औसती फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:41, 8 June 2023

गणित में और विशेष रूप से माप सिद्धांत में, औसती फलन दो मापने योग्य रिक्त स्थान के अंतर्निहित समूहों के मध्य का कार्य है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है। इस प्रकार किसी भी माप (गणित) समूह की पूर्व अनुमान मापने योग्य है। यह परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के मध्य सतत कार्य टोपोलॉजिकल संरचना को संरक्षित करता है। वास्तविक विश्लेषण में, औसती फलनों का उपयोग लेबेसेग एकीकरण की परिभाषा में किया जाता है। अतः संभाव्यता सिद्धांत में, संभाव्यता स्थान पर औसती फलन को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

सामान्यतः $(X,\Sigma )$ और $(Y,\mathrm {T} )$ मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है $X$ और $Y$ संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार $\sigma$ -बीजगणित $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$ कार्य $f:X\to Y$ को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $E\in \mathrm {T}$ के पूर्व प्रतिबिम्ब $E$ के अंतर्गत $f$ में $\Sigma$ है, अर्थात् सभी के लिए $E\in \mathrm {T}$ होता है।

f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .

वह

\sigma (f)\subseteq \Sigma ,

होता है, जहाँ

\sigma (f)

f द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। यदि

f:X\to Y

औसती फलन होता है, तब कोई लिखता है।

f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).

\sigma

-बीजगणित पर निर्भरता

\Sigma

और

\mathrm {T} .

पर जोर दिया जाता है।

शब्द उपयोग विविधताएं

इसका चुनाव $\sigma$ उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी अंतनिहित होता है और संदर्भ तक छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ या अन्य सामयिक रिक्त स्थान, बोरेल बीजगणित (सभी खुले समूहों द्वारा उत्पन्न) साधारण पसंद होती है। इस प्रकार कुछ लेखक औसती फलनों को बोरेल बीजगणित के संबंध में विशेष रूप से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं।^[1]

यदि फ़ंक्शन के मान अनंत-आयामी सदिश अंतरिक्ष में हैं, तब मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएं, जैसे कमजोर मापनीयता और बोचनर मापनीयता उपस्तिथ होती हैं।

औसती फलनों के उल्लेखनीय वर्ग

यादृच्छिक चर परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के कार्य हैं।
यदि $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय होते हैं, जो औसती फलन $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ को बोरेल कार्य भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, औसती फलन लगभग सतत कार्य होते है। इस प्रकार लुज़िन की प्रमेय देख सकते है। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का $Y\xrightarrow {~\pi ~} X,$ भाग होता है। इसे बोरेल खंड कहा जाता है।
लेबेस्ग औसत दर्जे का कार्य होता है $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ जहाँ ${\mathcal {L}}$ है $\sigma$ लेबेस्ग मापने योग्य समूहों का बीजगणित और ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित होता है $\mathbb {C} .$ लेबेस्ग औसती फलन गणितीय विश्लेषण में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि $f:X\to \mathbb {R} ,$ $f$ लेबेस्ग मापने योग्य है और यदि $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ सभी के लिए मापने योग्य होता है $\alpha \in \mathbb {R} .$ यह भी इनमें से किसी के समान्तर होता है अतः यह $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ सभी के लिए मापने योग्य होता है और $\alpha ,$ या किसी भी खुले समूह के मापने योग्य होने की पूर्व-छवि निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्ध-सतत कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य और परिबद्ध भिन्नता के कार्य सभी लेबेस्ग मापने योग्य होते हैं।^[2] इस प्रकार कार्य $f:X\to \mathbb {C}$ के मापनीय होते है और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी मापने योग्य होते हैं।

