फलन की सीमा: Difference between revisions

Latest revision as of 15:24, 30 August 2023

f

डोमेन X से कोडोमेन Y तक का एक फ़ंक्शन है। Y के अंदर का पीला अंडाकार

f

की छवि है। कभी-कभी "रेंज" छवि को और कभी-कभी कोडोमेन को संदर्भित करता है।

गणित में, फलन की सीमा दो परस्पर संबंधित अवधारणाओं में से किसी एक को संदर्भित कर सकती है:

फलन का कोडोमेन
फलन के प्रतिरूप

दो समुच्चय $X$ और $Y$ दिए जाने पर, $X$ और $Y$ के बीच एक द्विआधारी संबंध $f$ है (कुल) फ़ंक्शन ( $X$ से $Y$ तक) यदि $X$ में प्रत्येक $x$ के लिए $y$ में ठीक $Y$ है जैसे कि $f$ , $x$ से $y$ से संबंधित है। समुच्चय $X$ और $Y$ को क्रमशः $f$ का डोमेन और कोडोमेन कहा जाता है। तब $f$ की छवि $Y$ का उपसमुच्चय होती है जिसमें $Y$ के केवल वे अवयव $y$ मिल होते हैं जैसे कि X में $f (x) = y$ के साथ कम से कम $x$ होता है।

शब्दावली

चूंकि "रेंज" शब्द के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए किसी पाठ्यपुस्तक या लेख में पहली बार इसका उपयोग करते समय इसे परिभाषित करना अच्छा अभ्यास माना जाता है। पुरानी पुस्तकें, जब वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो इसका उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे अब कोडोमेन कहा जाता है।^[1]^[2] अधिक आधुनिक पुस्तकें, यदि वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो सामान्यतः इसका उपयोग उस अर्थ के लिए करती हैं जिसे अब छवि कहा जाता है।^[3] किसी भी भ्रम से बचने के लिए, कई आधुनिक पुस्तकें "रेंज" शब्द का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करती हैं।^[4]

विस्तार और उदाहरण

दिया गया फलन

f\colon X\to Y

डोमेन $X$ के साथ, $f$ की सीमा, कभी-कभी $\operatorname {ran} (f)$ या दर्शाया जाता है $\operatorname {Range} (f)$ ,^[5] कोडोमेन या लक्ष्य समुच्चय $Y$ (यानी, वह समुच्चय जिसमें $f$ के सभी आउटपुट गिरने के लिए बाध्य हैं), या $f(X)$ को संदर्भित कर सकते हैं, डोमेन की छवि $f$ के अंतर्गत $f$ (यानी, $Y$ का सबसेट जिसमें $f$ के सभी वास्तविक आउटपुट सम्मिलित हैं)। किसी फ़ंक्शन की छवि हमेशा फ़ंक्शन के कोडोमेन का एक उपसमुच्चय होती है।^[6]

दो अलग-अलग उपयोगों के उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन $f(x)=x^{2}$ पर विचार करें क्योंकि इसका उपयोगवास्तविक विश्लेषण में किया जाता है (अर्थात, फ़ंक्शन के रूप में जो वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसके वर्ग को आउटपुट करता है)। इस स्थिति में, इसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R}$ का समुच्चय है, लेकिन इसकी छवि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं $\mathbb {R} ^{+}$ का समुच्चय है, क्योंकि यदि $x$ वास्तविक है तो $x^{2}$ कभी भी नकारात्मक नहीं होता है। इस फ़ंक्शन के लिए, यदि हम "सीमा" का उपयोग कोडोमेन के लिए करते हैं, तो यह $\mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}}$ को संदर्भित करता है; यदि हम छवि के लिए "सीमा" का उपयोग करते हैं, तो यह $\mathbb {R} ^{+}$ को संदर्भित करता है।

कई मामलों में, छवि और कोडोमेन योग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $f(x)=2x$ पर विचार करें, जो वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसका दोगुना आउटपुट देता है। इस फ़ंक्शन के लिए, कोडोमेन और छवि समान हैं (दोनों वास्तविक संख्याओं का सेट हैं), इसलिए शब्द सीमा स्पष्ट है।

