टिचमर्श कनवल्शन प्रमेय: Difference between revisions

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Titchmarsh [[कनवल्शन]] प्रमेय दो कार्यों के कनवल्शन के [[समर्थन (गणित)]] के गुणों का वर्णन करता है। इसे 1926 में [[एडवर्ड चार्ल्स टिचमर्श]] ने सिद्ध किया था।<ref>{{Cite journal |last=Titchmarsh |first=E. C. |date=1926 |title=कुछ अभिन्न कार्यों के शून्य|url=http://doi.wiley.com/10.1112/plms/s2-25.1.283 |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |language=en |volume=s2-25 |issue=1 |pages=283–302 |doi=10.1112/plms/s2-25.1.283}}</ref>
टिश्मर्श [[कनवल्शन]] प्रमेय दो कार्यों के कनवल्शन के [[समर्थन (गणित)]] के गुणों का वर्णन करता है। इसे 1926 में [[एडवर्ड चार्ल्स टिचमर्श]] ने सिद्ध किया था।<ref>{{Cite journal |last=Titchmarsh |first=E. C. |date=1926 |title=कुछ अभिन्न कार्यों के शून्य|url=http://doi.wiley.com/10.1112/plms/s2-25.1.283 |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |language=en |volume=s2-25 |issue=1 |pages=283–302 |doi=10.1112/plms/s2-25.1.283}}</ref>




== Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय ==
== Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय ==
अगर <math display="inline">\varphi(t)\,</math> और <math display="inline">\psi(t)</math> अभिन्न कार्य हैं, जैसे कि
यदि <math display="inline">\varphi(t)\,</math> और <math display="inline">\psi(t)</math> अभिन्न कार्य हैं, जैसे कि
:<math>\varphi * \psi = \int_0^x \varphi(t)\psi(x-t)\,dt=0</math>
:<math>\varphi * \psi = \int_0^x \varphi(t)\psi(x-t)\,dt=0</math>
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अंतराल में लगभग हर जगह <math>0<x<\kappa\,</math>, तो <math>\lambda\geq0</math> और<math>\mu\geq0</math> संतोषजनक <math>\lambda+\mu\ge\kappa</math> उपस्थित हैं जैसे कि <math>\varphi(t)=0\,</math> लगभग हर जगह<math>0<t<\lambda</math> और <math>\psi(t)=0\,</math> लगभग हर जगह <math>0<t<\mu.</math> में।
उपप्रमेय के रूप में, यदि उपरोक्त समाकल सभी के लिए 0 है <math display="inline">x>0,</math> तो कोई <math display="inline">\varphi\,</math> या <math display="inline">\psi</math> अंतराल में लगभग हर जगह 0 है <math display="inline"> [0,+\infty).</math> इस प्रकार दो कार्यों का दृढ़ संकल्प <math display=inline> [0,+\infty)</math> समान रूप से शून्य नहीं हो सकता जब तक कि दो कार्यों में से कम से कम एक समान रूप से शून्य न हो।


दूसरे परिणाम के रूप में, यदि <math>\varphi * \psi (x) = 0</math> सभी के लिए <math>x\in [0, \kappa]</math> और समारोह में से एक <math>\varphi</math> या <math>\psi</math> इस अंतराल में लगभग हर जगह शून्य नहीं है, तो दूसरे फ़ंक्शन को लगभग हर जगह शून्य होना चाहिए <math>[0,\kappa]</math>.
उपप्रमेय के रूप में, यदि उपरोक्त समाकल सभी <math display="inline">x>0,</math> के लिए 0 है, तो या तो <math display="inline">\varphi\,</math> या <math display="inline">\psi</math> अंतराल में लगभग हर जगह 0 है <math display="inline"> [0,+\infty).</math> इस प्रकार <math display="inline"> [0,+\infty)</math> पर दो कार्यों का दृढ़ संकल्प समान रूप से शून्य नहीं हो सकता जब तक कि दो कार्यों में से कम से कम एक समान रूप से शून्य न हो।
 
