टिचमर्श कनवल्शन प्रमेय

टिश्मर्श कनवल्शन प्रमेय दो कार्यों के कनवल्शन के समर्थन (गणित) के गुणों का वर्णन करता है। इसे 1926 में एडवर्ड चार्ल्स टिचमर्श ने सिद्ध किया था।

Titchmarsh कनवल्शन प्रमेय

यदि ${\textstyle \varphi (t)\,}$ और ${\textstyle \psi (t)}$ अभिन्न कार्य हैं, जैसे कि

$\varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (x-t)\,dt=0$

अंतराल में लगभग हर जगह $0<x<\kappa \,$, तो $\lambda \geq 0$ और$\mu \geq 0$ संतोषजनक $\lambda +\mu \geq \kappa$ उपस्थित हैं जैसे कि $\varphi (t)=0\,$ लगभग हर जगह$0<t<\lambda$ और $\psi (t)=0\,$ लगभग हर जगह $0<t<\mu .$ में।

उपप्रमेय के रूप में, यदि उपरोक्त समाकल सभी ${\textstyle x>0,}$ के लिए 0 है, तो या तो ${\textstyle \varphi \,}$ या ${\textstyle \psi }$ अंतराल में लगभग हर जगह 0 है ${\textstyle [0,+\infty ).}$ इस प्रकार ${\textstyle [0,+\infty )}$ पर दो कार्यों का दृढ़ संकल्प समान रूप से शून्य नहीं हो सकता जब तक कि दो कार्यों में से कम से कम एक समान रूप से शून्य न हो।

एक अन्य परिणाम के रूप में, यदि $\varphi *\psi (x)=0$ सभी के लिए $x\in [0,\kappa ]$ और कार्य $\varphi$ या $\psi$ में से एक लगभग हर जगह शून्य नहीं है इस अंतराल, तो दूसरे कार्य को $[0,\kappa ]$ में लगभग हर जगह शून्य होना चाहिए।

प्रमेय को निम्नलिखित रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है:

मान लीजिए $\varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )$ तब $\inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi$ यदि बाएँ हाथ की ओर परिमित है। इसी तरह,$\sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi$ यदि दाहिनी ओर परिमित है।

ऊपर $\operatorname {supp}$ एक कार्य के समर्थन को दर्शाता है और $\inf$ और $\sup$ अल्प और सर्वोच्च को दर्शाता है। यह प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रसिद्ध समावेश $\operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi$ सीमा पर तेज है।

समर्थन के उत्तल पतवार के संदर्भ में उच्च-आयामी सामान्यीकरण 1951 में जैक्स-लुई लायंस द्वारा सिद्ध किया गया था:

यदि $\varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$, तब $\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {c.h.} \operatorname {supp} \psi$

ऊपर, $\operatorname {c.h.}$ सेट के उत्तल पतवार को दर्शाता है और ${\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वितरण (गणित) के स्थान को दर्शाता है।

टिश्मर्श द्वारा मूल प्रमाण जटिल विश्लेषण जटिल-परिवर्तनीय विधियों का उपयोग करता है, और यह फ्राग्मेन-लिंडेलोफ सिद्धांत, जेन्सेन की असमानता, कार्लमैन के प्रमेय, और बलोच के प्रमेय (जटिल चर) या वालिरॉन के प्रमेय पर आधारित है। प्रमेय तब से कई बार सिद्ध हो चुका है, सामान्यतः या तो वास्तविक विश्लेषण वास्तविक-चर का उपयोग कर रहा है या जटिल-चर विधि जियान-कार्लो रोटा ने कहा है कि अभी तक कोई प्रमाण प्रमेय की अंतर्निहित संयोजक संरचना को संबोधित नहीं करता है, जो उनका मानना ​​है कि पूरी समझ के लिए आवश्यक है।