औसती फलनों के गुण

दो जटिल-मूल्यवान औसती फलनों का योग और उत्पाद मापने योग्य होता है।^[3] अतः भागफल भी ऐसा ही होता है, जब तक कि शून्य से कोई विभाजन नही होता है।^[1]
यदि $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ और $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ औसती फलन हैं, तब उनकी संरचना भी होती है $g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).$ ^[1]
यदि $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ और $g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})$ औसती फलन हैं और उनकी संरचना में $g\circ f:X\to Z$ की आवश्यकता नहीं होती है $(\Sigma _{1},\Sigma _{4})$ मापने योग्य जब तक $\Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.$ वास्तव में, दो लेबेस्ग-औसती फलनों का निर्माण इस प्रकार से किया जा सकता है कि उनकी रचना को गैर-लेबेस्ग-मापने योग्य बनाया जा सकता है।
वास्तविक-मूल्यवान औसती फलनों के अनुक्रम (अर्थात् गणनीय रूप से अनेक) के (बिंदुवार) अंतिम, सबसे कम, निचली सीमा और सीमा हीन सभी को मापा जा सकता हैं।^[1]^[4]
औसती फलनों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा $f_{n}:X\to Y$ मापने योग्य होती है, जहां $Y$ मीट्रिक स्थान (बोरेल बीजगणित के साथ संपन्न) होता है। यह सामान्यतः सत्य नहीं है यदि $Y$ गैर-मेट्रिजेबल है और निरंतर कार्यों के लिए संबंधित कथनों को बिंदुवार अभिसरण की तुलना में मजबूत स्थितियों की आवश्यकता होती है, जैसे वर्दी अभिसरण इत्यादि।^[5]^[6]

गैर-औसती फलन

सामान्यतः अनुप्रयोगों में सामने आने वाले वास्तविक-मूल्यवान कार्य औसत दर्जे के होते हैं; चूँकि, गैर-औसती फलनों के अस्तित्व को सिद्ध करना जटिल नहीं होता है। इस प्रकार के प्रमाण आवश्यक प्रकार से पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं, इस अर्थ में कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध के अतिरिक्त ऐसे कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध नहीं करता है।

किसी भी माप स्थान में $(X,\Sigma )$ गैर-मापने योग्य समूह के साथ $A\subset X,$ $A\notin \Sigma ,$ गैर-मापने योग्य संकेतक कार्य का निर्माण कर सकता है।

\mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}

जहाँ

\mathbb {R}

सामान्य बोरेल बीजगणित से सुसज्जित होता है। इस प्रकार मापने योग्य समूह की प्रीइमेज के पश्चात् से यह गैर-औसती फलन है और

\{1\}

गैर-मापने योग्य

A.

होता है।

अन्य उदाहरण के रूप में, कोई भी गैर-निरंतर कार्य $f:X\to \mathbb {R}$ तुच्छ के संबंध में मापनीय नहीं होता है। इस प्रकार $\sigma$ -बीजगणित $\Sigma =\{\varnothing ,X\},$ चूंकि सीमा में किसी भी बिंदु की पूर्वकल्पना कुछ उचित, गैर-रिक्त उपसमुच्चय होता है अतः $X,$ जो तुच्छ का तत्व $\Sigma .$ नहीं होता है।

यह भी देखें

बोचनर औसती फलन
बोचनर रिक्त स्थान - गणितीय अवधारणा
एलपी रिक्त स्थान - औसती फलनों के सदिश रिक्त स्थान $L^{p}$ रिक्त स्थान
माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली
सदिश माप
निर्बल औसती फलन

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Strichartz, Robert (2000). विश्लेषण का तरीका. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
↑ Carothers, N. L. (2000). वास्तविक विश्लेषण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.
↑ Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
↑ Royden, H. L. (1988). वास्तविक विश्लेषण. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
↑ Dudley, R. M. (2002). वास्तविक विश्लेषण और संभावना (2 ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.
↑ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). अनंत आयामी विश्लेषण, एक सहयात्री की मार्गदर्शिका (3 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

बाहरी संबंध

[strichartz-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Strichartz, Robert (2000). विश्लेषण का तरीका. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.

[carothers-2] Carothers, N. L. (2000). वास्तविक विश्लेषण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.

[folland-3] Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0-471-31716-0.

[royden-4] Royden, H. L. (1988). वास्तविक विश्लेषण. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.

[dudley-5] Dudley, R. M. (2002). वास्तविक विश्लेषण और संभावना (2 ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.