 
एक अन्य परिणाम के रूप में, यदि <math>\varphi * \psi (x) = 0</math> सभी के लिए <math>x\in [0, \kappa]</math> और कार्य <math>\varphi</math> या <math>\psi</math> में से एक लगभग हर जगह शून्य नहीं है इस अंतराल, तो दूसरे कार्य को <math>[0,\kappa]</math> में लगभग हर जगह शून्य होना चाहिए।


प्रमेय को निम्नलिखित रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है:
प्रमेय को निम्नलिखित रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है:


:होने देना <math>\varphi, \psi\in L^1(\mathbb{R})</math>. तब <math>\inf\operatorname{supp} \varphi\ast \psi=\inf\operatorname{supp} \varphi+\inf\operatorname{supp} \psi</math> यदि बायां हाथ परिमित है। इसी प्रकार, <math>\sup\operatorname{supp} \varphi\ast\psi = \sup\operatorname{supp}\varphi + \sup\operatorname{supp} \psi</math> यदि दाहिनी ओर परिमित है।
:मान लीजिए <math>\varphi, \psi\in L^1(\mathbb{R})</math> तब <math>\inf\operatorname{supp} \varphi\ast \psi=\inf\operatorname{supp} \varphi+\inf\operatorname{supp} \psi</math> यदि बाएँ हाथ की ओर परिमित है। इसी तरह,<math>\sup\operatorname{supp} \varphi\ast\psi = \sup\operatorname{supp}\varphi + \sup\operatorname{supp} \psi</math> यदि दाहिनी ओर परिमित है।


ऊपर, <math>\operatorname{supp}</math> एक फ़ंक्शन के समर्थन को दर्शाता है और <math>\inf</math> और <math>\sup</math> infimum और supremum को निरूपित करें। यह प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रसिद्ध समावेशन <math> \operatorname{supp}\varphi\ast \psi \subset \operatorname{supp}\varphi+\operatorname{supp}\psi</math> सीमा पर तेज है।
ऊपर <math>\operatorname{supp}</math> एक कार्य के समर्थन को दर्शाता है और <math>\inf</math> और <math>\sup</math> अल्प और सर्वोच्च को दर्शाता है। यह प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रसिद्ध समावेश <math> \operatorname{supp}\varphi\ast \psi \subset \operatorname{supp}\varphi+\operatorname{supp}\psi</math> सीमा पर तेज है।


समर्थन के उत्तल पतवार के संदर्भ में उच्च-आयामी सामान्यीकरण 1951 में [[जैक्स-लुई लायंस]] द्वारा सिद्ध किया गया था:<ref>{{Cite journal |last=Lions |first=Jacques-Louis |date=1951 |title=रचना उत्पाद रैक|journal=[[Comptes rendus]] |volume=232 |issue=17 |pages=1530–1532}}</ref>
समर्थन के उत्तल पतवार के संदर्भ में उच्च-आयामी सामान्यीकरण 1951 में [[जैक्स-लुई लायंस]] द्वारा सिद्ध किया गया था:<ref>{{Cite journal |last=Lions |first=Jacques-Louis |date=1951 |title=रचना उत्पाद रैक|journal=[[Comptes rendus]] |volume=232 |issue=17 |pages=1530–1532}}</ref>
:अगर <math>\varphi, \psi\in\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)</math>, तब <math>\operatorname{c.h.} \operatorname{supp} \varphi\ast \psi=\operatorname{c.h.} \operatorname{supp} \varphi+\operatorname{c.h.}\operatorname{supp} \psi</math>
:यदि <math>\varphi, \psi\in\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)</math>, तब <math>\operatorname{c.h.} \operatorname{supp} \varphi\ast \psi=\operatorname{c.h.} \operatorname{supp} \varphi+\operatorname{c.h.}\operatorname{supp} \psi</math>
ऊपर, <math>\operatorname{c.h.}</math> सेट के उत्तल पतवार को दर्शाता है और <math>\mathcal{E}' (\mathbb{R}^n)</math> [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के साथ [[वितरण (गणित)]] के स्थान को दर्शाता है।
ऊपर, <math>\operatorname{c.h.}</math> सेट के उत्तल पतवार को दर्शाता है और <math>\mathcal{E}' (\mathbb{R}^n)</math> [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के साथ [[वितरण (गणित)]] के स्थान को दर्शाता है।