यह भी देखें

आक्षेप, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
आवश्यक सीमा

नोट्स और संदर्भ

↑ Hungerford 1974, page 3.
↑ Childs 1990, page 140.
↑ Dummit and Foote 2004, page 2.
↑ Rudin 1991, page 99.
↑ Weisstein, Eric W. "श्रेणी". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-28.
↑ Nykamp, Duane. "रेंज परिभाषा". Math Insight. Retrieved August 28, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

ग्रन्थसूची

Childs (2009). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229.
Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 73. Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.

[1] Hungerford 1974, page 3.

[2] Childs 1990, page 140.

[3] Dummit and Foote 2004, page 2.

[4] Rudin 1991, page 99.

[5] Weisstein, Eric W. "श्रेणी". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-28.

[6] Nykamp, Duane. "रेंज परिभाषा". Math Insight. Retrieved August 28, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

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 {{Short description|Subset of a function's codomain}}
-{{For|सांख्यिकीय अवधारणा|श्रेणी (सांख्यिकी)}}[[Image:Codomain2.SVG|right|thumb|350px|<math>f</math> फ़ंक्शन ''X'' के डोमेन से [[कोडोमेन]] ''Y'' तक एक फ़ंक्शन है। ''Y'' के अंदर का पीला अंडाकार [[छवि (गणित)]] है <math>f</math>. कभी-कभी रेंज छवि को संदर्भित करती है और कभी-कभी कोडोमेन को।]]गणित में, '''किसी फंक्शन (फलन) की सीमा''' दो परस्पर संबंधित अवधारणाओं में से किसी एक को संदर्भित कर सकती है:
+{{For|सांख्यिकीय अवधारणा|श्रेणी (सांख्यिकी)}}[[Image:Codomain2.SVG|right|thumb|350px|<math>f</math> डोमेन ''X'' से [[कोडोमेन]] ''Y'' तक का एक फ़ंक्शन है। ''Y'' के अंदर का पीला अंडाकार <math>f</math> की छवि है। कभी-कभी "रेंज" छवि को और कभी-कभी कोडोमेन को संदर्भित करता है।]]गणित में, '''फलन की सीमा''' दो परस्पर संबंधित अवधारणाओं में से किसी एक को संदर्भित कर सकती है:
-* फंक्शन का कोडोमेन
+* फलन का कोडोमेन
-* फंक्शन के  प्रतिरूप
+* फलन के  प्रतिरूप
-दो समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} दिए जाने पर, {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} के बीच एक [[द्विआधारी संबंध]] {{mvar|f}}  है (कुल) फ़ंक्शन ({{mvar|X}} से {{mvar|Y}} तक) यदि {{mvar|X}} में प्रत्येक {{mvar|x}} के लिए {{mvar|y}} में ठीक एक {{mvar|Y}} है जैसे कि {{mvar|f}}, {{mvar|x}} से {{mvar|y}} से संबंधित है। सेट {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} को क्रमशः {{mvar|f}}  का डोमेन और कोडोमेन कहा जाता है। तब {{mvar|f}} की छवि {{mvar|Y}} का उपसमुच्चय होती है जिसमें {{mvar|Y}} के केवल वे तत्व {{mvar|y}} मिल होते हैं जैसे कि X में {{math|1=''f''(''x'') = ''y''}} के साथ कम से कम एक {{mvar|x}} होता है।
+दो समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} दिए जाने पर, {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} के बीच एक [[द्विआधारी संबंध]] {{mvar|f}}  है (कुल) फ़ंक्शन ({{mvar|X}} से {{mvar|Y}} तक) यदि {{mvar|X}} में प्रत्येक {{mvar|x}} के लिए {{mvar|y}} में ठीक {{mvar|Y}}  है जैसे कि {{mvar|f}}, {{mvar|x}} से {{mvar|y}} से संबंधित है। समुच्चय {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} को क्रमशः {{mvar|f}}  का डोमेन और कोडोमेन कहा जाता है। तब {{mvar|f}} की छवि {{mvar|Y}} का उपसमुच्चय होती है जिसमें {{mvar|Y}} के केवल वे अवयव {{mvar|y}} मिल होते हैं जैसे कि X में {{math|1=''f''(''x'') = ''y''}} के साथ कम से कम {{mvar|x}} होता है।
 ==शब्दावली==
