एन वाँ-अवधि का परीक्षण: Difference between revisions

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गणित में, विचलन के लिए ''एन''वाँ-टर्म परीक्षण<ref name="Kaczor">Kaczor p.336</ref> एक अनंत श्रृंखला की [[अपसारी श्रृंखला]] के लिए एक सरल परीक्षण है:<blockquote>यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> या यदि सीमा उपस्तिथ नहीं है, तब <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> विचलन।</blockquote>अनेक लेखक इस परीक्षण को कोई नाम नहीं देते या इसे छोटा नाम देते हैं।<ref name="Rudin">For example, Rudin (p.60) states only the contrapositive form and does not name it. Brabenec (p.156) calls it just the '''''nth'' term test'''. Stewart (p.709) calls it the '''Test for Divergence'''.</ref>
गणित में, विचलन के लिए '''एनवाँ-टर्म परीक्षण'''<ref name="Kaczor">Kaczor p.336</ref> एक अनंत श्रृंखला की [[अपसारी श्रृंखला]] के लिए एक सरल परीक्षण है:<blockquote>यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0</math> या यदि सीमा उपस्तिथ नहीं है, तब <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> विचलन।</blockquote>अनेक लेखक इस परीक्षण को कोई नाम नहीं देते या इसे छोटा नाम देते हैं।<ref name="Rudin">For example, Rudin (p.60) states only the contrapositive form and does not name it. Brabenec (p.156) calls it just the '''''nth'' term test'''. Stewart (p.709) calls it the '''Test for Divergence'''.</ref>
परीक्षण करते समय कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है, उपयोग में आसानी के कारण इस परीक्षण को अधिकांशतः पहले जांचा जाता है।
परीक्षण करते समय कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है, इस प्रकार उपयोग में आसानी के कारण इस परीक्षण को अधिकांशतः पहले जांचा जाता है।


[[पी-एडिक विश्लेषण]] के स्थितियोंमें परीक्षण शब्द गैर-आर्किमिडीयन त्रिकोण असमानता के कारण अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।
इस प्रकार [[पी-एडिक विश्लेषण]] के स्थितियोंमें परीक्षण शब्द गैर-आर्किमिडीयन त्रिकोण असमानता के कारण अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।


== उपयोग ==
== उपयोग ==


मजबूत [[अभिसरण परीक्षण]]ों के विपरीत, परीक्षण शब्द स्वयं यह सिद्ध नहीं कर सकता कि एक श्रृंखला [[अभिसरण श्रृंखला]] है। विशेष रूप से, परीक्षण का विपरीत सत्य नहीं है; इसके अतिरिक्त कोई बस इतना ही कह सकता है: <ब्लॉककोट>यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> तब <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> अभिसरण हो भी सकता है और नहीं भी। दूसरे शब्दों में, यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> परीक्षण अनिर्णीत है।</ब्लॉकउद्धरण>[[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]] एक अपसारी श्रृंखला का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जिसके पद शून्य तक सीमित हैं।<ref>Rudin p.60</ref> हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) का अधिक सामान्य वर्ग|पी-श्रृंखला,
मजबूत [[अभिसरण परीक्षण|अभिसरण परीक्षणों]] के विपरीत, परीक्षण शब्द स्वयं यह सिद्ध नहीं कर सकता हैं कि एक श्रृंखला [[अभिसरण श्रृंखला|अभिसरण करती]] है। विशेष रूप से, परीक्षण का विपरीत सत्य नहीं है; इसके अतिरिक्त कोई बस इतना ही कह सकता है:  
 
यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> तब <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> अभिसरण हो भी सकता है और नहीं भी।  
 
दूसरे शब्दों में, यदि <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0,</math> परीक्षण अनिर्णीत है।
 
