निरंतर स्थिति: Difference between revisions

Latest revision as of 12:14, 14 July 2023

क्रम सिद्धांत में, सतत पोसमुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित समुच्चय सर्वोच्चतम रखता है।

परिभाषाएँ

$a,b\in P$ पूर्व-आदेशित समुच्चय के दो तत्व $(P,\lesssim )$ होते हैं, इसके माध्यम से हम यह कह सकते हैं कि $a$ अनुमानित $b$ , या वो $a$ तथा $b$ के लिए बहुत नीचे है, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।

किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ का मान इस प्रकार है कि $b\lesssim \sup D$ , यहाँ पर $d\in D$ हैं जो इस प्रकार है कि $a\lesssim d$ के समान हैं।
किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $I\subseteq P$ इस प्रकार हैं $b\lesssim \sup I$ , $a\in I$ के समान हैं।

यहाँ पर यदि $a$ अनुमानित $b$ तो हम इस प्रकार कह सकते हैं कि $a\ll b$ सन्निकटन संबंध $\ll$ सकर्मक संबंध है, जो मूल क्रम से कमजोर है, इस प्रकार एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है, इसके आधार पर यदि $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, अपितु यह आवश्यक नहीं है कि यह पूर्व आदेश में उपयोग किया गया हों। यहाँ पर यह प्रीऑर्डर है, इस प्रकार यदि $(P,\lesssim )$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।^[1]^{: p.52, Examples I-1.3, (4)}

इसके लिए $a\in P$ , का मान इस प्रकार हैं कि

\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}

\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

तब $\mathop {\Uparrow } a$ उच्च समुच्चय है, और $\mathop {\Downarrow } a$ निम्न समुच्चय हैं। इसके आधार पर यदि $P$ उच्च अर्धवृत्ताकार है, तो $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित समुच्चय है, अर्थात्, $b,c\ll a$ तात्पर्य $b\vee c\ll a$ ), और इसलिए आदर्श या आदेश सिद्धांत को प्रदर्शित करता हैं।

यहाँ पर पूर्व आदेशित समुच्चय $(P,\lesssim )$ इस प्रकार हैं कि यदि इसका कोई मान इस प्रकार हैं तो इसे सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय कहा जाता है, और $a\in P$ , उपसमुच्चय $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित समुच्चय $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$ है।

गुण

प्रक्षेप गुण

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय का $(P,\lesssim )$ , $a\ll b$ हैं। इसके आधार पर यदि किसी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ इस प्रकार है कि $b\lesssim \sup D$ , है तो $d\in D$ का मान इस प्रकार होगा कि $a\ll d$ के समान होगा। इसके आधार पर निरंतर पूर्व-आदेशित समुच्चय की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है, जिसके लिए $(P,\lesssim )$ : किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ यहाँ $c\in P$ इस प्रकार हैं कि $a\ll c\ll b$ के समान हैं।

सतत डी काॅप्स

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का $(P,\leq )$ मान निम्नलिखित दो स्थितियों के समतुल्य होते हैं।^[1]^{: p.61, Proposition I-1.19(i)}

$a\ll b$ और $a\neq b$ .
किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\leq \sup D$ , यहाँ $d\in D$ इस प्रकार हैं कि $a\ll d$ और $a\neq d$ के समान हैं।

इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ और $a\neq b$ , यहाँ है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$ और $a\neq c$ के समान हैं।^[1]^{: p.61, Proposition I-1.19(ii)}

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए $(P,\leq )$ , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।^[1]^{: Theorem I-1.10}

यहाँ पर $P$ सतत है।
सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय से $P$ के लिए यह $P$ का बायां जोड़ है।

इस स्थिति में, वास्तविक बायां जोड़ इस प्रकार है-

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

सतत पूर्ण स्थिति

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in L$ पूर्ण स्थिति के लिए $L$ , $a\ll b$ इस प्रकार हैं यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq L$ के समान हैं तो $b\leq \sup A$ परिमित उपसमुच्चय को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यहाँ पर $F\subseteq A$ इस प्रकार हैं कि $a\leq \sup F$ के समान हैं।

यहाँ पर $L$ पूर्ण स्थिति को प्रदर्शित करता हैं, इसके आधार पर निम्नलिखित शर्तें सामने आती हैं।

$L$ सतत है।
सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी स्थिति से $L$ को $L$ की सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
किसी भी समूह के लिए ${\mathcal {D}}$ के निर्देशित समुच्चय के $L$ , $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$ के समान हैं।
$L$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ है। इस विधि से कई दो-बिंदुओं के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $\{0,1\}$ मान प्राप्त होता हैं।^[2]^{: p.56, Theorem 44}

किसी सतत पूर्ण स्थिति को अधिकांशतः सतत जालक कहा जाता है।

उदाहरण

विवृत समुच्चय की स्थिति

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$ , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $\operatorname {Open} (X)$ के विवृत समुच्चय के $X$ सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
जिसके लिए $X$ को स्थानीय रूप से सघन स्थान माना जाता है, इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का कॉम्पैक्ट समुच्चय स्थानीय आधार है।
$X$ श्रेणी में घातांकीय वस्तु है, जो $\operatorname {Top}$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का मान हैं।^[1]^{: p.196, Theorem II-4.12} अर्थात फलन $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$ दायां जोड़ के समान है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). सतत जालक और डोमेन. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (in English). Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
↑ Grätzer, George (2011). जाली सिद्धांत: आधार (in English). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

बाहरी संबंध

"Continuous lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Core-compact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Continuous poset at the nLab
Continuous category at the nLab
Exponential law for spaces at the nLab
Continuous poset at PlanetMath.