-चूंकि "रेंज" शब्द के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए किसी पाठ्यपुस्तक या लेख में पहली बार इसका उपयोग करते समय इसे परिभाषित करना अच्छा अभ्यास माना जाता है। पुरानी पुस्तकें, जब वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो इसका उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे अब कोडोमेन कहा जाता है।<ref>Hungerford 1974, page 3.</ref><ref>Childs 1990, page 140.</ref> अधिक आधुनिक पुस्तकें, यदि वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो आम तौर पर इसका उपयोग उस अर्थ के लिए करती हैं जिसे अब छवि कहा जाता है।<ref>Dummit and Foote 2004, page 2.</ref> किसी भी भ्रम से बचने के लिए, कई आधुनिक पुस्तकें "रेंज" शब्द का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करती हैं।<ref>Rudin 1991, page 99.</ref>
+चूंकि "रेंज" शब्द के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए किसी पाठ्यपुस्तक या लेख में पहली बार इसका उपयोग करते समय इसे परिभाषित करना अच्छा अभ्यास माना जाता है। पुरानी पुस्तकें, जब वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो इसका उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे अब कोडोमेन कहा जाता है।<ref>Hungerford 1974, page 3.</ref><ref>Childs 1990, page 140.</ref> अधिक आधुनिक पुस्तकें, यदि वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो सामान्यतः इसका उपयोग उस अर्थ के लिए करती हैं जिसे अब छवि कहा जाता है।<ref>Dummit and Foote 2004, page 2.</ref> किसी भी भ्रम से बचने के लिए, कई आधुनिक पुस्तकें "रेंज" शब्द का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करती हैं।<ref>Rudin 1991, page 99.</ref>
 ==विस्तार और उदाहरण==
-एक फ़ंक्शन दिया गया
+दिया गया फलन
 :<math>f \colon X \to Y</math>
-किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ <math>X</math>, की सीमा <math>f</math>, कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{ran}(f)</math> या <math>\operatorname{Range}(f)</math>,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=श्रेणी|url=https://mathworld.wolfram.com/श्रेणी.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> कोडोमेन या लक्ष्य सेट का उल्लेख हो सकता है <math>Y</math> (यानी, वह सेट जिसमें सभी आउटपुट शामिल हैं <math>f</math> गिरने के लिए बाध्य है), या <math>f(X)</math>, के डोमेन की छवि <math>f</math> अंतर्गत <math>f</math> (अर्थात्, का उपसमुच्चय <math>Y</math> के सभी वास्तविक आउटपुट से युक्त <math>f</math>). किसी फ़ंक्शन की छवि हमेशा फ़ंक्शन के कोडोमेन का एक सबसेट होती है।<ref>{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|date=|title=रेंज परिभाषा|url=https://mathinsight.org/definition/range|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=August 28, 2020|website=Math Insight}}</ref>
+डोमेन <math>X</math> के साथ, <math>f</math> की सीमा, कभी-कभी <math>\operatorname{ran}(f)</math> या दर्शाया जाता है <math>\operatorname{Range}(f)</math>,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=श्रेणी|url=https://mathworld.wolfram.com/श्रेणी.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> कोडोमेन या लक्ष्य समुच्चय <math>Y</math> (यानी, वह समुच्चय जिसमें <math>f</math> के सभी आउटपुट गिरने के लिए बाध्य हैं), या <math>f(X)</math> को संदर्भित कर सकते हैं, डोमेन की छवि <math>f</math> के अंतर्गत <math>f</math> (यानी, <math>Y</math> का सबसेट जिसमें <math>f</math> के सभी वास्तविक आउटपुट सम्मिलित हैं)। किसी फ़ंक्शन की छवि हमेशा फ़ंक्शन के कोडोमेन का एक उपसमुच्चय होती है।<ref>{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|date=|title=रेंज परिभाषा|url=https://mathinsight.org/definition/range|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=August 28, 2020|website=Math Insight}}</ref>
