लघुगणकीय व्युत्पन्न

गणित में, विशेष रूप से गणना और जटिल विश्लेषण में, किसी फलन (गणित) f के लघुगणकीय व्युत्पन्न को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

$${\frac {f'}{f}}$$

जहाँ $f'$, f का व्युत्पन्न होता है। और सहज रूप से, यह f में अतिसूक्ष्म सापेक्ष परिवर्तन होते है; अर्थात्, f में अतिसूक्ष्म निरपेक्ष परिवर्तन f अर्थात् $f',$को f के वर्तमान मान से मापा जाता है।

इस प्रकार से जब f वास्तविक वेरिएबल x का फलन f(x) होता है, और वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती है, वास्तव में सकारात्मक संख्या मान लेता है, तो यह ln(f), के व्युत्पन्न या f के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होता है। यह सीधे श्रृंखला नियम से अनुसरण करता है:

$${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}$$

मूल गुण

इस प्रकार से वास्तविक लघुगणक के कई गुण लघुगणकीय व्युत्पन्न पर भी प्रयुक्त किये जाते हैं, इसके अतिरिक्त जब फलन सकारात्मक वास्तविकताओं में मान नहीं लेता है। उदाहरण के लिए, चूँकि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग प्राप्त किया जाता है

$$(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.$$

तो सकारात्मक-वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग प्राप्त होता है। जिससे हम किसी उत्पाद का व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए जनरल लाइबनिज़ नियम का भी उपयोग कर सकते हैं

$${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$$

इस प्रकार, किसी भी फलन के लिए यह सत्य माना जाता है कि किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग होता है (जब उन्हें परिभाषित किया जाता है)।

अतः इसका परिणाम यह है कि किसी फलन के व्युत्क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न का निषेधन है:

$${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},$$

जिस प्रकार किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम का लघुगणक उस संख्या के लघुगणक का निषेधन होता है।

अधिक सामान्यतः, किसी भागफल का लघुगणकीय व्युत्पन्न लाभांश और भाजक के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का अंतर होता है:

$${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},$$

जिस प्रकार भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक का अंतर होता है।

इस प्रकार से दूसरी दिशा में सामान्यीकरण करते हुए, पावर का लघुगणकीय व्युत्पन्न (निरंतर वास्तविक घातांक के साथ) घातांक और आधार के लघुगणकीय व्युत्पन्न का उत्पाद है:

$${\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},$$

जिस प्रकार किसी घात का लघुगणक घातांक और आधार के लघुगणक का गुणनफल होता है।

संक्षेप में, व्युत्पन्न और लघुगणक दोनों में उत्पाद नियम, पारस्परिक नियम, भागफल नियम और पावर नियम होता है (लघुगणकीय पहचान की सूची की तुलना करें); नियमों की प्रत्येक जोड़ी लघुगणकीय व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित होते है।

लघुगणकीय व्युत्पन्नों का उपयोग करके सामान्य व्युत्पन्नों की गणना करना

Main article: लघुगणकीय विभेदन

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव समान परिणाम उत्पन्न करते हुए उत्पाद नियम की आवश्यकता वाले डेरिवेटिव की गणना को सरल बना सकते हैं। प्रक्रिया इस प्रकार है: मान लीजिए कि $f(x)=u(x)v(x)$ और $f'(x)$.हम इसकी गणना करना चाहते हैं इसकी गणना सीधे $f'=u'v+v'u$ तौर पर करने के अतिरिक्त , हम इसके लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम गणना करते हैं:

$${\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$$

f′ से गुणा करने पर f′′ की गणना होती है:

$$f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).$$

यह विधि तब सबसे उपयोगी होती है जब ƒ उच्च संख्या में कारकों का उत्पाद हो। यह विधि प्रत्येक कारक के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करके, योग करके और f′ से गुणा करके f ' की गणना करना संभव बनाती है।

उदाहरण के लिए, हम e^x2(x-2)³(x-3)(x-1)^-1 के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं होना

$2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}$.

