पैरामीट्रिक मॉडल: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
 
(6 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Type of statistical model}}
{{Short description|Type of statistical model}}
{{about|statistics|mathematical and computer representation of objects|Solid modeling}}
{{about|सांख्यिकी|वस्तुओं का गणितीय और कंप्यूटर प्रतिनिधित्व|ठोस मॉडलिंग}}
आंकड़ों में, पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक परिवार या परिमित-आयामी मॉडल [[सांख्यिकीय मॉडल]] का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का परिवार है जिसमें पैरामीटर की सीमित संख्या होती है।


== परिभाषा ==
सांख्यिकी में, '''पैरामीट्रिक मॉडल''' या '''पैरामीट्रिक वर्ग या परिमित-आयामी मॉडल''' [[सांख्यिकीय मॉडल]] का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का वर्ग है जिसमें मापदंड की सीमित संख्या होती है।
एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ नमूना स्थान पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, {{math|''𝒫''}}, कुछ सेट द्वारा अनुक्रमित किया जाता है {{math|Θ}}. सेट {{math|Θ}} पैरामीटर सेट या, अधिक सामान्यतः, [[पैरामीटर स्थान]] कहा जाता है। प्रत्येक के लिए {{math|''θ''&nbsp;∈ Θ}}, होने देना {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संचयी वितरण समारोह है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है
 
== परिभाषा                   ==
एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ प्रतिरूप समष्टि पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, {{math|''𝒫''}}, कुछ समुच्चय {{math|Θ}} द्वारा अनुक्रमित किया जाता है . समुच्चय {{math|Θ}} मापदंड समुच्चय या, अधिक सामान्यतः, मापदंड समष्टि कहा जाता है। प्रत्येक के लिए {{math|''θ''&nbsp;∈ Θ}}, माना {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए {{math|''P<sub>θ</sub>''}} संचयी वितरण फलन है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है
: <math>
: <math>
     \mathcal{P} = \big\{ P_\theta\ \big|\ \theta\in\Theta \big\}.
     \mathcal{P} = \big\{ P_\theta\ \big|\ \theta\in\Theta \big\}.
   </math>
   </math>
मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि {{math|Θ&nbsp;⊆ ℝ<sup>''k''</sup>}} कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{math|''k''}}.
मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि {{math|Θ&nbsp;⊆ ℝ<sup>''k''</sup>}} कुछ सकारात्मक पूर्णांक {{math|''k''}} के लिए .


जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:
जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:
Line 14: Line 15:
     \mathcal{P} = \big\{ f_\theta\ \big|\ \theta\in\Theta \big\}.
     \mathcal{P} = \big\{ f_\theta\ \big|\ \theta\in\Theta \big\}.
   </math>
   </math>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* बंटनों का प्वासों बंटन एकल संख्या द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है {{math|''λ'' > 0}}:
* बंटनों का प्वासों बंटन एकल संख्या {{math|''λ'' > 0}} द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है :
: <math>
: <math>
     \mathcal{P} = \Big\{\ p_\lambda(j) = \tfrac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda},\ j=0,1,2,3,\dots \ \Big|\;\; \lambda>0 \ \Big\},
     \mathcal{P} = \Big\{\ p_\lambda(j) = \tfrac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda},\ j=0,1,2,3,\dots \ \Big|\;\; \lambda>0 \ \Big\},
   </math>
   </math>
कहाँ {{math|''p<sub>λ</sub>''}} संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह परिवार [[घातीय परिवार]] है।
जहाँ {{math|''p<sub>λ</sub>''}} संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह वर्ग [[घातीय परिवार|घातीय वर्ग]] है।