-दो अलग-अलग उपयोगों के उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें <math>f(x) = x^2</math> जैसा कि इसका उपयोग [[वास्तविक विश्लेषण]] में किया जाता है (अर्थात, एक फ़ंक्शन के रूप में जो एक [[वास्तविक संख्या]] को इनपुट करता है और उसके वर्ग को आउटपुट करता है)। इस मामले में, इसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है <math>\mathbb{R}</math>, लेकिन इसकी छवि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है <math>\mathbb{R}^+</math>, तब से <math>x^2</math> यदि कभी नकारात्मक नहीं है <math>x</math> यह सचमुच का है। इस फ़ंक्शन के लिए, यदि हम कोडोमेन के अर्थ के लिए रेंज का उपयोग करते हैं, तो यह संदर्भित करता है <math>\mathbb{{\displaystyle \mathbb {R} ^{}}}</math>; यदि हम छवि के अर्थ के लिए रेंज का उपयोग करते हैं, तो यह संदर्भित करता है <math>\mathbb{R}^+</math>.
+दो अलग-अलग उपयोगों के उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन <math>f(x) = x^2</math> पर विचार करें क्योंकि इसका उपयोग[[वास्तविक विश्लेषण]] में किया जाता है (अर्थात, फ़ंक्शन के रूप में जो [[वास्तविक संख्या]] को इनपुट करता है और उसके वर्ग को आउटपुट करता है)। इस स्थिति में, इसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं <math>\mathbb{R}</math> का समुच्चय है, लेकिन इसकी छवि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं <math>\mathbb{R}^+</math>का समुच्चय है, क्योंकि यदि <math>x</math> वास्तविक है तो <math>x^2</math> कभी भी नकारात्मक नहीं होता है। इस फ़ंक्शन के लिए, यदि हम "सीमा" का उपयोग कोडोमेन के लिए करते हैं, तो यह <math>\mathbb{{\displaystyle \mathbb {R} ^{}}}</math> को संदर्भित करता है; यदि हम छवि के लिए "सीमा" का उपयोग करते हैं, तो यह <math>\mathbb{R}^+</math> को संदर्भित करता है।
-कई मामलों में, छवि और कोडोमेन मेल खा सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें <math>f(x) = 2x</math>, जो एक वास्तविक संख्या इनपुट करता है और उसका दोगुना आउटपुट देता है। इस फ़ंक्शन के लिए, कोडोमेन और छवि समान हैं (दोनों वास्तविक संख्याओं का सेट हैं), इसलिए शब्द श्रेणी स्पष्ट है।
+कई मामलों में, छवि और कोडोमेन योग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन <math>f(x) = 2x</math> पर विचार करें, जो वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसका दोगुना आउटपुट देता है। इस फ़ंक्शन के लिए, कोडोमेन और छवि समान हैं (दोनों वास्तविक संख्याओं का सेट हैं), इसलिए शब्द सीमा स्पष्ट है।
 ==यह भी देखें==
-* आक्षेप, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
+* आक्षेप, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
-* आवश्यक रेंज
+* आवश्यक सीमा
 ==नोट्स और संदर्भ==
@@ Line 76: / Line 76: @@
 {{Mathematical logic}}
-{{DEFAULTSORT:Range (Mathematics)}}[[Category: फ़ंक्शंस और मैपिंग]] [[Category: सेट सिद्धांत में बुनियादी अवधारणाएँ]]
+{{DEFAULTSORT:Range (Mathematics)}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Range (Mathematics)]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)|Range (Mathematics)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 maint|Range (Mathematics)]]
-[[Category:Created On 03/07/2023]]
+[[Category:Collapse templates|Range (Mathematics)]]
+[[Category:Created On 03/07/2023|Range (Mathematics)]]
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