कारकों को एकीकृत करना

लघुगणकीय व्युत्पन्न विचार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के लिए एकीकृत कारक विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है। ऑपरेटर (गणित) शब्दों में लिखें

$$D={\frac {d}{dx}}$$

और मान लीजिए कि M किसी दिए गए फलन G(x) द्वारा गुणन के संचालिका को दर्शाता है। तब

$$M^{-1}DM$$

(उत्पाद नियम द्वारा) इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$D+M^{*}$$

जहाँ $M^{*}$ अब गुणन संचालिका को लघुगणकीय अवकलज द्वारा निरूपित करता है

$${\frac {G'}{G}}$$

व्यवहार में हमें ऑपरेटर दिया जाता है जैसे

$$D+F=L$$

और समीकरण हल करना चाहते हैं

$$L(h)=f$$

फलन h के लिए, f दिया गया है। इसके बाद यह समाधान तक सीमित हो जाता है

$${\frac {G'}{G}}=F$$

जिसका समाधान है

$$\exp \textstyle (\int F)$$

f के किसी भी अनिश्चित अभिन्न अंग के साथ।

जटिल विश्लेषण

See also: तर्क सिद्धांत

दिए गए सूत्र को अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए यदि f(z) मेरोमोर्फिक फलन है, तो यह z के सभी जटिल मानों पर समझ में आता है, जिस पर f में न तो कोई शून्य है और न ही ध्रुव। इसके अलावा, शून्य या ध्रुव पर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न इस तरह से व्यवहार करता है कि विशेष मामले के संदर्भ में आसानी से विश्लेषण किया जा सके

zⁿ

n एक पूर्णांक के साथ, n ≠ 0 तब लघुगणकीय अवकलज होता है

$$n/z$$

और कोई सामान्य निष्कर्ष निकाल सकता है कि f मेरोमोर्फिक के लिए, f के लघुगणकीय व्युत्पन्न की विलक्षणताएं सभी सरल ध्रुव होते हैं, ऑर्डर n के शून्य से अवशेष (जटिल विश्लेषण) n, ऑर्डर n के ध्रुव से अवशेष - n तर्क सिद्धांत देखें. इस जानकारी का सदैव समोच्च एकीकरण में उपयोग किया जाता है।

नेवानलिन्ना सिद्धांत के क्षेत्र में, महत्वपूर्ण लेम्मा ने इसे इस प्रकार से व्यक्त किया है कि लघुगणकीय व्युत्पन्न का निकटता फलन मूल फलन की नेवानलिन्ना विशेषता के संबंध में छोटा है, उदाहरण के लिए $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$.

गुणात्मक समूह

इस प्रकार से लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के उपयोग के पीछे GL₁, के बारे में दो बुनियादी तथ्य हैं, अर्थात वास्तविक संख्याओं या अन्य क्षेत्रों का गुणक समूह। विभेदक संचालिका

$$X{\frac {d}{dX}}$$

फैलाव के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) है (एक स्थिरांक के लिए X को aX से प्रतिस्थापित करना)। और विभेदक रूप

$${\frac {dx}{X}}$$

वैसे ही अपरिवर्तनीय है. फ़ंक्शंस F से GL_1, के लिए सूत्र

$${\frac {dF}{F}}$$

इसलिए यह अपरिवर्तनीय रूप का पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है।

उदाहरण

• घातीय वृद्धि और घातांकीय क्षय निरंतर लघुगणकीय व्युत्पन्न वाली प्रक्रियाएं हैं।
• गणितीय वित्त में, ग्रीक λ अंतर्निहित कीमत के संबंध में व्युत्पन्न मूल्य का लघुगणकीय व्युत्पन्न है।
• संख्यात्मक विश्लेषण में, नियम संख्या इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में अनंत सापेक्ष परिवर्तन है, और इस प्रकार लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का अनुपात है।

यह भी देखें

• व्युत्पन्न का सामान्यीकरण
• लघुगणकीय विभेदन
• किसी फलन की लोच