बोरेल समुच्चय: Difference between revisions

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गणित में, एक बोरेल सेट एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में कोई भी सेट होता है जिसे [[ गणनीय ]] [[ संघ (सेट सिद्धांत) ]], काउंटेबल [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) ]] और [[ सापेक्ष पूरक ]] के संचालन के माध्यम से [[ खुला सेट ]] (या समतुल्य, [[बंद सेट]] से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल सेट का नाम एमिल [[बोरल उपाय]] नाम पर रखा गया है।
गणित में, एक बोरेल समुच्चय एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] में कोई भी समुच्चय होता है जिसे [[ गणनीय ]] [[ संघ (सेट सिद्धांत) |संघ (समुच्चय सिद्धांत)]] , गणनीय [[ चौराहा (सेट सिद्धांत) | चौराहा (समुच्चय सिद्धांत)]] और [[ सापेक्ष पूरक ]] के संचालन के माध्यम से [[ खुला सेट | खुला समुच्चय]] (या समतुल्य, [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल समुच्चय का नाम एमिल [[बोरल उपाय]] नाम पर रखा गया है।


एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''X'' के लिए, ''X'' पर सभी बोरेल सेट का संग्रह एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है|σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। ''X'' पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले सेट (या, समतुल्य, सभी बंद सेट) शामिल हैं।
एक टोपोलॉजिकल स्थान ''X'' के लिए, ''X'' पर सभी बोरेल समुच्चय का समुच्चय एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है| σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। ''X'' पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले समुच्चय (या, समतुल्य, सभी बंद समुच्चय) सम्मिलित हैं।


[[माप सिद्धांत]] में बोरेल सेट महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले सेटों पर या किसी स्थान के बंद सेटों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल सेटों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल सेट पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल सेट और संबंधित [[बोरेल पदानुक्रम]] भी [[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत]] में मौलिक भूमिका निभाते हैं।
[[माप सिद्धांत]] में बोरेल समुच्चय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले समुच्चयों पर या किसी स्थान के बंद समुच्चयों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल समुच्चयों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल समुच्चय पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल समुच्चय और संबंधित [[बोरेल पदानुक्रम]] भी [[वर्णनात्मक सेट सिद्धांत|वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत]] में मौलिक भूमिका निभाते हैं।


कुछ संदर्भों में, बोरेल सेट को खुले सेट के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस के [[कॉम्पैक्ट सेट]] द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] σ-कॉम्पैक्ट स्पेस शामिल हैं, लेकिन अधिक [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] स्पेस में भिन्न हो सकते हैं।
कुछ संदर्भों में, बोरेल समुच्चय को खुले समुच्चय के बजाय टोपोलॉजिकल स्थान के [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ स्थान]] σ-कॉम्पैक्ट स्थान सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] स्थान में भिन्न हो सकते हैं।


== बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना ==
== बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना ==


इस मामले में कि एक्स एक [[मीट्रिक स्थान]] है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।
इस घटना में , X एक [[मीट्रिक स्थान]] है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।


एक्स के सबसेट के संग्रह टी के लिए (यानी, एक्स के [[ सत्ता स्थापित ]] पी (एक्स) के किसी भी सबसेट के लिए), चलो
X के सबसमुच्चय के समुच्चय टी के लिए (यानी, X के [[ सत्ता स्थापित ]] पी (X) के किसी भी सबसमुच्चय के लिए), चलो
* <math>T_\sigma </math> टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
* <math>T_\sigma </math> टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
* <math>T_\delta </math> T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों
* <math>T_\delta </math> T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों
* <math>T_{\delta\sigma} = (T_\delta)_\sigma.</math>
* <math>T_{\delta\sigma} = (T_\delta)_\sigma.</math>
अब [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] द्वारा अनुक्रम जी को परिभाषित करें<sup>m</sup>, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:
अब [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] द्वारा अनुक्रम G<sup>m</sup> को परिभाषित करें, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:
* परिभाषा के आधार मामले के लिए, आइए <math> G^0</math> एक्स के खुले उपसमुच्चय का संग्रह हो।
* परिभाषा के आधार घटना के लिए, आइए <math> G^0</math> को X के खुले उपसमुच्चयों का होने दें।
* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है <math display="block"> G^i = [G^{i-1}]_{\delta \sigma}.</math>
*यदि i (आई) एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है <math display="block"> G^i = [G^{i-1}]_{\delta \sigma}.</math>
* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो सेट करें <math display="block"> G^i = \bigcup_{j < i} G^j. </math>
* यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो समुच्चय करें <math display="block"> G^i = \bigcup_{j < i} G^j. </math>
दावा है कि बोरेल बीजगणित जी है<sup>ω<sub>1</sub></sup>, जहां ω<sub>1</sub> [[पहला बेशुमार क्रमसूचक]] है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले सेटों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है
दावा है कि बोरेल बीजगणित G<sup>ω<sub>1</sub></sup> है, जहां ω<sub>1</sub> [[पहला बेशुमार क्रमसूचक|पहला अगणित क्रमसूचक]] है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले समुच्चयों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है
<math display="block"> G \mapsto G_{\delta \sigma}. </math>
<math display="block"> G \mapsto G_{\delta \sigma}. </math>
पहले बेशुमार अध्यादेश के लिए।
पहले अगणित अध्यादेश के लिए।


इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला सेट बंद सेटों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, सेट मैप्स जी का पूरक<sup>m</sup> किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर एम एक बेशुमार सीमा क्रमसूचक है, जी<sup>m</sup> गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।
इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला समुच्चय बंद समुच्चयों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, समुच्चय मैप्स G<sup>m</sup> का पूरक किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर m एक अगणित सीमा क्रमसूचक है, G<sup>m</sup> गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।


प्रत्येक बोरेल सेट बी के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α है<sub>B</sub>ऐसा है कि बी को α पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है<sub>B</sub>. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल सेटों में भिन्न होता है, α<sub>B</sub>सभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल सेट प्राप्त होते हैं, वह है ω<sub>1</sub>, पहला बेशुमार क्रमसूचक।
प्रत्येक बोरेल समुच्चय B के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक α<sub>B</sub> है ऐसा है कि B को α<sub>B</sub> पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल समुच्चयों में भिन्न होता है, α<sub>B</sub>सभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल समुच्चय प्राप्त होते हैं, वह है ω<sub>1</sub>, पहला अगणित क्रमसूचक।


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, [[वास्तविक संख्या]]ओं के सेट पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर # वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को [[संभाव्यता स्थान]] पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।
एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को [[संभाव्यता स्थान]] पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।


वास्तविक पर बोरेल बीजगणित आर पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी [[अंतराल (गणित)]] शामिल हैं।
वास्तविक पर बोरेल बीजगणित R पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी [[अंतराल (गणित)]] सम्मिलित हैं।


ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, सेट की [[प्रमुखता]], अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल सेट की कुल संख्या कम या बराबर है
ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, समुच्चय की [[प्रमुखता]], अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल समुच्चय की कुल संख्या कम या बराबर है
<math display="block">\aleph_1 \cdot 2 ^ {\aleph_0}\, = 2^{\aleph_0}.</math>
<math display="block">\aleph_1 \cdot 2 ^ {\aleph_0}\, = 2^{\aleph_0}.</math>
वास्तव में, बोरेल सेटों के संग्रह की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य सेटों की संख्या की तुलना में मौजूद है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>).
वास्तव में, बोरेल समुच्चयों के समुच्चय की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य समुच्चयों की संख्या की तुलना में उपस्थित  है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>).


== मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय ==
== मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय ==
<!-- This section is linked from [[Kazimierz Kuratowski]] -->
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{{see also|Standard Borel space}}
{{see also|मानक बोरेल स्थान}}


एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। एक्स से जुड़ा 'बोरेल स्पेस' जोड़ी (एक्स, बी) है, जहां बी एक्स के बोरेल सेट का σ-बीजगणित है।
X को टपॉल G का मूल्य रहने दें। X से जुड़ा 'बोरेल स्थान' जोड़ी (X, B) है, जहां B, X के बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित है।


