विशिष्टता परिमाणीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 08:07, 16 July 2023

गणित और तर्कशास्त्र में, "विशिष्टता" शब्द एक निश्चित स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकमात्र वस्तु होने की संपत्ति को संदर्भित करता है।^[1] इस प्रकार के परिमाणीकरण को विशिष्टता परिमाणीकरण या अद्वितीय अस्तित्व संबंधी परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः "∃!"^[2] या "∃₌₁". प्रतीकों से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए औपचारिक वक्तव्य

\exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)

इसे पढ़ा जा सकता है क्योंकि यहाँ बिल्कुल प्राकृतिक संख्या है $n$ ऐसा है कि $n-2=4$ .

विशिष्टता सिद्ध करना

किसी निश्चित वस्तु के अद्वितीय अस्तित्व को सिद्ध करने की सबसे समान्य तकनीक पहले इकाई के अस्तित्व को वांछित स्थिति के साथ सिद्ध करना है, और फिर यह सिद्ध करना है कि ऐसी कोई दो इकाइयाँ (जैसे, $a$ और $b$ ) दूसरे के समान होना चाहिए (अर्थात $a=b$ ).

उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए कि समीकरण $x+2=5$ इसका बिल्कुल ही समाधान है, सबसे पहले यह स्थापित करके प्रारंभ करनी होगी कि कम से कम समाधान उपस्थित है, अर्थात् 3; इस भाग का प्रमाण केवल यह सत्यापन है कि नीचे दिया गया समीकरण सही है:

3+2=5.

समाधान की विशिष्टता स्थापित करने के लिए, यह मानकर आगे बढ़ना होगा कि दो समाधान हैं $a$ और $b$ , संतुष्टि देने वाला $x+2=5$ . वह है,

a+2=5{\text{ and }}b+2=5.

समानता की परिवर्तनशीलता (गणित) द्वारा,

a+2=b+2.

दोनों ओर से 2 घटाने पर प्राप्त होता है

a=b.

जो इस बात का प्रमाण पूरा करता है कि 3, $x+2=5$ का अद्वितीय समाधान है।

समान्य रूप से, अस्तित्व (कम से कम वस्तु उपस्थित है) और विशिष्टता (अधिकतम वस्तु उपस्थित है) दोनों को सिद्ध किया जाना चाहिए, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि उक्त नियम को पूरा करने वाली वास्तव में वस्तु उपस्थित है।

विशिष्टता सिद्ध करने का एक वैकल्पिक विधि यह सिद्ध करना है कि नियम को संतुष्ट करने वाली कोई वस्तु $a$ उपस्थित है, और फिर यह सिद्ध करना है कि नियम को संतुष्ट करने वाली प्रत्येक वस्तु $a$ के समान होनी चाहिए।

सामान्य अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणीकरण में कमी

विशिष्टता परिमाणीकरण को सूत्र $\exists !xP(x)$ को परिभाषित करके विधेय तर्क के अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

\exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),

जो तार्किक रूप से समकक्ष है

\exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).

एक समकक्ष परिभाषा जो संक्षिप्तता की कीमत पर अस्तित्व और विशिष्टता की धारणाओं को दो खंडों में अलग करती है, वह है

\exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].

एक अन्य समतुल्य परिभाषा, जिसमें संक्षिप्तता का लाभ है, है

\exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).

सामान्यीकरण

विशिष्टता परिमाणीकरण को गिनती परिमाणीकरण (या संख्यात्मक परिमाणीकरण) में सामान्यीकृत किया जा सकता है^[3]). इसमें वास्तव में k वस्तुओं के अस्तित्व के दोनों परिमाण सम्मिलित हैं जैसे कि ... साथ ही अनंत रूप से कई वस्तुएं ऐसी उपस्थित हैं ... और केवल सीमित रूप से कई वस्तुएं उपस्थित हैं जैसे ...। इनमें से पहला रूप सामान्य क्वांटिफायर का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, किंतु बाद के दो को सामान्य प्रथम-क्रम तर्क में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।^[4]

विशिष्टता समानता (गणित) की धारणा पर निर्भर करती है। इसे कुछ मोटे तुल्यता संबंध में शिथिल करने से उस तुल्यता तक विशिष्टता की मात्रा का निर्धारण होता है (इस रूपरेखा के तहत, नियमित विशिष्टता समानता तक विशिष्टता है)। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत में कई अवधारणाओं को समरूपता तक अद्वितीय के रूप में परिभाषित किया गया है।