[[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)|हार्मोनिक श्रृंखला]] एक अपसारी श्रृंखला का एक उत्कृष्ट उदाहरण है इस प्रकार जिसके पद शून्य तक सीमित हैं।<ref>Rudin p.60</ref> पी-श्रृंखला का अधिक सामान्य वर्ग,
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},</math>
परीक्षण के संभावित परिणामों का उदाहरण देता है:
परीक्षण के संभावित परिणामों का उदाहरण देता है:
* यदि p ≤ 0 है, तब परीक्षण शब्द श्रृंखला को अपसारी के रूप में पहचानता है।
* यदि p ≤ 0 है, तब परीक्षण शब्द श्रृंखला को अपसारी के रूप में पहचानता है।
* यदि 0 < पी ≤ 1 है, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला [[अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण]] द्वारा भिन्न है।
* यदि 0 < p ≤ 1 है, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला [[अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण]] द्वारा भिन्न है।
* यदि 1 <पी, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण द्वारा फिर से अभिसरण है।
* यदि 1 <p, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण द्वारा फिर से अभिसरण है।


==प्रमाण==
==प्रमाण==
परीक्षण सामान्यतः गर्भनिरोधक रूप में सिद्ध होता है:<ब्लॉकक्वॉट>यदि <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> फिर एकत्रित हो जाता है <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0.</math></ब्लॉककोट>
परीक्षण सामान्यतः विषम रूप में सिद्ध होता है:
 
यदि <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> फिर एकत्रित हो जाता है <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0.</math>


=== हेरफेर सीमित करें ===
=== हेरफेर सीमित करें ===
यदि एस<sub>''n''</sub> श्रृंखला के आंशिक योग हैं, तब यह धारणा है कि श्रृंखला
यदि ''s<sub>n</sub>'' श्रृंखला के आंशिक योग हैं, तब यह धारणा है कि श्रृंखला
अभिसरण का मतलब है कि
 
इस प्रकार अभिसरण करती है, इसका मतलब है कि
:<math>\lim_{n\to\infty} s_n = L</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} s_n = L</math>
कुछ संख्या एल के लिए फिर<ref>Brabenec p.156; Stewart p.709</ref>
कुछ संख्या L के लिए फिर<ref>Brabenec p.156; Stewart p.709</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = L-L = 0.</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = L-L = 0.</math>


कौची की कसौटी
== कॉची मानदंड ==
 
यह धारणा कि श्रृंखला अभिसरण करती है इसका मतलब है कि यह कॉची के अभिसरण परीक्षण को पास करती है: प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon>0</math> एक संख्या N ऐसी है
यह धारणा कि श्रृंखला अभिसरण करती है इसका मतलब है कि यह कॉची के अभिसरण परीक्षण को पास करती है: प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon>0</math> एक संख्या N ऐसी है


:<math>\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon</math>
:<math>\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon</math>
सभी n > N और p ≥ 1 के लिए मान्य है। p = 1 समूह करने से कथन की परिभाषा पुनः प्राप्त हो जाती है<ref>Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.</ref>
सभी n > N और p ≥ 1 के लिए मान्य है। p = 1 समूह करने से कथन की परिभाषा पुनः प्राप्त हो जाती हैं। <ref>Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.</ref>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>
:<math>\lim_{n\to\infty} a_n = 0.</math>


दायरा
== दायरा ==
 
परीक्षण शब्द का सबसे सरल संस्करण [[वास्तविक संख्या]]ओं की अनंत श्रृंखला पर क्रियान्वित होता है। उपरोक्त दो प्रमाण, कॉची मानदंड या सीमा की रैखिकता का आह्वान करके, किसी अन्य मानक सदिश स्थान (या कोई (अतिरिक्त रूप से लिखित) एबेलियन समूह) में भी काम करते हैं<ref>Hansen p.55; Șuhubi p.375</ref>
परीक्षण शब्द का सबसे सरल संस्करण [[वास्तविक संख्या]]ओं की अनंत श्रृंखला पर क्रियान्वित होता है। उपरोक्त दो प्रमाण, कॉची मानदंड या सीमा की रैखिकता का आह्वान करके, किसी अन्य मानक सदिश स्थान में भी काम करते हैं<ref>Hansen p.55; Șuhubi p.375</ref> (या कोई (अतिरिक्त रूप से लिखित) एबेलियन समूह)।