[[जॉर्ज मैके]] ने बोरेल स्पेस को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसेट के साथ एक सेट है जिसे इसके बोरेल सेट कहा जाता है।<ref>{{citation | last=Mackey| first=G.W. | title=Ergodic Theory and Virtual Groups |  year=1966 | journal=[[Math. Ann.]]|volume=166|pages=187&ndash;207|issue=3|author-link=George Mackey|doi=10.1007/BF01361167| s2cid=119738592 |issn=0025-5831}}</ref> हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का सेट और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल सेट खुले सेट (एक टोपोलॉजिकल स्पेस) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस सेट को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान मौजूद हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।<ref>[https://mathoverflow.net/q/87888 Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?]</ref>
[[जॉर्ज मैके]] ने बोरेल स्थान को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसमुच्चय के साथ एक समुच्चय है जिसे इसके बोरेल समुच्चय कहा जाता है।<ref>{{citation | last=Mackey| first=G.W. | title=Ergodic Theory and Virtual Groups |  year=1966 | journal=[[Math. Ann.]]|volume=166|pages=187&ndash;207|issue=3|author-link=George Mackey|doi=10.1007/BF01361167| s2cid=119738592 |issn=0025-5831}}</ref> हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का समुच्चय और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल समुच्चय खुले समुच्चय (एक टोपोलॉजिकल स्थान) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस समुच्चय को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान उपस्थित  हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।<ref>[https://mathoverflow.net/q/87888 Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?]</ref>
मापने योग्य स्थान एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच मापने योग्य कार्य होते हैं। एक समारोह <math>f:X \rightarrow Y</math> मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य सेट को [[ ठहराना ]] करता है, यानी, वाई में सभी मापने योग्य सेट बी के लिए, सेट <math>f^{-1}(B)</math> X में मापने योग्य है।


'प्रमेय'। X को एक [[ पोलिश स्थान ]] होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्पेस मेट्रिक स्पेस बनाता है। तब एक्स [[वियोज्य स्थान]] के रूप में से एक के लिए [[ समरूपी ]] है
मापने योग्य स्थान एक [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच रूपवाद मापने योग्य कार्य होते हैं। एक फलन <math>f:X \rightarrow Y</math> मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य समुच्चय को [[ ठहराना | ठहराना]] करता है, यानी,  Y में सभी मापने योग्य समुच्चय B के लिए, समुच्चय <math>f^{-1}(B)</math> X में मापने योग्य है।
# 'आर',
 
# 'जेड',
'प्रमेय'।, X को एक [[ पोलिश स्थान | पोलिश स्थान]] होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्थान जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉ G को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्थान मेट्रिक स्थान बनाता है। तब X [[वियोज्य स्थान]] के रूप में से एक के लिए [[ समरूपी | समरूपी]] है
# ''''R'''<nowiki/>',
# ''''Z'''<nowiki/>',
# एक परिमित स्थान।
# एक परिमित स्थान।
(यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)
(यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)


बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा 'आर', एक गणनीय सेट के साथ 'आर' का संघ, और 'आर'<sup>n</sup> आइसोमोर्फिक हैं।
बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा '<nowiki/>'''R'''<nowiki/>', एक गणनीय समुच्चय के साथ ''''R'''<nowiki/>' का संघ, और '''R'''<sup>n</sup> समरूप हैं।


एक [[मानक बोरेल स्थान]] एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा आइसोमोर्फिज्म तक चित्रित किया जाता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=978-0-387-98412-4}}</ref> और किसी भी बेशुमार मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।
एक [[मानक बोरेल स्थान]] एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा समाकृतिकता तक चित्रित किया जाता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=978-0-387-98412-4}}</ref> और किसी भी अगणित मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।


पोलिश स्थानों के सबसेट के लिए, बोरेल सेट को उन सेटों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। [[विश्लेषणात्मक सेट]] देखें।
पोलिश स्थानों के सबसमुच्चय के लिए, बोरेल समुच्चय को उन समुच्चयों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। [[विश्लेषणात्मक सेट|विश्लेषणात्मक समुच्चय]] देखें।


एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।
एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।


== गैर-बोरेल सेट ==
== गैर-बोरेल समुच्चय ==
{{anchor|counterexample}}
{{anchor|counterexample}}


वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, [[निकोलाई लुज़िन]] के कारण,<ref>{{Citation | language=fr | last=Lusin | first=Nicolas | year=1927 | title=Sur les ensembles analytiques | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=10 |url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/25/0/93222/sur-les-ensembles-analytiques-nuls|pages=Sect. 62, pages 76–78| doi=10.4064/fm-10-1-1-95 | doi-access=free }}</ref> नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक [[गैर-मापने योग्य सेट]] का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।
वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, [[निकोलाई लुज़िन]] के कारण,<ref>{{Citation | language=fr | last=Lusin | first=Nicolas | year=1927 | title=Sur les ensembles analytiques | journal=Fundamenta Mathematicae | volume=10 |url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/25/0/93222/sur-les-ensembles-analytiques-nuls|pages=Sect. 62, pages 76–78| doi=10.4064/fm-10-1-1-95 | doi-access=free }}</ref> नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समुच्चय]] का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।


प्रत्येक [[अपरिमेय संख्या]] का एक अनंत [[निरंतर अंश]] द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है
प्रत्येक [[अपरिमेय संख्या]] का एक अनंत [[निरंतर अंश]] द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है


:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} </math>
कहाँ <math>a_0</math> कुछ [[पूर्णांक]] और अन्य सभी संख्याएँ हैं <math>a_k</math> सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना <math>A</math> अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो <math>(a_0,a_1,\dots)</math> निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम मौजूद है <math>(a_{k_0},a_{k_1},\dots)</math> जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का वि[[भाजक]] है। यह सेट <math>A</math> बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक सेट सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।
कहाँ <math>a_0</math> कुछ [[पूर्णांक]] और अन्य सभी संख्याएँ हैं <math>a_k</math> सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना <math>A</math> अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो <math>(a_0,a_1,\dots)</math> निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम उपस्थित  है <math>(a_{k_0},a_{k_1},\dots)</math> जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का वि[[भाजक]] है। यह समुच्चय <math>A</math> बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।


यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जबकि <math>A</math> जेडएफ में निर्माण किया जा सकता है, यह अकेले जेडएफ में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है <math>\mathbb{R}</math> गणनीय सेटों का एक गणनीय संघ है,<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |date=2008 |title=पसंद का स्वयंसिद्ध| pages=142| publisher=Courier Corporation.}}</ref> ताकि कोई भी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> बोरेल सेट है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब <math>A</math> ए का निर्माण ZF में किया जा सकता है, यह अकेले ZF में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है <math>\mathbb{R}</math> गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ है,<ref>{{cite book |last=Jech |first=Thomas |author-link=Thomas Jech |date=2008 |title=पसंद का स्वयंसिद्ध| pages=142| publisher=Courier Corporation.}}</ref> ताकि कोई भी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}</math> बोरेल समुच्चय है।


एक अन्य गैर-बोरेल सेट एक उलटी छवि है <math>f^{-1}[0]</math> समता फ़ंक्शन का # अनंत समता फ़ंक्शन <math>f\colon \{0, 1\}^{\omega} \to \{0, 1\}</math>. हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।
एक अन्य गैर-बोरेल समुच्चय एक उलटी छवि है <math>f^{-1}[0]</math> समता फ़ंक्शन का अनंत समता फ़ंक्शन <math>f\colon \{0, 1\}^{\omega} \to \{0, 1\}</math>. हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।


== वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ ==
== वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ ==


[[पॉल हेल्मोस]] के अनुसार,<ref>{{harv|Halmos|1950|loc=page 219}}</ref> [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के एक उपसमुच्चय को बोरेल सेट कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट सेट होते हैं।
[[पॉल हेल्मोस]] के अनुसार,<ref>{{harv|Halmos|1950|loc=page 219}}</ref> [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्थान के एक उपसमुच्चय को बोरेल समुच्चय कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट समुच्चय होते हैं।