* [[सामान्य वितरण]] द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''μ'', ''σ'')}}, कहाँ {{math|''μ'' ∈ ℝ}} स्थान पैरामीटर है और {{math|''σ'' > 0}} स्केल पैरामीटर है:
* [[सामान्य वितरण]] द्वारा पैरामीट्रिज्ड है {{math|''θ'' {{=}} (''μ'', ''σ'')}}, जहाँ {{math|''μ'' ∈ ℝ}} समष्टि मापदंड है और {{math|''σ'' > 0}} स्केल मापदंड है:
: <math>
: <math>
     \mathcal{P} = \Big\{\ f_\theta(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\ \Big|\;\; \mu\in\mathbb{R}, \sigma>0 \ \Big\}.
     \mathcal{P} = \Big\{\ f_\theta(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\ \Big|\;\; \mu\in\mathbb{R}, \sigma>0 \ \Big\}.
   </math>
   </math>
यह पैरामीट्रिज्ड परिवार घातीय परिवार और स्थान-स्तरीय परिवार दोनों है।
यह पैरामीट्रिज्ड वर्ग घातीय वर्ग और समष्टि-स्तरीय वर्ग दोनों है।


* वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी पैरामीटर है {{math|''θ'' {{=}} (''λ'', ''β'', ''μ'')}}:
* वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी {{math|''θ'' {{=}} (''λ'', ''β'', ''μ'')}} मापदंड है :
: <math>
: <math>
     \mathcal{P} = \Big\{\  
     \mathcal{P} = \Big\{\  
Line 40: Line 39:
     \ \Big\}.
     \ \Big\}.
   </math>
   </math>
* द्विपद बंटन द्वारा parametrized है {{math|''θ'' {{=}} (''n'', ''p'')}}, कहाँ {{math|''n''}} गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और {{math|''p''}} संभावना है (यानी {{math|''p'' ≥ 0}} और {{math|''p'' ≤ 1}}):
* द्विपद बंटन {{math|''θ'' {{=}} (''n'', ''p'')}} द्वारा पैरामीट्रिज्ड है , जहाँ {{math|''n''}} गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और {{math|''p''}} संभावना है (अर्थात {{math|''p'' ≥ 0}} और {{math|''p'' ≤ 1}}):
: <math>
: <math>
     \mathcal{P} = \Big\{\ p_\theta(k) = \tfrac{n!}{k!(n-k)!}\, p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots, n \ \Big|\;\; n\in\mathbb{Z}_{\ge 0},\, p \ge 0 \land p \le 1\Big\}.
     \mathcal{P} = \Big\{\ p_\theta(k) = \tfrac{n!}{k!(n-k)!}\, p^k (1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots, n \ \Big|\;\; n\in\mathbb{Z}_{\ge 0},\, p \ge 0 \land p \le 1\Big\}.
Line 47: Line 46:


== सामान्य टिप्पणी ==
== सामान्य टिप्पणी ==
मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को [[पहचान योग्य]] कहा जाता है {{math|''θ'' ↦ ''P<sub>θ</sub>''}} व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो अलग-अलग पैरामीटर मान नहीं हैं {{math|''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''θ''<sub>2</sub>}} ऐसा है कि {{math|''P''<sub>''θ''<sub>1</sub></sub>&nbsp;{{=}} ''P''<sub>''θ''<sub>2</sub></sub>}}.
मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को [[पहचान योग्य|अभिज्ञेय]] कहा जाता है इस प्रकार {{math|''θ'' ↦ ''P<sub>θ</sub>''}} व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो {{math|''θ''<sub>1</sub>}} और {{math|''θ''<sub>2</sub>}} अलग-अलग मापदंड मान नहीं हैं ऐसा है कि {{math|''P''<sub>''θ''<sub>1</sub></sub>&nbsp;{{=}} ''P''<sub>''θ''<sub>2</sub></sub>}}.


== मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना ==
== मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना ==
[[पैरामीट्रिक आँकड़े]] [[सेमीपैरामेट्रिक मॉडल]]|सेमी-पैरामीट्रिक, [[अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल]]|सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और [[गैर पैरामीट्रिक मॉडल]] के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए पैरामीटर का अनंत सेट होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:{{Citation needed|date=October 2010}}
[[पैरामीट्रिक आँकड़े|पैरामीट्रिक सांख्यिकी]] [[सेमीपैरामेट्रिक मॉडल]], [[अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल]] या सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और [[गैर पैरामीट्रिक मॉडल]] के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए मापदंड का अनंत समुच्चय होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:
* एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी पैरामीटर परिमित-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
* एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी मापदंड परिमित-आयामी मापदंड रिक्त समष्टि में हैं;
* एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक आँकड़े है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी पैरामीटर अनंत-आयामी पैरामीटर रिक्त स्थान में हैं;
* एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी मापदंड अनंत-आयामी मापदंड रिक्त समष्टि में हैं;
* एक अर्ध-पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी पैरामीटर और अनंत-आयामी [[उपद्रव पैरामीटर]] शामिल हैं;
* एक अर्ध-पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी मापदंड और अनंत-आयामी [[उपद्रव पैरामीटर|न्यूसेंस मापदंड]] सम्मिलित हैं;
* एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात पैरामीटर हैं।
* एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात मापदंड हैं।