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Latest revision as of 16:45, 28 August 2023

गणित में, विचलन के लिए एनवाँ-टर्म परीक्षण[1] एक अनंत श्रृंखला की अपसारी श्रृंखला के लिए एक सरल परीक्षण है:

यदि या यदि सीमा उपस्तिथ नहीं है, तब विचलन।

अनेक लेखक इस परीक्षण को कोई नाम नहीं देते या इसे छोटा नाम देते हैं।[2]

परीक्षण करते समय कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है, इस प्रकार उपयोग में आसानी के कारण इस परीक्षण को अधिकांशतः पहले जांचा जाता है।

इस प्रकार पी-एडिक विश्लेषण के स्थितियोंमें परीक्षण शब्द गैर-आर्किमिडीयन त्रिकोण असमानता के कारण अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उपयोग

मजबूत अभिसरण परीक्षणों के विपरीत, परीक्षण शब्द स्वयं यह सिद्ध नहीं कर सकता हैं कि एक श्रृंखला अभिसरण करती है। विशेष रूप से, परीक्षण का विपरीत सत्य नहीं है; इसके अतिरिक्त कोई बस इतना ही कह सकता है:

यदि तब अभिसरण हो भी सकता है और नहीं भी।

दूसरे शब्दों में, यदि परीक्षण अनिर्णीत है।

हार्मोनिक श्रृंखला एक अपसारी श्रृंखला का एक उत्कृष्ट उदाहरण है इस प्रकार जिसके पद शून्य तक सीमित हैं।[3] पी-श्रृंखला का अधिक सामान्य वर्ग,

परीक्षण के संभावित परिणामों का उदाहरण देता है:

  • यदि p ≤ 0 है, तब परीक्षण शब्द श्रृंखला को अपसारी के रूप में पहचानता है।
  • यदि 0 < p ≤ 1 है, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण द्वारा भिन्न है।
  • यदि 1 <p, तब शब्द परीक्षण अनिर्णायक है, किन्तु श्रृंखला अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण द्वारा फिर से अभिसरण है।

प्रमाण

परीक्षण सामान्यतः विषम रूप में सिद्ध होता है:

यदि फिर एकत्रित हो जाता है

हेरफेर सीमित करें

यदि sn श्रृंखला के आंशिक योग हैं, तब यह धारणा है कि श्रृंखला

इस प्रकार अभिसरण करती है, इसका मतलब है कि

कुछ संख्या L के लिए फिर[4]

कॉची मानदंड

यह धारणा कि श्रृंखला अभिसरण करती है इसका मतलब है कि यह कॉची के अभिसरण परीक्षण को पास करती है: प्रत्येक के लिए एक संख्या N ऐसी है

सभी n > N और p ≥ 1 के लिए मान्य है। p = 1 समूह करने से कथन की परिभाषा पुनः प्राप्त हो जाती हैं। [5]

दायरा

परीक्षण शब्द का सबसे सरल संस्करण वास्तविक संख्याओं की अनंत श्रृंखला पर क्रियान्वित होता है। उपरोक्त दो प्रमाण, कॉची मानदंड या सीमा की रैखिकता का आह्वान करके, किसी अन्य मानक सदिश स्थान (या कोई (अतिरिक्त रूप से लिखित) एबेलियन समूह) में भी काम करते हैं[6]

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Kaczor p.336
  2. ↑ For example, Rudin (p.60) states only the contrapositive form and does not name it. Brabenec (p.156) calls it just the nth term test. Stewart (p.709) calls it the Test for Divergence.
  3. ↑ Rudin p.60
  4. ↑ Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. ↑ Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.
  6. ↑ Hansen p.55; Șuhubi p.375

संदर्भ

  • Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0883857375.
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 9812565639.
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821820508.
  • Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
  • Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
  • Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1402016166.
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