नॉरबर्ग और वर्वाट<ref>Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: ''Probability and Lattices'', in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150</ref> टोपोलॉजिकल स्पेस के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें <math>X</math> के रूप में <math>\sigma</math>-बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट [[संतृप्त सेट]]ों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस मामले में अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि <math>X</math> [[दूसरा गणनीय]] है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसेट बंद है (जो कि विशेष रूप से मामला है <math>X</math> हॉसडॉर्फ है)।
नॉरबर्ग और वर्वाट<ref>Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: ''Probability and Lattices'', in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150</ref> टोपोलॉजिकल स्थान के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें <math>X</math> के रूप में <math>\sigma</math>-बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट [[संतृप्त सेट|संतृप्त समुच्चय]]ों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस घटनामें अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां <math>X</math> हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि <math>X</math> [[दूसरा गणनीय]] है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसमुच्चय बंद है (जो कि विशेष रूप से घटना  है <math>X</math> हॉसडॉर्फ है)।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Borel hierarchy}}
* {{annotated link|बोरेल पदानुक्रम}}
* {{annotated link|Borel isomorphism}}
* {{annotated link|बोरेल समरूपता}}
* {{annotated link|Baire set}}
* {{annotated link|बेयर सेट}}
* {{annotated link|Cylindrical σ-algebra}}
* {{annotated link|बेलनाकार σ-बीजगणित}}
* {{annotated link|Descriptive set theory}}
* {{annotated link|वर्णनात्मक सेट सिद्धांत}}
* {{annotated link|Polish space}}
* {{annotated link|पोलिश स्थान}}


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==


* [[William Arveson]], ''An Invitation to C*-algebras'', Springer-Verlag, 1981. (See Chapter 3 for an excellent exposition of ''Polish topology'')
* [[William Arveson|विलियम अर्वेसन]], एन इनविटेशन टू सी*-अलजेब्रस, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1981। (पोलिश टोपोलॉजी की उत्कृष्ट व्याख्या के लिए अध्याय 3 देखें)
* [[Richard M. Dudley|Richard Dudley]], '' Real Analysis and Probability''. Wadsworth, Brooks and Cole, 1989
* [[Richard M. Dudley|रिचर्ड डुडले]], वास्तविक विश्लेषण और संभावना। वड्सवर्थ, ब्रूक्स और कोल, 1989
*{{cite book
*{{cite book
|first=Paul R.
|first=पॉल आर.
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|author-link=Paul Halmos
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|title=Measure theory
|title=माप सिद्धांत
|publisher=D. van Nostrand Co
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|year=1950}}  See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
|year=1950}}  See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
* [[Halsey Royden]], ''Real Analysis'', Prentice Hall, 1988
* [[Halsey Royden|हैल्सी रॉयडेन]], वास्तविक विश्लेषण, अप्रेंटिस हॉल, 1988
* [[Alexander S. Kechris]], ''Classical Descriptive Set Theory'', Springer-Verlag, 1995 (Graduate texts in Math., vol. 156)
* [[Alexander S. Kechris|अलेक्जेंडर एस केक्रिस]], शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय थ्योरी, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1995 (गणित में स्नातक ग्रंथ।, खंड 156)
 
 
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* {{springer|title=Borel set|id=p/b017120}}
* {{springer|title=बोरेल सेट|id=पी/बी017120}}
* [https://web.archive.org/web/20130923121802/http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html#K12 Formal definition] of Borel Sets in the [[Mizar system]], and the [http://mmlquery.mizar.org/cgi-bin/mmlquery/emacs_search?input=(symbol+Borel_Sets+%7C+notation+%7C+constructor+%7C+occur+%7C+th)+ordered+by+number+of+ref list of theorems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200601022908/http://mmlquery.mizar.org/cgi-bin/mmlquery/emacs_search?input=(symbol+Borel_Sets+%7C+notation+%7C+constructor+%7C+occur+%7C+th)+ordered+by+number+of+ref |date=2020-06-01 }} that have been formally proved about it.
* [https://web.archive.org/web/20130923121802/http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html#K12 Formal definition] में बोरेल समुच्चय की संख्या [[Mizar system|मिज़ार सिस्टम]], और  पर समुच्चयीत प्रमेयों की सूची 2020-06-01 जो इसके बारे में औपचारिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं
* {{MathWorld |title=Borel Set |id=BorelSet}}
* {{MathWorld |title=बोरेल सेट |id=बोरेलसेट}}


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Latest revision as of 08:37, 15 June 2023

गणित में, एक बोरेल समुच्चय एक टोपोलॉजिकल स्थान में कोई भी समुच्चय होता है जिसे गणनीय संघ (समुच्चय सिद्धांत) , गणनीय चौराहा (समुच्चय सिद्धांत) और सापेक्ष पूरक के संचालन के माध्यम से खुला समुच्चय (या समतुल्य, बंद समुच्चय से) से बनाया जा सकता है। . बोरेल समुच्चय का नाम एमिल बोरल उपाय नाम पर रखा गया है।

