निरंतर स्थिति

क्रम सिद्धांत में, सतत पोसमुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित समुच्चय सर्वोच्चतम रखता है।

परिभाषाएँ

$a,b\in P$ पूर्व-आदेशित समुच्चय के दो तत्व $(P,\lesssim )$ होते हैं, इसके माध्यम से हम यह कह सकते हैं कि $a$ अनुमानित $b$, या वो $a$ तथा $b$ के लिए बहुत नीचे है, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।

• किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ का मान इस प्रकार है कि $b\lesssim \sup D$, यहाँ पर $d\in D$ हैं जो इस प्रकार है कि $a\lesssim d$ के समान हैं।
• किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) $I\subseteq P$ इस प्रकार हैं $b\lesssim \sup I$, $a\in I$ के समान हैं।

यहाँ पर यदि $a$ अनुमानित $b$ तो हम इस प्रकार कह सकते हैं कि $a\ll b$ सन्निकटन संबंध $\ll$ सकर्मक संबंध है, जो मूल क्रम से कमजोर है, इस प्रकार एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है, इसके आधार पर यदि $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, अपितु यह आवश्यक नहीं है कि यह पूर्व आदेश में उपयोग किया गया हों। यहाँ पर यह प्रीऑर्डर है, इस प्रकार यदि $(P,\lesssim )$ आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।

इसके लिए $a\in P$, का मान इस प्रकार हैं कि

$\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}$

$\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}$

तब $\mathop {\Uparrow } a$ उच्च समुच्चय है, और $\mathop {\Downarrow } a$ निम्न समुच्चय हैं। इसके आधार पर यदि $P$ उच्च अर्धवृत्ताकार है, तो $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित समुच्चय है, अर्थात्, $b,c\ll a$ तात्पर्य $b\vee c\ll a$), और इसलिए आदर्श या आदेश सिद्धांत को प्रदर्शित करता हैं।

यहाँ पर पूर्व आदेशित समुच्चय $(P,\lesssim )$ इस प्रकार हैं कि यदि इसका कोई मान इस प्रकार हैं तो इसे सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय कहा जाता है, और $a\in P$, उपसमुच्चय $\mathop {\Downarrow } a$ निर्देशित समुच्चय $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$ है।

गुण

प्रक्षेप गुण

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत पूर्व-आदेशित समुच्चय का $(P,\lesssim )$, $a\ll b$ हैं। इसके आधार पर यदि किसी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ इस प्रकार है कि $b\lesssim \sup D$, है तो $d\in D$ का मान इस प्रकार होगा कि $a\ll d$ के समान होगा। इसके आधार पर निरंतर पूर्व-आदेशित समुच्चय की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है, जिसके लिए $(P,\lesssim )$: किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ यहाँ $c\in P$ इस प्रकार हैं कि $a\ll c\ll b$ के समान हैं।

सतत डी काॅप्स

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in P$ सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय का $(P,\leq )$ मान निम्नलिखित दो स्थितियों के समतुल्य होते हैं।

• $a\ll b$ और $a\neq b$.
• किसी भी निर्देशित समुच्चय के लिए $D\subseteq P$ ऐसा है कि $b\leq \sup D$, यहाँ $d\in D$ इस प्रकार हैं कि $a\ll d$ और $a\neq d$ के समान हैं।

इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए $a,b\in P$ ऐसा है कि $a\ll b$ और $a\neq b$, यहाँ है $c\in P$ ऐसा है कि $a\ll c\ll b$ और $a\neq c$ के समान हैं।

निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के लिए $(P,\leq )$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

• यहाँ पर $P$ सतत है।
• सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय से $P$ के लिए यह $P$ का बायां जोड़ है।

इस स्थिति में, वास्तविक बायां जोड़ इस प्रकार है-

${\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)$

${\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup$

सतत पूर्ण स्थिति

किन्हीं दो तत्वों के लिए $a,b\in L$ पूर्ण स्थिति के लिए $L$, $a\ll b$ इस प्रकार हैं यदि किसी उपसमुच्चय के लिए $A\subseteq L$ के समान हैं तो $b\leq \sup A$ परिमित उपसमुच्चय को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यहाँ पर $F\subseteq A$ इस प्रकार हैं कि $a\leq \sup F$ के समान हैं।

यहाँ पर $L$ पूर्ण स्थिति को प्रदर्शित करता हैं, इसके आधार पर निम्नलिखित शर्तें सामने आती हैं।

• $L$ सतत है।
• सर्वोच्च मानचित्र $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी स्थिति से $L$ को $L$ की सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
• किसी भी समूह के लिए ${\mathcal {D}}$ के निर्देशित समुच्चय के $L$, $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$ के समान हैं।
• $L$ स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ है। इस विधि से कई दो-बिंदुओं के प्रत्यक्ष उत्पाद पर $\{0,1\}$ मान प्राप्त होता हैं।

किसी सतत पूर्ण स्थिति को अधिकांशतः सतत जालक कहा जाता है।

उदाहरण

विवृत समुच्चय की स्थिति

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X$, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।

• संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित $\operatorname {Open} (X)$ के विवृत समुच्चय के $X$ सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
• जिसके लिए $X$ को स्थानीय रूप से सघन स्थान माना जाता है, इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का कॉम्पैक्ट समुच्चय स्थानीय आधार है।
• $X$ श्रेणी में घातांकीय वस्तु है, जो $\operatorname {Top}$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का मान हैं। अर्थात फलन $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$ दायां जोड़ के समान है।

बाहरी संबंध

• "Continuous lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Core-compact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Continuous poset at the nLab
• Continuous category at the nLab
• Exponential law for spaces at the nLab
• Continuous poset at PlanetMath.