[aliprantis-6] Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). अनंत आयामी विश्लेषण, एक सहयात्री की मार्गदर्शिका (3 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Function for which the preimage of a measurable set is measurable}}
-{{Use American English|date = January 2019}}
+गणित में और विशेष रूप से माप सिद्धांत में, '''औसती फलन''' दो [[मापने योग्य स्थान|मापने योग्य रिक्त स्थान]] के अंतर्निहित समूहों के मध्य का कार्य है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है। इस प्रकार किसी भी माप (गणित) समूह की पूर्व अनुमान मापने योग्य है। यह परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] [[मापने योग्य स्थान|रिक्त स्थान]]  के मध्य सतत कार्य टोपोलॉजिकल संरचना को संरक्षित करता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, औसती फलनों का उपयोग [[लेबेसेग एकीकरण]] की परिभाषा में किया जाता है। अतः संभाव्यता सिद्धांत में, [[संभाव्यता स्थान]] पर औसती फलन को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।
-गणित में और विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण #Measure_theory में, एक मापने योग्य कार्य दो [[मापने योग्य स्थान]] के अंतर्निहित सेटों के बीच एक कार्य है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है: किसी भी माप (गणित) सेट की पूर्व छवि मापने योग्य है। यह परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] [[आकारिता]] के बीच एक सतत कार्य कार्य टोपोलॉजिकल संरचना: किसी भी खुले सेट का पूर्वाभास खुला है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, मापने योग्य कार्यों का उपयोग [[लेबेसेग एकीकरण]] की परिभाषा में किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत में, [[संभाव्यता स्थान]] पर मापने योग्य कार्य को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-होने देना <math>(X,\Sigma)</math> और <math>(Y,\Tau)</math> मापने योग्य स्थान हो, जिसका अर्थ है <math>X</math> और <math>Y</Math> are sets equipped with respective [[σ-algebra|<math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math> एक समारोह <math>f:X\to Y</math> औसत दर्जे का कहा जाता है अगर हर के लिए <math>E\in \Tau</math> की पूर्व छवि <math>E</math> अंतर्गत <math>f</math> में है <math>\Sigma</math>; यानी सभी के लिए <math>E \in \Tau </math>
+सामान्यतः <math>(X,\Sigma)</math> और <math>(Y,\Tau)</math> मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है <math>X</math> और <math>Y</Math> संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math> कार्य <math>f:X\to Y</math> को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए <math>E\in \Tau</math> के पूर्व प्रतिबिम्ब <math>E</math> के अंतर्गत <math>f</math> में <math>\Sigma</math> है, अर्थात् सभी के लिए <math>E \in \Tau </math> होता है।
 <math display="block">f^{-1}(E) := \{ x\in X \mid f(x) \in E \} \in \Sigma.</math>
-वह है, <math>\sigma (f)\subseteq\Sigma,</math> कहाँ <math>\sigma (f)</math> Σ-algebra#σ-algebra_generated_by_a_function|σ-algebra f द्वारा जनरेट किया गया है। अगर <math>f:X\to Y</math> एक मापने योग्य कार्य है, कोई लिखता है
+वह <math>\sigma (f)\subseteq\Sigma,</math> होता है, जहाँ <math>\sigma (f)</math> f द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। यदि <math>f:X\to Y</math> औसती फलन होता है, तब कोई लिखता है।
 <math display="block">f \colon (X, \Sigma)  \rightarrow (Y, \Tau).</math>
-पर निर्भरता पर जोर देना <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math>
+<math>\sigma</math>-बीजगणित पर निर्भरता <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math> पर जोर दिया जाता है।
+== शब्द उपयोग विविधताएं ==
-== शब्द उपयोग भिन्नता ==