Titchmarsh द्वारा मूल प्रमाण [[जटिल विश्लेषण]] | जटिल-परिवर्तनीय तकनीकों का उपयोग करता है, और यह Phragmén-Lindelöf सिद्धांत, जेन्सेन की असमानता, कार्लमैन के प्रमेय, और बलोच के प्रमेय (जटिल चर) #Valiron के प्रमेय|Valiron के प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय तब से कई बार सिद्ध हो चुका है, आमतौर पर या तो [[वास्तविक विश्लेषण]] | वास्तविक-चर का उपयोग कर रहा है<ref>{{Cite journal |last=Doss |first=Raouf |date=1988 |title=टीकमर्श कनवल्शन प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण|url=https://www.ams.org/journals/proc/1988-104-01/S0002-9939-1988-0958063-5/S0002-9939-1988-0958063-5.pdf |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=104 |issue=1}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Kalisch |first=G. K. |date=1962-10-01 |title=कनवल्शन पर टिचमार्श के प्रमेय का एक कार्यात्मक विश्लेषण प्रमाण|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |language=en |volume=5 |issue=2 |pages=176–183 |doi=10.1016/S0022-247X(62)80002-X |issn=0022-247X|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Mikusiński |first=J. |date=1953 |title=कनवल्शन पर टिचमर्श की प्रमेय का एक नया प्रमाण|journal=Studia Mathematica |language=en |volume=13 |issue=1 |pages=56–58 |doi=10.4064/sm-13-1-56-58 |issn=0039-3223|doi-access=free }}</ref> या जटिल-चर<ref>{{Cite journal |last=Crum |first=M. M. |date=1941 |title=दो कार्यों के परिणाम पर|url=https://academic.oup.com/qjmath/article-lookup/doi/10.1093/qmath/os-12.1.108 |journal=The Quarterly Journal of Mathematics |language=en |volume=os-12 |issue=1 |pages=108–111 |doi=10.1093/qmath/os-12.1.108 |issn=0033-5606}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Dufresnoy |first=Jacques |date=1947 |title=दो कार्यों के रचना उत्पाद पर|journal=[[Comptes rendus]] |volume=225 |pages=857–859}}</ref><ref>{{Cite book |last=Boas |first=Ralph P. |url=https://www.worldcat.org/oclc/847696 |title=संपूर्ण कार्य|date=1954 |publisher=Academic Press |isbn=0-12-108150-8 |location=New York |oclc=847696}}</ref> तरीके। [[जियान-कार्लो रोटा]] ने कहा है कि अभी तक कोई सबूत प्रमेय की अंतर्निहित संयोजक संरचना को संबोधित नहीं करता है, जो उनका मानना ​​है कि पूरी समझ के लिए आवश्यक है।<ref>{{Cite journal |last=Rota |first=Gian-Carlo |date=1998-06-01 |title=दस गणित की समस्याएं मैं कभी हल नहीं करूंगा|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dmvm-1998-0215/html |journal=Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |language=de |volume=6 |issue=2 |pages=45–52 |doi=10.1515/dmvm-1998-0215 |s2cid=120569917 |issn=0942-5977}}</ref>
