n,x)</math> is the [[Lah number]]
+|[[#Generalizations ix|<math>L(n,x) = \left( {n \atop x} \right) (n-1)^{\underline{n-x}}</math>]]<br>खंडित क्रमचय (''x'' भागों)<br>जहाँ <math>L(n,x)</math> लाह संख्या है।
 |-
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 ! {{rh}} rowspan="4" | अभिन्न
 ! {{rh}} | प्रतिबंध नहीं
-|[[#case fn|''n''-बहुउपसमुच्चय of ''X'']]<br>[[#Generalizations fx|<math>\left({x+n-1\atop n}\right)</math>]]
+|[[#case fn|''X'' का ''n''- बहु-]][[#case sx|उपसमुच्चय]]<br>[[#Generalizations fx|<math>\left({x+n-1\atop n}\right)</math>]]
-|[[#Generalizations ix|<math>\sum_{i=1}^{x} p_{i}(n)</math>]]<br>number partitions (<math>\leq x</math> parts)
+|[[#Generalizations ix|<math>\sum_{i=1}^{x} p_{i}(n)</math>]]<br>संख्या विभाजन (<math>\leq x</math> भागों)
 |-
 ! {{rh}} | 8
 ! {{rh}} | अधिक से अधिक एक
-|[[#case in|''n''-उपसमुच्चय of ''X'']]<br>[[#Generalizations fx|<math>\left({x\atop n}\right)</math>]]
+|[[#case in|X का n-उपसमुच्चय]]<br>[[#Generalizations fx|<math>\left({x\atop n}\right)</math>]]
 |<math>\begin{cases}1 & \text{if } n \leq x \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math>
 |-
 ! {{rh}} | 9
-! {{rh}} | कम से कम एक
+! {{rh}} | कम-से-कम एक
-|[[#Generalizations fx|<math>\left({n-1\atop x-1}\right)</math>]]<br>compositions (''x'' parts)
+|[[#Generalizations fx|<math>\left({n-1\atop x-1}\right)</math>]]<br>रचनाएँ (''x'' भाग)
-|[[#case snx|partition of ''n'' into ''x'' parts]]<br>[[#Generalizations ix|<math>p_{x}(n)</math>]]
+|[[#case snx|''n'' का ''x'' भागों में विभाजन]]<br>[[#Generalizations ix|<math>p_{x}(n)</math>]]
 |-
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 == संदर्भ ==
 <references/>
-[[Category: साहचर्य]] [[Category: क्रमपरिवर्तन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles that are too technical]]
+[[Category:Articles with invalid date parameter in template]]
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बारह गुना शैली (ट्वेल्व फोल्ड वे): Difference between revisions

Latest revision as of 09:23, 15 June 2023

संक्षिप्त विवरण

दृष्टिकोण

गेंद और संदूक

प्रतिदर्श

लेबलन, चयन, समूहीकरण

लेबलन और पुनरावृत्ति के साथ या पुनरावृत्ति के बिना

समुच्चय और संख्या का विभाजन

सूत्र

पंक्तियों और स्तंभों का सहज अर्थ

गेंद और संदूक परिदृश्य का उपयोग करके तालिका का सहज अर्थ

विभिन्न स्थितियों का विवरण

N से X तक के फलन

N से X तक के अंतःक्षेपी फलन

N के क्रमचय तक, N से X तक अंतःक्षेपी फलन

N से X तक के फलन, N के क्रमचय तक

N के क्रमचय तक, N से X तक प्रक्षेप्य फलन

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक अंतःक्षेपी फलन, N से X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन

N से X तक फलन, X के क्रमचय तक

N से X तक प्रक्षेप्य फलन, N और X के क्रमचय तक

N से X तक के फलन, N और X के क्रमचय तक

चरम स्थिति

सामान्यीकरण

बीस गुना शैली

यह भी देखें

संदर्भ

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