-का चुनाव <math>\sigma</math>उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी निहित होता है और संदर्भ तक छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, के लिए <math>\R,</math> <math>\Complex,</math> या अन्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, [[बोरेल बीजगणित]] (सभी खुले सेटों द्वारा उत्पन्न) एक आम पसंद है। कुछ लेखक मापने योग्य कार्यों को बोरेल बीजगणित के संबंध में विशेष रूप से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref name="strichartz">{{cite book|last=Strichartz|first=Robert|title=विश्लेषण का तरीका|url=https://archive.org/details/wayofanalysis0000stri|url-access=registration|publisher=Jones and Bartlett|year=2000|isbn=0-7637-1497-6}}</ref>
-यदि फ़ंक्शन के मान एक [[अनंत-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष]] में हैं, तो मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएं, जैसे [[कमजोर मापनीयता]] और बोचनर मापनीयता मौजूद हैं।
-== मापने योग्य कार्यों के उल्लेखनीय वर्ग ==
+इसका चुनाव <math>\sigma</math> उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी अंतनिहित होता है और संदर्भ तक छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R,</math> <math>\Complex,</math> या अन्य सामयिक रिक्त स्थान, [[बोरेल बीजगणित]] (सभी खुले समूहों द्वारा उत्पन्न) साधारण पसंद होती है। इस प्रकार कुछ लेखक औसती फलनों को बोरेल बीजगणित के संबंध में विशेष रूप से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं।<ref name="strichartz">{{cite book|last=Strichartz|first=Robert|title=विश्लेषण का तरीका|url=https://archive.org/details/wayofanalysis0000stri|url-access=registration|publisher=Jones and Bartlett|year=2000|isbn=0-7637-1497-6}}</ref>
-* रैंडम वेरिएबल्स परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के कार्य हैं।
+यदि फ़ंक्शन के मान [[अनंत-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|अनंत-आयामी सदिश अंतरिक्ष]] में हैं, तब मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएं, जैसे [[कमजोर मापनीयता]] और बोचनर मापनीयता उपस्तिथ होती हैं।
-* अगर <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> बोरेल सेट # मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय हैं, एक मापने योग्य कार्य <math>f:(X, \Sigma) \to (Y, T)</math> इसे बोरेल फंक्शन भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं लेकिन सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। हालाँकि, एक मापने योग्य कार्य लगभग एक सतत कार्य है; लुज़िन की प्रमेय देखें। यदि एक बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का एक भाग होता है <math>Y\xrightarrow{~\pi~}X,</math> इसे बोरेल सेक्शन कहा जाता है।
-* एक Lebesgue औसत दर्जे का कार्य एक औसत दर्जे का कार्य है <math>f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_\Complex),</math> कहाँ <math>\mathcal{L}</math> है <math>\sigma</math>लेबेस्ग औसत दर्जे का सेट का बीजगणित, और <math>\mathcal{B}_\Complex</math> सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित है <math>\Complex.</math> Lebesgue मापने योग्य कार्य [[गणितीय विश्लेषण]] में रुचि रखते हैं क्योंकि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि <math>f : X \to \R,</math> <math>f</math> Lebesgue मापने योग्य है अगर और केवल अगर <math>\{f > \alpha\} = \{ x\in X : f(x) > \alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य है <math>\alpha\in\R.</math> यह भी इनमें से किसी के बराबर है <math>\{f \geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\le\alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होना <math>\alpha,</math> या किसी भी खुले सेट के मापने योग्य होने की पूर्व-छवि। निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्ध-सतत कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य, और परिबद्ध भिन्नता के कार्य सभी Lebesgue मापने योग्य हैं।<ref name="carothers">{{cite book |last=Carothers|first=N. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro| url-access=registration | year=2000| publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-49756-6}}</ref> एक समारोह <math>f:X\to\Complex</math> मापनीय है यदि और केवल यदि वास्तविक और काल्पनिक भाग मापने योग्य हैं।