[Gierz-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). सतत जालक और डोमेन. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (in English). Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.

[Grätzer-2] Grätzer, George (2011). जाली सिद्धांत: आधार (in English). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.

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 {{Short description|Partially ordered set}}
-क्रम सिद्धांत में, सतत पोसेट आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का [[निर्देशित सेट]] सर्वोच्च होता है।
+क्रम सिद्धांत में, सतत पोसमुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का [[निर्देशित सेट|निर्देशित समुच्चय]] सर्वोच्चतम रखता है।
 == परिभाषाएँ ==
-होने देना <math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों <math>(P,\lesssim)</math>. तो फिर हम कहते हैं <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> बहुत नीचे है <math>b</math>, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।
+<math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित समुच्चय के दो तत्व <math>(P,\lesssim)</math> होते हैं, इसके माध्यम से हम यह कह सकते हैं कि <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> तथा <math>b</math> के लिए बहुत नीचे है, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।
-* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\lesssim d</math>.
+* किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> का मान इस प्रकार है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, यहाँ पर <math>d\in D</math> हैं जो इस प्रकार है कि <math>a\lesssim d</math> के समान हैं।
-* किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math>.
+* किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> इस प्रकार हैं <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math> के समान हैं।
-अगर <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, हम लिखते हैं <math>a\ll b</math>. सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> [[सकर्मक संबंध]] है जो मूल क्रम से कमजोर है, [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह [[पूर्व आदेश]] हो। यह प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}}
+यहाँ पर यदि <math>a</math> अनुमानित <math>b</math> तो हम इस प्रकार कह सकते हैं कि <math>a\ll b</math> सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> [[सकर्मक संबंध]] है, जो मूल क्रम से कमजोर है, इस प्रकार [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है, इसके आधार पर यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, अपितु यह आवश्यक नहीं है कि यह [[पूर्व आदेश]] में उपयोग किया गया हों। यहाँ पर यह प्रीऑर्डर है, इस प्रकार यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}}
-किसी के लिए <math>a\in P</math>, होने देना
+इसके लिए <math>a\in P</math>, का मान इस प्रकार हैं कि
 :<math>\mathop\Uparrow a=\{b\in L\mid a\ll b\}</math>
 :<math>\mathop\Downarrow a=\{b\in L\mid b\ll a\}</math>
-तब <math>\mathop\Uparrow a</math> [[ऊपरी सेट]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> [[निचला सेट]]. अगर <math>P</math> ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है (अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए आदर्श (आदेश सिद्धांत)।
+तब <math>\mathop\Uparrow a</math> [[ऊपरी सेट|उच्च समुच्चय]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> [[निचला सेट|निम्न समुच्चय]] हैं। इसके आधार पर यदि <math>P</math> उच्च अर्धवृत्ताकार है, तो <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित समुच्चय है, अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए आदर्श या आदेश सिद्धांत को प्रदर्शित करता हैं।
-एक पूर्व-आदेशित सेट <math>(P,\lesssim)</math> यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है और <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math>.
+यहाँ पर पूर्व आदेशित समुच्चय <math>(P,\lesssim)</math> इस प्रकार हैं कि यदि इसका कोई मान इस प्रकार हैं तो इसे सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय कहा जाता है, और <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित समुच्चय <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math> है।
 == गुण ==
 === प्रक्षेप गुण ===
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math>. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math>.
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> हैं। इसके आधार पर यदि किसी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> इस प्रकार है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, है तो <math>d\in D</math> का मान इस प्रकार होगा कि <math>a\ll d</math> के समान होगा। इसके आधार पर निरंतर पूर्व-आदेशित समुच्चय की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है, जिसके लिए <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> यहाँ <math>c\in P</math>  इस प्रकार हैं कि <math>a\ll c\ll b</math> के समान हैं।
-=== सतत dcpos ===
+=== सतत डी काॅप्स ===
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}}
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का <math>(P,\le)</math> मान निम्नलिखित दो स्थितियों के समतुल्य होते हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}}
 * <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>.
-* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math>.
+* किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, यहाँ <math>d\in D</math> इस प्रकार हैं कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math> के समान हैं।
-इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math>.<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}}
+इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, यहाँ है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math> के समान हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}}
-निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}}
+निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}}
-* <math>P</math> सतत है.
+* यहाँ पर <math>P</math> सतत है।
-* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से <math>P</math> को <math>P</math> [[बायां जोड़]] है.
+* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय से <math>P</math> के लिए यह <math>P</math> का [[बायां जोड़]] है।
-इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है
+इस स्थिति में, वास्तविक बायां जोड़ इस प्रकार है-
 :<math>{\Downarrow} \colon P\to\operatorname{Ideal}(P)</math>
 :<math>\mathord\Downarrow\dashv\sup</math>
+=== सतत पूर्ण स्थिति ===
+किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in L</math> [[पूर्ण जाली|पूर्ण स्थिति]] के लिए <math>L</math>, <math>a\ll b</math> इस प्रकार हैं यदि किसी उपसमुच्चय के लिए <math>A\subseteq L</math> के समान हैं तो <math>b\le\sup A</math> [[परिमित उपसमुच्चय]] को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यहाँ पर <math>F\subseteq A</math> इस प्रकार हैं कि <math>a\le\sup F</math>  के समान हैं।
+यहाँ पर <math>L</math> पूर्ण स्थिति को प्रदर्शित करता हैं, इसके आधार पर निम्नलिखित शर्तें सामने आती हैं।
+* <math>L</math> सतत है।
+* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी स्थिति से <math>L</math> को <math>L</math> की [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है।
+*किसी भी समूह के लिए <math>\mathcal D</math> के निर्देशित समुच्चय के <math>L</math>, <math>\textstyle\inf_{D\in\mathcal D}\sup D=\sup_{f\in\prod\mathcal D}\inf_{D\in\mathcal D}f(D)</math> के समान हैं।
+* <math>L</math> [[स्कॉट-निरंतर]] निष्क्रिय मानचित्र की [[छवि (गणित)]] के लिए [[समरूपी]] <math>r \colon \{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa</math> है। इस विधि से कई दो-बिंदुओं के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] पर <math>\{0,1\}</math> मान प्राप्त होता हैं।<ref name="Grätzer">{{cite book|date=2011|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1|first=George|isbn=978-3-0348-0017-4|language=en|last=Grätzer|authorlink = George Grätzer|lccn=2011921250|location=Basel|mr=2768581|publisher=Springer|title=जाली सिद्धांत: आधार|zbl=1233.06001}}</ref>{{rp|p.56, Theorem 44}}
-=== सतत पूर्ण जालक ===
+किसी सतत पूर्ण स्थिति को अधिकांशतः सतत जालक कहा जाता है।
-किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in L</math> [[पूर्ण जाली]] का <math>L</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए <math>A\subseteq L</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup A</math>, [[परिमित उपसमुच्चय]] है <math>F\subseteq A</math> ऐसा है कि <math>a\le\sup F</math>.
-होने देना <math>L</math> पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।
-* <math>L</math> सतत है.
-* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से <math>L</math> को <math>L</math> मनमानी [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है।
-*किसी भी परिवार के लिए <math>\mathcal D</math> के निर्देशित सेट के <math>L</math>, <math>\textstyle\inf_{D\in\mathcal D}\sup D=\sup_{f\in\prod\mathcal D}\inf_{D\in\mathcal D}f(D)</math>.
-* <math>L</math> [[स्कॉट-निरंतर]] निष्क्रिय मानचित्र की [[छवि (गणित)]] के लिए [[समरूपी]] है <math>r \colon \{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa</math> मनमाने ढंग से कई दो-बिंदु जाली के [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] पर <math>\{0,1\}</math>.<ref name="Grätzer">{{cite book|date=2011|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1|first=George|isbn=978-3-0348-0017-4|language=en|last=Grätzer|authorlink = George Grätzer|lccn=2011921250|location=Basel|mr=2768581|publisher=Springer|title=जाली सिद्धांत: आधार|zbl=1233.06001}}</ref>{{rp|p.56, Theorem 44}}
-एक सतत पूर्ण जालक को अक्सर सतत जालक कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
-=== खुले सेट की जाली ===
+=== विवृत समुच्चय की स्थिति ===
 [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए <math>X</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
-* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के खुले सेट के <math>X</math> सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
+* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के विवृत समुच्चय के <math>X</math> सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
-* का [[शोक]] <math>X</math> [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का [[कॉम्पैक्ट सेट]] [[स्थानीय आधार]] है)
+* जिसके लिए <math>X</math> को [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] माना जाता है, इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का [[कॉम्पैक्ट सेट|कॉम्पैक्ट समुच्चय]] [[स्थानीय आधार]] है।
-* <math>X</math> श्रेणी में घातांकीय वस्तु है <math>\operatorname{Top}</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का.<ref name="Gierz" />{{rp|p.196, Theorem II-4.12}} अर्थात फनकार <math>(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}</math> दायां जोड़ है.
+* <math>X</math> श्रेणी में घातांकीय वस्तु है, जो <math>\operatorname{Top}</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का मान हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.196, Theorem II-4.12}} अर्थात फलन <math>(-)\times X\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}</math> दायां जोड़ के समान है।
 == संदर्भ ==
@@ Line 62: / Line 60: @@
 * {{nlab|id=exponential_law_for_spaces|title=Exponential law for spaces}}
 * {{PlanetMath|urlname=ContinuousPoset|title=Continuous poset}}
-[[Category: आदेश सिद्धांत]]
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+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
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