ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल: Difference between revisions

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[[एंड्रू गिनींड]] ने 1984 में दिखाया कि [[त्रिकोण]] का अंतःकेंद्र ऑर्थोसेन्ट्रोडल व्रत के आंतरिक भाग में स्थित होना चाहिए, किन्तु नौ-बिंदु केंद्र के साथ मेल नहीं खा रहा है; अर्थात्, यह नौ-बिंदु केंद्र पर छिद्रित खुली ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क में गिरना चाहिए।<ref>{{citation|first=Andrew P.|last=Guinand|title=Euler lines, tritangent centers, and their triangles|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=91|issue=5|jstor=2322671|year=1984|pages=290–300|doi=10.2307/2322671}}.</ref><ref name=Bradley>{{citation|first1=Christopher J.|last1=Bradley|first2=Geoff C.|last2=Smith|title=The locations of triangle centers|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|year=2006|pages=57–70|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html}}.</ref><ref name=Stern>{{citation
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केंद्र कोई भी ऐसा बिंदु हो सकता है, जो उस विशेष ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क वाले विशिष्ट त्रिकोण पर निर्भर करता है।<ref name=Stern/>


आगे,<ref name=Bradley/>Fermat बिंदु, Gergonne बिंदु, और symedian बिंदु खुले ओर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क में हैं जो अपने स्वयं के केंद्र में पंचर हैं (और इसमें किसी भी बिंदु पर हो सकते हैं), जबकि Fermat बिंदु#Aliases और Feuerbach बिंदु ओर्थोसेन्ट्रोडल सर्कल के बाहरी हिस्से में हैं . एक या दूसरे ब्रोकार्ड बिंदुओं का [[ठिकाना (गणित)]] भी खुला ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क है।<ref>{{citation|first1=Christopher J. |last1= Bradley|first2=Geoff C.|last2=Smith|title=The locations of the Brocard points|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|year=2006|pages=71–77|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html}}.</ref>
केंद्र कोई भी ऐसा बिंदु हो सकता है जो उस विशेष ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क वाले विशिष्ट त्रिकोण पर निर्भर करता है।<ref name="Stern" /><ref name=Bradley/>
ऑर्थोसेन्ट्रोडल सर्कल के व्यास का वर्ग है<ref name="ac">Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).</ref>{{rp|p.102}}  <math>D^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2),</math> जहाँ a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और D इसके [[परिवृत्त]] का व्यास है।


==संदर्भ==
इसके अतिरिक्त फ़र्मेट बिंदु, गेर्गोन बिंदु और सिम्मेडियन बिंदु खुले ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क में हैं, जो अपने स्वयं के केंद्र में छिद्रित हैं (और इसमें किसी भी बिंदु पर हो सकते हैं), जबकि दूसरा फ़र्मेट बिंदु और फायरबैक बिंदु बाहरी में हैं ऑर्थोसेंट्रोइडल व्रत का ब्रोकार्ड बिंदुओं में से एक या दूसरे के संभावित स्थानों का सेट भी ओपन ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क है।<ref>{{citation|first1=Christopher J. |last1= Bradley|first2=Geoff C.|last2=Smith|title=The locations of the Brocard points|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=6|year=2006|pages=71–77|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html}}.</ref>
 
ऑर्थोसेन्ट्रोडल व्रत के व्यास का वर्ग है<ref name="ac">Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).</ref>{{rp|p.102}}
 
<math>D^2-\tfrac{4}{9}(a^2+b^2+c^2),</math> जहाँ a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और D इसके [[परिवृत्त]] का व्यास है।
==संदर्भ                               ==
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{{commonscat|Orthocentroidal circle}}
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Latest revision as of 09:20, 13 June 2023

एक त्रिकोण (काला), इसका orthocenter (नीला), इसका केन्द्रक (लाल), और इसका ऑर्थोसेंट्रोइडल डिस्क (पीला)
  Orthocentroidal circle bounded by the orthocenter (H) and centroid (S)
  Euler line, on which the circumcenter (O) and nine-point center (N) both lie along with H and S
  F1 and F2: Fermat points
  F: Feuerbach point
  I: Incenter
  G: Gergonne point
  U: Symmedian point

ज्यामिति में एक गैर-समबाहु त्रिभुज का लंबकेन्द्रीय वृत्त वह वृत्त होता है जिसके व्यास के विपरीत सिरों पर त्रिभुज का लंबकेन्द्र और केन्द्रक होता है। इस व्यास में त्रिभुज का नौ-बिंदु केंद्र भी सम्मिलित है और यह यूलर रेखा का एक उपसमुच्चय है जिसमें ऑर्थोसेंट्रोइडल व्रत के बाहर परिकेन्द्र भी सम्मिलित है।

एंड्रू गिनींड ने 1984 में दिखाया कि त्रिकोण का अंतःकेंद्र ऑर्थोसेन्ट्रोडल व्रत के आंतरिक भाग में स्थित होना चाहिए, किन्तु नौ-बिंदु केंद्र के साथ मेल नहीं खा रहा है; अर्थात्, यह नौ-बिंदु केंद्र पर छिद्रित खुली ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क में गिरना चाहिए।[1][2][3][4] [5]: pp. 451–452 

केंद्र कोई भी ऐसा बिंदु हो सकता है जो उस विशेष ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क वाले विशिष्ट त्रिकोण पर निर्भर करता है।[3][2]

इसके अतिरिक्त फ़र्मेट बिंदु, गेर्गोन बिंदु और सिम्मेडियन बिंदु खुले ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क में हैं, जो अपने स्वयं के केंद्र में छिद्रित हैं (और इसमें किसी भी बिंदु पर हो सकते हैं), जबकि दूसरा फ़र्मेट बिंदु और फायरबैक बिंदु बाहरी में हैं ऑर्थोसेंट्रोइडल व्रत का ब्रोकार्ड बिंदुओं में से एक या दूसरे के संभावित स्थानों का सेट भी ओपन ऑर्थोसेन्ट्रोडल डिस्क है।[6]

ऑर्थोसेन्ट्रोडल व्रत के व्यास का वर्ग है[7]: p.102 

जहाँ a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और D इसके परिवृत्त का व्यास है।

संदर्भ

  1. ↑ Guinand, Andrew P. (1984), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, doi:10.2307/2322671, JSTOR 2322671.
  2. ↑ 2.0 2.1 Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum, 6: 57–70.
  3. ↑ 3.0 3.1 Stern, Joseph (2007), "Euler's triangle determination problem" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 1–9.
  4. ↑ Franzsen, William N. (2011), "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum, 11: 231–236.
  5. ↑ Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette, 91 (522): 436–452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR 40378417, S2CID 125341434.
  6. ↑ Bradley, Christopher J.; Smith, Geoff C. (2006), "The locations of the Brocard points", Forum Geometricorum, 6: 71–77.
  7. ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
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