विस्मयादिबोधक चिह्न ! एक अलग परिमाणीकरण प्रतीक के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है, इसलिए $(\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))$ जैसे इसे $\exists !$ के अतिरिक्त प्रतिस्थापन अभिगृहीत में सुरक्षित रूप से उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "विशिष्टता प्रमेय". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-15.
↑ "2.5 Uniqueness Arguments". www.whitman.edu. Retrieved 2019-12-15.
↑ Helman, Glen (August 1, 2013). "संख्यात्मक परिमाणीकरण" (PDF). persweb.wabash.edu. Retrieved 2019-12-14.
↑ This is a consequence of the compactness theorem.

ग्रन्थसूची

Kleene, Stephen (1952). Introduction to Metamathematics. Ishi Press International. p. 199.
Andrews, Peter B. (2002). An introduction to mathematical logic and type theory to truth through proof (2. ed.). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.

[1] Weisstein, Eric W. "विशिष्टता प्रमेय". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-15.

[2] "2.5 Uniqueness Arguments". www.whitman.edu. Retrieved 2019-12-15.

[:0-3] Helman, Glen (August 1, 2013). "संख्यात्मक परिमाणीकरण" (PDF). persweb.wabash.edu. Retrieved 2019-12-14.

[4] This is a consequence of the compactness theorem.