टिश्मर्श द्वारा मूल प्रमाण [[जटिल विश्लेषण]] जटिल-परिवर्तनीय विधियों का उपयोग करता है, और यह फ्राग्मेन-लिंडेलोफ सिद्धांत, जेन्सेन की असमानता, कार्लमैन के प्रमेय, और बलोच के प्रमेय (जटिल चर) या वालिरॉन के प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय तब से कई बार सिद्ध हो चुका है, सामान्यतः या तो [[वास्तविक विश्लेषण]] वास्तविक-चर का उपयोग कर रहा है<ref>{{Cite journal |last=Doss |first=Raouf |date=1988 |title=टीकमर्श कनवल्शन प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण|url=https://www.ams.org/journals/proc/1988-104-01/S0002-9939-1988-0958063-5/S0002-9939-1988-0958063-5.pdf |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=104 |issue=1}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Kalisch |first=G. K. |date=1962-10-01 |title=कनवल्शन पर टिचमार्श के प्रमेय का एक कार्यात्मक विश्लेषण प्रमाण|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |language=en |volume=5 |issue=2 |pages=176–183 |doi=10.1016/S0022-247X(62)80002-X |issn=0022-247X|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Mikusiński |first=J. |date=1953 |title=कनवल्शन पर टिचमर्श की प्रमेय का एक नया प्रमाण|journal=Studia Mathematica |language=en |volume=13 |issue=1 |pages=56–58 |doi=10.4064/sm-13-1-56-58 |issn=0039-3223|doi-access=free }}</ref> या जटिल-चर<ref>{{Cite journal |last=Crum |first=M. M. |date=1941 |title=दो कार्यों के परिणाम पर|url=https://academic.oup.com/qjmath/article-lookup/doi/10.1093/qmath/os-12.1.108 |journal=The Quarterly Journal of Mathematics |language=en |volume=os-12 |issue=1 |pages=108–111 |doi=10.1093/qmath/os-12.1.108 |issn=0033-5606}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Dufresnoy |first=Jacques |date=1947 |title=दो कार्यों के रचना उत्पाद पर|journal=[[Comptes rendus]] |volume=225 |pages=857–859}}</ref><ref>{{Cite book |last=Boas |first=Ralph P. |url=https://www.worldcat.org/oclc/847696 |title=संपूर्ण कार्य|date=1954 |publisher=Academic Press |isbn=0-12-108150-8 |location=New York |oclc=847696}}</ref> विधि [[जियान-कार्लो रोटा]] ने कहा है कि अभी तक कोई प्रमाण प्रमेय की अंतर्निहित संयोजक संरचना को संबोधित नहीं करता है, जो उनका मानना ​​है कि पूरी समझ के लिए आवश्यक है।<ref>{{Cite journal |last=Rota |first=Gian-Carlo |date=1998-06-01 |title=दस गणित की समस्याएं मैं कभी हल नहीं करूंगा|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dmvm-1998-0215/html |journal=Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |language=de |volume=6 |issue=2 |pages=45–52 |doi=10.1515/dmvm-1998-0215 |s2cid=120569917 |issn=0942-5977}}</ref>
 