कुछ सांख्यिकीविदों का मानना ​​है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।<ref>{{harvnb|Le Cam| Yang|2000}}, §7.4</ref> यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के सेट में कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) की [[प्रमुखता]] है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।<ref>{{harvnb|Bickel|Klaassen| Ritov| Wellner| 1998|page=2}}</ref> केवल चिकने पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।
कुछ सांख्यिकीविदों का मानना ​​है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।<ref>{{harvnb|Le Cam| Yang|2000}}, §7.4</ref> यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के समुच्चय में कॉन्टिनम (समुच्चय सिद्धांत) की [[प्रमुखता]] है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।<ref>{{harvnb|Bickel|Klaassen| Ritov| Wellner| 1998|page=2}}</ref> केवल पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें                                                                                                                     ==
* [[पैरामीट्रिक परिवार]]
* [[पैरामीट्रिक परिवार|पैरामीट्रिक वर्ग]]
* पैरामीट्रिक आँकड़े
* पैरामीट्रिक सांख्यिकी
* सांख्यिकीय मॉडल
* सांख्यिकीय मॉडल
* [[सांख्यिकीय मॉडल विनिर्देश]]
* [[सांख्यिकीय मॉडल विनिर्देश]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ                                                                                                                                                           ==
{{Reflist}}
{{Reflist}}
 
==ग्रन्थसूची                                                                                                                                                                                                     ==
 
==ग्रन्थसूची==
{{refbegin}}
{{refbegin}}
* {{citation
* {{citation
Line 131: Line 128:
{{refend}}
{{refend}}


{{DEFAULTSORT:Parametric Model}}[[Category: पैरामीट्रिक आँकड़े]] [[Category: सांख्यिकीय मॉडल]]
{{DEFAULTSORT:Parametric Model}}
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 08/02/2023|Parametric Model]]
[[Category:Created On 08/02/2023]]
[[Category:Lua-based templates|Parametric Model]]
[[Category:Machine Translated Page|Parametric Model]]
[[Category:Pages with script errors|Parametric Model]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Parametric Model]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Parametric Model]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Parametric Model]]
[[Category:Templates using TemplateData|Parametric Model]]
[[Category:पैरामीट्रिक आँकड़े|Parametric Model]]
[[Category:सांख्यिकीय मॉडल|Parametric Model]]

Latest revision as of 16:18, 29 August 2023

This article is about सांख्यिकी. For वस्तुओं का गणितीय और कंप्यूटर प्रतिनिधित्व, see ठोस मॉडलिंग.

सांख्यिकी में, पैरामीट्रिक मॉडल या पैरामीट्रिक वर्ग या परिमित-आयामी मॉडल सांख्यिकीय मॉडल का विशेष वर्ग है। विशेष रूप से, पैरामीट्रिक मॉडल संभाव्यता वितरण का वर्ग है जिसमें मापदंड की सीमित संख्या होती है।

परिभाषा

एक सांख्यिकीय मॉडल कुछ प्रतिरूप समष्टि पर संभाव्यता वितरण का संग्रह है। हम मानते हैं कि संग्रह, 𝒫, कुछ समुच्चय Θ द्वारा अनुक्रमित किया जाता है . समुच्चय Θ मापदंड समुच्चय या, अधिक सामान्यतः, मापदंड समष्टि कहा जाता है। प्रत्येक के लिए θ ∈ Θ, माना Pθ संग्रह के संबंधित सदस्य को निरूपित करें; इसलिए Pθ संचयी वितरण फलन है। फिर सांख्यिकीय मॉडल के रूप में लिखा जा सकता है

मॉडल पैरामीट्रिक मॉडल है यदि Θ ⊆ ℝk कुछ सकारात्मक पूर्णांक k के लिए .