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{Short description|Logical property of being the one and only object satisfying a condition}}
-{{redirect|Unique (mathematics)|other uses|Unique (disambiguation)}}
+{{redirect|अद्वितीय (गणित)|अन्य उपयोग|अद्वितीय (बहुविकल्पी)}}
-{{more footnotes|date=January 2013}}
-गणित और [[तर्क]] में, विशिष्टता शब्द एक निश्चित स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकमात्र वस्तु होने की संपत्ति को संदर्भित करता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/UniquenessTheorem.html|title=विशिष्टता प्रमेय|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-15}}</ref> इस प्रकार के [[परिमाणक (तर्क)]]तर्क) को अद्वितीयता क्वांटिफिकेशन या अद्वितीय अस्तित्व संबंधी क्वांटिफिकेशन के रूप में जाना जाता है, और इसे अक्सर अस्तित्व संबंधी क्वांटिफिकेशन|∃ प्रतीकों के साथ दर्शाया जाता है!<ref>{{Cite web|url=https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section02.05.html|title=2.5 Uniqueness Arguments|website=www.whitman.edu|access-date=2019-12-15}}</ref> या ∃<sub>=1</sub>. उदाहरण के लिए, औपचारिक वक्तव्य
+गणित और तर्कशास्त्र में, "विशिष्टता" शब्द एक निश्चित स्थिति को संतुष्ट करने वाली एकमात्र वस्तु होने की संपत्ति को संदर्भित करता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/UniquenessTheorem.html|title=विशिष्टता प्रमेय|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-12-15}}</ref> इस प्रकार के परिमाणीकरण को विशिष्टता परिमाणीकरण या अद्वितीय अस्तित्व संबंधी परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः "∃!"<ref>{{Cite web|url=https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section02.05.html|title=2.5 Uniqueness Arguments|website=www.whitman.edu|access-date=2019-12-15}}</ref> या "∃<sub>=1</sub>". प्रतीकों से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए औपचारिक वक्तव्य
 : <math>\exists! n \in \mathbb{N}\,(n - 2 = 4)</math>
-इसे पढ़ा जा सकता है क्योंकि यहाँ बिल्कुल एक प्राकृतिक संख्या है <math>n</math> ऐसा है कि <math>n - 2 =4</math>.
+इसे पढ़ा जा सकता है क्योंकि यहाँ बिल्कुल प्राकृतिक संख्या है <math>n</math> ऐसा है कि <math>n - 2 =4</math>.
 == विशिष्टता सिद्ध करना ==
-किसी निश्चित वस्तु के अद्वितीय अस्तित्व को साबित करने की सबसे आम तकनीक पहले इकाई के अस्तित्व को वांछित स्थिति के साथ साबित करना है, और फिर यह साबित करना है कि ऐसी कोई दो इकाइयाँ (जैसे,<math>a</math>और<math>b</math>) एक दूसरे के बराबर होना चाहिए (अर्थात<math>a = b</math>).
+किसी निश्चित वस्तु के अद्वितीय अस्तित्व को सिद्ध करने की सबसे समान्य तकनीक पहले इकाई के अस्तित्व को वांछित स्थिति के साथ सिद्ध करना है, और फिर यह सिद्ध करना है कि ऐसी कोई दो इकाइयाँ (जैसे,<math>a</math>और<math>b</math>) दूसरे के समान होना चाहिए (अर्थात<math>a = b</math>).
-उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए कि समीकरण <math>x + 2 = 5</math> इसका बिल्कुल एक ही समाधान है, सबसे पहले यह स्थापित करके शुरुआत करनी होगी कि कम से कम एक समाधान मौजूद है, अर्थात् 3; इस भाग का प्रमाण केवल यह सत्यापन है कि नीचे दिया गया समीकरण सही है:
+उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए कि समीकरण <math>x + 2 = 5</math> इसका बिल्कुल ही समाधान है, सबसे पहले यह स्थापित करके प्रारंभ करनी होगी कि कम से कम समाधान उपस्थित है, अर्थात् 3; इस भाग का प्रमाण केवल यह सत्यापन है कि नीचे दिया गया समीकरण सही है:
 :<math> 3 + 2 = 5. </math>
-समाधान की विशिष्टता स्थापित करने के लिए, यह मानकर आगे बढ़ना होगा कि दो समाधान हैं<math>a</math>और<math>b</math>, संतुष्टि देने वाला <math>x + 2 = 5</math>. वह है,
+समाधान की विशिष्टता स्थापित करने के लिए, यह मानकर आगे बढ़ना होगा कि दो समाधान हैं <math>a</math>और<math>b</math>, संतुष्टि देने वाला <math>x + 2 = 5</math>. वह है,
 :<math> a + 2 = 5\text{ and }b + 2 = 5. </math>
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 दोनों ओर से 2 घटाने पर प्राप्त होता है
 :<math> a = b. </math>
-जो इस बात का प्रमाण पूरा करता है कि 3 का अद्वितीय समाधान है <math>x + 2 = 5</math>.
+जो इस बात का प्रमाण पूरा करता है कि 3, <math>x + 2 = 5</math> का अद्वितीय समाधान है।
-सामान्य तौर पर, अस्तित्व (कम से कम एक वस्तु मौजूद है) और विशिष्टता (अधिकतम एक वस्तु मौजूद है) दोनों को सिद्ध किया जाना चाहिए, ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि उक्त शर्त को पूरा करने वाली वास्तव में एक वस्तु मौजूद है।
+समान्य रूप से, अस्तित्व (कम से कम वस्तु उपस्थित है) और विशिष्टता (अधिकतम वस्तु उपस्थित है) दोनों को सिद्ध किया जाना चाहिए, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि उक्त नियम को पूरा करने वाली वास्तव में वस्तु उपस्थित है।