-== मापने योग्य कार्यों के गुण ==
+== औसती फलनों के उल्लेखनीय वर्ग ==
-* दो जटिल-मूल्यवान मापने योग्य कार्यों का योग और उत्पाद औसत दर्जे का है।<ref name="folland">{{cite book|last=Folland|first=Gerald B.|title=Real Analysis: Modern Techniques and their Applications|year=1999|publisher=Wiley|isbn=0-471-31716-0}}</ref> भागफल भी ऐसा ही है, जब तक कि शून्य से कोई विभाजन न हो।<ref name="strichartz" />* अगर <math>f : (X,\Sigma_1) \to (Y,\Sigma_2)</math> और <math>g:(Y,\Sigma_2) \to (Z,\Sigma_3)</math> मापने योग्य कार्य हैं, तो उनकी रचना भी है <math>g\circ f:(X,\Sigma_1) \to (Z,\Sigma_3).</math><ref name="strichartz" />* अगर <math>f : (X,\Sigma_1) \to (Y,\Sigma_2)</math> और <math>g:(Y,\Sigma_3) \to (Z,\Sigma_4)</math> मापने योग्य कार्य हैं, उनकी रचना <math>g\circ f: X\to Z</math> जरूरत नहीं है <math>(\Sigma_1,\Sigma_4)</math>-मापने योग्य जब तक <math>\Sigma_3 \subseteq \Sigma_2.</math> वास्तव में, दो Lebesgue-मापने योग्य कार्यों का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है कि उनकी रचना को गैर-Lebesgue-मापने योग्य बनाया जा सके।
+* यादृच्छिक चर परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के कार्य हैं।
-* वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम (अर्थात्, गणनीय रूप से कई) के (बिंदुवार) [[ अंतिम ]], [[सबसे कम]], [[निचली सीमा]], और लिमिट हीन सभी मापनीय भी हैं।<ref name="strichartz" /><ref name="royden">{{cite book|last=Royden|first=H. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|year=1988|publisher=Prentice Hall|isbn=0-02-404151-3}}</ref>
+* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय होते हैं, जो औसती फलन <math>f:(X, \Sigma) \to (Y, T)</math> को बोरेल कार्य भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, औसती फलन लगभग सतत कार्य होते है। इस प्रकार लुज़िन की प्रमेय देख सकते है। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का <math>Y\xrightarrow{~\pi~}X,</math> भाग होता है। इसे बोरेल खंड कहा जाता है।
-*मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम की [[बिंदुवार]] सीमा <math>f_n: X \to Y</math> मापने योग्य है, जहां <math>Y</math> एक मीट्रिक स्थान है (बोरेल बीजगणित के साथ संपन्न)। यह सामान्य तौर पर सच नहीं है अगर <math>Y</math> गैर-मेट्रिजेबल है। निरंतर कार्यों के लिए संबंधित बयानों को बिंदुवार अभिसरण की तुलना में मजबूत स्थितियों की आवश्यकता होती है, जैसे वर्दी अभिसरण।<ref name="dudley">{{cite book|last=Dudley|first=R. M.|title=वास्तविक विश्लेषण और संभावना|year=2002|edition=2|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-00754-2}}</ref><ref name="aliprantis">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|title=अनंत आयामी विश्लेषण, एक सहयात्री की मार्गदर्शिका|year=2006|edition=3|publisher=Springer|isbn=978-3-540-29587-7}}</ref>
+* लेबेस्ग औसत दर्जे का कार्य होता है <math>f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_\Complex),</math> जहाँ <math>\mathcal{L}</math> है <math>\sigma</math> लेबेस्ग मापने योग्य समूहों का बीजगणित और <math>\mathcal{B}_\Complex</math> सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित होता है <math>\Complex.</math> लेबेस्ग औसती फलन [[गणितीय विश्लेषण]] में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि <math>f : X \to \R,</math> <math>f</math> लेबेस्ग मापने योग्य है और यदि <math>\{f > \alpha\} = \{ x\in X : f(x) > \alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है <math>\alpha\in\R.</math> यह भी इनमें से किसी के समान्तर होता है अतः यह <math>\{f \geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\le\alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है और <math>\alpha,</math> या किसी भी खुले समूह के मापने योग्य होने की पूर्व-छवि निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्ध-सतत कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य और परिबद्ध भिन्नता के कार्य सभी लेबेस्ग मापने योग्य होते हैं।