एक टोपोलॉजिकल स्थान X के लिए, X पर सभी बोरेल समुच्चय का समुच्चय एक सिग्मा-बीजगणित बनाता है| σ-बीजगणित, जिसे बोरेल बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। X पर बोरेल बीजगणित सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले समुच्चय (या, समतुल्य, सभी बंद समुच्चय) सम्मिलित हैं।

माप सिद्धांत में बोरेल समुच्चय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि किसी स्थान के खुले समुच्चयों पर या किसी स्थान के बंद समुच्चयों पर परिभाषित किसी भी माप को उस स्थान के सभी बोरेल समुच्चयों पर भी परिभाषित किया जाना चाहिए। बोरल समुच्चय पर परिभाषित किसी भी माप को बोरेल माप कहा जाता है। बोरेल समुच्चय और संबंधित बोरेल पदानुक्रम भी वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

कुछ संदर्भों में, बोरेल समुच्चय को खुले समुच्चय के बजाय टोपोलॉजिकल स्थान के कॉम्पैक्ट समुच्चय द्वारा उत्पन्न होने के लिए परिभाषित किया गया है। दो परिभाषाएँ कई अच्छे व्यवहार वाले स्थानों के लिए समान हैं, जिसमें सभी हॉसडॉर्फ स्थान σ-कॉम्पैक्ट स्थान सम्मिलितहैं, लेकिन अधिक पैथोलॉजिकल (गणित) स्थान में भिन्न हो सकते हैं।

बोरेल बीजगणित उत्पन्न करना

इस घटना में , X एक मीट्रिक स्थान है, पहले अर्थ में बोरेल बीजगणित को सामान्य रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।

X के सबसमुच्चय के समुच्चय टी के लिए (यानी, X के सत्ता स्थापित पी (X) के किसी भी सबसमुच्चय के लिए), चलो

  • टी के तत्वों के सभी गणनीय संघ बनें
  • T के अवयवों के सभी गणनीय प्रतिच्छेद हों

अब ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा अनुक्रम Gm को परिभाषित करें, जहाँ m एक क्रमिक संख्या है, निम्नलिखित तरीके से:

  • परिभाषा के आधार घटना के लिए, आइए को X के खुले उपसमुच्चयों का होने दें।
  • यदि i (आई) एक सीमा क्रमसूचक नहीं है, तो मेरे पास एक ठीक पूर्ववर्ती क्रमसूचक i - 1 है
  • यदि मैं एक सीमा क्रमसूचक है, तो समुच्चय करें

दावा है कि बोरेल बीजगणित Gω1 है, जहां ω1 पहला अगणित क्रमसूचक है। अर्थात्, ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके खुले समुच्चयों के वर्ग से बोरेल बीजगणित उत्पन्न किया जा सकता है

पहले अगणित अध्यादेश के लिए।

इस दावे को साबित करने के लिए, मीट्रिक स्थान में कोई भी खुला समुच्चय बंद समुच्चयों के बढ़ते अनुक्रम का संघ है। विशेष रूप से, समुच्चय मैप्स Gm का पूरक किसी भी सीमा के लिए अपने आप में क्रमसूचक m; इसके अलावा अगर m एक अगणित सीमा क्रमसूचक है, Gm गणनीय संघों के अंतर्गत बंद है।

प्रत्येक बोरेल समुच्चय B के लिए, कुछ गणनीय क्रमिक αB है ऐसा है कि B को αB पर ऑपरेशन को पुनरावृत्त करके प्राप्त किया जा सकता है. हालाँकि, जैसा कि B सभी बोरेल समुच्चयों में भिन्न होता है, αBसभी गणनीय अध्यादेशों में भिन्नता होगी, और इस प्रकार पहला क्रमांक जिस पर सभी बोरेल समुच्चय प्राप्त होते हैं, वह है ω1, पहला अगणित क्रमसूचक।

उदाहरण

एक महत्वपूर्ण उदाहरण, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर बोरेल बीजगणित है। यह वह बीजगणित है जिस पर बोरेल माप को परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक चर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर को संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया गया है, इसकी संभावना वितरण परिभाषा के अनुसार बोरेल बीजगणित पर भी एक उपाय है।

वास्तविक पर बोरेल बीजगणित R पर सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी अंतराल (गणित) सम्मिलित हैं।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा निर्माण में, यह दिखाया जा सकता है कि, प्रत्येक चरण में, समुच्चय की प्रमुखता, अधिक से अधिक, सातत्य की कार्डिनैलिटी है। तो, बोरेल समुच्चय की कुल संख्या कम या बराबर है

वास्तव में, बोरेल समुच्चयों के समुच्चय की कार्डिनैलिटी सातत्य के बराबर है (लेबेसेग मापने योग्य समुच्चयों की संख्या की तुलना में उपस्थित है, जो सख्ती से बड़ा है और इसके बराबर है ).

मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय

X को टपॉल G का मूल्य रहने दें। X से जुड़ा 'बोरेल स्थान' जोड़ी (X, B) है, जहां B, X के बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित है।

जॉर्ज मैके ने बोरेल स्थान को कुछ अलग तरीके से परिभाषित किया, यह लिखते हुए कि यह एक विशिष्ट σ-क्षेत्र के सबसमुच्चय के साथ एक समुच्चय है जिसे इसके बोरेल समुच्चय कहा जाता है।[1] हालांकि, आधुनिक उपयोग विशिष्ट उप-बीजगणित को औसत दर्जे का समुच्चय और ऐसे रिक्त स्थान को मापने योग्य स्थान कहते हैं। इस भेद का कारण यह है कि बोरेल समुच्चय खुले समुच्चय (एक टोपोलॉजिकल स्थान) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित हैं, जबकि मैके की परिभाषा एक मनमाना σ-बीजगणित से लैस समुच्चय को संदर्भित करती है। अंतर्निहित स्थान पर टोपोलॉजी के किसी भी विकल्प के लिए मापने योग्य स्थान उपस्थित हैं जो बोरेल स्थान नहीं हैं।[2]

मापने योग्य स्थान एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं जिसमें आकारिकी मापने योग्य स्थानों के बीच रूपवाद मापने योग्य कार्य होते हैं। एक फलन मापने योग्य कार्य है यदि यह मापने योग्य समुच्चय को ठहराना करता है, यानी, Y में सभी मापने योग्य समुच्चय B के लिए, समुच्चय X में मापने योग्य है।

'प्रमेय'।, X को एक पोलिश स्थान होने दें, यानी एक टोपोलॉजिकल स्थान जैसे कि X पर एक मेट्रिक (गणित) d है जो X की टोपोलॉ G को परिभाषित करता है और जो X को एक पूर्ण वियोज्य स्थान मेट्रिक स्थान बनाता है। तब X वियोज्य स्थान के रूप में से एक के लिए समरूपी है

  1. 'R',
  2. 'Z',
  3. एक परिमित स्थान।

(यह परिणाम महरम के प्रमेय की याद दिलाता है।)

बोरेल रिक्त स्थान के रूप में माना जाता है, वास्तविक रेखा 'R', एक गणनीय समुच्चय के साथ 'R' का संघ, और Rn समरूप हैं।

एक मानक बोरेल स्थान एक पोलिश स्थान से जुड़ा बोरेल स्थान है। एक मानक बोरेल स्थान को इसकी प्रमुखता द्वारा समाकृतिकता तक चित्रित किया जाता है,[3] और किसी भी अगणित मानक बोरेल स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।

पोलिश स्थानों के सबसमुच्चय के लिए, बोरेल समुच्चय को उन समुच्चयों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो पोलिश रिक्त स्थान पर परिभाषित निरंतर इंजेक्शन मानचित्रों की श्रेणी हैं। हालाँकि, ध्यान दें कि निरंतर गैर-इंजेक्शन मानचित्र की सीमा बोरेल होने में विफल हो सकती है। विश्लेषणात्मक समुच्चय देखें।

एक मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक प्रायिकता माप इसे एक मानक प्रायिकता स्थान में बदल देता है।

गैर-बोरेल समुच्चय

वास्तविक के एक उपसमुच्चय का एक उदाहरण जो गैर-बोरेल है, निकोलाई लुज़िन के कारण,[4] नीचे वर्णित है। इसके विपरीत, एक गैर-मापने योग्य समुच्चय का उदाहरण प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, हालांकि इसका अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

प्रत्येक अपरिमेय संख्या का एक अनंत निरंतर अंश द्वारा एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है