-विशिष्टता साबित करने का एक वैकल्पिक तरीका यह साबित करना है कि किसी वस्तु का अस्तित्व है <math>a</math> शर्त को संतुष्ट करना, और फिर यह साबित करना कि शर्त को संतुष्ट करने वाली प्रत्येक वस्तु बराबर होनी चाहिए <math>a</math>.
+विशिष्टता सिद्ध करने का एक वैकल्पिक विधि यह सिद्ध करना है कि नियम को संतुष्ट करने वाली कोई वस्तु <math>a</math> उपस्थित है, और फिर यह सिद्ध करना है कि नियम को संतुष्ट करने वाली प्रत्येक वस्तु <math>a</math> के समान होनी चाहिए।
 == सामान्य अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणीकरण में कमी ==
-विशिष्टता परिमाणीकरण को सूत्र को परिभाषित करके [[अस्तित्वगत परिमाणक]] और [[विधेय तर्क]] के [[सार्वभौमिक परिमाणक]] परिमाणक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है <math>\exists ! x P(x)</math> मतलब निकालना
+विशिष्टता परिमाणीकरण को सूत्र <math>\exists ! x P(x)</math> को परिभाषित करके विधेय तर्क के अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>\exists x\,( P(x) \, \wedge \neg \exists y\,(P(y) \wedge y  \ne x)),</math>
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 एक अन्य समतुल्य परिभाषा, जिसमें संक्षिप्तता का लाभ है, है
 :<math>\exists x\,\forall y\,(P(y) \leftrightarrow y = x).</math>
+== सामान्यीकरण ==
+विशिष्टता परिमाणीकरण को गिनती परिमाणीकरण (या संख्यात्मक परिमाणीकरण) में सामान्यीकृत किया जा सकता है<ref name=":0">{{Cite web|url=http://persweb.wabash.edu/facstaff/helmang/phi270-1314F/phi270PDF/phi270text/phi270txt8/phi270txt83/phi270txt83(4up).pdf|title=संख्यात्मक परिमाणीकरण|last=Helman|first=Glen|date=August 1, 2013|website=persweb.wabash.edu|access-date=2019-12-14}}</ref>). इसमें वास्तव में k वस्तुओं के अस्तित्व के दोनों परिमाण सम्मिलित हैं जैसे कि ... साथ ही अनंत रूप से कई वस्तुएं ऐसी उपस्थित हैं ... और केवल सीमित रूप से कई वस्तुएं उपस्थित हैं जैसे ...। इनमें से पहला रूप सामान्य क्वांटिफायर का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, किंतु बाद के दो को सामान्य [[प्रथम-क्रम तर्क]] में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।<ref>This is a consequence of the [[compactness theorem]].</ref>
+विशिष्टता [[समानता (गणित)]] की धारणा पर निर्भर करती है। इसे कुछ मोटे तुल्यता संबंध में शिथिल करने से उस तुल्यता [[तक]] विशिष्टता की मात्रा का निर्धारण होता है (इस रूपरेखा के तहत, नियमित विशिष्टता समानता तक विशिष्टता है)। उदाहरण के लिए, [[श्रेणी सिद्धांत]] में कई अवधारणाओं को समरूपता तक अद्वितीय के रूप में परिभाषित किया गया है।
-== सामान्यीकरण ==
+विस्मयादिबोधक चिह्न ! एक अलग परिमाणीकरण प्रतीक के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है, इसलिए <math>(\exists ! x. P(x))\leftrightarrow ((\exists x. P(x))\land (! x. P(x)))</math> जैसे इसे <math>\exists !</math> के अतिरिक्त प्रतिस्थापन अभिगृहीत में सुरक्षित रूप से उपयोग किया जा सकता है।
-विशिष्टता परिमाणीकरण को गिनती परिमाणीकरण (या संख्यात्मक परिमाणीकरण) में सामान्यीकृत किया जा सकता है<ref>{{Cite web|url=http://persweb.wabash.edu/facstaff/helmang/phi270-1314F/phi270PDF/phi270text/phi270txt8/phi270txt83/phi270txt83(4up).pdf|title=संख्यात्मक परिमाणीकरण|last=Helman|first=Glen|date=August 1, 2013|website=persweb.wabash.edu|access-date=2019-12-14}}</ref>). इसमें वास्तव में k वस्तुओं के अस्तित्व के दोनों परिमाण शामिल हैं जैसे कि ... साथ ही अनंत रूप से कई वस्तुएं ऐसी मौजूद हैं ... और केवल सीमित रूप से कई वस्तुएं मौजूद हैं जैसे ...। इनमें से पहला रूप सामान्य क्वांटिफायर का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन बाद के दो को सामान्य [[प्रथम-क्रम तर्क]] में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।<ref>This is a consequence of the [[compactness theorem]].</ref>
-विशिष्टता [[समानता (गणित)]] की धारणा पर निर्भर करती है। इसे कुछ मोटे तुल्यता संबंध में ढीला करने से उस तुल्यता [[तक]] विशिष्टता की मात्रा का निर्धारण होता है (इस ढांचे के तहत, नियमित विशिष्टता समानता तक विशिष्टता है)। उदाहरण के लिए, [[श्रेणी सिद्धांत]] में कई अवधारणाओं को समरूपता तक अद्वितीय के रूप में परिभाषित किया गया है।
-विस्मयादिबोधक चिह्न <math>!</math> इसका उपयोग एक अलग परिमाणीकरण प्रतीक के रूप में भी किया जा सकता है <math>(\exists ! x. P(x))\leftrightarrow ((\exists x. P(x))\land (! x. P(x)))</math>, कहाँ <math>(! x. P(x)) := (\forall a \forall b. P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)</math>. जैसे इसके स्थान पर इसे प्रतिस्थापन सिद्धांत में सुरक्षित रूप से उपयोग किया जा सकता है <math>\exists !</math>.
 == यह भी देखें ==
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 {{Mathematical logic}}
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