==संदर्भ             ==
 
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Latest revision as of 16:09, 14 June 2023

टिश्मर्श कनवल्शन प्रमेय दो कार्यों के कनवल्शन के समर्थन (गणित) के गुणों का वर्णन करता है। इसे 1926 में एडवर्ड चार्ल्स टिचमर्श ने सिद्ध किया था।[1]


Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय

यदि और अभिन्न कार्य हैं, जैसे कि

अंतराल में लगभग हर जगह , तो और संतोषजनक उपस्थित हैं जैसे कि लगभग हर जगह और लगभग हर जगह में।

उपप्रमेय के रूप में, यदि उपरोक्त समाकल सभी के लिए 0 है, तो या तो या अंतराल में लगभग हर जगह 0 है इस प्रकार पर दो कार्यों का दृढ़ संकल्प समान रूप से शून्य नहीं हो सकता जब तक कि दो कार्यों में से कम से कम एक समान रूप से शून्य न हो।


एक अन्य परिणाम के रूप में, यदि सभी के लिए और कार्य या में से एक लगभग हर जगह शून्य नहीं है इस अंतराल, तो दूसरे कार्य को में लगभग हर जगह शून्य होना चाहिए।

प्रमेय को निम्नलिखित रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है:

मान लीजिए तब यदि बाएँ हाथ की ओर परिमित है। इसी तरह, यदि दाहिनी ओर परिमित है।

ऊपर एक कार्य के समर्थन को दर्शाता है और और अल्प और सर्वोच्च को दर्शाता है। यह प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रसिद्ध समावेश सीमा पर तेज है।

समर्थन के उत्तल पतवार के संदर्भ में उच्च-आयामी सामान्यीकरण 1951 में जैक्स-लुई लायंस द्वारा सिद्ध किया गया था:[2]

यदि , तब

ऊपर, सेट के उत्तल पतवार को दर्शाता है और कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वितरण (गणित) के स्थान को दर्शाता है।

टिश्मर्श द्वारा मूल प्रमाण जटिल विश्लेषण जटिल-परिवर्तनीय विधियों का उपयोग करता है, और यह फ्राग्मेन-लिंडेलोफ सिद्धांत, जेन्सेन की असमानता, कार्लमैन के प्रमेय, और बलोच के प्रमेय (जटिल चर) या वालिरॉन के प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय तब से कई बार सिद्ध हो चुका है, सामान्यतः या तो वास्तविक विश्लेषण वास्तविक-चर का उपयोग कर रहा है[3][4][5] या जटिल-चर[6][7][8] विधि जियान-कार्लो रोटा ने कहा है कि अभी तक कोई प्रमाण प्रमेय की अंतर्निहित संयोजक संरचना को संबोधित नहीं करता है, जो उनका मानना ​​है कि पूरी समझ के लिए आवश्यक है।[9]

संदर्भ

  1. ↑ Titchmarsh, E. C. (1926). "कुछ अभिन्न कार्यों के शून्य". Proceedings of the London Mathematical Society (in English). s2-25 (1): 283–302. doi:10.1112/plms/s2-25.1.283.
  2. ↑ Lions, Jacques-Louis (1951). "रचना उत्पाद रैक". Comptes rendus. 232 (17): 1530–1532.
  3. ↑ Doss, Raouf (1988). "टीकमर्श कनवल्शन प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 104 (1).
  4. ↑ Kalisch, G. K. (1962-10-01). "कनवल्शन पर टिचमार्श के प्रमेय का एक कार्यात्मक विश्लेषण प्रमाण". Journal of Mathematical Analysis and Applications (in English). 5 (2): 176–183. doi:10.1016/S0022-247X(62)80002-X. ISSN 0022-247X.
  5. ↑ Mikusiński, J. (1953). "कनवल्शन पर टिचमर्श की प्रमेय का एक नया प्रमाण". Studia Mathematica (in English). 13 (1): 56–58. doi:10.4064/sm-13-1-56-58. ISSN 0039-3223.
  6. ↑ Crum, M. M. (1941). "दो कार्यों के परिणाम पर". The Quarterly Journal of Mathematics (in English). os-12 (1): 108–111. doi:10.1093/qmath/os-12.1.108. ISSN 0033-5606.
  7. ↑ Dufresnoy, Jacques (1947). "दो कार्यों के रचना उत्पाद पर". Comptes rendus. 225: 857–859.
  8. ↑ Boas, Ralph P. (1954). संपूर्ण कार्य. New York: Academic Press. ISBN 0-12-108150-8. OCLC 847696.
  9. ↑ Rota, Gian-Carlo (1998-06-01). "दस गणित की समस्याएं मैं कभी हल नहीं करूंगा". Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (in Deutsch). 6 (2): 45–52. doi:10.1515/dmvm-1998-0215. ISSN 0942-5977. S2CID 120569917.
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