कहाँ कुछ पूर्णांक और अन्य सभी संख्याएँ हैं सकारात्मक पूर्णांक हैं। होने देना अनुक्रमों के संगत सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय हो निम्नलिखित संपत्ति के साथ: एक अनंत अनुक्रम उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक तत्व अगले तत्व का विभाजक है। यह समुच्चय बोरेल नहीं है। वास्तव में, यह विश्लेषणात्मक समुच्चय है, और विश्लेषणात्मक समुच्चय की श्रेणी में पूर्ण है। अधिक जानकारी के लिए वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत और अलेक्जेंडर एस केक्रिस द्वारा पुस्तक देखें, विशेष रूप से पृष्ठ 209 पर व्यायाम (27.2), पृष्ठ 169 पर परिभाषा (22.9), और पृष्ठ 14 पर व्यायाम (3.4) (ii)।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि जब ए का निर्माण ZF में किया जा सकता है, यह अकेले ZF में गैर-बोरेल साबित नहीं हो सकता। वास्तव में, यह ZF के अनुरूप है गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ है,[5] ताकि कोई भी उपसमुच्चय बोरेल समुच्चय है।

एक अन्य गैर-बोरेल समुच्चय एक उलटी छवि है समता फ़ंक्शन का अनंत समता फ़ंक्शन . हालाँकि, यह अस्तित्व का प्रमाण है (पसंद के स्वयंसिद्ध के माध्यम से), स्पष्ट उदाहरण नहीं।

वैकल्पिक गैर-समतुल्य परिभाषाएँ

पॉल हेल्मोस के अनुसार,[6] स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्थान के एक उपसमुच्चय को बोरेल समुच्चय कहा जाता है यदि यह सबसे छोटे सिग्मा-रिंग | σ-रिंग से संबंधित होता है जिसमें सभी कॉम्पैक्ट समुच्चय होते हैं।

नॉरबर्ग और वर्वाट[7] टोपोलॉजिकल स्थान के बोरेल बीजगणित को फिर से परिभाषित करें के रूप में -बीजगणित इसके खुले उपसमुच्चयों और इसके कॉम्पैक्ट संतृप्त समुच्चयों द्वारा उत्पन्न होता है। यह परिभाषा उस घटनामें अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त है जहां हॉसडॉर्फ नहीं है। यह सामान्य परिभाषा के साथ मेल खाता है यदि दूसरा गणनीय है या यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट संतृप्त सबसमुच्चय बंद है (जो कि विशेष रूप से घटना है हॉसडॉर्फ है)।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. Mackey, G.W. (1966), "Ergodic Theory and Virtual Groups", Math. Ann., 166 (3): 187–207, doi:10.1007/BF01361167, ISSN 0025-5831, S2CID 119738592
  2. Jochen Wengenroth, Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?
  3. Srivastava, S.M. (1991), A Course on Borel Sets, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98412-4
  4. Lusin, Nicolas (1927), "Sur les ensembles analytiques", Fundamenta Mathematicae (in français), 10: Sect. 62, pages 76–78, doi:10.4064/fm-10-1-1-95
  5. Jech, Thomas (2008). पसंद का स्वयंसिद्ध. Courier Corporation. p. 142.
  6. (Halmos 1950, page 219)
  7. Tommy Norberg and Wim Vervaat, Capacities on non-Hausdorff spaces, in: Probability and Lattices, in: CWI Tract, vol. 110, Math. Centrum Centrum Wisk. Inform., Amsterdam, 1997, pp. 133-150


संदर्भ

  • विलियम अर्वेसन, एन इनविटेशन टू सी*-अलजेब्रस, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1981। (पोलिश टोपोलॉजी की उत्कृष्ट व्याख्या के लिए अध्याय 3 देखें)
  • रिचर्ड डुडले, वास्तविक विश्लेषण और संभावना। वड्सवर्थ, ब्रूक्स और कोल, 1989
  • हल्मोस, पॉल आर. (1950). माप सिद्धांत. डी वैन नोस्ट्रैंड कंपनी. See especially Sect. 51 "Borel sets and Baire sets".
  • हैल्सी रॉयडेन, वास्तविक विश्लेषण, अप्रेंटिस हॉल, 1988
  • अलेक्जेंडर एस केक्रिस, शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय थ्योरी, स्प्रिंगर-वर्लाग, 1995 (गणित में स्नातक ग्रंथ।, खंड 156)

बाहरी संबंध

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recursive)
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