जब मॉडल में पूरी तरह से निरंतर वितरण होते हैं, तो इसे प्रायिकता घनत्व कार्यों के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है:

उदाहरण

  • बंटनों का प्वासों बंटन एकल संख्या λ > 0 द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है :

जहाँ pλ संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। यह वर्ग घातीय वर्ग है।

  • सामान्य वितरण द्वारा पैरामीट्रिज्ड है θ = (μ, σ), जहाँ μ ∈ ℝ समष्टि मापदंड है और σ > 0 स्केल मापदंड है:

यह पैरामीट्रिज्ड वर्ग घातीय वर्ग और समष्टि-स्तरीय वर्ग दोनों है।

  • वेइबुल वितरण का त्रि-आयामी θ = (λ, β, μ) मापदंड है :
  • द्विपद बंटन θ = (n, p) द्वारा पैरामीट्रिज्ड है , जहाँ n गैर-नकारात्मक पूर्णांक है और p संभावना है (अर्थात p ≥ 0 और p ≤ 1):

यह उदाहरण कुछ असतत मापदंडों वाले मॉडल की परिभाषा दिखाता है।

सामान्य टिप्पणी

मानचित्रण होने पर पैरामीट्रिक मॉडल को अभिज्ञेय कहा जाता है इस प्रकार θ ↦ Pθ व्युत्क्रमणीय है, अर्थात दो θ1 और θ2 अलग-अलग मापदंड मान नहीं हैं ऐसा है कि Pθ1 = Pθ2.

मॉडल के अन्य वर्गों के साथ तुलना

पैरामीट्रिक सांख्यिकी सेमीपैरामेट्रिक मॉडल, अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल या सेमी-नॉनपैरामीट्रिक, और गैर पैरामीट्रिक मॉडल के विपरीत होते हैं, जिनमें से सभी में विवरण के लिए मापदंड का अनंत समुच्चय होता है। इन चार वर्गों के बीच अंतर इस प्रकार है:

  • एक पैरामीट्रिक सांख्यिकी मॉडल में सभी मापदंड परिमित-आयामी मापदंड रिक्त समष्टि में हैं;
  • एक मॉडल गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी है | गैर-पैरामीट्रिक यदि सभी मापदंड अनंत-आयामी मापदंड रिक्त समष्टि में हैं;
  • एक अर्ध-पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी मापदंड और अनंत-आयामी न्यूसेंस मापदंड सम्मिलित हैं;
  • एक अर्ध-गैर पैरामीट्रिक मॉडल में रुचि के परिमित-आयामी और अनंत-आयामी दोनों अज्ञात मापदंड हैं।

कुछ सांख्यिकीविदों का मानना ​​है कि पैरामीट्रिक, गैर-पैरामीट्रिक और अर्ध-पैरामीट्रिक अवधारणाएं अस्पष्ट हैं।[1] यह भी ध्यान दिया जा सकता है कि सभी संभाव्यता उपायों के समुच्चय में कॉन्टिनम (समुच्चय सिद्धांत) की प्रमुखता है, और इसलिए किसी भी मॉडल को (0,1) अंतराल में ही नंबर से पैरामीट्रिज करना संभव है।[2] केवल पैरामीट्रिक मॉडल पर विचार करके इस कठिनाई से बचा जा सकता है।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Le Cam & Yang 2000, §7.4
  2. ↑ Bickel et al. 1998, p. 2

ग्रन्थसूची

  • Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001), Mathematical Statistics: Basic and selected topics, vol. 1 (Second (updated printing 2007) ed.), Prentice-Hall
  • Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris A. J.; Ritov, Ya’acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Springer
  • Davison, A. C. (2003), Statistical Models, Cambridge University Press
  • Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Some basic concepts (2nd ed.), Springer
  • Lehmann, Erich L.; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer
  • Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statistical Decision Theory: Estimation, testing, and selection, Springer
  • Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994), Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, MR 1291393
Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=पैरामीट्रिक_मॉडल&oldid=254476’