<ref name="carothers">{{cite book |last=Carothers|first=N. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro| url-access=registration | year=2000| publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-49756-6}}</ref> इस प्रकार कार्य <math>f:X\to\Complex</math> के मापनीय होते है और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी मापने योग्य होते हैं।
+== औसती फलनों के गुण ==
-== गैर-मापने योग्य कार्य ==
+* दो जटिल-मूल्यवान औसती फलनों का योग और उत्पाद मापने योग्य होता है।<ref name="folland">{{cite book|last=Folland|first=Gerald B.|title=Real Analysis: Modern Techniques and their Applications|year=1999|publisher=Wiley|isbn=0-471-31716-0}}</ref> अतः भागफल भी ऐसा ही होता है, जब तक कि शून्य से कोई विभाजन नही होता है।<ref name="strichartz" />
+*यदि <math>f : (X,\Sigma_1) \to (Y,\Sigma_2)</math> और <math>g:(Y,\Sigma_2) \to (Z,\Sigma_3)</math> औसती फलन हैं, तब उनकी संरचना भी होती है <math>g\circ f:(X,\Sigma_1) \to (Z,\Sigma_3).</math><ref name="strichartz" />
+*यदि <math>f : (X,\Sigma_1) \to (Y,\Sigma_2)</math> और <math>g:(Y,\Sigma_3) \to (Z,\Sigma_4)</math> औसती फलन हैं और उनकी संरचना में <math>g\circ f: X\to Z</math> की आवश्यकता नहीं होती है <math>(\Sigma_1,\Sigma_4)</math> मापने योग्य जब तक <math>\Sigma_3 \subseteq \Sigma_2.</math> वास्तव में, दो लेबेस्ग-औसती फलनों का निर्माण इस प्रकार से किया जा सकता है कि उनकी रचना को गैर-लेबेस्ग-मापने योग्य बनाया जा सकता है।
+* वास्तविक-मूल्यवान औसती फलनों के अनुक्रम (अर्थात् गणनीय रूप से अनेक) के (बिंदुवार) [[ अंतिम |अंतिम]], [[सबसे कम]], [[निचली सीमा]] और सीमा हीन सभी को मापा जा सकता हैं।<ref name="strichartz" /><ref name="royden">{{cite book|last=Royden|first=H. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|year=1988|publisher=Prentice Hall|isbn=0-02-404151-3}}</ref>
+*औसती फलनों के अनुक्रम की [[बिंदुवार]] सीमा <math>f_n: X \to Y</math> मापने योग्य होती है, जहां <math>Y</math> मीट्रिक स्थान (बोरेल बीजगणित के साथ संपन्न) होता है। यह सामान्यतः सत्य नहीं है यदि <math>Y</math> गैर-मेट्रिजेबल है और निरंतर कार्यों के लिए संबंधित कथनों को बिंदुवार अभिसरण की तुलना में मजबूत स्थितियों की आवश्यकता होती है, जैसे वर्दी अभिसरण इत्यादि।<ref name="dudley">{{cite book|last=Dudley|first=R. M.|title=वास्तविक विश्लेषण और संभावना|year=2002|edition=2|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-00754-2}}</ref><ref name="aliprantis">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|title=अनंत आयामी विश्लेषण, एक सहयात्री की मार्गदर्शिका|year=2006|edition=3|publisher=Springer|isbn=978-3-540-29587-7}}</ref>
+== गैर-औसती फलन ==
-अनुप्रयोगों में सामने आने वाले वास्तविक-मूल्यवान कार्य औसत दर्जे के होते हैं; हालाँकि, गैर-मापने योग्य कार्यों के अस्तित्व को साबित करना मुश्किल नहीं है। इस तरह के प्रमाण एक आवश्यक तरीके से पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं, इस अर्थ में कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ऐसे कार्यों के अस्तित्व को साबित नहीं करता है।
+सामान्यतः अनुप्रयोगों में सामने आने वाले वास्तविक-मूल्यवान कार्य औसत दर्जे के होते हैं; चूँकि, गैर-औसती फलनों के अस्तित्व को सिद्ध करना जटिल नहीं होता है। इस प्रकार के प्रमाण आवश्यक प्रकार से पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं, इस अर्थ में कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध के अतिरिक्त ऐसे कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध नहीं करता है।
-किसी भी माप स्थान में<math>(X, \Sigma)</math>एक [[गैर-मापने योग्य सेट]] के साथ <math>A \subset X,</math> <math>A \notin \Sigma,</math> एक गैर-मापने योग्य संकेतक समारोह का निर्माण कर सकता है:
+किसी भी माप स्थान में <math>(X, \Sigma)</math> [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समूह]] के साथ <math>A \subset X,</math> <math>A \notin \Sigma,</math> गैर-मापने योग्य संकेतक कार्य का निर्माण कर सकता है।
- <math display="block">\mathbf{1}_A:(X,\Sigma) \to \R,
+<math display="block">\mathbf{1}_A:(X,\Sigma) \to \R,
 \quad
 \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases}
@@ Line 42: / Line 39: @@
 & \text{ otherwise},
 \end{cases}</math>
-कहाँ <math>\R</math> सामान्य बोरेल बीजगणित से सुसज्जित है। मापने योग्य सेट की प्रीइमेज के बाद से यह एक गैर-मापने योग्य कार्य है <math>\{1\}</math> गैर-मापने योग्य है <math>A.</math>
+जहाँ <math>\R</math> सामान्य बोरेल बीजगणित से सुसज्जित होता है। इस प्रकार मापने योग्य समूह की प्रीइमेज के पश्चात् से यह गैर-औसती फलन है और <math>\{1\}</math> गैर-मापने योग्य <math>A.</math> होता है।
-एक अन्य उदाहरण के रूप में, कोई भी गैर-निरंतर कार्य <math>f : X \to \R</math> तुच्छ के संबंध में गैर-मापने योग्य है <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma = \{\varnothing, X\},</math> चूंकि सीमा में किसी भी बिंदु की पूर्वकल्पना कुछ उचित, गैर-खाली उपसमुच्चय है <math>X,</math> जो तुच्छ का एक तत्व नहीं है <math>\Sigma.</math>
+अन्य उदाहरण के रूप में, कोई भी गैर-निरंतर कार्य <math>f : X \to \R</math> तुच्छ के संबंध में मापनीय नहीं होता है। इस प्रकार <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma = \{\varnothing, X\},</math> चूंकि सीमा में किसी भी बिंदु की पूर्वकल्पना कुछ उचित, गैर-रिक्त उपसमुच्चय होता है अतः <math>X,</math> जो तुच्छ का तत्व <math>\Sigma.</math> नहीं होता है।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Bochner measurable function}}
+* {{annotated link|बोचनर औसती फलन}}
-* {{annotated link|Bochner space}}
+* {{annotated link|बोचनर रिक्त स्थान}}  - गणितीय अवधारणा
-* {{annotated link|Lp space}} - मापने योग्य कार्यों के वेक्टर रिक्त स्थान: एलपी स्थान |<math>L^p</math> खाली स्थान
+* {{annotated link|एलपी रिक्त स्थान}} - औसती फलनों के सदिश रिक्त स्थान <math>L^p</math> रिक्त स्थान
-* {{annotated link|Measure-preserving dynamical system}}
+* {{annotated link|माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली}}
-* {{annotated link|Vector measure}}
+* {{annotated link|सदिश माप}}
-* {{annotated link|Weakly measurable function}}
+* {{annotated link|निर्बल औसती फलन}}
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 60: / Line 55: @@
 {{reflist|group=note}}
 {{reflist}}
 ==बाहरी संबंध==
@@ Line 67: / Line 60: @@
 * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Borel_function Borel function] at [[Encyclopedia of Mathematics]]
-{{Measure theory}}
+{{DEFAULTSORT:Measurable Function}}
-{{Lp spaces}}
-{{DEFAULTSORT:Measurable Function}}[[Category: माप सिद्धांत]] [[Category: कार्यों के प्रकार]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Created On 24/05/2023|Measurable Function]]
-[[Category:Created On 24/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates|Measurable Function]]
+[[Category:Machine Translated Page|Measurable Function]]
+[[Category:Pages that use a deprecated format of the math tags|Measurable Function]]
+[[Category:Pages with script errors|Measurable Function]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Measurable Function]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Measurable Function]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Measurable Function]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Measurable Function]]
+[[Category:कार्यों के प्रकार|Measurable Function]]
+[[Category:माप सिद्धांत|Measurable Function]]

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